Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Аналитическая геометрия в пространстве: итоги и задачи

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел об аналитической геометрии в пространстве, последний раздел курса. Он собирает в дедуктивную цепь то, чего достигли четыре его содержательных урока: расстояние между двумя точками, полученное двукратным применением теоремы Пифагора; скалярное произведение, неравенство Коши-Шварца и угол между двумя векторами, совпадающий с углом элементарной геометрии; векторное и смешанное произведения, рождённые определителем третьего порядка, с их прочтением как площади, как объёма и как признака компланарности; уравнения прямых и плоскостей и классификацию их взаимного расположения по теореме Кронекера-Капелли (теореме Руше-Фробениуса); и, наконец, расстояния, углы, проекции и сферу. Урок объясняет, что раздел получает от предыдущих разделов и от курса «Алгебра и геометрия I», что было принято без доказательства и куда он ведёт. Он повторяет в итоговой проверке навыки входной проверки из введения и заканчивается десятью задачами повышенной трудности, более сложными, чем задачи уроков, которые сочетают несколько уроков.

Цели обучения

  1. Восстановить цепь определений и теорем раздела, от расстояния между двумя точками до общего перпендикуляра и сферы, указывая в каждом звене предшествующие результаты, которые использует его доказательство.
  2. Отличать в разделе доказанное от принятого и связывать его результаты с определителями и системами из раздела о матрицах и с аналитической геометрией на плоскости из курса I.
  3. Решать задачи, сочетающие скалярное, векторное и смешанное произведения с уравнениями прямых, плоскостей и сфер, выбирая в каждом случае самый удобный инструмент и самую удобную систему осей.
  4. Моделировать средствами геометрии пространства ситуации из кристаллографии, технического черчения, оптики и навигации и излагать решение с постановкой, вычислением и контролем правдоподобия.

Чего достиг раздел

Координаты и скалярное произведение

Раздел начался с объявления того, что он не собирался доказывать. Урок о векторах в пространстве и скалярном произведении собрал в список принимаемые факты евклидовой геометрии пространства и с помощью теоремы Пифагора, применённой дважды, получил формулу расстояния. Векторы были определены как тройки, и скалярное произведение сохранило свойства, которыми оно обладало на плоскости, вместе с неравенством Коши-Шварца и неравенством треугольника. Однако в пространстве нет плоской фигуры, которая содержала бы всё, и порядок изменился на обратный: угол был определён через свой косинус, который неравенство Коши-Шварца помещает между −1-1 и 11, а затем было доказано, что он измеряет то, что элементарная геометрия называет углом, поскольку скалярное произведение зависит только от длин сторон треугольника. Отсюда вытекли ортогональная проекция, направляющие косинусы и матрицы, сохраняющие длины и углы.

Векторное и смешанное произведения

Поиск вектора, перпендикулярного двум данным векторам, привёл в уроке о векторном и смешанном произведениях к трём определителям второго порядка. Если это так, свойства определителей сразу дали антикоммутативность и билинейность; тождество Лагранжа дало длину как площадь параллелограмма; а формула двойного векторного произведения, заменяющая ассоциативность, доказала, что векторы, перпендикулярные двум неколлинеарным векторам, суть кратные их векторного произведения. Смешанное произведение оказалось определителем третьего порядка: оно равно нулю тогда и только тогда, когда три вектора компланарны, его модуль есть объём параллелепипеда, а его квадрат есть определитель Грама. Наконец, урок отделил в направлении векторного произведения то, что доказывается, от того, о чём договариваются при изображении осей (правая система координат), и от того, что принимается (правило правой руки).

Прямые и плоскости

Урок о прямых и плоскостях в пространстве свёл принадлежность точки плоскости к одному условию, n⃗⋅AP⃗=0\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0, где n⃗\vec{n} есть векторное произведение направляющих векторов, и получил из него общее уравнение, единственное с точностью до множителя. Тем самым общие точки нескольких плоскостей суть решения линейной системы, и теорема Кронекера-Капелли получила свой геометрический смысл: решения совместной системы с тремя неизвестными образуют точку, прямую или плоскость в зависимости от ранга. Из этого были выведены взаимное расположение плоскостей и прямых, со смешанным произведением AB⃗⋅(u⃗×v⃗)\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) в роли признака, отличающего пересекающиеся прямые от скрещивающихся, и пучок плоскостей.

Измерения

Урок о расстояниях, углах и объёмах в пространстве соединил три произведения с уравнениями. Проецируя на нормаль или на прямую, он доказал формулы расстояния от точки до плоскости и до прямой, с основанием перпендикуляра как единственной ближайшей точкой, и центральную теорему раздела: две скрещивающиеся прямые имеют единственный общий перпендикуляр, длина которого есть смешанное произведение, делённое на длину вектора. Это ответ на задачу о двух тоннелях метро, поставленную во введении. Затем он доказал, что углы между прямыми и плоскостями, определённые через скалярные произведения, совпадают с углами элементарной геометрии, что площадь проекции плоского многоугольника равна его площади, умноженной на косинус двугранного угла, и изучил сферу и её касательную плоскость.

Итак, раздел образует цепь: принимаемые факты дают расстояние; расстояние и свойства скалярного произведения дают угол; определители дают векторное и смешанное произведения; эти произведения превращают принадлежность точки плоскости в линейное уравнение; линейные системы классифицируют взаимное расположение; а ортогональная проекция, применённая к этим уравнениям, измеряет. Рисунок ниже собирает четыре участка в единую цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с предыдущими звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и средства, к которым цепь обращается снова и снова, каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, что принимаются без доказательства или происходят из предыдущих разделов или из курса I: они изображены пустыми кружками. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

  • AЕвклидовы факты пространства. Принимаются существование и единственность плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, и плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой, свобода выбора осей и соответствие между точками и тройками. В этом разделе принимается без доказательства.
  • BЭлементарные площади и объёмы. Принимаются произведение основания на высоту для параллелограмма и параллелепипеда, половина этой площади для треугольника, треть произведения основания на высоту для пирамиды и аддитивность площади; их обоснование даёт интегральное исчисление. В этом разделе принимается без доказательства.
  • CГеометрия плоскости. Расстояние, свойства скалярного произведения, угол между двумя векторами, лемма о равных векторах и параллелограммах, выделение полного квадрата и знак квадратного трёхчлена в зависимости от дискриминанта, доказанные в курсе I. В этом разделе принимается без доказательства.
  • DТригонометрия. Арккосинус как биекция [−1,1]\icc{-1}{1} на [0,π]\icc{0}{\pi}, тождество cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 и теорема косинусов, доказанные в разделах 1 и 2. В этом разделе принимается без доказательства.
  • EМатрицы и определители. Транспонирование произведения, односторонняя обратная, свойства определителя, правило Крамера и равносильность det⁡A≠0\det A \neq 0 и максимального ранга, доказанные в разделе 4. В этом разделе принимается без доказательства.
  • FКронекер-Капелли. Система AX=BAX = B совместна тогда и только тогда, когда rg⁡(A)=rg⁡(M)\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(M), и тогда в ней столько свободных неизвестных, сколько составляет число неизвестных минус ранг; доказано в разделе 4. В этом разделе принимается без доказательства.
  • GОртогональная проекция. Если v⃗\vec{v} ненулевой, то всякий вектор единственным образом записывается как кратное v⃗\vec{v} плюс вектор, ортогональный v⃗\vec{v}, и квадрат его длины равен сумме квадратов длин обоих слагаемых. Устанавливается в: 6. Ортогональная проекция.
  • HПерпендикуляры к двум векторам. Если u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} ненулевые и неколлинеарные, то векторы, перпендикулярные обоим, суть в точности кратные u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}. Устанавливается в: 14. Перпендикуляры к двум векторам.

  1. Участок 1 Координаты и скалярное произведение

    • Располагать точки в пространстве и вычислять расстояния, обосновывая формулу теоремой Пифагора.
    • Выполнять действия с векторами пространства и доказывать с их помощью свойства параллелограммов и параллелепипедов.
    • Доказывать неравенство Коши-Шварца и неравенство треугольника и определять с их помощью угол между двумя векторами.
    • Вычислять ортогональные проекции и направляющие косинусы и распознавать матрицы, сохраняющие длины и углы.

    1. Расстояние между двумя точками. Расстояние между (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) и (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2) равно (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2} по теореме Пифагора, применённой в горизонтальной плоскости, а затем в вертикальной.

      Опирается на: A (Евклидовы факты пространства), C (Геометрия плоскости). Доказывается в уроке: Векторы в пространстве и скалярное произведение.

    2. Векторы и стандартный базис. Тройки образуют векторное пространство, всякий вектор единственным образом есть комбинация i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} и k⃗\vec{k}, и если PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} и четыре точки не лежат на одной прямой, то они лежат в одной плоскости и PQSRPQSR есть параллелограмм, и обратно.

      Использует: 1. Расстояние между двумя точками. Опирается на: A (Евклидовы факты пространства), C (Геометрия плоскости). Доказывается в уроке: Векторы в пространстве и скалярное произведение.

    3. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение коммутативно и дистрибутивно, позволяет выносить числа за скобки и удовлетворяет равенству u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2; как следствие, ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2{\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2.

      Использует: 2. Векторы и стандартный базис. Опирается на: C (Геометрия плоскости). Доказывается в уроке: Векторы в пространстве и скалярное произведение.

    4. Коши-Шварц и неравенство треугольника. Выполняются ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} и ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}, причём равенство в первом достигается тогда и только тогда, когда один вектор кратен другому.

      Использует: 3. Свойства скалярного произведения. Опирается на: C (Геометрия плоскости). Доказывается в уроке: Векторы в пространстве и скалярное произведение.

    5. Угол есть геометрический угол. Число θ\theta из [0,π]\icc{0}{\pi}, для которого cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}, есть мера угла, образованного стрелками u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}, отложенными от одного начала; в частности, два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

      Использует: 1. Расстояние между двумя точками, 3. Свойства скалярного произведения, 4. Коши-Шварц и неравенство треугольника. Опирается на: A (Евклидовы факты пространства), C (Геометрия плоскости), D (Тригонометрия). Доказывается в уроке: Векторы в пространстве и скалярное произведение.

    6. Ортогональная проекция. Если v⃗≠0⃗\vec{v} \neq \vec{0}, то всякий u⃗\vec{u} единственным образом есть p⃗+w⃗\vec{p} + \vec{w}, где p⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2v⃗\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}, а w⃗\vec{w} ортогонален v⃗\vec{v}, и ∥u⃗∥2=∥p⃗∥2+∥w⃗∥2{\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2.

      Использует: 3. Свойства скалярного произведения, 5. Угол есть геометрический угол. Доказывается в уроке: Векторы в пространстве и скалярное произведение.

    7. Ортогональные матрицы. Выполняется (Au⃗)⋅v⃗=u⃗⋅(ATv⃗)\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right); если столбцы AA единичные и ортогональные, то ATA=IA^{\mathsf{T}} A = I, и AA сохраняет длины, расстояния и углы.

      Использует: 3. Свойства скалярного произведения. Опирается на: E (Матрицы и определители). Доказывается в уроке: Векторы в пространстве и скалярное произведение.

  2. Участок 2 Векторное и смешанное произведения

    • Определять векторное произведение формальным определителем и доказывать с помощью определителей, что оно антикоммутативно и билинейно, но не ассоциативно.
    • Доказывать перпендикулярность, тождество Лагранжа, признак коллинеарности и формулу двойного векторного произведения.
    • Отождествлять смешанное произведение с определителем третьего порядка и прочитывать его как объём и как признак компланарности.
    • Отделять в направлении векторного произведения доказуемое от соглашения о правой системе координат и от правила правой руки, которое принимается.

    1. Алгебраические свойства. Векторное произведение, координаты которого суть три определителя второго порядка, антикоммутативно и билинейно, удовлетворяет равенству u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} и не ассоциативно.

      Опирается на: E (Матрицы и определители). Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    2. Перпендикулярность. Выполняются u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0 и v⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0: векторное произведение перпендикулярно обоим сомножителям.

      Использует: 3. Свойства скалярного произведения, 8. Алгебраические свойства. Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    3. Тождество Лагранжа. Для любых векторов выполняется ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2.

      Использует: 3. Свойства скалярного произведения, 8. Алгебраические свойства. Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    4. Площадь параллелограмма. Длина ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡θ\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta есть площадь параллелограмма со сторонами u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v}, а треугольник ABCABC имеет площадь 12∥AB⃗×AC⃗∥\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}.

      Использует: 5. Угол есть геометрический угол, 10. Тождество Лагранжа. Опирается на: B (Элементарные площади и объёмы), D (Тригонометрия), G (Ортогональная проекция). Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    5. Нулевое произведение и коллинеарность. Равенство u⃗×v⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} выполняется тогда и только тогда, когда один из двух векторов кратен другому.

      Использует: 8. Алгебраические свойства. Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    6. Двойное векторное произведение. Выполняются u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w} и тождество Якоби.

      Использует: 3. Свойства скалярного произведения, 8. Алгебраические свойства. Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    7. Перпендикуляры к двум векторам. Если u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} ненулевые и неколлинеарные, то вектор перпендикулярен обоим тогда и только тогда, когда он кратен n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}, и тогда он равен x⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}.

      Использует: 9. Перпендикулярность, 12. Нулевое произведение и коллинеарность, 13. Двойное векторное произведение. Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    8. Смешанное произведение есть определитель. Смешанное произведение u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) есть определитель матрицы со строками u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} и w⃗\vec{w}; оно не меняется при круговой перестановке сомножителей, меняет знак при перестановке двух из них, а точку и крест можно поменять местами.

      Использует: 3. Свойства скалярного произведения, 8. Алгебраические свойства. Опирается на: E (Матрицы и определители). Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    9. Признак компланарности. Три вектора компланарны, то есть допускают нулевую комбинацию с хотя бы одним ненулевым коэффициентом, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

      Использует: 15. Смешанное произведение есть определитель. Опирается на: E (Матрицы и определители). Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    10. Объём и матрица Грама. Параллелепипед с рёбрами u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} и w⃗\vec{w} имеет объём ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}, тетраэдр имеет объём в шесть раз меньше, а квадрат смешанного произведения есть определитель Грама.

      Использует: 11. Площадь параллелограмма, 12. Нулевое произведение и коллинеарность, 15. Смешанное произведение есть определитель, 16. Признак компланарности. Опирается на: B (Элементарные площади и объёмы), G (Ортогональная проекция), E (Матрицы и определители). Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

    11. Характеризация и ориентация. Если u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} ненулевые и неколлинеарные, то u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} есть единственный вектор, перпендикулярный обоим, с длиной, равной площади, и с положительным смешанным произведением; то, что он направлен туда, куда указывает большой палец правой руки, принимается после того, как условлено изображение осей.

      Использует: 11. Площадь параллелограмма, 15. Смешанное произведение есть определитель. Опирается на: H (Перпендикуляры к двум векторам). Доказывается в уроке: Векторное и смешанное произведения.

  3. Участок 3 Прямые и плоскости

    • Записывать прямые в векторной и параметрической форме и в виде канонических уравнений, а плоскости в параметрической форме и в виде общего уравнения, переходя от одной записи к другой с помощью векторного произведения.
    • Доказывать, что всякая плоскость имеет общее уравнение, единственное с точностью до множителя, и что всякое уравнение первой степени задаёт плоскость.
    • Определять взаимное расположение плоскостей и прямых по рангам линейной системы и по смешанному произведению.
    • Строить с помощью пучка плоскостей плоскости, содержащие прямую и удовлетворяющие ещё одному условию.

    1. Прямая через две точки. Через две различные точки AA и BB проходит единственная прямая, A+tAB⃗A + t \vec{AB}.

      Использует: 2. Векторы и стандартный базис. Доказывается в уроке: Прямые и плоскости в пространстве.

    2. Комбинации двух векторов. Если u⃗\vec{u} и v⃗\vec{v} ненулевые и неколлинеарные, то w⃗\vec{w} есть их комбинация тогда и только тогда, когда (u⃗×v⃗)⋅w⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0, и тогда коэффициенты единственны.

      Использует: 9. Перпендикулярность, 15. Смешанное произведение есть определитель. Опирается на: F (Кронекер-Капелли), E (Матрицы и определители). Доказывается в уроке: Прямые и плоскости в пространстве.

    3. Общее уравнение плоскости. Точка лежит в плоскости A+λu⃗+μv⃗A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} тогда и только тогда, когда (u⃗×v⃗)⋅AP⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0; всякая плоскость имеет уравнение ax+by+cz=dax + by + cz = d, единственное с точностью до множителя, и всякое такое уравнение задаёт плоскость.

      Использует: 12. Нулевое произведение и коллинеарность, 20. Комбинации двух векторов. Опирается на: H (Перпендикуляры к двум векторам). Доказывается в уроке: Прямые и плоскости в пространстве.

    4. Расположение плоскостей. Решения совместной системы с неизвестными xx, yy и zz образуют точку, прямую или плоскость в зависимости от того, равен ли ранг 33, 22 или 11; отсюда вытекает взаимное расположение двух и трёх плоскостей, а также прямой и плоскости.

      Использует: 19. Прямая через две точки, 20. Комбинации двух векторов, 21. Общее уравнение плоскости, 15. Смешанное произведение есть определитель. Опирается на: F (Кронекер-Капелли), E (Матрицы и определители), H (Перпендикуляры к двум векторам). Доказывается в уроке: Прямые и плоскости в пространстве.

    5. Расположение двух прямых. Две непараллельные прямые A+tu⃗A + t \vec{u} и B+λv⃗B + \lambda \vec{v} пересекаются, если AB⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0, и скрещиваются в противном случае; это смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости.

      Использует: 19. Прямая через две точки, 15. Смешанное произведение есть определитель, 21. Общее уравнение плоскости. Опирается на: F (Кронекер-Капелли), E (Матрицы и определители), H (Перпендикуляры к двум векторам). Доказывается в уроке: Прямые и плоскости в пространстве.

    6. Пучок плоскостей. Плоскости, содержащие общую прямую двух пересекающихся плоскостей, суть комбинации их уравнений с коэффициентами, не равными нулю одновременно.

      Использует: 20. Комбинации двух векторов, 22. Расположение плоскостей. Доказывается в уроке: Прямые и плоскости в пространстве.

  4. Участок 4 Измерения

    • Доказывать формулы расстояний от точки до плоскости и до прямой, с основанием перпендикуляра как единственной ближайшей точкой.
    • Находить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых, доказывать его единственность и вычислять его длину с помощью смешанного произведения.
    • Определять углы между прямыми и плоскостями, доказывать, что они совпадают с геометрическими, и связывать площадь плоской фигуры с площадью её проекции.
    • Изучать сферу, её пересечение с плоскостью и её касательную плоскость и применять всё это к кристаллографии и к спутниковому позиционированию.

    1. Расстояние до плоскости. Расстояние от (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) до плоскости ax+by+cz=dax + by + cz = d равно ∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} и достигается только в основании перпендикуляра; из него получаются полупространства и точка, симметричная данной.

      Использует: 21. Общее уравнение плоскости. Опирается на: G (Ортогональная проекция). Доказывается в уроке: Расстояния, углы и объёмы в пространстве.

    2. Расстояние до прямой. Расстояние от PP до прямой A+tu⃗A + t \vec{u} равно ∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}} и достигается только в основании перпендикуляра.

      Использует: 10. Тождество Лагранжа, 19. Прямая через две точки. Опирается на: G (Ортогональная проекция). Доказывается в уроке: Расстояния, углы и объёмы в пространстве.

    3. Общий перпендикуляр. Две скрещивающиеся прямые, A+tu⃗A + t \vec{u} и B+sv⃗B + s \vec{v}, имеют единственный общий перпендикуляр, и расстояние между ними равно ∣AB⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∥u⃗×v⃗∥\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}} и достигается только между его основаниями.

      Использует: 10. Тождество Лагранжа, 15. Смешанное произведение есть определитель, 23. Расположение двух прямых. Опирается на: E (Матрицы и определители), H (Перпендикуляры к двум векторам), G (Ортогональная проекция). Доказывается в уроке: Расстояния, углы и объёмы в пространстве.

    4. Углы с плоскостями и двугранные углы. Угол прямой с плоскостью, синус которого равен ∣u⃗⋅n⃗∣∥u⃗∥∥n⃗∥\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}, есть угол, который она образует со своей проекцией, а угол между нормалями двух плоскостей с точностью до дополнения до развёрнутого угла есть двугранный угол.

      Использует: 4. Коши-Шварц и неравенство треугольника, 11. Площадь параллелограмма, 13. Двойное векторное произведение, 15. Смешанное произведение есть определитель, 25. Расстояние до плоскости. Опирается на: D (Тригонометрия), H (Перпендикуляры к двум векторам), G (Ортогональная проекция). Доказывается в уроке: Расстояния, углы и объёмы в пространстве.

    5. Площадь проекции. Если многоугольник площади SS лежит в плоскости, образующей двугранный угол α\alpha с плоскостью π\pi, причём α=0\alpha = 0 в случае параллельности, то его ортогональная проекция на π\pi имеет площадь Scos⁡αS \cos \alpha.

      Использует: 11. Площадь параллелограмма, 15. Смешанное произведение есть определитель, 25. Расстояние до плоскости, 28. Углы с плоскостями и двугранные углы. Опирается на: B (Элементарные площади и объёмы), H (Перпендикуляры к двум векторам). Доказывается в уроке: Расстояния, углы и объёмы в пространстве.

    6. Сфера и её касательная плоскость. Плоскость, находящаяся на расстоянии δ\delta от центра сферы радиуса RR, пересекает её по окружности радиуса R2−δ2\sqrt{R^2 - \delta^2}, если δ<R\delta < R, и касается её только в основании перпендикуляра, если δ=R\delta = R; касательная плоскость в TT имеет нормаль CT⃗\vec{CT}.

      Использует: 1. Расстояние между двумя точками, 25. Расстояние до плоскости. Опирается на: C (Геометрия плоскости), G (Ортогональная проекция). Доказывается в уроке: Расстояния, углы и объёмы в пространстве.

К математическому анализу. Цепь заканчивается там, где заканчиваются элементарные инструменты. Итоговый обзор курса помещает её среди семи общих целей; «Математический анализ III» заменит плоскости касательными плоскостями к кривым поверхностям, а определитель коэффициентом изменения объёма при преобразовании.