Géométrie analytique de l’espace : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur la géométrie analytique de l’espace, qui est la dernière du cours. Elle réunit en une chaîne déductive l’acquis de ses quatre leçons de contenu : la distance entre deux points, obtenue en appliquant deux fois le théorème de Pythagore ; le produit scalaire, l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’angle de deux vecteurs, qui coïncide avec celui de la géométrie élémentaire ; le produit vectoriel et le produit mixte, nés du déterminant d’ordre trois, avec leur lecture comme aire, comme volume et comme critère de coplanarité ; les équations des droites et des plans et la classification de leurs positions relatives par le théorème de Rouché-Fontené (appelé théorème de Rouché-Frobenius dans le monde hispanophone) ; et, enfin, les distances, les angles, les projections et la sphère. Elle explique ce que l’unité reçoit des unités antérieures et du cours Algèbre et géométrie I, ce qui a été admis sans démonstration et où elle conduit. Elle reprend dans une évaluation de sortie les compétences de l’évaluation d’entrée de l’introduction, et elle se termine par dix défis, d’une difficulté supérieure à celle des problèmes des leçons, qui en combinent plusieurs.

Objectifs d’apprentissage

Reconstruire la chaîne des définitions et des théorèmes de l’unité, de la distance entre deux points jusqu’à la perpendiculaire commune et à la sphère, en signalant pour chaque maillon les résultats antérieurs qu’utilise sa démonstration.
Distinguer dans l’unité ce qui a été démontré de ce qui a été admis, et relier ses résultats aux déterminants et aux systèmes de l’unité sur les matrices ainsi qu’à la géométrie analytique du plan du cours I.
Résoudre des problèmes qui combinent les produits scalaire, vectoriel et mixte avec les équations de droites, de plans et de sphères, en choisissant dans chaque cas l’outil et le repère les plus commodes.
Modéliser avec la géométrie de l’espace des situations de la cristallographie, du dessin technique, de l’optique et de la navigation, et communiquer la solution avec sa mise en équation, son calcul et son contrôle de vraisemblance.

L’acquis de l’unité

Les coordonnées et le produit scalaire

L’unité commença par déclarer ce qu’elle n’allait pas démontrer. La leçon sur les vecteurs de l’espace et le produit scalaire réunit dans une liste les faits de la géométrie euclidienne de l’espace qui sont admis et, avec le théorème de Pythagore appliqué deux fois, obtint la formule de la distance. Les vecteurs furent définis comme des triplets, et le produit scalaire conserva les propriétés du produit scalaire du plan, avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité triangulaire. Or, dans l’espace, il n’y a pas de figure plane qui contienne tout, et l’ordre fut inversé : l’angle fut défini par son cosinus, que l’inégalité de Cauchy-Schwarz place entre $-1$ et $1$ , et l’on démontra ensuite qu’il mesure ce que la géométrie élémentaire appelle un angle, parce que le produit scalaire ne dépend que des longueurs des côtés d’un triangle. Il en découla le projeté orthogonal, les cosinus directeurs et les matrices qui conservent les longueurs et les angles.

Le produit vectoriel et le produit mixte

La recherche d’un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés conduisit, dans la leçon sur le produit vectoriel et le produit mixte, à trois déterminants d’ordre deux. S’il en est ainsi, les propriétés des déterminants donnèrent aussitôt l’anticommutativité et la bilinéarité ; l’identité de Lagrange donna la norme comme aire du parallélogramme ; et la formule du double produit vectoriel, qui tient lieu d’associativité, prouva que les vecteurs orthogonaux à deux vecteurs non colinéaires sont les multiples de leur produit vectoriel. Le produit mixte se révéla être un déterminant d’ordre trois : il est nul si et seulement si les trois vecteurs sont coplanaires, sa valeur absolue est le volume du parallélépipède et son carré est le déterminant de Gram. La leçon sépara, enfin, ce que l’on démontre sur le sens du produit vectoriel de ce que l’on convient en dessinant les axes, le repère direct, et de ce que l’on admet, la règle de la main droite.

Les droites et les plans

La leçon sur les droites et les plans de l’espace ramena l’appartenance à un plan à une seule condition, $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ , où $\vec{n}$ est le produit vectoriel des vecteurs directeurs, et en tira l’équation cartésienne, unique à un facteur près. Dès lors, les points communs à plusieurs plans sont les solutions d’un système linéaire, et le théorème de Rouché-Fontené reçut sa lecture géométrique : les solutions d’un système compatible à trois inconnues forment un point, une droite ou un plan selon le rang. On en déduisit les positions relatives des plans et des droites, avec le produit mixte $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)$ comme critère pour distinguer les droites sécantes des droites non coplanaires, ainsi que le faisceau de plans.

Les mesures

La leçon sur les distances, les angles et les volumes dans l’espace réunit les trois produits et les équations. En projetant sur la normale ou sur la droite, elle démontra les formules de la distance d’un point à un plan et à une droite, avec le pied de la perpendiculaire comme unique point le plus proche, et le théorème central de l’unité : deux droites non coplanaires ont une unique perpendiculaire commune, dont la longueur est un produit mixte divisé par une norme. C’est la réponse au problème des deux tunnels de métro que posait l’introduction. Elle démontra ensuite que les angles entre droites et plans définis par des produits scalaires coïncident avec ceux de la géométrie élémentaire, que l’aire de la projection d’un polygone plan est son aire multipliée par le cosinus de l’angle dièdre, et elle étudia la sphère et son plan tangent.

Par conséquent, l’unité forme une chaîne : les faits admis donnent la distance ; la distance et les propriétés du produit scalaire donnent l’angle ; les déterminants donnent le produit vectoriel et le produit mixte ; ceux-ci transforment l’appartenance à un plan en une équation linéaire ; les systèmes linéaires classent les positions ; et la projection orthogonale, appliquée à ces équations, mesure. La figure ci-dessous réunit les quatre tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait pointillé au maillon où il est établi, sauf ceux qui sont admis sans démonstration ou proviennent d’unités antérieures ou du cours I, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

AFaits euclidiens de l’espace. On admet l’existence et l’unicité du plan passant par trois points non alignés et du plan perpendiculaire à une droite passant par un point, la liberté de choisir les axes et la correspondance entre points et triplets. Admis sans démonstration dans cette unité.
BAires et volumes élémentaires. On admet la base fois la hauteur pour le parallélogramme et le parallélépipède, la moitié de cette aire pour le triangle, le tiers de la base fois la hauteur pour la pyramide et l’additivité de l’aire ; leur fondement est le calcul intégral. Admis sans démonstration dans cette unité.
CGéométrie du plan. La distance, les propriétés du produit scalaire, l’angle de deux vecteurs, le lemme des vecteurs égaux et des parallélogrammes, la mise sous forme canonique et le signe du trinôme du second degré selon son discriminant, démontrés dans le cours I. Admis sans démonstration dans cette unité.
DTrigonométrie. L’arc cosinus comme bijection de $\icc{-1}{1}$ sur $\icc{0}{\pi}$ , l’identité $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ et la loi des cosinus, démontrés dans les unités 1 et 2. Admis sans démonstration dans cette unité.
EMatrices et déterminants. La transposée d’un produit, l’inverse d’un seul côté, les propriétés du déterminant, la règle de Cramer et l’équivalence entre $\det A \neq 0$ et le rang maximal, démontrées dans l’unité 4. Admis sans démonstration dans cette unité.
FRouché-Fontené. Le système $AX = B$ est compatible si et seulement si $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , et il a alors autant d’inconnues libres que le nombre d’inconnues moins le rang ; démontré dans l’unité 4. Admis sans démonstration dans cette unité.
GProjeté orthogonal. Si $\vec{v}$ n’est pas nul, tout vecteur s’écrit d’une unique manière comme un multiple de $\vec{v}$ plus un vecteur orthogonal à $\vec{v}$ , et le carré de sa norme est la somme des carrés des normes des deux composantes. Établi dans: 6. Projeté orthogonal.
HVecteurs orthogonaux à deux vecteurs. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont ni nuls ni colinéaires, les vecteurs orthogonaux aux deux sont exactement les multiples de $\vec{u} \times \vec{v}$ . Établi dans: 14. Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs.

Tronçon 1 Les coordonnées et le produit scalaire
- Situer des points dans l’espace et calculer des distances, en justifiant la formule par le théorème de Pythagore.
- Calculer avec les vecteurs de l’espace et démontrer avec eux des propriétés des parallélogrammes et des parallélépipèdes.
- Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’inégalité triangulaire, et définir avec elles l’angle de deux vecteurs.
- Calculer des projetés orthogonaux et des cosinus directeurs, et reconnaître les matrices qui conservent les longueurs et les angles.
1. Distance entre deux points. La distance entre $(x_1, y_1, z_1)$ et $(x_2, y_2, z_2)$ est $\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}$ , par le théorème de Pythagore appliqué dans un plan horizontal puis dans un plan vertical.
  Repose sur: A (Faits euclidiens de l’espace), C (Géométrie du plan). Démontré dans: Vecteurs de l’espace et produit scalaire.
2. Vecteurs et base canonique. Les triplets forment un espace vectoriel, tout vecteur est d’une unique manière combinaison de $\vec{i}$ , $\vec{j}$ et $\vec{k}$ , et si $\vec{PQ} = \vec{RS}$ et les quatre points ne sont pas alignés, ils sont dans un plan et $PQSR$ est un parallélogramme, et réciproquement.
  Utilise: 1. Distance entre deux points. Repose sur: A (Faits euclidiens de l’espace), C (Géométrie du plan). Démontré dans: Vecteurs de l’espace et produit scalaire.
3. Propriétés du produit scalaire. Le produit scalaire est commutatif et distributif, permet de sortir les nombres en facteur et vérifie $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ ; par conséquent, ${\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2$ .
  Utilise: 2. Vecteurs et base canonique. Repose sur: C (Géométrie du plan). Démontré dans: Vecteurs de l’espace et produit scalaire.
4. Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire. On a $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ et $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ , avec égalité dans la première si et seulement si un vecteur est multiple de l’autre.
  Utilise: 3. Propriétés du produit scalaire. Repose sur: C (Géométrie du plan). Démontré dans: Vecteurs de l’espace et produit scalaire.
5. L’angle est l’angle géométrique. Le nombre $\theta$ de $\icc{0}{\pi}$ tel que $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ est la mesure de l’angle que forment les flèches de $\vec{u}$ et de $\vec{v}$ tracées depuis une même origine ; en particulier, deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
  Utilise: 1. Distance entre deux points, 3. Propriétés du produit scalaire, 4. Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire. Repose sur: A (Faits euclidiens de l’espace), C (Géométrie du plan), D (Trigonométrie). Démontré dans: Vecteurs de l’espace et produit scalaire.
6. Projeté orthogonal. Si $\vec{v} \neq \vec{0}$ , tout $\vec{u}$ s’écrit d’une unique manière $\vec{p} + \vec{w}$ , avec $\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}$ et $\vec{w}$ orthogonal à $\vec{v}$ , et ${\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2$ .
  Utilise: 3. Propriétés du produit scalaire, 5. L’angle est l’angle géométrique. Démontré dans: Vecteurs de l’espace et produit scalaire.
7. Matrices orthogonales. On a $\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)$ ; si les colonnes de $A$ sont unitaires et orthogonales, $A^{\mathsf{T}} A = I$ et $A$ conserve les normes, les distances et les angles.
  Utilise: 3. Propriétés du produit scalaire. Repose sur: E (Matrices et déterminants). Démontré dans: Vecteurs de l’espace et produit scalaire.
Tronçon 2 Le produit vectoriel et le produit mixte
- Définir le produit vectoriel par un déterminant formel et démontrer avec les déterminants qu’il est anticommutatif et bilinéaire, mais non associatif.
- Démontrer l’orthogonalité, l’identité de Lagrange, le critère de colinéarité et la formule du double produit vectoriel.
- Identifier le produit mixte à un déterminant d’ordre trois et le lire comme volume et comme critère de coplanarité.
- Séparer, dans le sens du produit vectoriel, ce qui se démontre de la convention du repère direct et de la règle de la main droite, qui est admise.
1. Propriétés algébriques. Le produit vectoriel, dont les composantes sont trois déterminants d’ordre deux, est anticommutatif et bilinéaire, vérifie $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ et n’est pas associatif.
  Repose sur: E (Matrices et déterminants). Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
2. Orthogonalité. On a $\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ et $\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ : le produit vectoriel est orthogonal à ses deux facteurs.
  Utilise: 3. Propriétés du produit scalaire, 8. Propriétés algébriques. Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
3. Identité de Lagrange. Pour tous vecteurs, on a ${\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2$ .
  Utilise: 3. Propriétés du produit scalaire, 8. Propriétés algébriques. Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
4. Aire du parallélogramme. La norme $\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta$ est l’aire du parallélogramme de côtés $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , et le triangle $ABC$ a pour aire $\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}$ .
  Utilise: 5. L’angle est l’angle géométrique, 10. Identité de Lagrange. Repose sur: B (Aires et volumes élémentaires), D (Trigonométrie), G (Projeté orthogonal). Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
5. Produit nul et colinéarité. On a $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ si et seulement si l’un des deux vecteurs est multiple de l’autre.
  Utilise: 8. Propriétés algébriques. Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
6. Double produit vectoriel. On a $\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}$ et l’identité de Jacobi.
  Utilise: 3. Propriétés du produit scalaire, 8. Propriétés algébriques. Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
7. Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont ni nuls ni colinéaires, un vecteur est orthogonal aux deux si et seulement s’il est multiple de $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ , et il est alors $\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}$ .
  Utilise: 9. Orthogonalité, 12. Produit nul et colinéarité, 13. Double produit vectoriel. Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
8. Le produit mixte est un déterminant. Le produit mixte $\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)$ est le déterminant de la matrice de lignes $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ; il ne change pas quand on permute circulairement les facteurs, il change de signe quand on en échange deux, et le point et la croix s’échangent.
  Utilise: 3. Propriétés du produit scalaire, 8. Propriétés algébriques. Repose sur: E (Matrices et déterminants). Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
9. Critère de coplanarité. Trois vecteurs sont coplanaires, c’est-à-dire qu’ils admettent une combinaison nulle à coefficients non tous nuls, si et seulement si leur produit mixte est nul.
  Utilise: 15. Le produit mixte est un déterminant. Repose sur: E (Matrices et déterminants). Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
10. Volume et matrice de Gram. Le parallélépipède d’arêtes $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ a pour volume $\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}$ , le tétraèdre, le sixième de ce volume, et le carré du produit mixte est le déterminant de Gram.
  Utilise: 11. Aire du parallélogramme, 12. Produit nul et colinéarité, 15. Le produit mixte est un déterminant, 16. Critère de coplanarité. Repose sur: B (Aires et volumes élémentaires), G (Projeté orthogonal), E (Matrices et déterminants). Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
11. Caractérisation et orientation. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont ni nuls ni colinéaires, $\vec{u} \times \vec{v}$ est l’unique vecteur orthogonal aux deux, ayant pour norme l’aire et un produit mixte strictement positif ; qu’il pointe là où pointe le pouce de la main droite est admis, une fois convenu le dessin des axes.
  Utilise: 11. Aire du parallélogramme, 15. Le produit mixte est un déterminant. Repose sur: H (Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs). Démontré dans: Produit vectoriel et produit mixte.
Tronçon 3 Les droites et les plans
- Écrire les droites sous forme vectorielle, paramétrique et symétrique, et les plans sous forme paramétrique et cartésienne, en passant de l’une à l’autre par le produit vectoriel.
- Démontrer que tout plan possède une équation cartésienne, unique à un facteur près, et que toute équation du premier degré décrit un plan.
- Décider des positions relatives des plans et des droites par les rangs d’un système linéaire et par le produit mixte.
- Construire avec le faisceau de plans les plans qui contiennent une droite et satisfont une autre condition.
1. La droite qui passe par deux points. Par deux points distincts $A$ et $B$ passe une unique droite, $A + t \vec{AB}$ .
  Utilise: 2. Vecteurs et base canonique. Démontré dans: Droites et plans de l’espace.
2. Combinaisons de deux vecteurs. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont ni nuls ni colinéaires, $\vec{w}$ est combinaison d’eux si et seulement si $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0$ , et les coefficients sont alors uniques.
  Utilise: 9. Orthogonalité, 15. Le produit mixte est un déterminant. Repose sur: F (Rouché-Fontené), E (Matrices et déterminants). Démontré dans: Droites et plans de l’espace.
3. Équation cartésienne du plan. Un point est dans le plan $A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ si et seulement si $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0$ ; tout plan possède une équation $ax + by + cz = d$ , unique à un facteur près, et toute équation de ce type décrit un plan.
  Utilise: 12. Produit nul et colinéarité, 20. Combinaisons de deux vecteurs. Repose sur: H (Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs). Démontré dans: Droites et plans de l’espace.
4. Positions des plans. Les solutions d’un système compatible en $x$ , $y$ et $z$ forment un point, une droite ou un plan selon que le rang vaut $3$ , $2$ ou $1$ ; il en résulte les positions de deux et de trois plans et celles d’une droite et d’un plan.
  Utilise: 19. La droite qui passe par deux points, 20. Combinaisons de deux vecteurs, 21. Équation cartésienne du plan, 15. Le produit mixte est un déterminant. Repose sur: F (Rouché-Fontené), E (Matrices et déterminants), H (Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs). Démontré dans: Droites et plans de l’espace.
5. Positions de deux droites. Deux droites $A + t \vec{u}$ et $B + \lambda \vec{v}$ non parallèles sont sécantes si $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ et non coplanaires sinon ; ce produit mixte est nul si et seulement si elles sont dans un même plan.
  Utilise: 19. La droite qui passe par deux points, 15. Le produit mixte est un déterminant, 21. Équation cartésienne du plan. Repose sur: F (Rouché-Fontené), E (Matrices et déterminants), H (Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs). Démontré dans: Droites et plans de l’espace.
6. Faisceau de plans. Les plans qui contiennent la droite commune à deux plans sécants sont les combinaisons de leurs équations à coefficients non tous deux nuls.
  Utilise: 20. Combinaisons de deux vecteurs, 22. Positions des plans. Démontré dans: Droites et plans de l’espace.
Tronçon 4 Les mesures
- Démontrer les formules des distances d’un point à un plan et à une droite, avec le pied de la perpendiculaire comme unique point le plus proche.
- Trouver la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires, démontrer qu’elle est unique et calculer sa longueur par un produit mixte.
- Définir les angles entre droites et plans, démontrer qu’ils coïncident avec les angles géométriques et relier l’aire d’une figure plane à celle de sa projection.
- Étudier la sphère, son intersection avec un plan et son plan tangent, et appliquer tout cela à la cristallographie et au positionnement par satellite.
1. Distance à un plan. La distance de $(x_0, y_0, z_0)$ au plan $ax + by + cz = d$ est $\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ et n’est atteinte qu’au pied de la perpendiculaire ; on en tire les demi-espaces et le symétrique d’un point.
  Utilise: 21. Équation cartésienne du plan. Repose sur: G (Projeté orthogonal). Démontré dans: Distances, angles et volumes dans l’espace.
2. Distance à une droite. La distance de $P$ à la droite $A + t \vec{u}$ est $\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$ et n’est atteinte qu’au pied de la perpendiculaire.
  Utilise: 10. Identité de Lagrange, 19. La droite qui passe par deux points. Repose sur: G (Projeté orthogonal). Démontré dans: Distances, angles et volumes dans l’espace.
3. Perpendiculaire commune. Deux droites non coplanaires, $A + t \vec{u}$ et $B + s \vec{v}$ , ont une unique perpendiculaire commune, et la distance entre elles est $\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}$ , qui n’est atteinte qu’entre ses pieds.
  Utilise: 10. Identité de Lagrange, 15. Le produit mixte est un déterminant, 23. Positions de deux droites. Repose sur: E (Matrices et déterminants), H (Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs), G (Projeté orthogonal). Démontré dans: Distances, angles et volumes dans l’espace.
4. Angles avec les plans et angles dièdres. L’angle d’une droite et d’un plan, de sinus $\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}$ , est celui qu’elle forme avec sa projection, et l’angle des normales de deux plans est, au supplément près, celui du dièdre.
  Utilise: 4. Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire, 11. Aire du parallélogramme, 13. Double produit vectoriel, 15. Le produit mixte est un déterminant, 25. Distance à un plan. Repose sur: D (Trigonométrie), H (Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs), G (Projeté orthogonal). Démontré dans: Distances, angles et volumes dans l’espace.
5. Aire de la projection. Si un polygone d’aire $S$ est dans un plan qui forme l’angle dièdre $\alpha$ avec le plan $\pi$ , avec $\alpha = 0$ s’ils sont parallèles, sa projection orthogonale sur $\pi$ a pour aire $S \cos \alpha$ .
  Utilise: 11. Aire du parallélogramme, 15. Le produit mixte est un déterminant, 25. Distance à un plan, 28. Angles avec les plans et angles dièdres. Repose sur: B (Aires et volumes élémentaires), H (Vecteurs orthogonaux à deux vecteurs). Démontré dans: Distances, angles et volumes dans l’espace.
6. La sphère et son plan tangent. Un plan à la distance $\delta$ du centre d’une sphère de rayon $R$ la coupe selon un cercle de rayon $\sqrt{R^2 - \delta^2}$ si $\delta < R$ et ne la touche qu’au pied de la perpendiculaire si $\delta = R$ ; le plan tangent en $T$ a pour normale $\vec{CT}$ .
  Utilise: 1. Distance entre deux points, 25. Distance à un plan. Repose sur: C (Géométrie du plan), G (Projeté orthogonal). Démontré dans: Distances, angles et volumes dans l’espace.

Vers l’analyse. La chaîne s’arrête là où s’arrêtent les instruments élémentaires. Le bilan final du cours la situe parmi les sept objectifs globaux ; Analyse III remplacera les plans par des plans tangents à des surfaces courbes et le déterminant par le facteur de volume d’une transformation.