Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Αναλυτική γεωμετρία του χώρου: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για την αναλυτική γεωμετρία του χώρου, που είναι η τελευταία του κύκλου μαθημάτων. Συγκεντρώνει σε μια αποδεικτική αλυσίδα όσα πέτυχαν τα τέσσερα μαθήματα περιεχομένου της: την απόσταση δύο σημείων, που προκύπτει αν εφαρμοστεί δύο φορές το Πυθαγόρειο θεώρημα· το εσωτερικό γινόμενο, την ανισότητα Κωσί-Σβαρτς και τη γωνία δύο διανυσμάτων, που συμπίπτει με εκείνη της στοιχειώδους γεωμετρίας· το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο, που γεννήθηκαν από την ορίζουσα τρίτης τάξης, με την ανάγνωσή τους ως εμβαδού, ως όγκου και ως κριτηρίου συνεπιπεδότητας· τις εξισώσεις ευθειών και επιπέδων και την ταξινόμηση των σχετικών θέσεών τους με το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους· και, τέλος, τις αποστάσεις, τις γωνίες, τις προβολές και τη σφαίρα. Εξηγεί τι παίρνει η ενότητα από τις ενότητες που προηγήθηκαν και από τον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I, τι έγινε δεκτό χωρίς απόδειξη και πού οδηγεί. Επαναλαμβάνει σε μια τελική αξιολόγηση τις δεξιότητες της αρχικής αξιολόγησης της εισαγωγής και κλείνει με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, που συνδυάζουν περισσότερα από ένα από αυτά.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ανασυνθέτει την αλυσίδα ορισμών και θεωρημάτων της ενότητας, από την απόσταση δύο σημείων έως την κοινή κάθετο και τη σφαίρα, επισημαίνοντας σε κάθε κρίκο τα αποτελέσματα που προηγούνται και που χρησιμοποιεί η απόδειξή του.
  2. Να διακρίνει στην ενότητα τα αποδεδειγμένα από όσα έγιναν δεκτά, και να συνδέει τα αποτελέσματά της με τις ορίζουσες και τα συστήματα της ενότητας για τους πίνακες και με την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου του πρώτου κύκλου μαθημάτων.
  3. Να λύνει προβλήματα που συνδυάζουν το εσωτερικό, το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο με τις εξισώσεις ευθειών, επιπέδων και σφαιρών, επιλέγοντας σε κάθε περίπτωση το καταλληλότερο εργαλείο και σύστημα αξόνων.
  4. Να μοντελοποιεί με τη γεωμετρία του χώρου καταστάσεις από την κρυσταλλογραφία, το τεχνικό σχέδιο, την οπτική και την πλοήγηση, και να παρουσιάζει τη λύση με τη διατύπωσή της, τον υπολογισμό της και τον έλεγχο της αληθοφάνειάς της.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Οι συντεταγμένες και το εσωτερικό γινόμενο

Η ενότητα ξεκίνησε δηλώνοντας τι δεν επρόκειτο να αποδείξει. Το μάθημα για τα διανύσματα στον χώρο και το εσωτερικό γινόμενο συγκέντρωσε σε έναν κατάλογο τα γεγονότα της ευκλείδειας γεωμετρίας του χώρου που δεχόμαστε και, με το Πυθαγόρειο θεώρημα εφαρμοσμένο δύο φορές, έδωσε τον τύπο της απόστασης. Τα διανύσματα ορίστηκαν ως τριάδες, και το εσωτερικό γινόμενο διατήρησε τις ιδιότητες που είχε στο επίπεδο, μαζί με την ανισότητα Κωσί-Σβαρτς και την τριγωνική. Ωστόσο, στον χώρο δεν υπάρχει ένα επίπεδο σχήμα που να τα περιέχει όλα, και η σειρά αντιστράφηκε: η γωνία ορίστηκε μέσω του συνημιτόνου της, το οποίο η ανισότητα Κωσί-Σβαρτς τοποθετεί μεταξύ −1-1 και 11, και έπειτα αποδείχθηκε ότι μετρά αυτό που η στοιχειώδης γεωμετρία ονομάζει γωνία, επειδή το εσωτερικό γινόμενο εξαρτάται μόνο από τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου. Από αυτό προέκυψαν η ορθογώνια προβολή, τα συνημίτονα διεύθυνσης και οι πίνακες που διατηρούν τα μήκη και τις γωνίες.

Το εξωτερικό γινόμενο και το μικτό γινόμενο

Η αναζήτηση ενός διανύσματος κάθετου σε δύο δοσμένα διανύσματα οδήγησε, στο μάθημα για το εξωτερικό γινόμενο και το μικτό γινόμενο, σε τρεις ορίζουσες δεύτερης τάξης. Δεδομένου αυτού, οι ιδιότητες των οριζουσών έδωσαν αμέσως ότι το γινόμενο αντιμετατίθεται με αλλαγή προσήμου και ότι είναι διγραμμικό· η ταυτότητα του Λαγκράνζ έδωσε το μέτρο ως εμβαδόν του παραλληλογράμμου· και ο τύπος του διπλού εξωτερικού γινομένου, που αντικαθιστά την προσεταιριστικότητα, απέδειξε ότι τα διανύσματα που είναι κάθετα σε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα είναι τα πολλαπλάσια του εξωτερικού γινομένου τους. Το μικτό γινόμενο αποδείχθηκε ορίζουσα τρίτης τάξης: μηδενίζεται αν και μόνο αν τα τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα, η απόλυτη τιμή του είναι ο όγκος του παραλληλεπιπέδου και το τετράγωνό του είναι η ορίζουσα Γκραμ. Τέλος, το μάθημα διαχώρισε, ως προς τη φορά του εξωτερικού γινομένου, ό,τι αποδεικνύεται από ό,τι συμφωνείται κατά τη σχεδίαση των αξόνων, το δεξιόστροφο σύστημα, και από ό,τι γίνεται δεκτό, τον κανόνα του δεξιού χεριού.

Οι ευθείες και τα επίπεδα

Το μάθημα για τις ευθείες και τα επίπεδα στον χώρο ανήγαγε το ότι ένα σημείο ανήκει σε ένα επίπεδο σε μία μόνο συνθήκη, n⃗⋅AP⃗=0\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0, όπου n⃗\vec{n} είναι το εξωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων κατεύθυνσης, και από αυτήν έδωσε την καρτεσιανή εξίσωση, μοναδική εκτός από έναν παράγοντα. Έτσι, τα κοινά σημεία περισσότερων επιπέδων είναι οι λύσεις ενός γραμμικού συστήματος, και το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους απέκτησε τη γεωμετρική του ερμηνεία: οι λύσεις ενός συμβιβαστού συστήματος με τρεις αγνώστους σχηματίζουν ένα σημείο, μια ευθεία ή ένα επίπεδο ανάλογα με τη βαθμίδα. Από αυτήν συνάχθηκαν οι σχετικές θέσεις επιπέδων και ευθειών, με το μικτό γινόμενο AB⃗⋅(u⃗×v⃗)\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) ως κριτήριο για να διακρίνονται οι ευθείες που τέμνονται από τις ασύμβατες, καθώς και η δέσμη επιπέδων.

Οι μετρήσεις

Το μάθημα για τις αποστάσεις, τις γωνίες και τους όγκους στον χώρο συνένωσε τα τρία γινόμενα με τις εξισώσεις. Προβάλλοντας στο κάθετο διάνυσμα ή στην ευθεία, απέδειξε τους τύπους της απόστασης σημείου από επίπεδο και από ευθεία, με το ίχνος της καθέτου ως το μοναδικό πλησιέστερο σημείο, και το κεντρικό θεώρημα της ενότητας: δύο ασύμβατες ευθείες έχουν μία μοναδική κοινή κάθετο, της οποίας το μήκος είναι ένα μικτό γινόμενο διαιρεμένο με ένα μέτρο. Είναι η απάντηση στο πρόβλημα των δύο σηράγγων του μετρό που έθεσε η εισαγωγή. Έπειτα απέδειξε ότι οι γωνίες μεταξύ ευθειών και επιπέδων που ορίζονται με εσωτερικά γινόμενα συμπίπτουν με εκείνες της στοιχειώδους γεωμετρίας, ότι το εμβαδόν της προβολής ενός επίπεδου πολυγώνου είναι το εμβαδόν του επί το συνημίτονο της δίεδρης γωνίας, και μελέτησε τη σφαίρα και το εφαπτόμενο επίπεδό της.

Άρα η ενότητα σχηματίζει μια αλυσίδα: τα γεγονότα που δεχόμαστε δίνουν την απόσταση· η απόσταση και οι ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου δίνουν τη γωνία· οι ορίζουσες δίνουν το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο· αυτά μετατρέπουν το ότι ένα σημείο ανήκει σε ένα επίπεδο σε μια γραμμική εξίσωση· τα γραμμικά συστήματα ταξινομούν τις θέσεις· και η ορθογώνια προβολή, εφαρμοσμένη σε αυτές τις εξισώσεις, μετρά. Το σχήμα που ακολουθεί συγκεντρώνει τα τέσσερα τμήματα σε μία μόνο αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους κρίκους που προηγούνται και που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με μια συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με μια διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από εκείνα που γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη ή προέρχονται από ενότητες που προηγήθηκαν ή από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων, τα οποία σχεδιάζονται ως κενοί κύκλοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΕυκλείδεια γεγονότα του χώρου. Δεχόμαστε την ύπαρξη και τη μοναδικότητα του επιπέδου που διέρχεται από τρία μη συνευθειακά σημεία και του επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο κάθετα σε μια ευθεία, την ελευθερία επιλογής των αξόνων και την αντιστοιχία μεταξύ σημείων και τριάδων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΣτοιχειώδη εμβαδά και όγκοι. Δεχόμαστε τη βάση επί το ύψος για το παραλληλόγραμμο και το παραλληλεπίπεδο, το μισό αυτού του εμβαδού για το τρίγωνο, το ένα τρίτο της βάσης επί το ύψος για την πυραμίδα και την προσθετικότητα του εμβαδού· το θεμέλιό τους είναι ο ολοκληρωτικός λογισμός. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΓεωμετρία του επιπέδου. Η απόσταση, οι ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, η γωνία δύο διανυσμάτων, το λήμμα για τα ίσα διανύσματα και τα παραλληλόγραμμα, η συμπλήρωση τετραγώνου και το πρόσημο του δευτεροβάθμιου πολυωνύμου ανάλογα με τη διακρίνουσά του, που αποδείχθηκαν στον πρώτο κύκλο μαθημάτων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΤριγωνομετρία. Το τόξο συνημιτόνου ως αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση από το [−1,1]\icc{-1}{1} στο [0,π]\icc{0}{\pi}, η ταυτότητα cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 και ο νόμος των συνημιτόνων, που αποδείχθηκαν στις ενότητες 1 και 2. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • EΠίνακες και ορίζουσες. Ο ανάστροφος ενός γινομένου, ο πλευρικός αντίστροφος, οι ιδιότητες της ορίζουσας, ο κανόνας του Κράμερ και η ισοδυναμία ανάμεσα στο det⁡A≠0\det A \neq 0 και στη μέγιστη βαθμίδα, που αποδείχθηκαν στην ενότητα 4. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • FΡουσέ-Φρομπένιους. Το σύστημα AX=BAX = B είναι συμβιβαστό αν και μόνο αν rank⁡(A)=rank⁡(M)\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(M), και τότε έχει τόσους ελεύθερους αγνώστους όσο είναι το πλήθος των αγνώστων μείον τη βαθμίδα· αποδείχθηκε στην ενότητα 4. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • GΟρθογώνια προβολή. Αν το v⃗\vec{v} δεν είναι μηδενικό, κάθε διάνυσμα γράφεται με έναν μοναδικό τρόπο ως ένα πολλαπλάσιο του v⃗\vec{v} συν ένα διάνυσμα ορθογώνιο στο v⃗\vec{v}, και το τετράγωνο του μέτρου του είναι το άθροισμα των τετραγώνων των μέτρων των δύο μερών. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 6. Ορθογώνια προβολή.
  • HΚάθετα σε δύο διανύσματα. Αν τα u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} δεν είναι μηδενικά ούτε συγγραμμικά, τα διανύσματα που είναι κάθετα και στα δύο είναι ακριβώς τα πολλαπλάσια του u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 14. Κάθετα σε δύο διανύσματα.

  1. Τμήμα 1 Οι συντεταγμένες και το εσωτερικό γινόμενο

    • Να τοποθετεί σημεία στον χώρο και να υπολογίζει αποστάσεις, αιτιολογώντας τον τύπο με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
    • Να κάνει πράξεις με διανύσματα του χώρου και να αποδεικνύει με αυτά ιδιότητες παραλληλογράμμων και παραλληλεπιπέδων.
    • Να αποδεικνύει την ανισότητα Κωσί-Σβαρτς και την τριγωνική ανισότητα, και να ορίζει με αυτές τη γωνία δύο διανυσμάτων.
    • Να υπολογίζει ορθογώνιες προβολές και συνημίτονα διεύθυνσης, και να αναγνωρίζει τους πίνακες που διατηρούν τα μήκη και τις γωνίες.

    1. Απόσταση δύο σημείων. Η απόσταση των (x1,y1,z1)(x_1, y_1, z_1) και (x2,y2,z2)(x_2, y_2, z_2) είναι (x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}, από το Πυθαγόρειο θεώρημα εφαρμοσμένο σε ένα οριζόντιο επίπεδο και έπειτα σε ένα κατακόρυφο.

      Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεγονότα του χώρου), C (Γεωμετρία του επιπέδου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο.

    2. Διανύσματα και κανονική βάση. Οι τριάδες σχηματίζουν διανυσματικό χώρο, κάθε διάνυσμα είναι με έναν μοναδικό τρόπο συνδυασμός των i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} και k⃗\vec{k}, και αν PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} και τα τέσσερα σημεία δεν είναι συνευθειακά, τότε βρίσκονται σε ένα επίπεδο και το PQSRPQSR είναι παραλληλόγραμμο, και αντιστρόφως.

      Χρησιμοποιεί: 1. Απόσταση δύο σημείων. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεγονότα του χώρου), C (Γεωμετρία του επιπέδου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο.

    3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου. Το εσωτερικό γινόμενο είναι αντιμεταθετικό και επιμεριστικό, επιτρέπει να βγαίνουν οι αριθμοί έξω και ικανοποιεί τη σχέση u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2· κατά συνέπεια, ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2{\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2.

      Χρησιμοποιεί: 2. Διανύσματα και κανονική βάση. Στηρίζεται σε: C (Γεωμετρία του επιπέδου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο.

    4. Κωσί-Σβαρτς και τριγωνική ανισότητα. Ισχύουν οι ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥∥v⃗∥\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} και ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}, με ισότητα στην πρώτη αν και μόνο αν το ένα διάνυσμα είναι πολλαπλάσιο του άλλου.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου. Στηρίζεται σε: C (Γεωμετρία του επιπέδου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο.

    5. Η γωνία είναι η γεωμετρική. Ο αριθμός θ\theta του [0,π]\icc{0}{\pi} για τον οποίο ισχύει cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}} είναι το μέτρο της γωνίας που σχηματίζουν τα βέλη των u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} όταν σχεδιαστούν από την ίδια αρχή· ειδικότερα, δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι μηδέν.

      Χρησιμοποιεί: 1. Απόσταση δύο σημείων, 3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, 4. Κωσί-Σβαρτς και τριγωνική ανισότητα. Στηρίζεται σε: A (Ευκλείδεια γεγονότα του χώρου), C (Γεωμετρία του επιπέδου), D (Τριγωνομετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο.

    6. Ορθογώνια προβολή. Αν v⃗≠0⃗\vec{v} \neq \vec{0}, κάθε u⃗\vec{u} γράφεται με έναν μοναδικό τρόπο ως p⃗+w⃗\vec{p} + \vec{w}, με p⃗=u⃗⋅v⃗∥v⃗∥2v⃗\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v} και το w⃗\vec{w} ορθογώνιο στο v⃗\vec{v}, και ∥u⃗∥2=∥p⃗∥2+∥w⃗∥2{\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, 5. Η γωνία είναι η γεωμετρική. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο.

    7. Ορθογώνιοι πίνακες. Ισχύει (Au⃗)⋅v⃗=u⃗⋅(ATv⃗)\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)· αν οι στήλες του AA είναι μοναδιαίες και ορθογώνιες, τότε ATA=IA^{\mathsf{T}} A = I και ο AA διατηρεί μέτρα, αποστάσεις και γωνίες.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου. Στηρίζεται σε: E (Πίνακες και ορίζουσες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο.

  2. Τμήμα 2 Το εξωτερικό γινόμενο και το μικτό γινόμενο

    • Να ορίζει το εξωτερικό γινόμενο με μια συμβολική ορίζουσα και να αποδεικνύει με τις ορίζουσες ότι αντιμετατίθεται με αλλαγή προσήμου και είναι διγραμμικό, αλλά όχι προσεταιριστικό.
    • Να αποδεικνύει την καθετότητα, την ταυτότητα του Λαγκράνζ, το κριτήριο συγγραμμικότητας και τον τύπο του διπλού εξωτερικού γινομένου.
    • Να ταυτίζει το μικτό γινόμενο με μια ορίζουσα τρίτης τάξης και να το διαβάζει ως όγκο και ως κριτήριο συνεπιπεδότητας.
    • Να διαχωρίζει, ως προς τη φορά του εξωτερικού γινομένου, ό,τι αποδεικνύεται από τη σύμβαση του δεξιόστροφου συστήματος και από τον κανόνα του δεξιού χεριού, που γίνεται δεκτός.

    1. Αλγεβρικές ιδιότητες. Το εξωτερικό γινόμενο, του οποίου οι συνιστώσες είναι τρεις ορίζουσες δεύτερης τάξης, αντιμετατίθεται με αλλαγή προσήμου και είναι διγραμμικό, ικανοποιεί τη σχέση u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} και δεν είναι προσεταιριστικό.

      Στηρίζεται σε: E (Πίνακες και ορίζουσες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    2. Καθετότητα. Ισχύουν οι u⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0 και v⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0: το εξωτερικό γινόμενο είναι κάθετο στους δύο παράγοντές του.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, 8. Αλγεβρικές ιδιότητες. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    3. Ταυτότητα του Λαγκράνζ. Για όλα τα διανύσματα ισχύει ∥u⃗×v⃗∥2=∥u⃗∥2∥v⃗∥2−(u⃗⋅v⃗)2{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, 8. Αλγεβρικές ιδιότητες. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    4. Εμβαδόν του παραλληλογράμμου. Το μέτρο ∥u⃗×v⃗∥=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡θ\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v}, και το τρίγωνο ABCABC έχει εμβαδόν 12∥AB⃗×AC⃗∥\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}.

      Χρησιμοποιεί: 5. Η γωνία είναι η γεωμετρική, 10. Ταυτότητα του Λαγκράνζ. Στηρίζεται σε: B (Στοιχειώδη εμβαδά και όγκοι), D (Τριγωνομετρία), G (Ορθογώνια προβολή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    5. Μηδενικό γινόμενο και συγγραμμικότητα. Ισχύει u⃗×v⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} αν και μόνο αν το ένα από τα δύο διανύσματα είναι πολλαπλάσιο του άλλου.

      Χρησιμοποιεί: 8. Αλγεβρικές ιδιότητες. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    6. Διπλό εξωτερικό γινόμενο. Ισχύουν η u⃗×(v⃗×w⃗)=(u⃗⋅w⃗)v⃗−(u⃗⋅v⃗)w⃗\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w} και η ταυτότητα του Γιακόμπι.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, 8. Αλγεβρικές ιδιότητες. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    7. Κάθετα σε δύο διανύσματα. Αν τα u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} δεν είναι μηδενικά ούτε συγγραμμικά, ένα διάνυσμα είναι κάθετο και στα δύο αν και μόνο αν είναι πολλαπλάσιο του n⃗=u⃗×v⃗\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}, και τότε είναι x⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}.

      Χρησιμοποιεί: 9. Καθετότητα, 12. Μηδενικό γινόμενο και συγγραμμικότητα, 13. Διπλό εξωτερικό γινόμενο. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    8. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα. Το μικτό γινόμενο u⃗⋅(v⃗×w⃗)\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) είναι η ορίζουσα του πίνακα με γραμμές u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} και w⃗\vec{w}· δεν αλλάζει με κυκλική μετάθεση των παραγόντων, αλλάζει πρόσημο όταν εναλλάσσονται δύο από αυτούς, και η τελεία και ο σταυρός μπορούν να εναλλαγούν.

      Χρησιμοποιεί: 3. Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου, 8. Αλγεβρικές ιδιότητες. Στηρίζεται σε: E (Πίνακες και ορίζουσες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    9. Κριτήριο συνεπιπεδότητας. Τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα, δηλαδή δέχονται έναν μηδενικό συνδυασμό με κάποιον μη μηδενικό συντελεστή, αν και μόνο αν το μικτό τους γινόμενο είναι μηδέν.

      Χρησιμοποιεί: 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα. Στηρίζεται σε: E (Πίνακες και ορίζουσες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    10. Όγκος και πίνακας Γκραμ. Το παραλληλεπίπεδο με ακμές u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} και w⃗\vec{w} έχει όγκο ∣u⃗⋅(v⃗×w⃗)∣\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}, το τετράεδρο το ένα έκτο του, και το τετράγωνο του μικτού γινομένου είναι η ορίζουσα Γκραμ.

      Χρησιμοποιεί: 11. Εμβαδόν του παραλληλογράμμου, 12. Μηδενικό γινόμενο και συγγραμμικότητα, 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα, 16. Κριτήριο συνεπιπεδότητας. Στηρίζεται σε: B (Στοιχειώδη εμβαδά και όγκοι), G (Ορθογώνια προβολή), E (Πίνακες και ορίζουσες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

    11. Χαρακτηρισμός και προσανατολισμός. Αν τα u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} δεν είναι μηδενικά ούτε συγγραμμικά, το u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} είναι το μοναδικό διάνυσμα που είναι κάθετο και στα δύο, έχει μέτρο ίσο με το εμβαδόν και θετικό μικτό γινόμενο· ότι δείχνει προς την κατεύθυνση του αντίχειρα του δεξιού χεριού γίνεται δεκτό, αφού συμφωνηθεί η σχεδίαση των αξόνων.

      Χρησιμοποιεί: 11. Εμβαδόν του παραλληλογράμμου, 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα. Στηρίζεται σε: H (Κάθετα σε δύο διανύσματα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.

  3. Τμήμα 3 Οι ευθείες και τα επίπεδα

    • Να γράφει ευθείες σε διανυσματική, παραμετρική και συμμετρική μορφή, και επίπεδα σε παραμετρική και καρτεσιανή μορφή, περνώντας από τη μία στην άλλη με το εξωτερικό γινόμενο.
    • Να αποδεικνύει ότι κάθε επίπεδο έχει καρτεσιανή εξίσωση, μοναδική εκτός από έναν παράγοντα, και ότι κάθε εξίσωση πρώτου βαθμού περιγράφει ένα επίπεδο.
    • Να αποφαίνεται για τις σχετικές θέσεις επιπέδων και ευθειών με τις βαθμίδες ενός γραμμικού συστήματος και με το μικτό γινόμενο.
    • Να κατασκευάζει με τη δέσμη επιπέδων τα επίπεδα που περιέχουν μια ευθεία και ικανοποιούν μια άλλη συνθήκη.

    1. Η ευθεία από δύο σημεία. Από δύο διαφορετικά σημεία AA και BB διέρχεται μία μοναδική ευθεία, η A+tAB⃗A + t \vec{AB}.

      Χρησιμοποιεί: 2. Διανύσματα και κανονική βάση. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ευθείες και επίπεδα στον χώρο.

    2. Συνδυασμοί δύο διανυσμάτων. Αν τα u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} δεν είναι μηδενικά ούτε συγγραμμικά, το w⃗\vec{w} είναι συνδυασμός τους αν και μόνο αν (u⃗×v⃗)⋅w⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0, και τότε οι συντελεστές είναι μοναδικοί.

      Χρησιμοποιεί: 9. Καθετότητα, 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα. Στηρίζεται σε: F (Ρουσέ-Φρομπένιους), E (Πίνακες και ορίζουσες). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ευθείες και επίπεδα στον χώρο.

    3. Καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου. Ένα σημείο βρίσκεται στο επίπεδο A+λu⃗+μv⃗A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v} αν και μόνο αν (u⃗×v⃗)⋅AP⃗=0\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0· κάθε επίπεδο έχει μια εξίσωση ax+by+cz=dax + by + cz = d, μοναδική εκτός από έναν παράγοντα, και κάθε τέτοια εξίσωση περιγράφει ένα επίπεδο.

      Χρησιμοποιεί: 12. Μηδενικό γινόμενο και συγγραμμικότητα, 20. Συνδυασμοί δύο διανυσμάτων. Στηρίζεται σε: H (Κάθετα σε δύο διανύσματα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ευθείες και επίπεδα στον χώρο.

    4. Θέσεις των επιπέδων. Οι λύσεις ενός συμβιβαστού συστήματος με αγνώστους xx, yy και zz σχηματίζουν ένα σημείο, μια ευθεία ή ένα επίπεδο ανάλογα με το αν η βαθμίδα είναι 33, 22 ή 11· από αυτό προκύπτουν οι θέσεις δύο και τριών επιπέδων και οι θέσεις μιας ευθείας και ενός επιπέδου.

      Χρησιμοποιεί: 19. Η ευθεία από δύο σημεία, 20. Συνδυασμοί δύο διανυσμάτων, 21. Καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου, 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα. Στηρίζεται σε: F (Ρουσέ-Φρομπένιους), E (Πίνακες και ορίζουσες), H (Κάθετα σε δύο διανύσματα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ευθείες και επίπεδα στον χώρο.

    5. Θέσεις δύο ευθειών. Δύο μη παράλληλες ευθείες A+tu⃗A + t \vec{u} και B+λv⃗B + \lambda \vec{v} τέμνονται αν AB⃗⋅(u⃗×v⃗)=0\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0 και είναι ασύμβατες αν όχι· αυτό το μικτό γινόμενο είναι μηδέν αν και μόνο αν βρίσκονται σε ένα επίπεδο.

      Χρησιμοποιεί: 19. Η ευθεία από δύο σημεία, 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα, 21. Καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου. Στηρίζεται σε: F (Ρουσέ-Φρομπένιους), E (Πίνακες και ορίζουσες), H (Κάθετα σε δύο διανύσματα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ευθείες και επίπεδα στον χώρο.

    6. Δέσμη επιπέδων. Τα επίπεδα που περιέχουν την κοινή ευθεία δύο τεμνόμενων επιπέδων είναι οι συνδυασμοί των εξισώσεών τους με συντελεστές που δεν είναι και οι δύο μηδέν.

      Χρησιμοποιεί: 20. Συνδυασμοί δύο διανυσμάτων, 22. Θέσεις των επιπέδων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ευθείες και επίπεδα στον χώρο.

  4. Τμήμα 4 Οι μετρήσεις

    • Να αποδεικνύει τους τύπους των αποστάσεων σημείου από επίπεδο και από ευθεία, με το ίχνος της καθέτου ως το μοναδικό πλησιέστερο σημείο.
    • Να βρίσκει την κοινή κάθετο δύο ασύμβατων ευθειών, να αποδεικνύει ότι είναι μοναδική και να υπολογίζει το μήκος της με ένα μικτό γινόμενο.
    • Να ορίζει τις γωνίες μεταξύ ευθειών και επιπέδων, να αποδεικνύει ότι συμπίπτουν με τις γεωμετρικές και να συνδέει το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος με το εμβαδόν της προβολής του.
    • Να μελετά τη σφαίρα, την τομή της με ένα επίπεδο και το εφαπτόμενο επίπεδό της, και να εφαρμόζει όλα αυτά στην κρυσταλλογραφία και στον δορυφορικό εντοπισμό θέσης.

    1. Απόσταση από επίπεδο. Η απόσταση του (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) από το επίπεδο ax+by+cz=dax + by + cz = d είναι ∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} και επιτυγχάνεται μόνο στο ίχνος της καθέτου· από αυτήν προκύπτουν οι ημιχώροι και το συμμετρικό ενός σημείου.

      Χρησιμοποιεί: 21. Καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου. Στηρίζεται σε: G (Ορθογώνια προβολή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αποστάσεις, γωνίες και όγκοι στον χώρο.

    2. Απόσταση από ευθεία. Η απόσταση του PP από την ευθεία A+tu⃗A + t \vec{u} είναι ∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}} και επιτυγχάνεται μόνο στο ίχνος της καθέτου.

      Χρησιμοποιεί: 10. Ταυτότητα του Λαγκράνζ, 19. Η ευθεία από δύο σημεία. Στηρίζεται σε: G (Ορθογώνια προβολή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αποστάσεις, γωνίες και όγκοι στον χώρο.

    3. Κοινή κάθετος. Δύο ασύμβατες ευθείες, οι A+tu⃗A + t \vec{u} και B+sv⃗B + s \vec{v}, έχουν μία μοναδική κοινή κάθετο, και η απόστασή τους είναι ∣AB⃗⋅(u⃗×v⃗)∣∥u⃗×v⃗∥\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}, που επιτυγχάνεται μόνο μεταξύ των ιχνών της.

      Χρησιμοποιεί: 10. Ταυτότητα του Λαγκράνζ, 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα, 23. Θέσεις δύο ευθειών. Στηρίζεται σε: E (Πίνακες και ορίζουσες), H (Κάθετα σε δύο διανύσματα), G (Ορθογώνια προβολή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αποστάσεις, γωνίες και όγκοι στον χώρο.

    4. Γωνίες με επίπεδα και δίεδρες. Η γωνία μιας ευθείας με ένα επίπεδο, με ημίτονο ∣u⃗⋅n⃗∣∥u⃗∥∥n⃗∥\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}, είναι εκείνη που σχηματίζει με την προβολή της, και η γωνία μεταξύ των κάθετων διανυσμάτων δύο επιπέδων είναι η δίεδρη γωνία ή η παραπληρωματική της.

      Χρησιμοποιεί: 4. Κωσί-Σβαρτς και τριγωνική ανισότητα, 11. Εμβαδόν του παραλληλογράμμου, 13. Διπλό εξωτερικό γινόμενο, 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα, 25. Απόσταση από επίπεδο. Στηρίζεται σε: D (Τριγωνομετρία), H (Κάθετα σε δύο διανύσματα), G (Ορθογώνια προβολή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αποστάσεις, γωνίες και όγκοι στον χώρο.

    5. Εμβαδόν της προβολής. Αν ένα πολύγωνο εμβαδού SS βρίσκεται σε ένα επίπεδο που σχηματίζει τη δίεδρη γωνία α\alpha με το επίπεδο π\pi, με α=0\alpha = 0 αν είναι παράλληλα, η ορθογώνια προβολή του στο π\pi έχει εμβαδόν Scos⁡αS \cos \alpha.

      Χρησιμοποιεί: 11. Εμβαδόν του παραλληλογράμμου, 15. Το μικτό γινόμενο είναι ορίζουσα, 25. Απόσταση από επίπεδο, 28. Γωνίες με επίπεδα και δίεδρες. Στηρίζεται σε: B (Στοιχειώδη εμβαδά και όγκοι), H (Κάθετα σε δύο διανύσματα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αποστάσεις, γωνίες και όγκοι στον χώρο.

    6. Η σφαίρα και το εφαπτόμενο επίπεδό της. Ένα επίπεδο σε απόσταση δ\delta από το κέντρο μιας σφαίρας ακτίνας RR την τέμνει σε κύκλο ακτίνας R2−δ2\sqrt{R^2 - \delta^2} αν δ<R\delta < R και την αγγίζει μόνο στο ίχνος της καθέτου αν δ=R\delta = R· το εφαπτόμενο επίπεδο στο TT έχει κάθετο διάνυσμα το CT⃗\vec{CT}.

      Χρησιμοποιεί: 1. Απόσταση δύο σημείων, 25. Απόσταση από επίπεδο. Στηρίζεται σε: C (Γεωμετρία του επιπέδου), G (Ορθογώνια προβολή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αποστάσεις, γωνίες και όγκοι στον χώρο.

Προς τον λογισμό. Η αλυσίδα τελειώνει εκεί όπου τελειώνουν τα στοιχειώδη εργαλεία. Ο τελικός απολογισμός του κύκλου μαθημάτων την τοποθετεί ανάμεσα στους επτά γενικούς στόχους· ο Λογισμός III θα αντικαταστήσει τα επίπεδα με εφαπτόμενα επίπεδα σε καμπύλες επιφάνειες και την ορίζουσα με τον συντελεστή όγκου ενός μετασχηματισμού.