Geometria analitica dello spazio: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità sulla geometria analitica dello spazio, che è l’ultima del corso. Riunisce in una catena deduttiva ciò che si è ottenuto nelle sue quattro lezioni di contenuto: la distanza tra due punti, ottenuta applicando due volte il teorema di Pitagora; il prodotto scalare, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e l’angolo tra due vettori, che coincide con quello della geometria elementare; il prodotto vettoriale e il prodotto misto, nati dal determinante di ordine tre, con la loro lettura come area, come volume e come criterio di complanarità; le equazioni di rette e piani e la classificazione delle loro posizioni reciproche mediante il teorema di Rouché-Capelli (nel mondo ispanofono, teorema di Rouché-Frobenius); e, infine, le distanze, gli angoli, le proiezioni e la sfera. Spiega che cosa l’unità riceve dalle unità anteriori e dal corso Algebra e Geometria I, che cosa si è ammesso senza dimostrazione e dove conduce. Ripete in una valutazione d’uscita le abilità della valutazione d’ingresso dell’introduzione e termina con dieci sfide, di difficoltà superiore a quella dei problemi delle lezioni, che ne combinano diverse.

Obiettivi di apprendimento

Ricostruire la catena di definizioni e teoremi dell’unità, dalla distanza tra due punti fino alla perpendicolare comune e alla sfera, indicando in ogni anello i risultati anteriori che la sua dimostrazione usa.
Distinguere nell’unità ciò che è dimostrato da ciò che è ammesso, e collegare i suoi risultati con i determinanti e i sistemi dell’unità sulle matrici e con la geometria analitica del piano del corso I.
Risolvere problemi che combinano i prodotti scalare, vettoriale e misto con le equazioni di rette, piani e sfere, scegliendo in ciascun caso lo strumento e il sistema di assi più convenienti.
Modellizzare con la geometria dello spazio situazioni della cristallografia, del disegno tecnico, dell’ottica e della navigazione, e comunicare la soluzione con la sua impostazione, il suo calcolo e il suo controllo di plausibilità.

Ciò che l’unità ha ottenuto

Le coordinate e il prodotto scalare

L’unità cominciò dichiarando ciò che non avrebbe dimostrato. La lezione su vettori nello spazio e il prodotto scalare riunì in un elenco i fatti della geometria euclidea dello spazio che si ammettono e, con il teorema di Pitagora applicato due volte, ottenne la formula della distanza. I vettori furono definiti come terne, e il prodotto scalare conservò le proprietà del prodotto scalare del piano, con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la disuguaglianza triangolare. Ora, nello spazio non c’è una figura piana che contenga tutto, e l’ordine si invertì: l’angolo fu definito mediante il suo coseno, che la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz colloca tra $-1$ e $1$ , e poi si dimostrò che misura ciò che la geometria elementare chiama angolo, perché il prodotto scalare dipende solo dalle lunghezze dei lati di un triangolo. Ne seguirono la proiezione ortogonale, i coseni direttori e le matrici che conservano lunghezze e angoli.

Il prodotto vettoriale e il prodotto misto

La ricerca di un vettore perpendicolare a due vettori dati condusse, nella lezione su prodotto vettoriale e prodotto misto, a tre determinanti di ordine due. Se è così, le proprietà dei determinanti diedero subito l’anticommutatività e la bilinearità; l’identità di Lagrange diede la norma come area del parallelogramma; e la formula del doppio prodotto vettoriale, che sostituisce l’associatività, dimostrò che i vettori perpendicolari a due vettori non paralleli sono i multipli del loro prodotto vettoriale. Il prodotto misto risultò essere un determinante di ordine tre: si annulla se e solo se i tre vettori sono complanari, il suo valore assoluto è il volume del parallelepipedo e il suo quadrato è il determinante di Gram. La lezione separò, infine, ciò che si dimostra sul verso del prodotto vettoriale da ciò che si conviene nel disegnare gli assi, il sistema destrorso, e da ciò che si ammette, la regola della mano destra.

Le rette e i piani

La lezione su rette e piani nello spazio ridusse l’appartenenza a un piano a un’unica condizione, $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ , con $\vec{n}$ il prodotto vettoriale dei vettori direttori, e da essa ottenne l’equazione cartesiana, unica a meno di un fattore. Con ciò, i punti comuni a più piani sono le soluzioni di un sistema lineare, e il teorema di Rouché-Capelli ricevette la sua lettura geometrica: le soluzioni di un sistema compatibile in tre incognite formano un punto, una retta o un piano a seconda del rango. Da essa si dedussero le posizioni reciproche di piani e rette, con il prodotto misto $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)$ come criterio per distinguere le rette incidenti da quelle sghembe, e il fascio di piani.

Le misure

La lezione su distanze, angoli e volumi nello spazio riunì i tre prodotti con le equazioni. Proiettando sulla normale o sulla retta, dimostrò le formule della distanza di un punto da un piano e da una retta, con il piede della perpendicolare come unico punto più vicino, e il teorema centrale dell’unità: due rette sghembe hanno un’unica perpendicolare comune, la cui lunghezza è un prodotto misto diviso per una norma. È la risposta al problema delle due gallerie della metropolitana posto dall’introduzione. Dimostrò poi che gli angoli fra rette e piani definiti con prodotti scalari coincidono con quelli della geometria elementare, che l’area della proiezione di un poligono piano è la sua area per il coseno del diedro, e studiò la sfera e il suo piano tangente.

Pertanto, l’unità forma una catena: i fatti ammessi danno la distanza; la distanza e le proprietà del prodotto scalare danno l’angolo; i determinanti danno il prodotto vettoriale e il prodotto misto; questi trasformano l’appartenenza a un piano in un’equazione lineare; i sistemi lineari classificano le posizioni; e la proiezione ortogonale, applicata a quelle equazioni, misura. La figura seguente riunisce i quattro tratti in un’unica catena. Ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che vi si appoggiano e da una punteggiata all’anello in cui si stabilisce, salvo quelli che si ammettono senza dimostrazione o provengono da unità anteriori o dal corso I, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

AFatti euclidei dello spazio. Si ammettono l’esistenza e l’unicità del piano per tre punti non allineati e del piano perpendicolare a una retta per un punto, la libertà di scegliere gli assi e la corrispondenza tra punti e terne. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BAree e volumi elementari. Si ammettono la base per l’altezza per il parallelogramma e il parallelepipedo, la metà di quell’area per il triangolo, un terzo della base per l’altezza per la piramide e l’additività dell’area; il loro fondamento è il calcolo integrale. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CGeometria del piano. La distanza, le proprietà del prodotto scalare, l’angolo tra due vettori, il lemma dei vettori uguali e dei parallelogrammi, il completamento del quadrato e il segno del polinomio di secondo grado secondo il suo discriminante, dimostrati nel corso I. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DTrigonometria. L’arcocoseno come biiezione da $\icc{-1}{1}$ a $\icc{0}{\pi}$ , l’identità $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ e il teorema del coseno, dimostrati nelle unità 1 e 2. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
EMatrici e determinanti. La trasposta di un prodotto, l’inversa unilaterale, le proprietà del determinante, la regola di Cramer e l’equivalenza tra $\det A \neq 0$ e il rango massimo, dimostrate nell’unità 4. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FRouché-Capelli. Il sistema $AX = B$ è compatibile se e solo se $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , e allora ha tante incognite libere quante il numero delle incognite meno il rango; dimostrato nell’unità 4. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
GProiezione ortogonale. Se $\vec{v}$ non è nullo, ogni vettore si scrive in un unico modo come un multiplo di $\vec{v}$ più un vettore ortogonale a $\vec{v}$ , e il quadrato della sua norma è la somma dei quadrati delle norme dei due addendi. Stabilito in: 6. Proiezione ortogonale.
HPerpendicolari a due vettori. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ non sono né nulli né paralleli, i vettori perpendicolari a entrambi sono esattamente i multipli di $\vec{u} \times \vec{v}$ . Stabilito in: 14. Perpendicolari a due vettori.

Tratto 1 Le coordinate e il prodotto scalare
- Collocare punti nello spazio e calcolare distanze, giustificando la formula con il teorema di Pitagora.
- Operare con i vettori dello spazio e dimostrare con essi proprietà di parallelogrammi e parallelepipedi.
- Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la disuguaglianza triangolare, e definire con esse l’angolo tra due vettori.
- Calcolare proiezioni ortogonali e coseni direttori, e riconoscere le matrici che conservano lunghezze e angoli.
1. Distanza tra due punti. La distanza tra $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$ è $\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}$ , per il teorema di Pitagora applicato in un piano orizzontale e poi in uno verticale.
  Si appoggia su: A (Fatti euclidei dello spazio), C (Geometria del piano). Dimostrato in: Vettori nello spazio e prodotto scalare.
2. Vettori e base canonica. Le terne formano uno spazio vettoriale, ogni vettore è in un unico modo combinazione di $\vec{i}$ , $\vec{j}$ e $\vec{k}$ , e se $\vec{PQ} = \vec{RS}$ e i quattro punti non sono allineati, essi stanno in un piano e $PQSR$ è un parallelogramma, e viceversa.
  Usa: 1. Distanza tra due punti. Si appoggia su: A (Fatti euclidei dello spazio), C (Geometria del piano). Dimostrato in: Vettori nello spazio e prodotto scalare.
3. Proprietà del prodotto scalare. Il prodotto scalare è commutativo e distributivo, permette di portare fuori i numeri e soddisfa $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ ; di conseguenza, ${\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2$ .
  Usa: 2. Vettori e base canonica. Si appoggia su: C (Geometria del piano). Dimostrato in: Vettori nello spazio e prodotto scalare.
4. Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Valgono $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ e $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ , con l’uguaglianza nella prima se e solo se un vettore è multiplo dell’altro.
  Usa: 3. Proprietà del prodotto scalare. Si appoggia su: C (Geometria del piano). Dimostrato in: Vettori nello spazio e prodotto scalare.
5. L’angolo è quello geometrico. Il numero $\theta$ di $\icc{0}{\pi}$ tale che $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ è la misura dell’angolo formato dalle frecce di $\vec{u}$ e $\vec{v}$ tracciate da una stessa origine; in particolare, due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo.
  Usa: 1. Distanza tra due punti, 3. Proprietà del prodotto scalare, 4. Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Si appoggia su: A (Fatti euclidei dello spazio), C (Geometria del piano), D (Trigonometria). Dimostrato in: Vettori nello spazio e prodotto scalare.
6. Proiezione ortogonale. Se $\vec{v} \neq \vec{0}$ , ogni $\vec{u}$ è in un unico modo $\vec{p} + \vec{w}$ , con $\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}$ e $\vec{w}$ ortogonale a $\vec{v}$ , e ${\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2$ .
  Usa: 3. Proprietà del prodotto scalare, 5. L’angolo è quello geometrico. Dimostrato in: Vettori nello spazio e prodotto scalare.
7. Matrici ortogonali. Vale $\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)$ ; se le colonne di $A$ sono versori ortogonali, $A^{\mathsf{T}} A = I$ e $A$ conserva norme, distanze e angoli.
  Usa: 3. Proprietà del prodotto scalare. Si appoggia su: E (Matrici e determinanti). Dimostrato in: Vettori nello spazio e prodotto scalare.
Tratto 2 Il prodotto vettoriale e il prodotto misto
- Definire il prodotto vettoriale mediante un determinante formale e dimostrare con i determinanti che è anticommutativo e bilineare, ma non associativo.
- Dimostrare la perpendicolarità, l’identità di Lagrange, il criterio di parallelismo e la formula del doppio prodotto vettoriale.
- Identificare il prodotto misto con un determinante di ordine tre e leggerlo come volume e come criterio di complanarità.
- Separare, nel verso del prodotto vettoriale, ciò che si dimostra dalla convenzione del sistema destrorso e dalla regola della mano destra, che si ammette.
1. Proprietà algebriche. Il prodotto vettoriale, le cui componenti sono tre determinanti di ordine due, è anticommutativo e bilineare, soddisfa $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ e non è associativo.
  Si appoggia su: E (Matrici e determinanti). Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
2. Perpendicolarità. Valgono $\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ e $\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ : il prodotto vettoriale è perpendicolare ai suoi due fattori.
  Usa: 3. Proprietà del prodotto scalare, 8. Proprietà algebriche. Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
3. Identità di Lagrange. Per tutti i vettori vale ${\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2$ .
  Usa: 3. Proprietà del prodotto scalare, 8. Proprietà algebriche. Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
4. Area del parallelogramma. La norma $\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta$ è l’area del parallelogramma di lati $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , e il triangolo $ABC$ ha area $\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}$ .
  Usa: 5. L’angolo è quello geometrico, 10. Identità di Lagrange. Si appoggia su: B (Aree e volumi elementari), D (Trigonometria), G (Proiezione ortogonale). Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
5. Prodotto nullo e parallelismo. Vale $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ se e solo se uno dei due vettori è multiplo dell’altro.
  Usa: 8. Proprietà algebriche. Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
6. Doppio prodotto vettoriale. Valgono $\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}$ e l’identità di Jacobi.
  Usa: 3. Proprietà del prodotto scalare, 8. Proprietà algebriche. Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
7. Perpendicolari a due vettori. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ non sono né nulli né paralleli, un vettore è perpendicolare a entrambi se e solo se è multiplo di $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ , e allora è $\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}$ .
  Usa: 9. Perpendicolarità, 12. Prodotto nullo e parallelismo, 13. Doppio prodotto vettoriale. Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
8. Il prodotto misto è un determinante. Il prodotto misto $\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)$ è il determinante della matrice di righe $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ ; non cambia permutando circolarmente i fattori, cambia segno scambiandone due, e il punto e la croce si scambiano.
  Usa: 3. Proprietà del prodotto scalare, 8. Proprietà algebriche. Si appoggia su: E (Matrici e determinanti). Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
9. Criterio di complanarità. Tre vettori sono complanari, cioè ammettono una combinazione nulla con qualche coefficiente non nullo, se e solo se il loro prodotto misto è nullo.
  Usa: 15. Il prodotto misto è un determinante. Si appoggia su: E (Matrici e determinanti). Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
10. Volume e matrice di Gram. Il parallelepipedo di spigoli $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ ha volume $\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}$ , il tetraedro un sesto di esso, e il quadrato del prodotto misto è il determinante di Gram.
  Usa: 11. Area del parallelogramma, 12. Prodotto nullo e parallelismo, 15. Il prodotto misto è un determinante, 16. Criterio di complanarità. Si appoggia su: B (Aree e volumi elementari), G (Proiezione ortogonale), E (Matrici e determinanti). Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
11. Caratterizzazione e orientazione. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ non sono né nulli né paralleli, $\vec{u} \times \vec{v}$ è l’unico vettore perpendicolare a entrambi, con la norma dell’area e con prodotto misto positivo; che punti dove indica il pollice della mano destra si ammette, una volta convenuto il disegno degli assi.
  Usa: 11. Area del parallelogramma, 15. Il prodotto misto è un determinante. Si appoggia su: H (Perpendicolari a due vettori). Dimostrato in: Prodotto vettoriale e prodotto misto.
Tratto 3 Le rette e i piani
- Scrivere le rette in forma vettoriale, parametrica e simmetrica, e i piani in forma parametrica e cartesiana, convertendo l’una nell’altra con il prodotto vettoriale.
- Dimostrare che ogni piano ha un’equazione cartesiana, unica a meno di un fattore, e che ogni equazione di primo grado descrive un piano.
- Decidere le posizioni reciproche di piani e rette con i ranghi di un sistema lineare e con il prodotto misto.
- Costruire con il fascio di piani i piani che contengono una retta e soddisfano un’altra condizione.
1. La retta per due punti. Due punti distinti $A$ e $B$ determinano un’unica retta, $A + t \vec{AB}$ .
  Usa: 2. Vettori e base canonica. Dimostrato in: Rette e piani nello spazio.
2. Combinazioni di due vettori. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ non sono né nulli né paralleli, $\vec{w}$ è loro combinazione se e solo se $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0$ , e allora i coefficienti sono unici.
  Usa: 9. Perpendicolarità, 15. Il prodotto misto è un determinante. Si appoggia su: F (Rouché-Capelli), E (Matrici e determinanti). Dimostrato in: Rette e piani nello spazio.
3. Equazione cartesiana del piano. Un punto sta nel piano $A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ se e solo se $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0$ ; ogni piano ha un’equazione $ax + by + cz = d$ , unica a meno di un fattore, e ogni equazione siffatta descrive un piano.
  Usa: 12. Prodotto nullo e parallelismo, 20. Combinazioni di due vettori. Si appoggia su: H (Perpendicolari a due vettori). Dimostrato in: Rette e piani nello spazio.
4. Posizioni dei piani. Le soluzioni di un sistema compatibile in $x$ , $y$ e $z$ formano un punto, una retta o un piano a seconda che il rango sia $3$ , $2$ o $1$ ; ne seguono le posizioni di due e di tre piani e quelle di una retta e un piano.
  Usa: 19. La retta per due punti, 20. Combinazioni di due vettori, 21. Equazione cartesiana del piano, 15. Il prodotto misto è un determinante. Si appoggia su: F (Rouché-Capelli), E (Matrici e determinanti), H (Perpendicolari a due vettori). Dimostrato in: Rette e piani nello spazio.
5. Posizioni di due rette. Due rette $A + t \vec{u}$ e $B + \lambda \vec{v}$ non parallele sono incidenti se $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ e sghembe altrimenti; quel prodotto misto è nullo se e solo se stanno in un piano.
  Usa: 19. La retta per due punti, 15. Il prodotto misto è un determinante, 21. Equazione cartesiana del piano. Si appoggia su: F (Rouché-Capelli), E (Matrici e determinanti), H (Perpendicolari a due vettori). Dimostrato in: Rette e piani nello spazio.
6. Fascio di piani. I piani che contengono la retta comune a due piani incidenti sono le combinazioni delle loro equazioni con coefficienti non entrambi nulli.
  Usa: 20. Combinazioni di due vettori, 22. Posizioni dei piani. Dimostrato in: Rette e piani nello spazio.
Tratto 4 Le misure
- Dimostrare le formule delle distanze di un punto da un piano e da una retta, con il piede della perpendicolare come unico punto più vicino.
- Trovare la perpendicolare comune a due rette sghembe, dimostrare che è unica e calcolarne la lunghezza con un prodotto misto.
- Definire gli angoli fra rette e piani, dimostrare che coincidono con quelli geometrici e mettere in relazione l’area di una figura piana con quella della sua proiezione.
- Studiare la sfera, la sua intersezione con un piano e il suo piano tangente, e applicare tutto ciò alla cristallografia e al posizionamento satellitare.
1. Distanza da un piano. La distanza di $(x_0, y_0, z_0)$ dal piano $ax + by + cz = d$ è $\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ e si raggiunge solo nel piede della perpendicolare; da essa derivano i semispazi e il simmetrico di un punto.
  Usa: 21. Equazione cartesiana del piano. Si appoggia su: G (Proiezione ortogonale). Dimostrato in: Distanze, angoli e volumi nello spazio.
2. Distanza da una retta. La distanza di $P$ dalla retta $A + t \vec{u}$ è $\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$ e si raggiunge solo nel piede della perpendicolare.
  Usa: 10. Identità di Lagrange, 19. La retta per due punti. Si appoggia su: G (Proiezione ortogonale). Dimostrato in: Distanze, angoli e volumi nello spazio.
3. Perpendicolare comune. Due rette sghembe, $A + t \vec{u}$ e $B + s \vec{v}$ , hanno un’unica perpendicolare comune, e la distanza fra esse è $\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}$ , che si raggiunge solo fra i suoi piedi.
  Usa: 10. Identità di Lagrange, 15. Il prodotto misto è un determinante, 23. Posizioni di due rette. Si appoggia su: E (Matrici e determinanti), H (Perpendicolari a due vettori), G (Proiezione ortogonale). Dimostrato in: Distanze, angoli e volumi nello spazio.
4. Angoli con i piani e diedri. L’angolo di una retta con un piano, di seno $\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}$ , è quello che essa forma con la sua proiezione, e l’angolo fra le normali di due piani è, a meno del supplementare, quello del diedro.
  Usa: 4. Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare, 11. Area del parallelogramma, 13. Doppio prodotto vettoriale, 15. Il prodotto misto è un determinante, 25. Distanza da un piano. Si appoggia su: D (Trigonometria), H (Perpendicolari a due vettori), G (Proiezione ortogonale). Dimostrato in: Distanze, angoli e volumi nello spazio.
5. Area della proiezione. Se un poligono di area $S$ sta in un piano che forma l’angolo diedro $\alpha$ con il piano $\pi$ , con $\alpha = 0$ se sono paralleli, la sua proiezione ortogonale su $\pi$ ha area $S \cos \alpha$ .
  Usa: 11. Area del parallelogramma, 15. Il prodotto misto è un determinante, 25. Distanza da un piano, 28. Angoli con i piani e diedri. Si appoggia su: B (Aree e volumi elementari), H (Perpendicolari a due vettori). Dimostrato in: Distanze, angoli e volumi nello spazio.
6. La sfera e il suo piano tangente. Un piano a distanza $\delta$ dal centro di una sfera di raggio $R$ la taglia in una circonferenza di raggio $\sqrt{R^2 - \delta^2}$ se $\delta < R$ e la tocca solo nel piede della perpendicolare se $\delta = R$ ; il piano tangente in $T$ ha come normale $\vec{CT}$ .
  Usa: 1. Distanza tra due punti, 25. Distanza da un piano. Si appoggia su: C (Geometria del piano), G (Proiezione ortogonale). Dimostrato in: Distanze, angoli e volumi nello spazio.

Verso l’analisi. La catena termina dove terminano gli strumenti elementari. Il bilancio finale del corso la colloca tra i sette obiettivi globali; Analisi III sostituirà i piani con piani tangenti a superfici curve e il determinante con il fattore di volume di una trasformazione.