空間の解析幾何：まとめと挑戦課題

要約

この課は、空間の解析幾何についての単元、すなわちコースの最後の単元を締めくくる。四つの内容の課で達成したことを一本の演繹の鎖にまとめる。三平方の定理を二度適用して得られる二点間の距離。内積、コーシー・シュワルツの不等式、そして初等幾何の角と一致する二つのベクトルのなす角。3 次の行列式から生まれ、面積として、体積として、同一平面上にある条件として読まれる外積とスカラー三重積。直線と平面の方程式と、ルーシェ・フロベニウスの定理によるそれらの位置関係の分類。そして最後に、距離、角、射影、球面である。単元がそれまでの単元とコース代数と幾何 I から何を受け取るか、何を証明なしに認めたか、そしてどこへ向かうかを説明する。まとめテストでは導入にある導入テストの技能を繰り返し、最後に、各課の問題より難しく、いくつかの課を組み合わせる十題の挑戦課題を置く。

学習目標

二点間の距離から共通垂線と球面まで、単元の定義と定理の鎖を再構成し、各環でその証明が用いるそれより前の結果を指摘する。
単元のなかで証明したことと認めたことを区別し、その結果を行列の単元の行列式と連立方程式、およびコース I の平面の解析幾何と結びつける。
内積、外積、スカラー三重積を直線、平面、球面の方程式と組み合わせる問題を、それぞれの場合に最も都合のよい道具と座標軸を選んで解く。
結晶学、製図、光学、航法の状況を空間の幾何でモデル化し、解を、その定式化、計算、妥当性の確認とともに伝える。

単元で達成したこと

座標と内積

単元は、証明しないことを宣言するところから始まった。空間のベクトルと内積の課は、認める空間のユークリッド幾何の事実を一覧にまとめ、二度適用した三平方の定理によって距離の公式を得た。ベクトルは三つ組として定義され、内積は平面でもっていた性質を、コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式とともに保った。しかし、空間にはすべてを含む平面図形がないので、順序が逆になった。角はその余弦によって定義され、コーシー・シュワルツの不等式がこの余弦を $-1$ と $1$ の間に置く。そのあとで、内積は三角形の辺の長さだけで決まるので、この角が初等幾何でいう角を測ることが証明された。ここから正射影、方向余弦、長さと角を保つ行列が導かれた。

外積とスカラー三重積

与えられた二つのベクトルに垂直なベクトルを探すことで、外積とスカラー三重積の課では三つの 2 次の行列式に行き着いた。そうであれば、行列式の性質から直ちに反交換性と双線形性が得られた。ラグランジュの恒等式は平行四辺形の面積としての大きさを与えた。結合法則の代わりとなるベクトル三重積の公式は、平行でない二つのベクトルに垂直なベクトルがそれらの外積の倍数であることを証明した。スカラー三重積は 3 次の行列式であることがわかった。それが零になるのは三つのベクトルが同一平面上にあるときに限り、その絶対値は平行六面体の体積であり、その平方はグラム行列式である。最後にこの課は、外積の向きについて、証明できることを、軸を描くときに取り決めること（右手系）および認めること（右手の法則）から区別した。

直線と平面

空間の直線と平面の課は、点が平面上にあることを一つの条件 $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ に帰着させた。ここで $\vec{n}$ は二つの方向ベクトルの外積である。そしてこの条件から、定数倍を除いて一意な平面の方程式を得た。こうして、いくつかの平面の共有点は連立一次方程式の解となり、ルーシェ・フロベニウスの定理は幾何的な解釈を得た。三つの未知数の解をもつ連立方程式の解は、階数に応じて点、直線、平面をなす。ここから、平面と直線の位置関係が、交わる直線とねじれの位置にある直線を区別する条件としてのスカラー三重積 $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)$ とともに導かれ、平面の束が導かれた。

計量

空間の距離・角・体積の課は、三つの積を方程式と結びつけた。法線や直線への射影によって、点と平面の距離と点と直線の距離の公式を、垂線の足をただ一つの最も近い点として証明し、さらに単元の中心となる定理を証明した。ねじれの位置にある二直線はただ一つの共通垂線をもち、その長さはスカラー三重積をベクトルの大きさで割ったものである。これは導入で提起された二本の地下鉄トンネルの問題への答えである。続いて、内積で定義された直線と平面の間の角が初等幾何の角と一致すること、平面多角形の射影の面積はその面積に二面角の余弦を掛けたものであることを証明し、球面とその接平面を調べた。

したがって、単元は一本の鎖をなす。認めた事実が距離を与え、距離と内積の性質が角を与え、行列式が外積とスカラー三重積を与え、これらの積が点が平面上にあることを一次方程式に変え、連立一次方程式が位置関係を分類し、これらの方程式に適用された正射影が計量を行う。以下の図は、四つの区間を一本の鎖にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いるそれより前の環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、それぞれ、それを用いる環とは実線で、それが確立される環とは点線で結ばれている。ただし、証明なしに認めるもの、これまでの単元やコース I に由来するものは除かれ、それらは白抜きの丸として描かれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

A空間のユークリッド的な事実. 一直線上にない三点を通る平面と、一点を通り直線に垂直な平面の存在と一意性、軸を自由に選べること、点と三つ組の対応を認める。この単元では証明なしに認める。
B初等的な面積と体積. 平行四辺形と平行六面体については底面と高さの積、三角形についてはその面積の半分、角錐については底面と高さの積の 3 分の 1、そして面積の加法性を認める。その基礎づけは積分法である。この単元では証明なしに認める。
C平面の幾何. 距離、内積の性質、二つのベクトルのなす角、等しいベクトルと平行四辺形の補題、平方完成、判別式による二次多項式の符号。いずれもコース I で証明された。この単元では証明なしに認める。
D三角法. $\icc{-1}{1}$ から $\icc{0}{\pi}$ への全単射としての逆余弦、恒等式 $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ 、余弦定理。いずれも第 1、第 2 単元で証明された。この単元では証明なしに認める。
E行列と行列式. 積の転置、片側逆行列、行列式の性質、クラメルの公式、そして $\det A \neq 0$ と最大階数との同値性。いずれも第 4 単元で証明された。この単元では証明なしに認める。
Fルーシェ・フロベニウス. 連立方程式 $AX = B$ が解をもつのは $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M)$ のときに限り、そのとき自由な未知数の個数は未知数の個数から階数を引いたものである。第 4 単元で証明された。この単元では証明なしに認める。
G正射影. $\vec{v}$ が零でなければ、どのベクトルも、 $\vec{v}$ の倍数と $\vec{v}$ に直交するベクトルの和としてただ一通りに書け、その大きさの平方は二つの成分の大きさの平方の和である。確立される環: 6. 正射影.
H二つのベクトルに垂直なベクトル. $\vec{u}$ と $\vec{v}$ が零でなく平行でもなければ、両方に垂直なベクトルはちょうど $\vec{u} \times \vec{v}$ の倍数である。確立される環: 14. 二つのベクトルに垂直なベクトル.

第 1 区間座標と内積
- 空間に点をとり、距離を計算し、その公式を三平方の定理で根拠づける。
- 空間のベクトルを演算し、それを用いて平行四辺形と平行六面体の性質を証明する。
- コーシー・シュワルツの不等式と三角不等式を証明し、それらによって二つのベクトルのなす角を定義する。
- 正射影と方向余弦を計算し、長さと角を保つ行列を見分ける。
1. 二点間の距離. $(x_1, y_1, z_1)$ と $(x_2, y_2, z_2)$ の距離は $\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}$ である。これは水平な平面で、次に鉛直な平面で三平方の定理を適用して得られる。
  支え: A (空間のユークリッド的な事実), C (平面の幾何). 証明される授業: 空間のベクトルと内積.
2. ベクトルと標準基底. 三つ組はベクトル空間をなし、どのベクトルも $\vec{i}$ 、 $\vec{j}$ 、 $\vec{k}$ の結合としてただ一通りに表される。また $\vec{PQ} = \vec{RS}$ であって四点が一直線上になければ、四点は一つの平面上にあり $PQSR$ は平行四辺形であり、逆も成り立つ。
  使う結果: 1. 二点間の距離. 支え: A (空間のユークリッド的な事実), C (平面の幾何). 証明される授業: 空間のベクトルと内積.
3. 内積の性質. 内積は交換法則と分配法則を満たし、数を外に出すことができ、 $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ を満たす。その結果として ${\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2$ が成り立つ。
  使う結果: 2. ベクトルと標準基底. 支え: C (平面の幾何). 証明される授業: 空間のベクトルと内積.
4. コーシー・シュワルツと三角不等式. $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ と $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ が成り立ち、前者で等号が成り立つのは一方のベクトルが他方の倍数であるときに限る。
  使う結果: 3. 内積の性質. 支え: C (平面の幾何). 証明される授業: 空間のベクトルと内積.
5. 角は幾何学的な角である. 数 $\theta$ （ $\icc{0}{\pi}$ に属し $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ を満たすもの）は、同じ始点から描いた $\vec{u}$ と $\vec{v}$ の矢印のなす角の大きさである。特に、零でない二つのベクトルが垂直であるのは、その内積が零であるときに限る。
  使う結果: 1. 二点間の距離, 3. 内積の性質, 4. コーシー・シュワルツと三角不等式. 支え: A (空間のユークリッド的な事実), C (平面の幾何), D (三角法). 証明される授業: 空間のベクトルと内積.
6. 正射影. $\vec{v} \neq \vec{0}$ ならば、どの $\vec{u}$ もただ一通りに $\vec{p} + \vec{w}$ と書ける。ここで $\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}$ であり、 $\vec{w}$ は $\vec{v}$ に直交し、 ${\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2$ である。
  使う結果: 3. 内積の性質, 5. 角は幾何学的な角である. 証明される授業: 空間のベクトルと内積.
7. 直交行列. $\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)$ が成り立つ。 $A$ の列が互いに直交する単位ベクトルならば $A^{\mathsf{T}} A = I$ であり、 $A$ は大きさ、距離、角を保つ。
  使う結果: 3. 内積の性質. 支え: E (行列と行列式). 証明される授業: 空間のベクトルと内積.
第 2 区間外積とスカラー三重積
- 外積を形式的な行列式で定義し、行列式を用いて、それが反交換的かつ双線形であるが結合的でないことを証明する。
- 垂直性、ラグランジュの恒等式、平行の条件、ベクトル三重積の公式を証明する。
- スカラー三重積を 3 次の行列式と同一視し、体積として、また同一平面上にある条件として読む。
- 外積の向きについて、証明できることを、右手系の取り決めと、認められる右手の法則から区別する。
1. 代数的な性質. 外積は、その成分が三つの 2 次の行列式であり、反交換的かつ双線形で、 $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ を満たし、結合的でない。
  支え: E (行列と行列式). 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
2. 垂直性. $\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ と $\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ が成り立つ。すなわち外積は二つの因子の両方に垂直である。
  使う結果: 3. 内積の性質, 8. 代数的な性質. 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
3. ラグランジュの恒等式. すべてのベクトルについて ${\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2$ が成り立つ。
  使う結果: 3. 内積の性質, 8. 代数的な性質. 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
4. 平行四辺形の面積. 大きさ $\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta$ は $\vec{u}$ と $\vec{v}$ を辺とする平行四辺形の面積であり、三角形 $ABC$ の面積は $\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}$ である。
  使う結果: 5. 角は幾何学的な角である, 10. ラグランジュの恒等式. 支え: B (初等的な面積と体積), D (三角法), G (正射影). 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
5. 積が零になることと平行. $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ が成り立つのは、二つのベクトルの一方が他方の倍数であるときに限る。
  使う結果: 8. 代数的な性質. 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
6. ベクトル三重積. $\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}$ とヤコビの恒等式が成り立つ。
  使う結果: 3. 内積の性質, 8. 代数的な性質. 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
7. 二つのベクトルに垂直なベクトル. $\vec{u}$ と $\vec{v}$ が零でなく平行でもなければ、あるベクトルが両方に垂直であるのはそれが $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ の倍数であるときに限り、そのときそれは $\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}$ である。
  使う結果: 9. 垂直性, 12. 積が零になることと平行, 13. ベクトル三重積. 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
8. スカラー三重積は行列式である. スカラー三重積 $\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)$ は $\vec{u}$ 、 $\vec{v}$ 、 $\vec{w}$ を行とする行列の行列式である。因子を巡回的に入れ替えても変わらず、二つを入れ替えると符号が変わり、ドットとクロスは入れ替えられる。
  使う結果: 3. 内積の性質, 8. 代数的な性質. 支え: E (行列と行列式). 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
9. 同一平面上にある条件. 三つのベクトルが同一平面上にある、すなわち少なくとも一つの係数が零でない結合で零になるのは、そのスカラー三重積が零であるときに限る。
  使う結果: 15. スカラー三重積は行列式である. 支え: E (行列と行列式). 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
10. 体積とグラム行列. $\vec{u}$ 、 $\vec{v}$ 、 $\vec{w}$ を稜とする平行六面体の体積は $\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}$ で、四面体の体積はその 6 分の 1 であり、スカラー三重積の平方はグラム行列式である。
  使う結果: 11. 平行四辺形の面積, 12. 積が零になることと平行, 15. スカラー三重積は行列式である, 16. 同一平面上にある条件. 支え: B (初等的な面積と体積), G (正射影), E (行列と行列式). 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
11. 特徴づけと向き. $\vec{u}$ と $\vec{v}$ が零でなく平行でもなければ、 $\vec{u} \times \vec{v}$ は、両方に垂直で、大きさが面積に等しく、スカラー三重積が正であるただ一つのベクトルである。それが右手の親指の指す方を向くことは、軸の描き方を取り決めたうえで認める。
  使う結果: 11. 平行四辺形の面積, 15. スカラー三重積は行列式である. 支え: H (二つのベクトルに垂直なベクトル). 証明される授業: 外積とスカラー三重積.
第 3 区間直線と平面
- 直線をベクトル表示、媒介変数表示、対称形で、平面を媒介変数表示と方程式で書き、外積を用いて一方から他方へ移る。
- どの平面も定数倍を除いて一意な方程式をもち、どの一次方程式も平面を表すことを証明する。
- 連立一次方程式の階数とスカラー三重積によって、平面と直線の位置関係を判定する。
- 平面の束を用いて、直線を含みもう一つの条件を満たす平面を作る。
1. 二点を通る直線. 異なる二点 $A$ と $B$ を通る直線はただ一つあり、それは $A + t \vec{AB}$ である。
  使う結果: 2. ベクトルと標準基底. 証明される授業: 空間の直線と平面.
2. 二つのベクトルの結合. $\vec{u}$ と $\vec{v}$ が零でなく平行でもなければ、 $\vec{w}$ がそれらの結合であるのは $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0$ のときに限り、そのとき係数は一意である。
  使う結果: 9. 垂直性, 15. スカラー三重積は行列式である. 支え: F (ルーシェ・フロベニウス), E (行列と行列式). 証明される授業: 空間の直線と平面.
3. 平面の方程式. 点が平面 $A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ 上にあるのは $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0$ のときに限る。どの平面も定数倍を除いて一意な方程式 $ax + by + cz = d$ をもち、そのような方程式はどれも平面を表す。
  使う結果: 12. 積が零になることと平行, 20. 二つのベクトルの結合. 支え: H (二つのベクトルに垂直なベクトル). 証明される授業: 空間の直線と平面.
4. 平面の位置関係. 未知数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ の解をもつ連立方程式の解は、階数が $3$ 、 $2$ 、 $1$ のいずれであるかに応じて、それぞれ点、直線、平面をなす。ここから二平面と三平面の位置関係、および直線と平面の位置関係が導かれる。
  使う結果: 19. 二点を通る直線, 20. 二つのベクトルの結合, 21. 平面の方程式, 15. スカラー三重積は行列式である. 支え: F (ルーシェ・フロベニウス), E (行列と行列式), H (二つのベクトルに垂直なベクトル). 証明される授業: 空間の直線と平面.
5. 二つの直線の位置関係. 平行でない二直線 $A + t \vec{u}$ と $B + \lambda \vec{v}$ は、 $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ ならば交わり、そうでなければねじれの位置にある。このスカラー三重積が零になるのは、二直線が一つの平面上にあるときに限る。
  使う結果: 19. 二点を通る直線, 15. スカラー三重積は行列式である, 21. 平面の方程式. 支え: F (ルーシェ・フロベニウス), E (行列と行列式), H (二つのベクトルに垂直なベクトル). 証明される授業: 空間の直線と平面.
6. 平面の束. 交わる二平面の共有する直線を含む平面は、二平面の方程式を、両方は零でない係数で結合したものである。
  使う結果: 20. 二つのベクトルの結合, 22. 平面の位置関係. 証明される授業: 空間の直線と平面.
第 4 区間計量
- 点と平面の距離と点と直線の距離の公式を、垂線の足をただ一つの最も近い点として証明する。
- ねじれの位置にある二直線の共通垂線を求め、それが一意であることを証明し、その長さをスカラー三重積で計算する。
- 直線と平面の間の角を定義し、それが幾何学的な角と一致することを証明し、平面図形の面積をその射影の面積と結びつける。
- 球面、球面と平面の交わり、球面の接平面を調べ、それらを結晶学と衛星測位に応用する。
1. 平面との距離. $(x_0, y_0, z_0)$ と平面 $ax + by + cz = d$ の距離は $\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ であり、垂線の足でのみ達成される。ここから半空間と点の対称点が得られる。
  使う結果: 21. 平面の方程式. 支え: G (正射影). 証明される授業: 空間の距離・角・体積.
2. 直線との距離. $P$ と直線 $A + t \vec{u}$ の距離は $\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$ であり、垂線の足でのみ達成される。
  使う結果: 10. ラグランジュの恒等式, 19. 二点を通る直線. 支え: G (正射影). 証明される授業: 空間の距離・角・体積.
3. 共通垂線. ねじれの位置にある二直線 $A + t \vec{u}$ と $B + s \vec{v}$ はただ一つの共通垂線をもち、二直線の距離は $\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}$ で、それは共通垂線の足の間でのみ達成される。
  使う結果: 10. ラグランジュの恒等式, 15. スカラー三重積は行列式である, 23. 二つの直線の位置関係. 支え: E (行列と行列式), H (二つのベクトルに垂直なベクトル), G (正射影). 証明される授業: 空間の距離・角・体積.
4. 平面とのなす角と二面角. 直線と平面のなす角は、その正弦が $\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}$ であり、直線がその射影となす角である。また二平面の法線のなす角は、補角の違いを除いて二面角である。
  使う結果: 4. コーシー・シュワルツと三角不等式, 11. 平行四辺形の面積, 13. ベクトル三重積, 15. スカラー三重積は行列式である, 25. 平面との距離. 支え: D (三角法), H (二つのベクトルに垂直なベクトル), G (正射影). 証明される授業: 空間の距離・角・体積.
5. 射影の面積. 面積 $S$ の多角形のある平面がなす二面角を $\alpha$ （平面 $\pi$ とのなす角で、平行のときは $\alpha = 0$ ）とすると、その多角形の $\pi$ への正射影の面積は $S \cos \alpha$ である。
  使う結果: 11. 平行四辺形の面積, 15. スカラー三重積は行列式である, 25. 平面との距離, 28. 平面とのなす角と二面角. 支え: B (初等的な面積と体積), H (二つのベクトルに垂直なベクトル). 証明される授業: 空間の距離・角・体積.
6. 球面とその接平面. 球面の中心からの距離が $\delta$ の平面は、球面の半径を $R$ とすると、球面と半径 $\sqrt{R^2 - \delta^2}$ の円で交わり（ただし $\delta < R$ のとき）、また $\delta = R$ のときは垂線の足でのみ球面に接する。 $T$ における接平面は $\vec{CT}$ を法線ベクトルとする。
  使う結果: 1. 二点間の距離, 25. 平面との距離. 支え: C (平面の幾何), G (正射影). 証明される授業: 空間の距離・角・体積.

微分積分学へ. 鎖は初等的な道具が尽きるところで終わる。コースの最終総括は、それを七つの全体目標のなかに位置づける。微分積分学 III は、平面を曲面の接平面に、行列式を変換の体積の拡大率に置き換えることになる。