Saltar al contenido
Topos Uranos
Español

Distancias, ángulos y volúmenes en el espacio

Resumen

Esta clase reúne los instrumentos de las tres anteriores, el producto escalar, el producto vectorial y el producto mixto, con las ecuaciones de rectas y planos, para medir en el espacio. Define la distancia de un punto a un conjunto y demuestra, proyectando sobre la normal, la fórmula de la distancia de un punto a un plano, y, con el producto vectorial, la de un punto a una recta, ambas con el pie de la perpendicular como único punto más cercano. De ellas deduce las distancias entre planos paralelos y entre rectas paralelas, y demuestra que dos rectas que se cruzan tienen una única perpendicular común, que se halla resolviendo un sistema de dos ecuaciones y cuya longitud es un producto mixto dividido entre una norma. Define y calcula los ángulos entre dos rectas, entre una recta y un plano y entre dos planos, y demuestra que coinciden con los ángulos de la geometría elemental; construye el plano mediador de un segmento y los simétricos de un punto respecto de un plano y de una recta; demuestra que el área de la proyección de un polígono plano es su área multiplicada por el coseno del ángulo diedro, y estudia la esfera, su ecuación, su intersección con un plano y su plano tangente. Las aplicaciones son los planos de un cristal y sus índices de Miller y el posicionamiento por satélites; los problemas tratan del tetraedro regular, de los puntos equidistantes de tres puntos, de la sombra de un panel solar, de los planos tangentes a una esfera que contienen una recta y de dos aviones cuyas rutas se cruzan.

Objetivos de aprendizaje

  1. Calcular la distancia de un punto a un plano y a una recta, entre planos paralelos, entre rectas paralelas y entre rectas que se cruzan, demostrando cada fórmula y hallando los puntos en que se alcanza.
  2. Hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan y demostrar que es única.
  3. Calcular ángulos entre rectas, entre una recta y un plano y entre dos planos, y demostrar que coinciden con los ángulos geométricos que definen.
  4. Construir el plano mediador de un segmento y los simétricos de un punto respecto de un plano y de una recta.
  5. Calcular áreas y volúmenes con los productos vectorial y mixto, y demostrar y aplicar la relación entre el área de un polígono plano y la de su proyección.
  6. Obtener el centro y el radio de una esfera a partir de su ecuación, decidir su posición respecto de un plano, hallar la circunferencia de corte y el plano tangente, y modelar con estas herramientas problemas de cristalografía, energía solar, navegación aérea y posicionamiento por satélites.

La distancia de un punto a un plano y a una recta

La clase sobre los vectores en el plano obtuvo la distancia de un punto a una recta del plano proyectando sobre el vector normal. En el espacio, la clase sobre las rectas y los planos escribió el plano que pasa por P0P_0 con vector normal n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) no nulo como el conjunto de los puntos XX con n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0, es decir, con una ecuación ax+by+cz=dax + by + cz = d, y la recta que pasa por AA con vector director u⃗\vec{u} como el conjunto de los puntos A+tu⃗A + t \vec{u}, con tt real. Si esto es así, la idea del plano vale para los planos del espacio sin cambios; para las rectas, en cambio, la normal ya no es una sola dirección, y el producto vectorial de la clase sobre el producto vectorial y el producto mixto ocupa su lugar. Los hechos de la geometría euclídea del espacio que se usan son los admitidos en la clase sobre los vectores en el espacio.

Sea FF un conjunto no vacío de puntos del espacio y PP un punto. Si entre las distancias de PP a los puntos de FF hay una que es menor o igual que todas las demás, ese número es la distancia de PP a FF, y se escribe d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F). Del mismo modo, si entre las distancias de los puntos de un conjunto FF a los de otro conjunto GG hay una menor o igual que todas, ese número es la distancia entre FF y GG, d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G).

La definición no garantiza que la distancia exista: entre infinitas distancias puede no haber una menor. Por eso los teoremas siguientes no se limitan a dar una fórmula; demuestran que hay un punto más cercano, y que es único.

TeoremaDistancia de un punto a un plano

Sea π\pi el plano ax+by+cz=dax + by + cz = d, con n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) no nulo, y sea P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0). El punto H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}, con λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}, está en π\pi, HP⃗\vec{HP} es normal a π\pi, y HH es el único punto de π\pi más cercano a PP. En consecuencia:

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Se proyecta sobre la normal el vector que va de un punto cualquiera del plano a PP, como en el plano; la minimalidad es el teorema de Pitágoras. La figura usa el plano 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 y el punto P=(2,3,3)P = (2, 3, 3).

Demostración

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    Elegimos un punto Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3) de π\pi y proyectamos QP⃗\vec{QP} sobre n⃗\vec{n} con el teorema de la proyección ortogonal de la clase sobre los vectores en el espacio. En la figura, Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0).

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    Como QQ está en π\pi, aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d, y el producto escalar del numerador es el primer miembro de la ecuación evaluado en PP, menos dd.

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    Por tanto, p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n} y H=P−p⃗H = P - \vec{p}. El vector QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} es la componente ortogonal de la proyección, perpendicular a n⃗\vec{n}; por la ecuación normal del plano, HH está en π\pi.

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    Sea XX cualquier punto de π\pi. Por la relación de Chasles, PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}; el primer sumando es múltiplo de n⃗\vec{n} y el segundo une dos puntos de π\pi, de modo que son ortogonales, y vale la igualdad de Pitágoras.

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    La igualdad se da solo si HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}, es decir, si X=HX = H: el pie de la perpendicular es el único punto más cercano, y la distancia es la norma de la proyección.

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    En la figura, QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right), QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9 y ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3, de modo que λ=1\lambda = 1, el pie es H=(0,2,1)H = (0, 2, 1) y la distancia es 33.

El signo del número ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d, que la fórmula oculta con el valor absoluto, también tiene significado. Como P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n}, es positivo cuando PP se alcanza desde el plano desplazándose en el sentido de n⃗\vec{n}, y negativo cuando se alcanza en el sentido contrario. Los puntos con ax+by+cz>dax + by + cz > d forman uno de los dos semiespacios que el plano determina, y los puntos con ax+by+cz<dax + by + cz < d forman el otro; dos puntos están del mismo lado del plano si y solo si la expresión tiene el mismo signo en ambos. Así, el origen y el punto (2,3,3)(2, 3, 3) están en lados opuestos del plano 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4, porque 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9.

TeoremaDistancia de un punto a una recta

Sea rr la recta A+tu⃗A + t \vec{u}, con u⃗\vec{u} no nulo, y sea PP un punto. El punto H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}, con t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}, es el único punto de rr más cercano a PP, HP⃗\vec{HP} es perpendicular a u⃗\vec{u}, y:

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

Se descompone AP⃗\vec{AP} en su proyección sobre u⃗\vec{u} y su componente ortogonal; la norma de esta última se expresa con la identidad de Lagrange. La figura usa la recta que pasa por A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) con vector director u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right) y el punto P=(3,3,1)P = (3, 3, 1).

Demostración

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    Por el teorema de la proyección ortogonal, AP⃗\vec{AP} es la suma de su proyección t0u⃗t_0 \vec{u} sobre u⃗\vec{u} y de un vector w⃗\vec{w} ortogonal a u⃗\vec{u}. El punto H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} está en rr y HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}.

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    Para un punto cualquiera X=A+tu⃗X = A + t \vec{u} de rr, el vector XP⃗\vec{XP} es w⃗\vec{w} más un múltiplo de u⃗\vec{u}; los dos sumandos son ortogonales y vale la igualdad de Pitágoras.

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    La igualdad se da solo si t=t0t = t_0: HH es el único punto más cercano y la distancia es la norma de w⃗\vec{w}, cuyo cuadrado da la igualdad de Pitágoras de la proyección.

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    Por la identidad de Lagrange de la clase sobre el producto vectorial, el numerador es el cuadrado de la norma de AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u}; se extrae la raíz.

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    En la figura, AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right) y AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9, de modo que t0=1t_0 = 1, H=(1,2,3)H = (1, 2, 3) y w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right), de norma 33. El producto vectorial da lo mismo.

La fórmula tiene una lectura geométrica directa: ∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} es el área del paralelogramo de lados AP⃗\vec{AP} y u⃗\vec{u}, y ∥u⃗∥\norma{\vec{u}} es la longitud de su base sobre la recta; el cociente es la altura, que es la distancia buscada. Cuando solo interesa la distancia, el producto vectorial evita calcular el pie de la perpendicular.