Geometría analítica del espacio: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad sobre la geometría analítica del espacio, que es la última del curso. Reúne en una cadena deductiva lo logrado en sus cuatro clases de contenido: la distancia entre dos puntos, obtenida aplicando dos veces el teorema de Pitágoras; el producto escalar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz y el ángulo entre dos vectores, que coincide con el de la geometría elemental; el producto vectorial y el producto mixto, nacidos del determinante de orden tres, con su lectura como área, como volumen y como criterio de coplanaridad; las ecuaciones de rectas y planos y la clasificación de sus posiciones relativas por el teorema de Rouché-Frobenius; y, por último, las distancias, los ángulos, las proyecciones y la esfera. Explica qué recibe la unidad de las anteriores y del curso Álgebra y Geometría I, qué quedó admitido sin demostración y hacia dónde conduce. Repite en una evaluación de salida las destrezas de la evaluación de entrada de la introducción, y termina con diez desafíos, de dificultad superior a la de los problemas de las clases, que combinan varias de ellas.

Objetivos de aprendizaje

Reconstruir la cadena de definiciones y teoremas de la unidad, desde la distancia entre dos puntos hasta la perpendicular común y la esfera, señalando en cada eslabón los resultados anteriores que su demostración usa.
Distinguir en la unidad lo demostrado de lo admitido, y relacionar sus resultados con los determinantes y los sistemas de la unidad sobre las matrices y con la geometría analítica del plano del curso I.
Resolver problemas que combinan los productos escalar, vectorial y mixto con las ecuaciones de rectas, planos y esferas, eligiendo en cada caso la herramienta y el sistema de ejes más convenientes.
Modelar con la geometría del espacio situaciones de la cristalografía, del dibujo técnico, de la óptica y de la navegación, y comunicar la solución con su planteamiento, su cálculo y su control de plausibilidad.

Lo logrado en la unidad

Las coordenadas y el producto escalar

La unidad comenzó declarando lo que no iba a demostrar. La clase sobre los vectores en el espacio y el producto escalar reunió en una lista los hechos de la geometría euclídea del espacio que se admiten y, con el teorema de Pitágoras aplicado dos veces, obtuvo la fórmula de la distancia. Los vectores se definieron como ternas, y el producto escalar conservó las propiedades del producto punto del plano, con la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la triangular. Ahora bien, en el espacio no hay una figura plana que lo contenga todo, y el orden se invirtió: el ángulo se definió por su coseno, que la desigualdad de Cauchy-Schwarz sitúa entre $-1$ y $1$ , y después se demostró que mide lo que la geometría elemental llama ángulo, porque el producto escalar depende solo de las longitudes de los lados de un triángulo. De ello se siguieron la proyección ortogonal, los cosenos directores y las matrices que conservan longitudes y ángulos.

El producto vectorial y el producto mixto

La búsqueda de un vector perpendicular a dos vectores dados condujo, en la clase sobre el producto vectorial y el producto mixto, a tres determinantes de orden dos. Si esto es así, las propiedades de los determinantes dieron de inmediato la anticonmutatividad y la bilinealidad; la identidad de Lagrange dio la norma como área del paralelogramo; y la fórmula del doble producto, que sustituye a la asociatividad, probó que los vectores perpendiculares a dos vectores no paralelos son los múltiplos de su producto vectorial. El producto mixto resultó ser un determinante de orden tres: se anula si y solo si los tres vectores son coplanarios, su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo y su cuadrado es el determinante de Gram. La clase separó, por último, lo que se demuestra de lo que se conviene en la regla de la mano derecha.

Las rectas y los planos

La clase sobre las rectas y los planos en el espacio redujo la pertenencia a un plano a una sola condición, $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ , con $\vec{n}$ el producto vectorial de los vectores directores, y de ella obtuvo la ecuación cartesiana, única salvo un factor. Con ello, los puntos comunes a varios planos son las soluciones de un sistema lineal, y el teorema de Rouché-Frobenius recibió su lectura geométrica: las soluciones de un sistema compatible en tres incógnitas forman un punto, una recta o un plano según el rango. De ella se dedujeron las posiciones relativas de planos y rectas, con el producto mixto $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)$ como criterio para distinguir las rectas que se cortan de las que se cruzan, y el haz de planos.

Las medidas

La clase sobre las distancias, los ángulos y los volúmenes en el espacio reunió los tres productos con las ecuaciones. Proyectando sobre la normal o sobre la recta, demostró las fórmulas de la distancia de un punto a un plano y a una recta, con el pie de la perpendicular como único punto más cercano, y el teorema central de la unidad: dos rectas que se cruzan tienen una única perpendicular común, cuya longitud es un producto mixto dividido entre una norma. Es la respuesta al problema de los dos túneles de metro que planteó la introducción. Demostró después que los ángulos entre rectas y planos definidos con productos escalares coinciden con los de la geometría elemental, que el área de la proyección de un polígono plano es su área por el coseno del diedro, y estudió la esfera y su plano tangente.

Por tanto, la unidad forma una cadena: los hechos admitidos dan la distancia; la distancia y las propiedades del producto escalar dan el ángulo; los determinantes dan el producto vectorial y el producto mixto; estos convierten la pertenencia a un plano en una ecuación lineal; los sistemas lineales clasifican las posiciones; y la proyección ortogonal, aplicada a esas ecuaciones, mide. La figura siguiente reúne los cuatro tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que se admiten sin demostración o proceden de unidades anteriores o del curso I, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

AHechos euclídeos del espacio. Se admiten la existencia y la unicidad del plano por tres puntos no alineados y del plano perpendicular a una recta por un punto, la libertad de elegir los ejes y la correspondencia entre puntos y ternas. Se admite sin demostración en esta unidad.
BÁreas y volúmenes elementales. Se admiten la base por la altura para el paralelogramo y el paralelepípedo, el tercio de la base por la altura para la pirámide y la aditividad del área; su fundamento es el cálculo integral. Se admite sin demostración en esta unidad.
CGeometría del plano. La distancia, el ángulo entre dos vectores, el lema de los paralelogramos y el signo del polinomio cuadrático según su discriminante, demostrados en el curso I. Se admite sin demostración en esta unidad.
DTrigonometría. El arcocoseno como biyección de $\icc{-1}{1}$ en $\icc{0}{\pi}$ , la identidad $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ y el teorema del coseno, demostrados en las unidades 1 y 2. Se admite sin demostración en esta unidad.
EMatrices y determinantes. La traspuesta de un producto, la inversa lateral, las propiedades del determinante y la equivalencia entre $\det A \neq 0$ y el rango máximo, demostradas en la unidad 4. Se admite sin demostración en esta unidad.
FRouché-Frobenius. El sistema $AX = B$ es compatible si y solo si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , y entonces tiene tantas incógnitas libres como el número de incógnitas menos el rango; demostrado en la unidad 4. Se admite sin demostración en esta unidad.
GProyección ortogonal. Si $\vec{v}$ no es nulo, todo vector se escribe de una única manera como un múltiplo de $\vec{v}$ más un vector ortogonal a $\vec{v}$ , y el cuadrado de su norma es la suma de los cuadrados de las normas de ambas partes. Se establece en: 6. Proyección ortogonal.
HPerpendiculares a dos vectores. Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son nulos ni paralelos, los vectores perpendiculares a ambos son exactamente los múltiplos de $\vec{u} \times \vec{v}$ . Se establece en: 14. Perpendiculares a dos vectores.

Tramo 1 Las coordenadas y el producto escalar
- Situar puntos en el espacio y calcular distancias, justificando la fórmula con el teorema de Pitágoras.
- Operar con vectores del espacio y demostrar con ellos propiedades de paralelogramos y paralelepípedos.
- Demostrar las desigualdades de Cauchy-Schwarz y triangular, y definir con ellas el ángulo entre dos vectores.
- Calcular proyecciones ortogonales y cosenos directores, y reconocer las matrices que conservan longitudes y ángulos.
1. Distancia entre dos puntos. La distancia entre $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ es $\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}$ , por el teorema de Pitágoras aplicado en un plano horizontal y después en uno vertical.
  Se apoya en: A (Hechos euclídeos del espacio), C (Geometría del plano). Se demuestra en: Vectores en el espacio y producto escalar.
2. Vectores y base canónica. Las ternas forman un espacio vectorial, todo vector es de una única manera combinación de $\vec{i}$ , $\vec{j}$ y $\vec{k}$ , y los vértices de un paralelogramo están en un plano.
  Usa: 1. Distancia entre dos puntos. Se apoya en: A (Hechos euclídeos del espacio), C (Geometría del plano). Se demuestra en: Vectores en el espacio y producto escalar.
3. Propiedades del producto escalar. El producto escalar es conmutativo y distributivo, permite sacar los números fuera y cumple $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ ; en consecuencia, ${\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2$ .
  Usa: 2. Vectores y base canónica. Se demuestra en: Vectores en el espacio y producto escalar.
4. Cauchy-Schwarz y desigualdad triangular. Se cumplen $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ y $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ , con igualdad en la primera si y solo si un vector es múltiplo del otro.
  Usa: 3. Propiedades del producto escalar. Se apoya en: C (Geometría del plano). Se demuestra en: Vectores en el espacio y producto escalar.
5. El ángulo es el geométrico. El número $\theta$ de $\icc{0}{\pi}$ con $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ es la medida del ángulo que forman las flechas de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ trazadas desde un mismo origen; en particular, dos vectores no nulos son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo.
  Usa: 1. Distancia entre dos puntos, 3. Propiedades del producto escalar, 4. Cauchy-Schwarz y desigualdad triangular. Se apoya en: A (Hechos euclídeos del espacio), C (Geometría del plano), D (Trigonometría). Se demuestra en: Vectores en el espacio y producto escalar.
6. Proyección ortogonal. Si $\vec{v} \neq \vec{0}$ , todo $\vec{u}$ es de una única manera $\vec{p} + \vec{w}$ , con $\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}$ y $\vec{w}$ ortogonal a $\vec{v}$ , y ${\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2$ .
  Usa: 3. Propiedades del producto escalar, 5. El ángulo es el geométrico. Se demuestra en: Vectores en el espacio y producto escalar.
7. Matrices ortogonales. Se cumple $\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)$ ; si las columnas de $A$ son unitarias y ortogonales, $A^{\mathsf{T}} A = I$ y $A$ conserva normas, distancias y ángulos.
  Usa: 3. Propiedades del producto escalar. Se apoya en: E (Matrices y determinantes). Se demuestra en: Vectores en el espacio y producto escalar.
Tramo 2 El producto vectorial y el producto mixto
- Definir el producto vectorial por un determinante formal y demostrar con los determinantes que es anticonmutativo y bilineal, pero no asociativo.
- Demostrar la perpendicularidad, la identidad de Lagrange, el criterio de paralelismo y la fórmula del doble producto vectorial.
- Identificar el producto mixto con un determinante de orden tres y leerlo como volumen y como criterio de coplanaridad.
- Separar en la regla de la mano derecha lo que se demuestra de lo que se conviene.
1. Propiedades algebraicas. El producto vectorial, cuyas componentes son tres determinantes de orden dos, es anticonmutativo y bilineal, cumple $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ y no es asociativo.
  Se apoya en: E (Matrices y determinantes). Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
2. Perpendicularidad. Se cumplen $\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ y $\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ : el producto vectorial es perpendicular a sus dos factores.
  Usa: 3. Propiedades del producto escalar, 8. Propiedades algebraicas. Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
3. Identidad de Lagrange. Para todos los vectores se cumple ${\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2$ .
  Usa: 3. Propiedades del producto escalar, 8. Propiedades algebraicas. Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
4. Área del paralelogramo. La norma $\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta$ es el área del paralelogramo de lados $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , y el triángulo $ABC$ tiene área $\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}$ .
  Usa: 5. El ángulo es el geométrico, 10. Identidad de Lagrange. Se apoya en: B (Áreas y volúmenes elementales), D (Trigonometría), G (Proyección ortogonal). Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
5. Producto nulo y paralelismo. Se cumple $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ si y solo si uno de los dos vectores es múltiplo del otro.
  Usa: 8. Propiedades algebraicas. Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
6. Doble producto vectorial. Se cumplen $\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}$ y la identidad de Jacobi.
  Usa: 3. Propiedades del producto escalar, 8. Propiedades algebraicas. Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
7. Perpendiculares a dos vectores. Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son nulos ni paralelos, un vector es perpendicular a ambos si y solo si es múltiplo de $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ , y entonces es $\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}$ .
  Usa: 9. Perpendicularidad, 12. Producto nulo y paralelismo, 13. Doble producto vectorial. Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
8. El producto mixto es un determinante. El producto mixto $\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)$ es el determinante de la matriz de filas $\vec{u}$ , $\vec{v}$ y $\vec{w}$ ; no cambia al permutar circularmente los factores, cambia de signo al intercambiar dos, y el punto y la cruz se intercambian.
  Usa: 3. Propiedades del producto escalar, 8. Propiedades algebraicas. Se apoya en: E (Matrices y determinantes). Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
9. Criterio de coplanaridad. Tres vectores son coplanarios, es decir, admiten una combinación nula con algún coeficiente no nulo, si y solo si su producto mixto es nulo.
  Usa: 15. El producto mixto es un determinante. Se apoya en: E (Matrices y determinantes). Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
10. Volumen y matriz de Gram. El paralelepípedo de aristas $\vec{u}$ , $\vec{v}$ y $\vec{w}$ tiene volumen $\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}$ , el tetraedro, su sexta parte, y el cuadrado del producto mixto es el determinante de Gram.
  Usa: 11. Área del paralelogramo, 15. El producto mixto es un determinante, 16. Criterio de coplanaridad. Se apoya en: B (Áreas y volúmenes elementales), G (Proyección ortogonal), E (Matrices y determinantes). Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
11. Caracterización y orientación. Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son nulos ni paralelos, $\vec{u} \times \vec{v}$ es el único vector perpendicular a ambos, con la norma del área y con producto mixto positivo; la regla de la mano derecha es un convenio.
  Usa: 11. Área del paralelogramo, 15. El producto mixto es un determinante. Se apoya en: H (Perpendiculares a dos vectores). Se demuestra en: Producto vectorial y producto mixto.
Tramo 3 Las rectas y los planos
- Escribir rectas en forma vectorial, paramétrica y simétrica, y planos en forma paramétrica y cartesiana, pasando de una a otra con el producto vectorial.
- Demostrar que todo plano tiene una ecuación cartesiana, única salvo un factor, y que toda ecuación de primer grado describe un plano.
- Decidir las posiciones relativas de planos y rectas con los rangos de un sistema lineal y con el producto mixto.
- Construir con el haz de planos los planos que contienen una recta y cumplen otra condición.
1. La recta por dos puntos. Por dos puntos distintos $A$ y $B$ pasa una única recta, $A + t \vec{AB}$ .
  Usa: 2. Vectores y base canónica. Se demuestra en: Rectas y planos en el espacio.
2. Combinaciones de dos vectores. Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son nulos ni paralelos, $\vec{w}$ es combinación de ellos si y solo si $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0$ , y entonces los coeficientes son únicos.
  Usa: 9. Perpendicularidad, 15. El producto mixto es un determinante. Se apoya en: F (Rouché-Frobenius), E (Matrices y determinantes). Se demuestra en: Rectas y planos en el espacio.
3. Ecuación cartesiana del plano. Un punto está en el plano $A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ si y solo si $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0$ ; todo plano tiene una ecuación $ax + by + cz = d$ , única salvo un factor, y toda ecuación así describe un plano.
  Usa: 12. Producto nulo y paralelismo, 20. Combinaciones de dos vectores. Se apoya en: H (Perpendiculares a dos vectores). Se demuestra en: Rectas y planos en el espacio.
4. Posiciones de los planos. Las soluciones de un sistema compatible en $x$ , $y$ y $z$ forman un punto, una recta o un plano según el rango sea $3$ , $2$ o $1$ ; de ello se siguen las posiciones de dos y de tres planos y las de una recta y un plano.
  Usa: 19. La recta por dos puntos, 20. Combinaciones de dos vectores, 21. Ecuación cartesiana del plano, 15. El producto mixto es un determinante. Se apoya en: F (Rouché-Frobenius), E (Matrices y determinantes), H (Perpendiculares a dos vectores). Se demuestra en: Rectas y planos en el espacio.
5. Posiciones de dos rectas. Dos rectas $A + t \vec{u}$ y $B + \lambda \vec{v}$ no paralelas se cortan si $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ y se cruzan si no; ese producto mixto es nulo si y solo si están en un plano.
  Usa: 19. La recta por dos puntos, 15. El producto mixto es un determinante, 21. Ecuación cartesiana del plano. Se apoya en: F (Rouché-Frobenius), E (Matrices y determinantes), H (Perpendiculares a dos vectores). Se demuestra en: Rectas y planos en el espacio.
6. Haz de planos. Los planos que contienen la recta común a dos planos secantes son las combinaciones de sus ecuaciones con coeficientes no ambos nulos.
  Usa: 20. Combinaciones de dos vectores, 22. Posiciones de los planos. Se demuestra en: Rectas y planos en el espacio.
Tramo 4 Las medidas
- Demostrar las fórmulas de las distancias de un punto a un plano y a una recta, con el pie de la perpendicular como único punto más cercano.
- Hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan, demostrar que es única y calcular su longitud con un producto mixto.
- Definir los ángulos entre rectas y planos, demostrar que coinciden con los geométricos y relacionar el área de una figura plana con la de su proyección.
- Estudiar la esfera, su intersección con un plano y su plano tangente, y aplicar todo ello a la cristalografía y al posicionamiento por satélites.
1. Distancia a un plano. La distancia de $(x_0, y_0, z_0)$ al plano $ax + by + cz = d$ es $\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ y solo se alcanza en el pie de la perpendicular; de ella salen los semiespacios y el simétrico de un punto.
  Usa: 21. Ecuación cartesiana del plano. Se apoya en: G (Proyección ortogonal). Se demuestra en: Distancias, ángulos y volúmenes en el espacio.
2. Distancia a una recta. La distancia de $P$ a la recta $A + t \vec{u}$ es $\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$ y solo se alcanza en el pie de la perpendicular.
  Usa: 10. Identidad de Lagrange, 19. La recta por dos puntos. Se apoya en: G (Proyección ortogonal). Se demuestra en: Distancias, ángulos y volúmenes en el espacio.
3. Perpendicular común. Dos rectas que se cruzan, $A + t \vec{u}$ y $B + s \vec{v}$ , tienen una única perpendicular común, y la distancia entre ellas es $\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}$ , que solo se alcanza entre sus pies.
  Usa: 10. Identidad de Lagrange, 15. El producto mixto es un determinante, 23. Posiciones de dos rectas. Se apoya en: F (Rouché-Frobenius), H (Perpendiculares a dos vectores), G (Proyección ortogonal). Se demuestra en: Distancias, ángulos y volúmenes en el espacio.
4. Ángulos con planos y diedros. El ángulo de una recta con un plano, de seno $\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}$ , es el que forma con su proyección, y el ángulo entre las normales de dos planos es, salvo suplemento, el del diedro.
  Usa: 4. Cauchy-Schwarz y desigualdad triangular, 13. Doble producto vectorial, 15. El producto mixto es un determinante, 25. Distancia a un plano. Se apoya en: D (Trigonometría), H (Perpendiculares a dos vectores), G (Proyección ortogonal). Se demuestra en: Distancias, ángulos y volúmenes en el espacio.
5. Área de la proyección. Si un polígono de área $S$ está en un plano que forma el ángulo diedro $\alpha$ con el plano $\pi$ , su proyección ortogonal sobre $\pi$ tiene área $S \cos \alpha$ .
  Usa: 11. Área del paralelogramo, 15. El producto mixto es un determinante, 25. Distancia a un plano, 28. Ángulos con planos y diedros. Se apoya en: B (Áreas y volúmenes elementales), H (Perpendiculares a dos vectores). Se demuestra en: Distancias, ángulos y volúmenes en el espacio.
6. La esfera y su plano tangente. Un plano a distancia $\delta$ del centro de una esfera de radio $R$ la corta en una circunferencia de radio $\sqrt{R^2 - \delta^2}$ si $\delta < R$ y la toca solo en el pie de la perpendicular si $\delta = R$ ; el plano tangente en $T$ tiene por normal $\vec{CT}$ .
  Usa: 1. Distancia entre dos puntos, 25. Distancia a un plano. Se apoya en: C (Geometría del plano), G (Proyección ortogonal). Se demuestra en: Distancias, ángulos y volúmenes en el espacio.

Hacia el cálculo. La cadena termina donde terminan los instrumentos elementales. El balance final del curso la sitúa entre los siete objetivos globales; Cálculo III reemplazará los planos por planos tangentes a superficies curvas y el determinante por el factor de volumen de una transformación.