Saltar al contenido
Topos Uranos
Español

Rectas y planos en el espacio

Resumen

Esta clase lleva al espacio la recta dada por un punto y un vector director, y describe el plano en forma vectorial y paramétrica, por un punto y dos vectores directores, y en forma cartesiana, por una ecuación ax+by+cz=dax + by + cz = d cuyos coeficientes forman un vector normal. El producto vectorial enlaza ambas formas, y se demuestra que todo plano tiene una ecuación cartesiana, única salvo un factor. Las posiciones relativas de planos y rectas se traducen en sistemas lineales y se clasifican con el teorema de Rouché-Frobenius; el producto mixto decide si dos rectas se cortan o se cruzan. La clase termina con el haz de planos y con problemas sobre rutas de aviones, la inclinación de un terreno y tetraedros.

Objetivos de aprendizaje

  1. Escribir una recta del espacio en forma vectorial, paramétrica y simétrica, también cuando alguna componente del vector director es nula, y demostrar que por dos puntos distintos pasa una única recta.
  2. Escribir un plano en forma vectorial, paramétrica y cartesiana, pasar de una forma a otra con el producto vectorial y construir el plano que pasa por tres puntos no alineados.
  3. Demostrar que todo plano tiene una ecuación cartesiana, única salvo un factor no nulo, y que toda ecuación lineal en xx, yy y zz con algún coeficiente no nulo describe un plano.
  4. Decidir la posición relativa de dos o de tres planos, de una recta y un plano y de dos rectas mediante los rangos de un sistema lineal y el producto mixto, también cuando los datos dependen de un parámetro.
  5. Construir con el haz de planos el plano que contiene una recta y cumple otra condición, y modelar con rectas y planos situaciones de la navegación aérea, de la construcción y del diseño.

La recta en el espacio

En la clase del curso Álgebra y Geometría I sobre vectores en el plano y ecuaciones paramétricas de la recta, la recta del plano, conocida como gráfica de una ecuación de primer grado desde la clase sobre la ecuación de la recta, se describió como P0+td⃗P_0 + t \vec{d}. En el espacio no hay pendiente, y una ecuación de primer grado en xx, yy y zz describe, como se verá, un plano. Si esto es así, conviene invertir el orden: la descripción vectorial será la definición, y de ella se deducirán las demás formas.

Los vectores del espacio y su producto escalar se estudiaron en la clase sobre vectores en el espacio y producto escalar; el producto vectorial y el producto mixto, en la clase sobre el producto vectorial y el producto mixto. Como en el plano, Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} significa PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}, y dos vectores no nulos son paralelos cuando uno es múltiplo del otro. En las figuras, el eje yy va hacia la derecha, el eje zz hacia arriba y el eje xx hacia el observador.

Sean AA un punto y v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) un vector no nulo. La recta que pasa por AA con vector director v⃗\vec{v} es el conjunto de los puntos PP para los cuales existe un número real tt tal que P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}; el número tt se llama parámetro de PP.
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

El parámetro de cada punto es único: si A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}, entonces (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}, y como v⃗\vec{v} no es nulo, t=st = s. Para A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) y P=(x,y,z)P = (x, y, z), la ecuación vectorial, escrita por componentes, da las ecuaciones paramétricas de la recta:

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

Si el parámetro es el tiempo, estas ecuaciones describen un movimiento uniforme de velocidad v⃗\vec{v}, como en el plano. Una misma recta admite muchos puntos de partida y muchos vectores directores; el teorema siguiente muestra que dos de sus puntos la determinan.

TeoremaLa recta que pasa por dos puntos

Por dos puntos distintos AA y BB pasa una única recta, la de ecuación P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB}. En consecuencia, las ecuaciones P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} y P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} describen la misma recta si y solo si CC está en la primera y w⃗\vec{w} es paralelo a v⃗\vec{v}.

En la figura, A=(2,0,1)A = (2, 0, 1) y B=(1,2,2)B = (1, 2, 2), de modo que AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right), y la otra recta pasa por C=(0,4,3)C = (0, 4, 3) con vector director v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right).

Demostración

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    Existencia: el vector AB⃗\vec{AB} no es nulo, porque A≠BA \neq B, y la recta que pasa por AA con ese vector director contiene a AA, con parámetro 00, y a BB, con parámetro 11.

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    Unicidad: sea rr una recta cualquiera, P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}, que contenga a AA y a BB, y sean t1t_1 y t2t_2 sus parámetros. En la figura, t1=2t_1 = 2 y t2=1t_2 = 1.

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    Por la relación de Chasles, AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}. Los parámetros son distintos, porque A≠BA \neq B; por tanto, AB⃗\vec{AB} es paralelo a v⃗\vec{v}. En la figura, AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}.

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    Cada punto de rr está en la recta ABAB: partimos de AA en lugar de CC y sustituimos v⃗\vec{v} por su expresión en función de AB⃗\vec{AB}. En la figura, el punto de rr de parámetro 12\frac{1}{2} es el punto de la recta ABAB de parámetro 32\frac{3}{2}.

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    Recíprocamente, el punto de parámetro ss de la recta ABAB es el de parámetro t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) en rr: las dos rectas tienen los mismos puntos. Para la segunda afirmación: si las ecuaciones describen la misma recta, CC y C+w⃗C + \vec{w} están en ella, y por el paso anterior w⃗\vec{w} es múltiplo de v⃗\vec{v}; si CC está en la primera y w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}, la primera contiene a CC y a C+w⃗C + \vec{w}, y es la recta que pasa por ellos.

De ello se sigue que dos rectas distintas tienen a lo sumo un punto común: si compartieran dos, serían la única recta que pasa por ellos. Tres puntos están alineados cuando hay una recta que los contiene. Si A≠BA \neq B, el punto CC está alineado con ellos si y solo si C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB} para algún tt, es decir, si y solo si AC⃗\vec{AC} es múltiplo de AB⃗\vec{AB}.

La forma simétrica

Al despejar el parámetro e igualar los resultados se obtienen ecuaciones sin parámetro, con cuidado con las componentes nulas del vector director.

ProposiciónForma simétrica de la recta

Sea rr la recta que pasa por A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) con vector director v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right). Si las tres componentes de v⃗\vec{v} son distintas de cero, un punto (x,y,z)(x, y, z) está en rr si y solo si se cumplen las igualdades siguientes. Si solo v2v_2 es nula, la condición es x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} y y=y0y = y_0; si v2v_2 y v3v_3 son nulas, la condición es y=y0y = y_0 y z=z0z = z_0. Los casos en que se anulan otras componentes se obtienen intercambiando los papeles de las coordenadas.

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

En la figura, A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1) y v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right), el vector que va de AA a B=(3,2,3)B = (3, 2, 3).

Demostración

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    Si las tres componentes son distintas de cero y P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}, despejamos tt de cada ecuación paramétrica: los tres cocientes valen tt.

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    Recíprocamente, si los tres cocientes son iguales, llamamos tt a su valor común; al multiplicar cada igualdad por su denominador se recuperan las ecuaciones paramétricas, y P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} está en rr.

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    Si solo v2v_2 es nula, la segunda ecuación es y=y0y = y_0 para todo tt, y se escribe aparte, porque dividir entre 00 carece de sentido. En la figura, la recta está en el plano y=2y = 2.

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    Si v2v_2 y v3v_3 son nulas, las dos últimas ecuaciones fijan yy y zz, y para cada xx el parámetro t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} da el punto: la recta es la paralela al eje xx trazada por AA, que en la figura aparece en segundo plano.

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    Comprobación en la figura: C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) está en la recta, con parámetro 32\frac{3}{2}, y D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) no lo está, aunque cumple y=2y = 2.

Cada igualdad de la forma simétrica es una ecuación de primer grado: la recta de la figura es el conjunto de soluciones de 2x−z=32x - z = 3 y y=2y = 2. Cuando se vea que cada ecuación así describe un plano, esto dirá que la recta es la intersección de dos planos, su forma implícita.