Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο

Περίληψη

Αυτό το μάθημα μεταφέρει στον χώρο των τριών διαστάσεων τα διανύσματα που το μάθημα για τα διανύσματα στο επίπεδο μελέτησε με δύο συντεταγμένες. Ορίζει ένα σύστημα τριών κάθετων αξόνων με θετικό προσανατολισμό, δηλώνει ποια γεγονότα της ευκλείδειας γεωμετρίας του χώρου δεχόμαστε και, εφαρμόζοντας δύο φορές το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρίσκει την απόσταση δύο σημείων. Ορίζει τα διανύσματα ως τριάδες πραγματικών αριθμών, με το άθροισμά τους, τον πολλαπλασιασμό τους με αριθμό, την κανονική βάση και τη μοναδικότητα των συντεταγμένων· ορίζει το μέτρο και το εσωτερικό γινόμενο, αποδεικνύει τις ιδιότητές τους, την ανισότητα Κωσί-Σβαρτς μέσω της διακρίνουσας και την τριγωνική ανισότητα, και με αυτές ορίζει τη γωνία δύο διανυσμάτων, που συμπίπτει με τη γωνία της στοιχειώδους γεωμετρίας. Μελετά έπειτα την ορθογωνιότητα, την ορθογώνια προβολή, τα συνημίτονα διεύθυνσης και τη γραφή του εσωτερικού γινομένου ως γινομένου μιας γραμμής επί μια στήλη, από την οποία προκύπτει ότι οι πίνακες με μοναδιαίες και κάθετες στήλες διατηρούν τα μήκη και τις γωνίες. Οι εφαρμογές είναι το έργο μιας δύναμης, ο νόμος των συνημιτόνων στον χώρο και η γωνία του μορίου του μεθανίου· τα προβλήματα αφορούν τις διαγωνίους του κύβου και του παραλληλεπιπέδου, τα διανύσματα που είναι κάθετα σε δύο δοσμένα, τις τάσεις τριών συρματόσχοινων και τα τετράεδρα με κάθετες απέναντι ακμές.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Τοποθετεί σημεία σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του χώρου, αναγνωρίζει το ογδοημόριό τους και υπολογίζει αποστάσεις, αιτιολογώντας τον τύπο με το Πυθαγόρειο θεώρημα.
  2. Κάνει πράξεις με διανύσματα του χώρου, τα εκφράζει στην κανονική βάση και αποδεικνύει με αυτά ιδιότητες παραλληλογράμμων, παραλληλεπιπέδων και τετραέδρων.
  3. Υπολογίζει μέτρα, εσωτερικά γινόμενα, γωνίες, ορθογώνιες προβολές και συνημίτονα διεύθυνσης, και αποδεικνύει την ανισότητα Κωσί-Σβαρτς και την τριγωνική ανισότητα στον χώρο.
  4. Γράφει το εσωτερικό γινόμενο ως γινόμενο πινάκων και αποφασίζει με αυτό αν ένας πίνακας διατηρεί τα μήκη και τις γωνίες.
  5. Μοντελοποιεί με το εσωτερικό γινόμενο το έργο μιας δύναμης, την ισορροπία συντρεχουσών δυνάμεων και τις γωνίες ενός μορίου.

Το σύστημα συντεταγμένων του χώρου

Στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τα διανύσματα στο επίπεδο, κάθε σημείο του επιπέδου ταυτίστηκε με ένα ζεύγος αριθμών και κάθε μετατόπιση με ένα άλλο ζεύγος, και η γεωμετρία των ευθειών, των γωνιών και των αποστάσεων μεταφράστηκε σε υπολογισμούς με αυτά τα ζεύγη. Ο φυσικός κόσμος, ωστόσο, έχει τρεις διαστάσεις: η θέση ενός αεροπλάνου, ενός ατόμου σε ένα μόριο ή μιας λάμπας κρεμασμένης από το ταβάνι απαιτεί τρεις αριθμούς. Αν αυτό ισχύει, συμφέρει να επαναλάβουμε την κατασκευή με τριάδες. Τα περισσότερα από όσα αποδείχθηκαν στο επίπεδο επεκτείνονται χωρίς αλλαγές, επειδή οι αποδείξεις δούλευαν συντεταγμένη προς συντεταγμένη ή χρησιμοποιούσαν μόνο τις αλγεβρικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου· σε αυτές τις περιπτώσεις το μάθημα αυτό παραπέμπει στο μάθημα του επιπέδου. Αυτό που απαιτεί προσοχή είναι η γεωμετρία: στον χώρο δεν διαθέτουμε ένα επίπεδο σχήμα που να τα περιέχει όλα, και η γωνία δύο διανυσμάτων, για παράδειγμα, πρέπει να οριστεί πριν υπολογιστεί.

Τα γεγονότα της ευκλείδειας γεωμετρίας του χώρου που δεχόμαστε

Η αναλυτική γεωμετρία του χώρου μεταφράζει τη στερεομετρία, την οποία ο Ευκλείδης εξέθεσε στα βιβλία XI έως XIII των Στοιχείων. Η αξιωματική της θεμελίωση υπερβαίνει αυτόν τον κύκλο μαθημάτων, όπως συνέβη και με τη θεμελίωση του επιπέδου στο μάθημα για την εξίσωση της ευθείας, όπου συγκεντρώθηκαν σε έναν κατάλογο τα γεγονότα της επίπεδης γεωμετρίας που δεχόμαστε. Με τον ίδιο τρόπο, τα γεγονότα του χώρου που χρησιμοποιεί αυτή η ενότητα γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη και συγκεντρώνονται στον κατάλογο που ακολουθεί· κάθε φορά που ένα μάθημα της ενότητας καταφεύγει σε κάποιο από αυτά, παραπέμπει σε αυτόν.

  1. Επίπεδα. Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένα μοναδικό επίπεδο, και αν δύο σημεία μιας ευθείας ανήκουν σε ένα επίπεδο, ολόκληρη η ευθεία ανήκει σε αυτό. Σε κάθε επίπεδο του χώρου ισχύουν τα γεγονότα της επίπεδης γεωμετρίας που έγιναν δεκτά στο μάθημα για την εξίσωση της ευθείας· ειδικότερα, το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του, καθώς και η ελευθερία να επιλέξουμε σε αυτό ένα σύστημα αξόνων.
  2. Κάθετες ευθείες και επίπεδα. Από κάθε σημείο διέρχεται ένα μοναδικό επίπεδο κάθετο σε μια δοσμένη ευθεία, και αυτό το επίπεδο τέμνει την ευθεία σε ένα μοναδικό σημείο. Μια ευθεία κάθετη σε ένα επίπεδο είναι κάθετη σε όλες τις ευθείες του επιπέδου που διέρχονται από το σημείο στο οποίο το τέμνει.
  3. Άξονες. Τρεις ευθείες που διέρχονται από ένα σημείο OO και είναι κάθετες ανά δύο, με μια θετική φορά στην καθεμία και την ίδια μονάδα μήκους, σχηματίζουν ένα σύστημα αξόνων. Οι αποστάσεις, οι γωνίες και τα σχήματα δεν εξαρτώνται από αυτή την επιλογή.
  4. Συντεταγμένες. Αν έχει οριστεί ένα σύστημα αξόνων, τα επίπεδα που είναι κάθετα στους τρεις άξονες και διέρχονται από ένα σημείο PP τους τέμνουν στα σημεία με τετμημένες xx, yy και zz, και αντιστρόφως, για κάθε τριάδα αριθμών τα τρία αυτά επίπεδα τέμνονται σε ένα μοναδικό σημείο. Τα σημεία με τρίτη συντεταγμένη ίση με cc σχηματίζουν ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα zz, στο οποίο οι δύο πρώτες συντεταγμένες είναι καρτεσιανές συντεταγμένες του επιπέδου με την ίδια μονάδα· τα σημεία με σταθερές τις δύο πρώτες συντεταγμένες σχηματίζουν μια ευθεία παράλληλη στον άξονα zz, κάθετη σε εκείνο το επίπεδο, πάνω στην οποία η τρίτη συντεταγμένη μετρά τη θέση με την ίδια μονάδα. Το ίδιο ισχύει με αντιμετατεθειμένους τους άξονες.

Το τέταρτο γεγονός είναι συνέπεια των τριών πρώτων, την οποία η στερεομετρία αποδεικνύει με τις ιδιότητες των παράλληλων ευθειών και των παράλληλων επιπέδων· διατυπώνεται χωριστά επειδή σε αυτή τη μορφή θα χρησιμοποιηθεί.

Ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων του χώρου είναι ένα σύστημα αξόνων, που ονομάζονται άξονας xx, άξονας yy και άξονας zz και τέμνονται στην αρχή των αξόνων OO. Κάθε σημείο PP ταυτίζεται με την τριάδα των συντεταγμένων του, P=(x,y,z)P = (x, y, z), που ονομάζονται τετμημένη, τεταγμένη και κατηγμένη. Τα τρία επίπεδα συντεταγμένων είναι το επίπεδο xyxy, με εξίσωση z=0z = 0· το επίπεδο yzyz, με εξίσωση x=0x = 0· και το επίπεδο xzxz, με εξίσωση y=0y = 0.

Τα επίπεδα συντεταγμένων χωρίζουν τον χώρο σε οκτώ περιοχές, που ονομάζονται ογδοημόρια, ανάλογα με το πρόσημο κάθε συντεταγμένης· το πρώτο ογδοημόριο είναι εκείνο των σημείων με τις τρεις συντεταγμένες θετικές, και τα άλλα ονομάζονται με την τριάδα των προσήμων τους, για παράδειγμα το ογδοημόριο (+,−,+)(+, -, +). Στο επίπεδο, δύο κάθετοι άξονες μπορούν να διαταχθούν με δύο ουσιωδώς διαφορετικούς τρόπους: ο δεύτερος άξονας προκύπτει στρέφοντας τον πρώτο κατά ένα τέταρτο της στροφής αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή κατά τη φορά τους. Στον χώρο συμβαίνει το ίδιο με τους τρεις άξονες, και η διάκριση έχει όνομα.

Ένα σύστημα συντεταγμένων του χώρου έχει θετικό προσανατολισμό όταν, αν το κοιτάξουμε από τον θετικό ημιάξονα του άξονα zz, το τέταρτο της στροφής που φέρνει τον θετικό ημιάξονα xx στον θετικό ημιάξονα yy φαίνεται αντίθετο προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Ισοδύναμα, ισχύει ο κανόνας του δεξιού χεριού: αν τα δάχτυλα του δεξιού χεριού κυρτώνονται από τον θετικό ημιάξονα xx προς τον θετικό ημιάξονα yy, ο αντίχειρας δείχνει τον θετικό ημιάξονα zz.

Αν αντιστραφεί η φορά ενός από τους άξονες, ο προσανατολισμός αλλάζει· αν αντιστραφούν δύο, διατηρείται. Αν οι άξονες μετατεθούν κυκλικά, από xx, yy, zz σε yy, zz, xx, ο προσανατολισμός επίσης δεν αλλάζει, ώστε σε ένα θετικό σύστημα, αν το κοιτάξουμε από τον θετικό ημιάξονα xx, η στροφή από τον yy στον zz είναι επίσης αντίθετη προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Από εδώ και πέρα όλα τα συστήματα έχουν θετικό προσανατολισμό. Τα σχήματα τα σχεδιάζουν σε πλάγια προβολή: ο άξονας yy προς τα δεξιά, ο άξονας zz προς τα πάνω και ο άξονας xx προς τον παρατηρητή, χαραγμένος διαγώνια και με τα μήκη μειωμένα στο μισό. Ο προσανατολισμός δεν παίζει ρόλο σε αυτό το μάθημα· θα είναι ουσιώδης στο μάθημα που ακολουθεί, για το εξωτερικό γινόμενο και το μικτό γινόμενο.

ΠαράδειγμαΤοποθέτηση ενός σημείου στον χώρο

Να τοποθετηθεί το σημείο P=(3,4,2)P = (3, 4, 2) διατρέχοντας τους άξονες, να βρεθεί το ογδοημόριό του και να τοποθετηθεί το σημείο P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2).

Απόδειξη

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    Σχεδιάζουμε τους τρεις άξονες με θετικό προσανατολισμό: αν το κοιτάξουμε από πάνω, το τέταρτο της στροφής από τον θετικό ημιάξονα xx στον θετικό ημιάξονα yy είναι αντίθετο προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    Προχωράμε 33 μονάδες πάνω στον άξονα xx.

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    Από το AA, προχωράμε 44 μονάδες στη διεύθυνση του άξονα yy, χωρίς να βγούμε από το επίπεδο xyxy.

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    Από το BB, ανεβαίνουμε 22 μονάδες στη διεύθυνση του άξονα zz. Οι τρεις συντεταγμένες είναι θετικές: το PP βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και είναι η κορυφή απέναντι από το OO του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ακμές 33, 44 και 22.

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    Αν από το BB κατέβουμε 22 μονάδες, φτάνουμε στο P1P_1, στο ογδοημόριο (+,+,−)(+, +, -). Το επίπεδο xyxy τέμνει κάθετα το ευθύγραμμο τμήμα PP1P P_1 στο μέσο του, BB: το P1P_1 είναι το συμμετρικό του PP ως προς αυτό το επίπεδο.

Η απόσταση δύο σημείων

Στο επίπεδο, η απόσταση δύο σημείων βρέθηκε εφαρμόζοντας μία φορά το Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα τρίγωνο με κάθετες πλευρές παράλληλες στους άξονες. Στον χώρο χρειάζεται να εφαρμοστεί δύο φορές: πρώτα σε ένα οριζόντιο επίπεδο και έπειτα σε ένα κατακόρυφο επίπεδο.

ΘεώρημαΑπόσταση δύο σημείων

Η απόσταση των σημείων P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1) και Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) δίνεται από τον τύπο που ακολουθεί.

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

Εισάγουμε ένα βοηθητικό σημείο RR, στο ύψος του PP και στην κατακόρυφο του QQ. Το σχήμα χρησιμοποιεί τα P=(1,2,1)P = (1, 2, 1) και Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7).

Απόδειξη

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    Έστω RR το σημείο με τις δύο πρώτες συντεταγμένες του QQ και την κατηγμένη του PP. Τα σημεία PP και RR βρίσκονται στο επίπεδο με κατηγμένη z1z_1, και τα RR και QQ στην ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα zz και αποτελείται από τα σημεία με πρώτες συντεταγμένες x2x_2 και y2y_2.

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    Από το γεγονός των συντεταγμένων, στο επίπεδο με κατηγμένη z1z_1 οι δύο πρώτες συντεταγμένες είναι καρτεσιανές, και ο τύπος της απόστασης στο επίπεδο, από το μάθημα για την εξίσωση της ευθείας, δίνει το μήκος του PRPR. Στο σχήμα, 4+9=134 + 9 = 13.

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    Πάνω στην κατακόρυφη ευθεία που περιέχει το RR και το QQ, η κατηγμένη μετρά τη θέση: το μήκος του RQRQ είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των κατηγμένων. Στο σχήμα, 7−1=67 - 1 = 6.

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    Η ευθεία RQRQ είναι κάθετη στο επίπεδο με κατηγμένη z1z_1 και, από το δεύτερο γεγονός που δεχόμαστε, στην ευθεία PRPR, που βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο και διέρχεται από το RR. Το τρίγωνο PRQPRQ είναι ορθογώνιο στο RR και, από το πρώτο γεγονός, το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει στο επίπεδο που το περιέχει.

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    Αντικαθιστούμε και παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα. Αν P=RP = R ή R=QR = Q, δεν υπάρχει τρίγωνο, αλλά ο τύπος ανάγεται σε εκείνον μιας μόνο από τις δύο αποστάσεις και εξακολουθεί να ισχύει. Στο σχήμα, η απόσταση είναι 77.

Ειδικότερα, η απόσταση του P=(x,y,z)P = (x, y, z) από την αρχή των αξόνων είναι x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, το μήκος της διαγωνίου του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ακμές ∣x∣\abs{x}, ∣y∣\abs{y} και ∣z∣\abs{z}. Για παράδειγμα, η διαγώνιος ενός κύβου με ακμή aa έχει μήκος a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}.