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Topos Uranos
Português

Distâncias, ângulos e volumes no espaço

Resumo

Esta aula reúne os instrumentos das três aulas precedentes, o produto escalar, o produto vetorial e o produto misto, com as equações de retas e planos, para medir no espaço. Define a distância de um ponto a um conjunto e demonstra, projetando sobre a normal, a fórmula da distância de um ponto a um plano e, com o produto vetorial, a de um ponto a uma reta, ambas com o pé da perpendicular como único ponto mais próximo. Delas deduz as distâncias entre planos paralelos e entre retas paralelas, e demonstra que duas retas reversas têm uma única perpendicular comum, que se encontra resolvendo um sistema de duas equações e cujo comprimento é um produto misto dividido por uma norma. Define e calcula os ângulos entre duas retas, entre uma reta e um plano e entre dois planos, e demonstra que coincidem com os ângulos da geometria elementar; constrói o plano mediador de um segmento e os simétricos de um ponto em relação a um plano e a uma reta; demonstra que a área da projeção de um polígono plano é a sua área multiplicada pelo cosseno do ângulo diedro, e estuda a esfera, a sua equação, a sua interseção com um plano e o seu plano tangente. As aplicações são os planos de um cristal e os seus índices de Miller e o posicionamento por satélite; os problemas tratam do tetraedro regular, dos pontos equidistantes de três pontos, da sombra de um painel solar, dos planos tangentes a uma esfera que contêm uma reta e de dois aviões cujas rotas são reversas.

Objetivos de aprendizagem

  1. Calcular a distância de um ponto a um plano e a uma reta, entre planos paralelos, entre retas paralelas e entre retas reversas, demonstrando cada fórmula e encontrando os pontos em que é atingida.
  2. Encontrar a perpendicular comum a duas retas reversas e demonstrar que é única.
  3. Calcular ângulos entre retas, entre uma reta e um plano e entre dois planos, e demonstrar que coincidem com os ângulos geométricos que definem.
  4. Construir o plano mediador de um segmento e os simétricos de um ponto em relação a um plano e a uma reta.
  5. Calcular áreas e volumes com os produtos vetorial e misto, e demonstrar e aplicar a relação entre a área de um polígono plano e a da sua projeção.
  6. Obter o centro e o raio de uma esfera a partir da sua equação, decidir a sua posição em relação a um plano, encontrar a circunferência de corte e o plano tangente, e modelar com estas ferramentas problemas de cristalografia, energia solar, navegação aérea e posicionamento por satélite.

A distância de um ponto a um plano e a uma reta

A aula sobre os vetores no plano obteve a distância de um ponto a uma reta do plano projetando sobre o vetor normal. No espaço, a aula sobre as retas e os planos no espaço escreveu o plano que passa por P0P_0 com vetor normal n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) não nulo como o conjunto dos pontos XX com n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0, isto é, com uma equação ax+by+cz=dax + by + cz = d, e a reta que passa por AA com vetor diretor u⃗\vec{u} como o conjunto dos pontos A+tu⃗A + t \vec{u}, com tt real. Se isto é assim, a ideia do plano vale para os planos do espaço sem mudanças; para as retas, ao contrário, a normal já não é uma só direção, e o produto vetorial da aula sobre o produto vetorial e o produto misto ocupa o seu lugar. Os fatos da geometria euclidiana espacial que se usam são os admitidos na aula sobre os vetores no espaço e o produto escalar.

Sejam FF um conjunto não vazio de pontos do espaço e PP um ponto. Se entre as distâncias de PP aos pontos de FF há uma que é menor ou igual a todas as demais, esse número é a distância de PP a FF, e escreve-se d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F). Do mesmo modo, se entre as distâncias dos pontos de um conjunto FF aos de outro conjunto GG há uma menor ou igual a todas, esse número é a distância entre FF e GG, d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G).

A definição não garante que a distância exista: entre infinitas distâncias pode não haver uma menor. Por isso os teoremas que vêm a seguir não se limitam a dar uma fórmula; demonstram que há um ponto mais próximo, e que é único.

TeoremaDistância de um ponto a um plano

Sejam π\pi o plano ax+by+cz=dax + by + cz = d, com n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right) não nulo, e P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0). O ponto H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}, com λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}, está em π\pi, HP⃗\vec{HP} é normal a π\pi, e HH é o único ponto de π\pi mais próximo de PP. Em consequência:

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Projeta-se sobre a normal o vetor que vai de um ponto qualquer do plano a PP, como no plano; a minimalidade é o teorema de Pitágoras. A figura usa o plano 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4 e o ponto P=(2,3,3)P = (2, 3, 3).

Demonstração

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    Escolhemos um ponto Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3) de π\pi e projetamos QP⃗\vec{QP} sobre n⃗\vec{n} com o teorema da projeção ortogonal da aula sobre os vetores no espaço. Na figura, Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0).

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    Como QQ está em π\pi, aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d, e o produto escalar do numerador é o primeiro membro da equação calculado em PP, menos dd.

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    Portanto, p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n} e H=P−p⃗H = P - \vec{p}. O vetor QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p} é a componente ortogonal da projeção, perpendicular a n⃗\vec{n}; pela equação normal do plano, HH está em π\pi.

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    Seja XX um ponto qualquer de π\pi. Pela relação de Chasles, PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}; a primeira parcela é múltipla de n⃗\vec{n} e a segunda une dois pontos de π\pi, de modo que são ortogonais, e vale a igualdade de Pitágoras.

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    A igualdade se dá só se HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}, isto é, se X=HX = H: o pé da perpendicular é o único ponto mais próximo, e a distância é a norma da projeção.

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    Na figura, QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right), QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9 e ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3, de modo que λ=1\lambda = 1, o pé é H=(0,2,1)H = (0, 2, 1) e a distância é 33.

O sinal do número ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d, que a fórmula oculta com o valor absoluto, também tem significado. Como P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n}, é positivo quando PP se alcança a partir do plano deslocando-se no sentido de n⃗\vec{n}, e negativo quando se alcança no sentido contrário. Os pontos com ax+by+cz>dax + by + cz > d formam um dos dois semiespaços que o plano determina, e os pontos com ax+by+cz<dax + by + cz < d formam o outro; dois pontos estão do mesmo lado do plano se e somente se a expressão tem o mesmo sinal em ambos. Assim, a origem e o ponto (2,3,3)(2, 3, 3) estão em lados opostos do plano 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4, porque 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9.

TeoremaDistância de um ponto a uma reta

Sejam rr a reta A+tu⃗A + t \vec{u}, com u⃗\vec{u} não nulo, e PP um ponto. O ponto H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}, com t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}, é o único ponto de rr mais próximo de PP, HP⃗\vec{HP} é perpendicular a u⃗\vec{u}, e:

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

Decompõe-se AP⃗\vec{AP} em sua projeção sobre u⃗\vec{u} e sua componente ortogonal; a norma desta última se expressa com a identidade de Lagrange. A figura usa a reta que passa por A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) com vetor diretor u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right) e o ponto P=(3,3,1)P = (3, 3, 1).

Demonstração

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    Pelo teorema da projeção ortogonal, AP⃗\vec{AP} é a soma de sua projeção t0u⃗t_0 \vec{u} sobre u⃗\vec{u} e de um vetor w⃗\vec{w} ortogonal a u⃗\vec{u}. O ponto H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u} está em rr e HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}.

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    Para um ponto qualquer X=A+tu⃗X = A + t \vec{u} de rr, o vetor XP⃗\vec{XP} é w⃗\vec{w} mais um múltiplo de u⃗\vec{u}; as duas parcelas são ortogonais e vale a igualdade de Pitágoras.

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    A igualdade se dá só se t=t0t = t_0: HH é o único ponto mais próximo e a distância é a norma de w⃗\vec{w}, cujo quadrado é dado pela igualdade de Pitágoras da projeção.

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    Pela identidade de Lagrange da aula sobre o produto vetorial, o numerador é o quadrado da norma de AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u}; extrai-se a raiz.

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    Na figura, AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right) e AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9, de modo que t0=1t_0 = 1, H=(1,2,3)H = (1, 2, 3) e w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right), de norma 33. O produto vetorial dá o mesmo.

A fórmula tem uma leitura geométrica direta: ∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}} é a área do paralelogramo de lados AP⃗\vec{AP} e u⃗\vec{u}, e ∥u⃗∥\norma{\vec{u}} é o comprimento de sua base sobre a reta; o quociente é a altura, que é a distância procurada. Quando só interessa a distância, o produto vetorial evita calcular o pé da perpendicular.