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Topos Uranos
Español

Producto vectorial y producto mixto

Resumen

Esta clase define el producto vectorial de dos vectores del espacio por sus coordenadas, como un determinante formal con los vectores i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} y k⃗\vec{k}, y demuestra con las propiedades de los determinantes que es anticonmutativo y bilineal, pero no asociativo. Demuestra que el producto vectorial es perpendicular a sus dos factores, la identidad de Lagrange y, de ella, que su norma es el área del paralelogramo que determinan los factores y que se anula exactamente cuando son paralelos. Establece la fórmula del doble producto vectorial y la identidad de Jacobi, define el producto mixto como un determinante de orden tres, prueba su propiedad cíclica y lo interpreta como el volumen de un paralelepípedo y de un tetraedro, con el criterio de coplanaridad y la expresión del volumen por los productos escalares. Declara con precisión qué parte de la regla de la mano derecha se demuestra y qué parte es una convención, muestra que el producto vectorial es la parte vectorial del producto de dos cuaterniones puros y lo aplica al momento de una fuerza, a la fuerza magnética sobre una carga en movimiento, al área de un triángulo en el espacio y a las normales de los gráficos por computador.

Objetivos de aprendizaje

  1. Calcular productos vectoriales y productos mixtos por coordenadas y mediante determinantes, y operar con ellos usando la anticonmutatividad, la bilinealidad, la propiedad cíclica y la fórmula del doble producto vectorial.
  2. Demostrar la perpendicularidad del producto vectorial, la identidad de Lagrange, el criterio de paralelismo, la fórmula del doble producto vectorial y el criterio de coplanaridad.
  3. Calcular áreas de paralelogramos y de triángulos en el espacio y volúmenes de paralelepípedos y de tetraedros, y decidir si cuatro puntos son coplanarios.
  4. Distinguir en la regla de la mano derecha lo que se demuestra de lo que se conviene, y modelar con el producto vectorial el momento de una fuerza, la fuerza magnética y la orientación de las superficies en los gráficos por computador.

El producto vectorial

En la clase sobre los vectores en el espacio y el producto escalar los vectores de R3\mathbb{R}^3 se escribieron como ternas u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right), y el producto escalar u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 permitió medir longitudes y ángulos, decidir la perpendicularidad y proyectar un vector sobre otro. El producto escalar de dos vectores es un número. Ahora bien, muchos problemas del espacio piden un vector: la dirección perpendicular a una superficie plana, el eje en torno al cual una fuerza hace girar un cuerpo, la dirección en que un campo magnético desvía una carga. En el plano, cada dirección tiene una sola perpendicular; en el espacio, las perpendiculares a una dirección llenan un plano entero, y hacen falta dos direcciones no paralelas para fijar una perpendicular común. Si esto es así, la pregunta natural es la siguiente: dados dos vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}, ¿qué vector x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) cumple u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 y v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0?

Son dos ecuaciones lineales con tres incógnitas. Si se multiplica la primera, u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0, por v1v_1, la segunda por u1u_1, y se restan, desaparece x1x_1 y queda (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0, que se cumple con x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 y x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1; razonando del mismo modo con las otras incógnitas aparece x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2. Las tres expresiones son determinantes de orden dos formados con las componentes de u⃗\vec{u} y de v⃗\vec{v}, como los de la clase sobre los determinantes. Esta búsqueda sugiere la definición; la sección siguiente demuestra que el vector así formado es, en efecto, perpendicular a ambos factores.

Sean u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) y v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) vectores de R3\mathbb{R}^3. Su producto vectorial, o producto cruz, es el vector u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).

La definición tiene una regularidad que conviene retener. Cada componente se obtiene de la anterior desplazando circularmente los índices, 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1: la primera es u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2; al sumar 11 a cada índice, contando 3+13 + 1 como 11, resulta u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3, que es la segunda, y al repetirlo resulta la tercera. Para escribirla de memoria se usan los vectores de la base canónica, i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) y k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right), con los que todo vector se escribe u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k}, y un determinante formal: una tabla de orden tres cuya primera fila contiene los vectores i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} y k⃗\vec{k}, y que se desarrolla por esa fila como en la clase sobre los determinantes.

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

El determinante es formal porque sus elementos no son todos números, y no se le aplica ninguna propiedad de los determinantes: solo resume la fórmula del desarrollo por la primera fila. El signo menos del segundo término reproduce la segunda componente, porque −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3. En cambio, cada componente es un determinante de orden dos de verdad, formado por dos columnas de la matriz de filas u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}; las propiedades de la sección siguiente descansan en esta observación.

EjemploUn producto vectorial y los productos de la base canónica

Calcular u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} para u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) y v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right), y los productos de los vectores de la base canónica entre sí.

Demostración

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    Primera componente: suprimimos la columna de las primeras componentes y calculamos el determinante de orden dos que queda.

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    Segunda componente: suprimimos la columna central y cambiamos el signo del determinante.

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    Tercera componente: suprimimos la última columna.

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    Reunimos las tres componentes. La figura dibuja los tres vectores con origen común; u⃗\vec{u} está en el plano horizontal, y u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} apunta hacia arriba.

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    Con la definición, i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right), y del mismo modo con los otros pares. Cada vector de la base, multiplicado por el siguiente en el orden circular i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}, da el tercero; en el orden contrario, su opuesto.

Las propiedades algebraicas

Las propiedades del producto vectorial se leen en sus componentes. Llamemos D1D_1, D2D_2 y D3D_3 a los tres determinantes de orden dos que las forman, con las columnas en el orden circular: D1D_1 usa las columnas segunda y tercera de la matriz de filas u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}; D2D_2, la tercera y la primera, en ese orden; y D3D_3, la primera y la segunda.

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
TeoremaPropiedades algebraicas del producto vectorial

Para todos los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} de R3\mathbb{R}^3 y todos los reales ss y tt: el producto vectorial es anticonmutativo, v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}; es bilineal, es decir, lineal en cada factor, (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} y v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}; y u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}.

Las tres propiedades se reducen a las de los determinantes de orden dos, aplicadas a cada una de las tres componentes: el lema del intercambio de dos filas y el lema de la linealidad en cada fila, demostrados en la clase sobre los determinantes para todo orden. La figura sigue el ejemplo anterior.

Demostración

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    Cada componente DmD_m es el determinante de una matriz de orden dos cuya primera fila sale de u⃗\vec{u} y cuya segunda fila sale de v⃗\vec{v}, con las mismas dos columnas.

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    Si se intercambian u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}, se intercambian las dos filas de cada determinante, y por el lema del intercambio cada componente cambia de signo. En la figura, v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) apunta hacia abajo.

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    Si el primer factor es su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w}, la primera fila de cada determinante es ss veces la fila tomada de u⃗\vec{u} más tt veces la tomada de w⃗\vec{w}. Por el lema de la linealidad, cada componente se descompone del mismo modo.

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    La linealidad en el segundo factor se deduce de las dos anteriores: se cambia el orden, se aplica la linealidad en el primer factor y se vuelve a cambiar el orden.

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    Si los dos factores coinciden, cada determinante tiene dos filas iguales y es nulo. En particular, i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}.

Con la bilinealidad, el producto vectorial se calcula también distribuyendo, como un producto de sumas, y usando los productos de la base canónica. Por ejemplo, (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}. La anticonmutatividad dice que el orden de los factores importa, como en el producto de matrices, aunque de un modo muy particular: invertirlo solo cambia el signo.

EjemploEl producto vectorial no es asociativo

Comparar (i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} con i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right).

Demostración

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    Por el teorema, el producto de un vector por sí mismo es nulo, y por la bilinealidad el producto del vector nulo por cualquier otro también lo es.

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    En la otra agrupación, el producto interior es k⃗\vec{k}, por el ejemplo de la base canónica.

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    Por la anticonmutatividad, i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} es el opuesto de k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}.

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    Los dos resultados son distintos: el producto vectorial no es asociativo, y una expresión como u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w}, sin paréntesis, carece de sentido.

Tampoco hay un elemento neutro: ningún vector e⃗\vec{e} cumple e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} para todo u⃗\vec{u}, porque e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} obligaría a e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0}, y entonces e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} para todo u⃗\vec{u}. El producto vectorial no tiene, por tanto, ninguna de las propiedades de los productos de números salvo la distributividad. La sección sobre el doble producto vectorial dará la regla exacta que sustituye a la asociatividad.