Analytische Geometrie des Raumes: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über die analytische Geometrie des Raumes ab, die die letzte des Kurses ist. Sie fasst in einer deduktiven Kette zusammen, was in ihren vier inhaltlichen Lektionen erreicht wurde: den Abstand zweier Punkte, den man durch zweimalige Anwendung des Satzes des Pythagoras erhält; das Skalarprodukt, die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und den Winkel zwischen zwei Vektoren, der mit dem der elementaren Geometrie übereinstimmt; das Vektorprodukt und das Spatprodukt, hervorgegangen aus der Determinante dritter Ordnung, mit ihrer Deutung als Flächeninhalt, als Volumen und als Komplanaritätskriterium; die Gleichungen von Geraden und Ebenen und die Klassifikation ihrer Lagebeziehungen durch den Satz von Kronecker-Capelli (im spanischsprachigen Raum Satz von Rouché-Frobenius genannt); und schließlich die Abstände, die Winkel, die Projektionen und die Kugel. Sie erklärt, was die Einheit von den früheren Einheiten und vom Kurs Algebra und Geometrie I empfängt, was ohne Beweis vorausgesetzt wurde und wohin sie führt. Sie wiederholt in einem Abschlusstest die Fertigkeiten des Eingangstests der Einführung und endet mit zehn Herausforderungen, schwieriger als die Aufgaben der Lektionen, die mehrere von ihnen verbinden.

Lernziele

Die Kette der Definitionen und Sätze der Einheit rekonstruieren, vom Abstand zweier Punkte bis zum gemeinsamen Lot und zur Kugel, und bei jedem Glied die früheren Ergebnisse angeben, die sein Beweis verwendet.
In der Einheit das Bewiesene vom Vorausgesetzten unterscheiden und ihre Ergebnisse mit den Determinanten und den Gleichungssystemen der Einheit über die Matrizen sowie mit der analytischen Geometrie der Ebene aus Kurs I in Beziehung setzen.
Aufgaben lösen, die das Skalar-, das Vektor- und das Spatprodukt mit den Gleichungen von Geraden, Ebenen und Kugeln verbinden, und dabei jeweils das geeignetste Werkzeug und Achsensystem wählen.
Mit der Geometrie des Raumes Situationen aus der Kristallographie, dem technischen Zeichnen, der Optik und der Navigation modellieren und die Lösung mit ihrem Ansatz, ihrer Rechnung und ihrer Plausibilitätskontrolle darstellen.

Was die Einheit erreicht hat

Die Koordinaten und das Skalarprodukt

Die Einheit begann mit der Erklärung dessen, was sie nicht beweisen würde. Die Lektion über Vektoren im Raum und das Skalarprodukt stellte die vorausgesetzten Tatsachen der euklidischen Geometrie des Raumes in einer Liste zusammen und gewann mit dem zweimal angewandten Satz des Pythagoras die Abstandsformel. Die Vektoren wurden als Tripel definiert, und das Skalarprodukt behielt die Eigenschaften des Skalarprodukts der Ebene, mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Dreiecksungleichung. Nun gibt es im Raum keine ebene Figur, die alles enthält, und die Reihenfolge kehrte sich um: Der Winkel wurde durch seinen Kosinus definiert, den die Cauchy-Schwarz-Ungleichung zwischen $-1$ und $1$ einordnet, und danach wurde bewiesen, dass er misst, was die elementare Geometrie einen Winkel nennt, weil das Skalarprodukt nur von den Seitenlängen eines Dreiecks abhängt. Daraus ergaben sich die Orthogonalprojektion, die Richtungskosinus und die Matrizen, die Längen und Winkel erhalten.

Das Vektorprodukt und das Spatprodukt

Die Suche nach einem Vektor, der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht, führte in der Lektion über das Vektorprodukt und das Spatprodukt zu drei Determinanten der Ordnung zwei. Ist dem so, dann lieferten die Eigenschaften der Determinanten sofort die Antikommutativität und die Bilinearität; die Lagrange-Identität lieferte die Norm als Flächeninhalt des Parallelogramms; und die Formel für das doppelte Vektorprodukt, die an die Stelle der Assoziativität tritt, bewies, dass die Vektoren, die auf zwei nicht parallelen Vektoren senkrecht stehen, die Vielfachen ihres Vektorprodukts sind. Das Spatprodukt erwies sich als Determinante dritter Ordnung: Es verschwindet genau dann, wenn die drei Vektoren komplanar sind, sein Betrag ist das Volumen des Parallelepipeds und sein Quadrat die Gram-Determinante. Die Lektion trennte schließlich das, was sich über die Orientierung des Vektorprodukts beweisen lässt, von dem, was man beim Zeichnen der Achsen vereinbart, dem Rechtssystem, und von dem, was vorausgesetzt wird, der Rechte-Hand-Regel.

Die Geraden und die Ebenen

Die Lektion über Geraden und Ebenen im Raum reduzierte die Zugehörigkeit zu einer Ebene auf eine einzige Bedingung, $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ , wobei $\vec{n}$ das Vektorprodukt der Richtungsvektoren ist, und gewann aus ihr die Koordinatengleichung, die bis auf einen Faktor eindeutig ist. Damit sind die gemeinsamen Punkte mehrerer Ebenen die Lösungen eines linearen Gleichungssystems, und der Satz von Kronecker-Capelli erhielt seine geometrische Deutung: Die Lösungen eines lösbaren Systems in drei Unbekannten bilden je nach Rang einen Punkt, eine Gerade oder eine Ebene. Aus ihr wurden die Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden abgeleitet, mit dem Spatprodukt $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)$ als Kriterium, um die sich schneidenden Geraden von den windschiefen zu unterscheiden, sowie das Ebenenbüschel.

Die Maße

Die Lektion über Abstände, Winkel und Volumina im Raum brachte die drei Produkte mit den Gleichungen zusammen. Durch Projektion auf die Normale oder auf die Gerade bewies sie die Formeln für den Abstand eines Punktes von einer Ebene und von einer Geraden, mit dem Lotfußpunkt als einzigem nächstgelegenem Punkt, sowie den zentralen Satz der Einheit: Zwei windschiefe Geraden besitzen ein einziges gemeinsames Lot, dessen Länge ein Spatprodukt dividiert durch eine Norm ist. Damit ist das Problem der beiden U-Bahn-Tunnel gelöst, das die Einführung gestellt hatte. Danach bewies sie, dass die mit Skalarprodukten definierten Winkel zwischen Geraden und Ebenen mit denen der elementaren Geometrie übereinstimmen, dass der Flächeninhalt der Projektion eines ebenen Vielecks sein Flächeninhalt mal dem Kosinus des Flächenwinkels ist, und untersuchte die Kugel und ihre Tangentialebene.

Daher bildet die Einheit eine Kette: Die vorausgesetzten Tatsachen liefern den Abstand; der Abstand und die Eigenschaften des Skalarprodukts liefern den Winkel; die Determinanten liefern das Vektorprodukt und das Spatprodukt; diese verwandeln die Zugehörigkeit zu einer Ebene in eine lineare Gleichung; die linearen Gleichungssysteme ordnen die Lagebeziehungen; und die Orthogonalprojektion, auf diese Gleichungen angewandt, misst. Die folgende Abbildung fasst die vier Abschnitte in einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die ohne Beweis vorausgesetzt werden oder aus früheren Einheiten oder aus Kurs I stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

AEuklidische Tatsachen des Raumes. Vorausgesetzt werden die Existenz und Eindeutigkeit der Ebene durch drei nicht kollineare Punkte und der Ebene durch einen Punkt, die senkrecht zu einer Geraden ist, die Freiheit der Wahl der Achsen und die Zuordnung zwischen Punkten und Tripeln. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BElementare Flächeninhalte und Volumina. Vorausgesetzt werden Grundseite mal Höhe für das Parallelogramm und das Parallelepiped, die Hälfte dieses Flächeninhalts für das Dreieck, ein Drittel von Grundfläche mal Höhe für die Pyramide und die Additivität des Flächeninhalts; ihre Begründung liefert die Integralrechnung. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
CGeometrie der Ebene. Der Abstand, die Eigenschaften des Skalarprodukts, der Winkel zwischen zwei Vektoren, das Lemma über gleiche Vektoren und Parallelogramme, die quadratische Ergänzung und das Vorzeichen des quadratischen Polynoms je nach seiner Diskriminante, bewiesen in Kurs I. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
DTrigonometrie. Der Arkuskosinus als Bijektion von $\icc{-1}{1}$ auf $\icc{0}{\pi}$ , die Identität $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ und der Kosinussatz, bewiesen in den Einheiten 1 und 2. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
EMatrizen und Determinanten. Die Transponierte eines Produkts, die einseitige Inverse, die Eigenschaften der Determinante, die cramersche Regel und die Äquivalenz zwischen $\det A \neq 0$ und maximalem Rang, bewiesen in Einheit 4. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
FKronecker-Capelli. Das System $AX = B$ ist genau dann lösbar, wenn $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M)$ , und dann hat es so viele freie Unbekannte wie die Anzahl der Unbekannten minus den Rang; bewiesen in Einheit 4. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
GOrthogonalprojektion. Ist $\vec{v}$ nicht der Nullvektor, so lässt sich jeder Vektor auf genau eine Weise als ein Vielfaches von $\vec{v}$ plus einen zu $\vec{v}$ orthogonalen Vektor schreiben, und das Quadrat seiner Norm ist die Summe der Quadrate der Normen beider Summanden. Begründet in: 6. Orthogonalprojektion.
HSenkrechte zu zwei Vektoren. Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ weder Nullvektoren noch parallel, so sind die Vektoren, die auf beiden senkrecht stehen, genau die Vielfachen von $\vec{u} \times \vec{v}$ . Begründet in: 14. Senkrechte zu zwei Vektoren.

Abschnitt 1 Die Koordinaten und das Skalarprodukt
- Punkte im Raum festlegen und Abstände berechnen und die Formel mit dem Satz des Pythagoras begründen.
- Mit Vektoren im Raum rechnen und mit ihnen Eigenschaften von Parallelogrammen und Parallelepipeden beweisen.
- Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und die Dreiecksungleichung beweisen und mit ihnen den Winkel zwischen zwei Vektoren definieren.
- Orthogonalprojektionen und Richtungskosinus berechnen und die Matrizen erkennen, die Längen und Winkel erhalten.
1. Abstand zweier Punkte. Der Abstand zwischen $(x_1, y_1, z_1)$ und $(x_2, y_2, z_2)$ ist $\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}$ , nach dem Satz des Pythagoras, angewandt in einer waagerechten und danach in einer vertikalen Ebene.
  Stützt sich auf: A (Euklidische Tatsachen des Raumes), C (Geometrie der Ebene). Bewiesen in: Vektoren im Raum und Skalarprodukt.
2. Vektoren und Standardbasis. Die Tripel bilden einen Vektorraum, jeder Vektor ist auf genau eine Weise Linearkombination von $\vec{i}$ , $\vec{j}$ und $\vec{k}$ , und wenn $\vec{PQ} = \vec{RS}$ gilt und die vier Punkte nicht kollinear sind, liegen sie in einer Ebene und $PQSR$ ist ein Parallelogramm, und umgekehrt.
  Verwendet: 1. Abstand zweier Punkte. Stützt sich auf: A (Euklidische Tatsachen des Raumes), C (Geometrie der Ebene). Bewiesen in: Vektoren im Raum und Skalarprodukt.
3. Eigenschaften des Skalarprodukts. Das Skalarprodukt ist kommutativ und distributiv, erlaubt es, Zahlen herauszuziehen, und erfüllt $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ ; folglich gilt ${\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2$ .
  Verwendet: 2. Vektoren und Standardbasis. Stützt sich auf: C (Geometrie der Ebene). Bewiesen in: Vektoren im Raum und Skalarprodukt.
4. Cauchy-Schwarz und Dreiecksungleichung. Es gelten $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ und $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ , mit Gleichheit in der ersten genau dann, wenn ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist.
  Verwendet: 3. Eigenschaften des Skalarprodukts. Stützt sich auf: C (Geometrie der Ebene). Bewiesen in: Vektoren im Raum und Skalarprodukt.
5. Der Winkel ist der geometrische. Die Zahl $\theta$ aus $\icc{0}{\pi}$ mit $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ ist das Maß des Winkels, den die Pfeile von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ bilden, wenn sie vom selben Ursprung aus gezeichnet werden; insbesondere stehen zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren genau dann aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
  Verwendet: 1. Abstand zweier Punkte, 3. Eigenschaften des Skalarprodukts, 4. Cauchy-Schwarz und Dreiecksungleichung. Stützt sich auf: A (Euklidische Tatsachen des Raumes), C (Geometrie der Ebene), D (Trigonometrie). Bewiesen in: Vektoren im Raum und Skalarprodukt.
6. Orthogonalprojektion. Ist $\vec{v} \neq \vec{0}$ , so ist jedes $\vec{u}$ auf genau eine Weise $\vec{p} + \vec{w}$ , mit $\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}$ und $\vec{w}$ orthogonal zu $\vec{v}$ , und es gilt ${\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2$ .
  Verwendet: 3. Eigenschaften des Skalarprodukts, 5. Der Winkel ist der geometrische. Bewiesen in: Vektoren im Raum und Skalarprodukt.
7. Orthogonale Matrizen. Es gilt $\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)$ ; sind die Spalten von $A$ Einheitsvektoren und orthogonal, so gilt $A^{\mathsf{T}} A = I$ , und $A$ erhält Normen, Abstände und Winkel.
  Verwendet: 3. Eigenschaften des Skalarprodukts. Stützt sich auf: E (Matrizen und Determinanten). Bewiesen in: Vektoren im Raum und Skalarprodukt.
Abschnitt 2 Das Vektorprodukt und das Spatprodukt
- Das Vektorprodukt durch eine formale Determinante definieren und mit den Determinanten beweisen, dass es antikommutativ und bilinear, aber nicht assoziativ ist.
- Das Senkrechtstehen, die Lagrange-Identität, das Parallelitätskriterium und die Formel für das doppelte Vektorprodukt beweisen.
- Das Spatprodukt mit einer Determinante dritter Ordnung identifizieren und es als Volumen und als Komplanaritätskriterium deuten.
- Bei der Orientierung des Vektorprodukts das Beweisbare von der Konvention des Rechtssystems und von der Rechte-Hand-Regel trennen, die vorausgesetzt wird.
1. Algebraische Eigenschaften. Das Vektorprodukt, dessen Komponenten drei Determinanten der Ordnung zwei sind, ist antikommutativ und bilinear, erfüllt $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ und ist nicht assoziativ.
  Stützt sich auf: E (Matrizen und Determinanten). Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
2. Senkrechtstehen. Es gelten $\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ und $\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ : Das Vektorprodukt steht auf seinen beiden Faktoren senkrecht.
  Verwendet: 3. Eigenschaften des Skalarprodukts, 8. Algebraische Eigenschaften. Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
3. Lagrange-Identität. Für alle Vektoren gilt ${\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2$ .
  Verwendet: 3. Eigenschaften des Skalarprodukts, 8. Algebraische Eigenschaften. Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
4. Flächeninhalt des Parallelogramms. Die Norm $\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta$ ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten $\vec{u}$ und $\vec{v}$ , und das Dreieck $ABC$ hat den Flächeninhalt $\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}$ .
  Verwendet: 5. Der Winkel ist der geometrische, 10. Lagrange-Identität. Stützt sich auf: B (Elementare Flächeninhalte und Volumina), D (Trigonometrie), G (Orthogonalprojektion). Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
5. Nullprodukt und Parallelität. Es gilt $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ genau dann, wenn einer der beiden Vektoren ein Vielfaches des anderen ist.
  Verwendet: 8. Algebraische Eigenschaften. Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
6. Doppeltes Vektorprodukt. Es gelten $\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}$ und die Jacobi-Identität.
  Verwendet: 3. Eigenschaften des Skalarprodukts, 8. Algebraische Eigenschaften. Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
7. Senkrechte zu zwei Vektoren. Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ weder Nullvektoren noch parallel, so steht ein Vektor genau dann auf beiden senkrecht, wenn er ein Vielfaches von $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ ist, und dann ist er $\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}$ .
  Verwendet: 9. Senkrechtstehen, 12. Nullprodukt und Parallelität, 13. Doppeltes Vektorprodukt. Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
8. Das Spatprodukt ist eine Determinante. Das Spatprodukt $\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)$ ist die Determinante der Matrix mit den Zeilen $\vec{u}$ , $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ; es ändert sich nicht, wenn man die Faktoren zyklisch vertauscht, wechselt das Vorzeichen, wenn man zwei vertauscht, und Punkt und Kreuz lassen sich vertauschen.
  Verwendet: 3. Eigenschaften des Skalarprodukts, 8. Algebraische Eigenschaften. Stützt sich auf: E (Matrizen und Determinanten). Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
9. Komplanaritätskriterium. Drei Vektoren sind komplanar, das heißt, sie lassen eine Linearkombination mit dem Wert null zu, in der ein Koeffizient von null verschieden ist, genau dann, wenn ihr Spatprodukt null ist.
  Verwendet: 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante. Stützt sich auf: E (Matrizen und Determinanten). Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
10. Volumen und Gram-Matrix. Das Parallelepiped mit den Kanten $\vec{u}$ , $\vec{v}$ und $\vec{w}$ hat das Volumen $\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}$ , das Tetraeder ein Sechstel davon, und das Quadrat des Spatprodukts ist die Gram-Determinante.
  Verwendet: 11. Flächeninhalt des Parallelogramms, 12. Nullprodukt und Parallelität, 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante, 16. Komplanaritätskriterium. Stützt sich auf: B (Elementare Flächeninhalte und Volumina), G (Orthogonalprojektion), E (Matrizen und Determinanten). Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
11. Charakterisierung und Orientierung. Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ weder Nullvektoren noch parallel, so ist $\vec{u} \times \vec{v}$ der einzige Vektor, der auf beiden senkrecht steht, die Norm des Flächeninhalts hat und ein positives Spatprodukt ergibt; dass er dorthin zeigt, wohin der Daumen der rechten Hand weist, wird vorausgesetzt, sobald die Zeichnung der Achsen vereinbart ist.
  Verwendet: 11. Flächeninhalt des Parallelogramms, 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante. Stützt sich auf: H (Senkrechte zu zwei Vektoren). Bewiesen in: Vektorprodukt und Spatprodukt.
Abschnitt 3 Die Geraden und die Ebenen
- Geraden in Vektor-, Parameter- und symmetrischer Form und Ebenen in Parameter- und Koordinatenform schreiben und mit dem Vektorprodukt von einer Form zur anderen übergehen.
- Beweisen, dass jede Ebene eine Koordinatengleichung besitzt, die bis auf einen Faktor eindeutig ist, und dass jede Gleichung ersten Grades eine Ebene beschreibt.
- Die Lagebeziehungen von Ebenen und Geraden mit den Rängen eines linearen Gleichungssystems und mit dem Spatprodukt entscheiden.
- Mit dem Ebenenbüschel die Ebenen konstruieren, die eine Gerade enthalten und eine andere Bedingung erfüllen.
1. Die Gerade durch zwei Punkte. Durch zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ geht genau eine Gerade, $A + t \vec{AB}$ .
  Verwendet: 2. Vektoren und Standardbasis. Bewiesen in: Geraden und Ebenen im Raum.
2. Kombinationen zweier Vektoren. Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ weder Nullvektoren noch parallel, so ist $\vec{w}$ genau dann eine Kombination von ihnen, wenn $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0$ , und dann sind die Koeffizienten eindeutig.
  Verwendet: 9. Senkrechtstehen, 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante. Stützt sich auf: F (Kronecker-Capelli), E (Matrizen und Determinanten). Bewiesen in: Geraden und Ebenen im Raum.
3. Koordinatengleichung der Ebene. Ein Punkt liegt genau dann in der Ebene $A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ , wenn $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0$ ; jede Ebene besitzt eine Gleichung $ax + by + cz = d$ , die bis auf einen Faktor eindeutig ist, und jede solche Gleichung beschreibt eine Ebene.
  Verwendet: 12. Nullprodukt und Parallelität, 20. Kombinationen zweier Vektoren. Stützt sich auf: H (Senkrechte zu zwei Vektoren). Bewiesen in: Geraden und Ebenen im Raum.
4. Lagebeziehungen der Ebenen. Die Lösungen eines lösbaren Systems in $x$ , $y$ und $z$ bilden einen Punkt, eine Gerade oder eine Ebene, je nachdem, ob der Rang $3$ , $2$ oder $1$ ist; daraus folgen die Lagebeziehungen zweier und dreier Ebenen und die einer Geraden und einer Ebene.
  Verwendet: 19. Die Gerade durch zwei Punkte, 20. Kombinationen zweier Vektoren, 21. Koordinatengleichung der Ebene, 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante. Stützt sich auf: F (Kronecker-Capelli), E (Matrizen und Determinanten), H (Senkrechte zu zwei Vektoren). Bewiesen in: Geraden und Ebenen im Raum.
5. Lagebeziehungen zweier Geraden. Zwei nicht parallele Geraden $A + t \vec{u}$ und $B + \lambda \vec{v}$ schneiden sich, wenn $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ gilt, und sind sonst windschief; dieses Spatprodukt ist genau dann null, wenn sie in einer Ebene liegen.
  Verwendet: 19. Die Gerade durch zwei Punkte, 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante, 21. Koordinatengleichung der Ebene. Stützt sich auf: F (Kronecker-Capelli), E (Matrizen und Determinanten), H (Senkrechte zu zwei Vektoren). Bewiesen in: Geraden und Ebenen im Raum.
6. Ebenenbüschel. Die Ebenen, die die gemeinsame Gerade zweier sich schneidender Ebenen enthalten, sind die Kombinationen ihrer Gleichungen mit Koeffizienten, die nicht beide null sind.
  Verwendet: 20. Kombinationen zweier Vektoren, 22. Lagebeziehungen der Ebenen. Bewiesen in: Geraden und Ebenen im Raum.
Abschnitt 4 Die Maße
- Die Formeln für den Abstand eines Punktes von einer Ebene und von einer Geraden beweisen, mit dem Lotfußpunkt als einzigem nächstgelegenem Punkt.
- Das gemeinsame Lot zweier windschiefer Geraden bestimmen, beweisen, dass es eindeutig ist, und seine Länge mit einem Spatprodukt berechnen.
- Die Winkel zwischen Geraden und Ebenen definieren, beweisen, dass sie mit den geometrischen übereinstimmen, und den Flächeninhalt einer ebenen Figur mit dem ihrer Projektion in Beziehung setzen.
- Die Kugel, ihren Schnitt mit einer Ebene und ihre Tangentialebene untersuchen und all das auf die Kristallographie und die Satellitenortung anwenden.
1. Abstand von einer Ebene. Der Abstand von $(x_0, y_0, z_0)$ zur Ebene $ax + by + cz = d$ ist $\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ und wird nur im Lotfußpunkt angenommen; aus ihm ergeben sich die Halbräume und der Spiegelpunkt eines Punktes.
  Verwendet: 21. Koordinatengleichung der Ebene. Stützt sich auf: G (Orthogonalprojektion). Bewiesen in: Abstände, Winkel und Volumina im Raum.
2. Abstand von einer Geraden. Der Abstand von $P$ zur Geraden $A + t \vec{u}$ ist $\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$ und wird nur im Lotfußpunkt angenommen.
  Verwendet: 10. Lagrange-Identität, 19. Die Gerade durch zwei Punkte. Stützt sich auf: G (Orthogonalprojektion). Bewiesen in: Abstände, Winkel und Volumina im Raum.
3. Gemeinsames Lot. Zwei windschiefe Geraden, $A + t \vec{u}$ und $B + s \vec{v}$ , besitzen ein einziges gemeinsames Lot, und ihr Abstand ist $\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}$ , der nur zwischen seinen Fußpunkten angenommen wird.
  Verwendet: 10. Lagrange-Identität, 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante, 23. Lagebeziehungen zweier Geraden. Stützt sich auf: E (Matrizen und Determinanten), H (Senkrechte zu zwei Vektoren), G (Orthogonalprojektion). Bewiesen in: Abstände, Winkel und Volumina im Raum.
4. Winkel mit Ebenen und Flächenwinkel. Der Winkel einer Geraden mit einer Ebene, mit dem Sinus $\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}$ , ist der, den sie mit ihrer Projektion bildet, und der Winkel zwischen den Normalen zweier Ebenen ist, bis auf den Nebenwinkel, der Flächenwinkel.
  Verwendet: 4. Cauchy-Schwarz und Dreiecksungleichung, 11. Flächeninhalt des Parallelogramms, 13. Doppeltes Vektorprodukt, 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante, 25. Abstand von einer Ebene. Stützt sich auf: D (Trigonometrie), H (Senkrechte zu zwei Vektoren), G (Orthogonalprojektion). Bewiesen in: Abstände, Winkel und Volumina im Raum.
5. Flächeninhalt der Projektion. Liegt ein Vieleck mit dem Flächeninhalt $S$ in einer Ebene, die den Flächenwinkel $\alpha$ mit der Ebene $\pi$ bildet, mit $\alpha = 0$ , wenn sie parallel sind, so hat seine Orthogonalprojektion auf $\pi$ den Flächeninhalt $S \cos \alpha$ .
  Verwendet: 11. Flächeninhalt des Parallelogramms, 15. Das Spatprodukt ist eine Determinante, 25. Abstand von einer Ebene, 28. Winkel mit Ebenen und Flächenwinkel. Stützt sich auf: B (Elementare Flächeninhalte und Volumina), H (Senkrechte zu zwei Vektoren). Bewiesen in: Abstände, Winkel und Volumina im Raum.
6. Die Kugel und ihre Tangentialebene. Eine Ebene im Abstand $\delta$ vom Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius $R$ schneidet sie in einem Kreis mit dem Radius $\sqrt{R^2 - \delta^2}$ , wenn $\delta < R$ , und berührt sie nur im Lotfußpunkt, wenn $\delta = R$ ; die Tangentialebene in $T$ hat die Normale $\vec{CT}$ .
  Verwendet: 1. Abstand zweier Punkte, 25. Abstand von einer Ebene. Stützt sich auf: C (Geometrie der Ebene), G (Orthogonalprojektion). Bewiesen in: Abstände, Winkel und Volumina im Raum.

Hin zur Analysis. Die Kette endet dort, wo die elementaren Werkzeuge enden. Die Abschlussbilanz des Kurses ordnet sie unter die sieben übergeordneten Lernziele ein; Analysis III wird die Ebenen durch Tangentialebenen an gekrümmte Flächen ersetzen und die Determinante durch den Volumenfaktor einer Abbildung.