본문 바로가기
Topos Uranos
한국어

공간벡터와 내적

요약

이 수업은 평면벡터에 관한 수업이 두 좌표로 다룬 벡터를 삼차원 공간으로 옮긴다. 양의 향을 가진 서로 수직인 세 축의 좌표계를 정하고, 받아들이는 공간의 유클리드 기하학의 사실을 밝히며, 피타고라스 정리를 두 번 적용하여 두 점 사이의 거리를 구한다. 벡터를 실수 세 개의 순서쌍으로 정의하고, 그 덧셈, 실수배, 표준기저, 성분의 유일성을 다룬다. 크기와 내적을 정의하고, 그 성질, 판별식을 이용한 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식을 증명하며, 이를 이용하여 두 벡터가 이루는 각을 정의하는데, 이 각은 초등 기하학의 각과 일치한다. 이어서 직교, 정사영, 방향코사인, 그리고 내적을 행과 열의 곱으로 쓰는 방법을 다루고, 이로부터 열이 단위벡터이고 서로 수직인 행렬은 길이와 각을 보존한다는 사실을 이끌어 낸다. 응용으로는 힘이 한 일, 공간에서의 코사인법칙, 메테인 분자의 각을 다루고, 문제에서는 정육면체와 평행육면체의 대각선, 주어진 두 벡터에 수직인 벡터, 세 케이블의 장력, 그리고 마주 보는 모서리가 수직인 사면체를 다룬다.

학습 목표

  1. 공간좌표계에 점을 나타내고, 그 점이 속한 팔분공간을 판별하며, 피타고라스 정리로 공식을 정당화하여 거리를 계산한다.
  2. 공간벡터를 연산하고, 표준기저로 나타내며, 이를 이용하여 평행사변형, 평행육면체, 사면체의 성질을 증명한다.
  3. 크기, 내적, 각, 정사영, 방향코사인을 계산하고, 공간에서 코시-슈바르츠 부등식과 삼각부등식을 증명한다.
  4. 내적을 행렬의 곱으로 쓰고, 이를 이용하여 행렬이 길이와 각을 보존하는지 판정한다.
  5. 내적을 이용하여 힘이 한 일, 한 점에 작용하는 힘들의 평형, 분자의 각을 모형화한다.

공간의 좌표계

강좌 대수학과 기하학 I의 평면벡터에 관한 수업에서는 평면의 각 점을 수의 쌍과, 각 변위를 다른 수의 쌍과 동일시하였고, 직선, 각, 거리의 기하학을 이 쌍들을 이용한 계산으로 번역하였다. 그러나 물리적 세계는 삼차원이다. 비행기의 위치, 분자 속 원자의 위치, 천장에 매달린 등의 위치에는 세 개의 수가 필요하다. 그렇다면 세 수의 순서쌍으로 구성을 되풀이하는 것이 좋다. 평면에서 증명한 것의 대부분은 바뀌지 않고 확장되는데, 그 증명들이 성분별로 진행되었거나 내적의 대수적 성질만을 사용했기 때문이다. 그런 경우 이 수업은 평면의 수업을 참조한다. 주의가 필요한 것은 기하학이다. 공간에서는 모든 것을 담는 하나의 평면 그림을 쓸 수 없으며, 예를 들어 두 벡터가 이루는 각은 계산하기 전에 먼저 정의해야 한다.

받아들이는 공간의 유클리드 기하학의 사실

공간의 해석기하학은 입체기하학을 번역한 것이며, 유클리드는 입체기하학을 『원론』 제XI권부터 제XIII권까지에서 서술하였다. 그 공리적 구성은 이 강좌의 범위를 넘는다. 평면의 경우도 마찬가지여서, 직선의 방정식에 관한 수업에서는 받아들이는 평면 기하학의 사실들을 목록으로 모았다. 같은 방식으로, 이 단원에서 사용하는 공간의 사실들은 증명 없이 받아들이고 아래 목록에 모은다. 단원의 어떤 수업이 그중 하나를 사용할 때마다 이 목록을 참조한다.

  1. 평면. 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 평면은 오직 하나이고, 직선 위의 두 점이 어떤 평면 위에 있으면 그 직선 전체가 그 평면 위에 있다. 공간의 각 평면에서는 직선의 방정식에 관한 수업에서 받아들인 평면 기하학의 사실이 성립한다. 특히 피타고라스 정리와 그 역이 성립하고, 그 평면에서 축을 자유롭게 고를 수 있다.
  2. 수직인 직선과 평면. 각 점을 지나고 주어진 직선에 수직인 평면은 오직 하나이며, 그 평면은 직선과 오직 한 점에서 만난다. 평면에 수직인 직선은 그 평면 위의 직선 중 교점을 지나는 모든 직선에 수직이다.
  3. 축. 한 점 OO를 지나고 서로 수직인 세 직선은, 각각에 양의 향을 정하고 같은 길이의 단위를 잡으면, 하나의 좌표축을 이룬다. 거리, 각, 도형은 이 선택에 의존하지 않는다.
  4. 좌표. 좌표축을 고정하면, 점 PP를 지나고 세 축에 수직인 평면들은 각각 좌표가 xx, yy, zz인 점에서 축과 만나며, 거꾸로 수의 세 순서쌍 각각에 대하여 이 세 평면은 오직 한 점에서 만난다. 셋째 좌표가 cc와 같은 점들은 zz축에 수직인 평면을 이루고, 그 평면에서 처음 두 좌표는 같은 단위에 의한 평면의 직교좌표이다. 처음 두 좌표가 고정된 점들은 zz축에 평행하고 그 평면에 수직인 직선을 이루며, 그 직선 위에서 셋째 좌표는 같은 단위로 위치를 잰다. 축을 서로 바꾸어도 마찬가지이다.

넷째 사실은 처음 세 사실의 결과이며, 입체기하학은 이를 평행한 직선과 평행한 평면의 성질로 증명한다. 따로 진술하는 것은 이 형태로 사용할 것이기 때문이다.

공간좌표계는 xx축, yy축, zz축이라 부르는 세 좌표축으로, 원점 OO에서 만난다. 각 점 PP는 그 좌표의 순서쌍 P=(x,y,z)P = (x, y, z)과 동일시되며, 이 좌표들을 가로 좌표, 세로 좌표, 높이 좌표라 한다. 세 좌표평면은 xyxy평면(방정식 z=0z = 0), yzyz평면(방정식 x=0x = 0), xzxz평면(방정식 y=0y = 0)이다.

좌표평면들은 각 좌표의 부호에 따라 공간을 여덟 영역으로 나누며, 이를 팔분공간이라 한다. 제1팔분공간은 세 좌표가 모두 양수인 점들의 모임이고, 나머지 팔분공간은 부호의 순서쌍으로 부른다. 예를 들어 팔분공간 (+,−,+)(+, -, +)이다. 평면에서 서로 수직인 두 축을 놓는 방법은 본질적으로 두 가지이다. 둘째 축은 첫째 축을 시계 반대 방향으로 4분의 1바퀴 돌려 얻거나, 시계 방향으로 돌려 얻는다. 공간에서도 세 축에 대하여 같은 일이 일어나며, 이 구별에는 이름이 있다.

공간의 좌표계가 양의 향을 가진다는 것은, zz축의 양의 쪽에서 볼 때, xx축의 양의 부분을 yy축의 양의 부분으로 옮기는 4분의 1바퀴 회전이 시계 반대 방향으로 보인다는 뜻이다. 같은 말로, 오른손 법칙이 성립한다. 곧 오른손 손가락을 xx축의 양의 부분에서 yy축의 양의 부분 쪽으로 구부리면 엄지는 zz축의 양의 부분을 가리킨다.

축 하나의 향을 바꾸면 좌표계의 향이 바뀌고, 두 축의 향을 바꾸면 보존된다. 축을 순환적으로 바꾸어 xx, yy, zz를 yy, zz, xx로 바꾸어도 향은 바뀌지 않으므로, 양의 향을 가진 좌표계에서 xx축의 양의 부분에서 보면 yy에서 zz로의 회전도 시계 반대 방향이다. 이후로 모든 좌표계는 양의 향을 가진다. 그림에서는 좌표계를 사투상도로 그린다. yy축은 오른쪽으로, zz축은 위쪽으로, xx축은 보는 사람 쪽으로 비스듬히 긋고, 길이는 절반으로 줄인다. 향은 이 수업에서는 관계하지 않지만, 바로 뒤의 수업, 곧 외적과 스칼라 삼중곱에 관한 수업에서는 본질적이다.

예시공간에 점 나타내기

축을 따라 움직여 점 P=(3,4,2)P = (3, 4, 2)을 나타내고, 그 점이 속한 팔분공간을 말하고, 점 P1=(3,4,−2)P_1 = (3, 4, -2)를 나타내어라.

증명

  1. O=(0,0,0)O = \left( 0, 0, 0 \right)

    양의 향을 가진 세 축을 그린다. 위에서 보면 xx축의 양의 부분에서 yy축의 양의 부분으로의 4분의 1바퀴 회전은 시계 반대 방향이다.

  2. A=(3,0,0)A = \left( \resaltar{3}, 0, 0 \right)

    33만큼 나아간다(xx축을 따라 단위 길이로).

  3. B=(3,4,0)B = \left( 3, \resaltar{4}, 0 \right)

    AA에서 44만큼 나아간다(yy축 방향으로). xyxy평면을 벗어나지 않는다.

  4. P=(3,4,2)P = \left( 3, 4, \resaltar{2} \right)

    BB에서 22만큼 올라간다(zz축 방향으로). 세 좌표가 모두 양수이므로 PP는 제1팔분공간에 있으며, OO와 마주 보는 꼭짓점이다. 그 직육면체의 모서리의 길이는 33, 44, 22이다.

  5. P1=(3,4,−2)P_1 = \left( 3, 4, \resaltar{-2} \right)

    BB에서 22만큼 내려가면 P1P_1에 이르고, 이 점은 팔분공간 (+,+,−)(+, +, -)에 있다. xyxy평면은 선분 PP1P P_1을 그 중점 BB에서 수직으로 자른다. P1P_1은 PP의 이 평면에 대한 대칭점이다.

두 점 사이의 거리

평면에서 두 점 사이의 거리는 직각을 낀 두 변이 축에 평행한 삼각형에 피타고라스 정리를 한 번 적용하여 얻었다. 공간에서는 두 번 적용해야 한다. 먼저 수평인 평면에서, 이어서 연직인 평면에서 적용한다.

정리두 점 사이의 거리

점 P=(x1,y1,z1)P = (x_1, y_1, z_1)과 Q=(x2,y2,z2)Q = (x_2, y_2, z_2) 사이의 거리는 아래와 같다.

d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}

보조점 RR을 도입한다. 이 점은 PP와 같은 높이에 있고, QQ를 지나는 연직선 위에 있다. 그림에서는 P=(1,2,1)P = (1, 2, 1)와 Q=(3,5,7)Q = (3, 5, 7)를 사용한다.

증명

  1. R=(x2,y2,z1)R = \left( x_2, y_2, \resaltar{z_1} \right)

    RR을 처음 두 좌표는 QQ와 같고 높이 좌표는 PP와 같은 점이라 하자. 점 PP와 RR은 높이 좌표가 z1z_1인 평면 위에 있고, RR과 QQ는 zz축에 평행한 직선 위에 있다. 이 직선은 처음 두 좌표가 x2x_2와 y2y_2인 점들로 이루어진다.

  2. d⁡(P,R)2=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\operatorname{d}(P, R)}^2 = \dato{pr}{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2}

    좌표의 사실에 의해, 높이 좌표가 z1z_1인 평면에서 처음 두 좌표는 직교좌표이며, 직선의 방정식에 관한 수업의 평면에서의 거리 공식이 PRPR의 길이를 준다. 그림에서는 4+9=134 + 9 = 13이다.

  3. d⁡(R,Q)=∣z2−z1∣\operatorname{d}(R, Q) = \dato{rq}{\abs{z_2 - z_1}}

    RR과 QQ를 포함하는 연직인 직선 위에서는 높이 좌표가 위치를 잰다. RQRQ의 길이는 높이 좌표의 차의 절댓값이다. 그림에서는 7−1=67 - 1 = 6이다.

  4. d⁡(P,Q)2=d⁡(P,R)2+d⁡(R,Q)2{\operatorname{d}(P, Q)}^2 = \resaltar{{\operatorname{d}(P, R)}^2} + \resaltar{{\operatorname{d}(R, Q)}^2}

    직선 RQRQ는 높이 좌표가 z1z_1인 평면에 수직이며, 받아들이는 둘째 사실에 의해 직선 PRPR에도 수직이다. 이 직선은 그 평면 위에 있고 RR을 지난다. 삼각형 PRQPRQ는 RR에서 직각이며, 첫째 사실에 의해 이 삼각형을 포함하는 평면에서 피타고라스 정리가 성립한다.

  5. d⁡(P,Q)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,13+36=7\operatorname{d}(P, Q) = \sqrt{\resaltar{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2} + \resaltar{\left( z_2 - z_1 \right)^2}}, \qquad \sqrt{13 + 36} = 7

    대입하고 제곱근을 취한다. P=RP = R 또는 R=QR = Q인 경우에는 삼각형이 생기지 않지만, 공식은 두 거리 중 하나만의 공식이 되어 여전히 옳다. 그림에서 거리는 77이다.

특히 P=(x,y,z)P = (x, y, z)에서 원점까지의 거리는 x2+y2+z2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}이며, 이는 모서리의 길이가 ∣x∣\abs{x}, ∣y∣\abs{y}, ∣z∣\abs{z}인 직육면체의 대각선의 길이이다. 예를 들어 모서리의 길이가 aa인 정육면체의 대각선의 길이는 a2+a2+a2=a3\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a \sqrt{3}이다.