Geometria analítica do espaço: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade sobre a geometria analítica do espaço, que é a última do curso. Reúne em uma cadeia dedutiva o que foi alcançado em suas quatro aulas de conteúdo: a distância entre dois pontos, obtida aplicando duas vezes o teorema de Pitágoras; o produto escalar, a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o ângulo entre dois vetores, que coincide com o da geometria elementar; o produto vetorial e o produto misto, nascidos do determinante de ordem três, com sua leitura como área, como volume e como critério de coplanaridade; as equações de retas e planos e a classificação de suas posições relativas pelo teorema de Rouché-Capelli (no mundo hispânico, teorema de Rouché-Frobenius); e, por último, as distâncias, os ângulos, as projeções e a esfera. Explica o que a unidade recebe das unidades precedentes e do curso Álgebra e Geometria I, o que ficou admitido sem demonstração e para onde ela conduz. Repete em uma avaliação de saída as habilidades da avaliação de entrada da introdução e termina com dez desafios, de dificuldade superior à dos problemas das aulas, que combinam várias delas.

Objetivos de aprendizagem

Reconstruir a cadeia de definições e teoremas da unidade, da distância entre dois pontos até a perpendicular comum e a esfera, indicando em cada elo os resultados precedentes que sua demonstração usa.
Distinguir na unidade o demonstrado do admitido, e relacionar seus resultados com os determinantes e os sistemas da unidade sobre as matrizes e com a geometria analítica do plano do curso I.
Resolver problemas que combinam os produtos escalar, vetorial e misto com as equações de retas, planos e esferas, escolhendo em cada caso a ferramenta e o sistema de eixos mais convenientes.
Modelar com a geometria do espaço situações da cristalografia, do desenho técnico, da óptica e da navegação, e comunicar a solução com sua formulação, seu cálculo e seu controle de plausibilidade.

O que a unidade alcançou

As coordenadas e o produto escalar

A unidade começou declarando o que não iria demonstrar. A aula sobre os vetores no espaço e o produto escalar reuniu em uma lista os fatos da geometria euclidiana espacial que se admitem e, com o teorema de Pitágoras aplicado duas vezes, obteve a fórmula da distância. Os vetores foram definidos como ternas, e o produto escalar conservou as propriedades do produto escalar do plano, com a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a desigualdade triangular. Ora, no espaço não há uma figura plana que contenha tudo, e a ordem se inverteu: o ângulo foi definido por seu cosseno, que a desigualdade de Cauchy-Schwarz situa entre $-1$ e $1$ , e depois se demonstrou que ele mede o que a geometria elementar chama de ângulo, porque o produto escalar depende apenas dos comprimentos dos lados de um triângulo. Disso resultaram a projeção ortogonal, os cossenos diretores e as matrizes que preservam comprimentos e ângulos.

O produto vetorial e o produto misto

A busca de um vetor perpendicular a dois vetores dados conduziu, na aula sobre o produto vetorial e o produto misto, a três determinantes de ordem dois. Se isso é assim, as propriedades dos determinantes deram de imediato a anticomutatividade e a bilinearidade; a identidade de Lagrange deu a norma como área do paralelogramo; e a fórmula do duplo produto vetorial, que substitui a associatividade, provou que os vetores perpendiculares a dois vetores não paralelos são os múltiplos de seu produto vetorial. O produto misto revelou-se um determinante de ordem três: anula-se se e somente se os três vetores são coplanares, seu valor absoluto é o volume do paralelepípedo e seu quadrado é o determinante de Gram. A aula separou, por fim, o que se demonstra sobre o sentido do produto vetorial do que se convenciona ao desenhar os eixos, o sistema dextrógiro, e do que se admite, a regra da mão direita.

As retas e os planos

A aula sobre as retas e os planos no espaço reduziu a pertinência a um plano a uma única condição, $\vec{n} \cdot \vec{AP} = 0$ , com $\vec{n}$ o produto vetorial dos vetores diretores, e dela obteve a equação cartesiana, única a menos de um fator. Com isso, os pontos comuns a vários planos são as soluções de um sistema linear, e o teorema de Rouché-Capelli recebeu sua leitura geométrica: as soluções de um sistema compatível em três incógnitas formam um ponto, uma reta ou um plano conforme o posto. Dela se deduziram as posições relativas de planos e retas, com o produto misto $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)$ como critério para distinguir as retas concorrentes das reversas, e o feixe de planos.

As medidas

A aula sobre as distâncias, os ângulos e os volumes no espaço reuniu os três produtos com as equações. Projetando sobre a normal ou sobre a reta, demonstrou as fórmulas da distância de um ponto a um plano e a uma reta, com o pé da perpendicular como único ponto mais próximo, e o teorema central da unidade: duas retas reversas têm uma única perpendicular comum, cujo comprimento é um produto misto dividido por uma norma. É a resposta ao problema dos dois túneis de metrô que a introdução propôs. Demonstrou depois que os ângulos entre retas e planos definidos com produtos escalares coincidem com os da geometria elementar, que a área da projeção de um polígono plano é sua área vezes o cosseno do diedro, e estudou a esfera e seu plano tangente.

Portanto, a unidade forma uma cadeia: os fatos admitidos dão a distância; a distância e as propriedades do produto escalar dão o ângulo; os determinantes dão o produto vetorial e o produto misto; estes convertem a pertinência a um plano em uma equação linear; os sistemas lineares classificam as posições; e a projeção ortogonal, aplicada a essas equações, mede. A figura abaixo reúne os quatro trechos em uma única cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que se apoiam nele e por um tracejado ao elo onde se estabelece, salvo os que se admitem sem demonstração ou provêm de unidades precedentes ou do curso I, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

AFatos euclidianos do espaço. Admitem-se a existência e a unicidade do plano por três pontos não colineares e do plano perpendicular a uma reta por um ponto, a liberdade de escolher os eixos e a correspondência entre pontos e ternas. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BÁreas e volumes elementares. Admitem-se a base vezes a altura para o paralelogramo e o paralelepípedo, a metade dessa área para o triângulo, um terço da base vezes a altura para a pirâmide e a aditividade da área; seu fundamento é o cálculo integral. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CGeometria do plano. A distância, as propriedades do produto escalar, o ângulo entre dois vetores, o lema dos vetores iguais e dos paralelogramos, o completamento de quadrado e o sinal do polinômio quadrático segundo seu discriminante, demonstrados no curso I. Admitido sem demonstração nesta unidade.
DTrigonometria. O arco cosseno como bijeção de $\icc{-1}{1}$ em $\icc{0}{\pi}$ , a identidade $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ e a lei dos cossenos, demonstrados nas unidades 1 e 2. Admitido sem demonstração nesta unidade.
EMatrizes e determinantes. A transposta de um produto, a inversa lateral, as propriedades do determinante, a regra de Cramer e a equivalência entre $\det A \neq 0$ e o posto máximo, demonstradas na unidade 4. Admitido sem demonstração nesta unidade.
FRouché-Capelli. O sistema $AX = B$ é compatível se e somente se $\operatorname{posto}(A) = \operatorname{posto}(M)$ , e então tem tantas incógnitas livres quanto o número de incógnitas menos o posto; demonstrado na unidade 4. Admitido sem demonstração nesta unidade.
GProjeção ortogonal. Se $\vec{v}$ não é nulo, todo vetor se escreve de uma única maneira como um múltiplo de $\vec{v}$ mais um vetor ortogonal a $\vec{v}$ , e o quadrado de sua norma é a soma dos quadrados das normas das duas componentes. Estabelecido em: 6. Projeção ortogonal.
HPerpendiculares a dois vetores. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não são nulos nem paralelos, os vetores perpendiculares a ambos são exatamente os múltiplos de $\vec{u} \times \vec{v}$ . Estabelecido em: 14. Perpendiculares a dois vetores.

Trecho 1 As coordenadas e o produto escalar
- Situar pontos no espaço e calcular distâncias, justificando a fórmula com o teorema de Pitágoras.
- Operar com vetores do espaço e demonstrar com eles propriedades de paralelogramos e paralelepípedos.
- Demonstrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz e a desigualdade triangular, e definir com elas o ângulo entre dois vetores.
- Calcular projeções ortogonais e cossenos diretores, e reconhecer as matrizes que preservam comprimentos e ângulos.
1. Distância entre dois pontos. A distância entre $(x_1, y_1, z_1)$ e $(x_2, y_2, z_2)$ é $\sqrt{\left( x_2 - x_1 \right)^2 + \left( y_2 - y_1 \right)^2 + \left( z_2 - z_1 \right)^2}$ , pelo teorema de Pitágoras aplicado em um plano horizontal e depois em um vertical.
  Apoia-se em: A (Fatos euclidianos do espaço), C (Geometria do plano). Demonstrado em: Vetores no espaço e produto escalar.
2. Vetores e base canônica. As ternas formam um espaço vetorial, todo vetor é de uma única maneira combinação de $\vec{i}$ , $\vec{j}$ e $\vec{k}$ , e se $\vec{PQ} = \vec{RS}$ e os quatro pontos não são colineares, eles estão em um plano e $PQSR$ é um paralelogramo, e reciprocamente.
  Usa: 1. Distância entre dois pontos. Apoia-se em: A (Fatos euclidianos do espaço), C (Geometria do plano). Demonstrado em: Vetores no espaço e produto escalar.
3. Propriedades do produto escalar. O produto escalar é comutativo e distributivo, permite tirar os números para fora e cumpre $\vec{u} \cdot \vec{u} = {\norma{\vec{u}}}^2$ ; em consequência, ${\norma{\vec{u} \pm \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\norma{\vec{v}}}^2$ .
  Usa: 2. Vetores e base canônica. Apoia-se em: C (Geometria do plano). Demonstrado em: Vetores no espaço e produto escalar.
4. Cauchy-Schwarz e desigualdade triangular. Valem $\abs{\vec{u} \cdot \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}$ e $\norma{\vec{u} + \vec{v}} \le \norma{\vec{u}} + \norma{\vec{v}}$ , com igualdade na primeira se e somente se um vetor é múltiplo do outro.
  Usa: 3. Propriedades do produto escalar. Apoia-se em: C (Geometria do plano). Demonstrado em: Vetores no espaço e produto escalar.
5. O ângulo é o geométrico. O número $\theta$ de $\icc{0}{\pi}$ tal que $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ é a medida do ângulo que formam as setas de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ traçadas a partir de uma mesma origem; em particular, dois vetores não nulos são perpendiculares se e somente se seu produto escalar é nulo.
  Usa: 1. Distância entre dois pontos, 3. Propriedades do produto escalar, 4. Cauchy-Schwarz e desigualdade triangular. Apoia-se em: A (Fatos euclidianos do espaço), C (Geometria do plano), D (Trigonometria). Demonstrado em: Vetores no espaço e produto escalar.
6. Projeção ortogonal. Se $\vec{v} \neq \vec{0}$ , todo $\vec{u}$ é de uma única maneira $\vec{p} + \vec{w}$ , com $\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{{\norma{\vec{v}}}^2} \vec{v}$ e $\vec{w}$ ortogonal a $\vec{v}$ , e ${\norma{\vec{u}}}^2 = {\norma{\vec{p}}}^2 + {\norma{\vec{w}}}^2$ .
  Usa: 3. Propriedades do produto escalar, 5. O ângulo é o geométrico. Demonstrado em: Vetores no espaço e produto escalar.
7. Matrizes ortogonais. Vale $\left( A \vec{u} \right) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \left( A^{\mathsf{T}} \vec{v} \right)$ ; se as colunas de $A$ são unitárias e ortogonais, $A^{\mathsf{T}} A = I$ e $A$ preserva normas, distâncias e ângulos.
  Usa: 3. Propriedades do produto escalar. Apoia-se em: E (Matrizes e determinantes). Demonstrado em: Vetores no espaço e produto escalar.
Trecho 2 O produto vetorial e o produto misto
- Definir o produto vetorial por um determinante formal e demonstrar com os determinantes que ele é anticomutativo e bilinear, mas não associativo.
- Demonstrar a perpendicularidade, a identidade de Lagrange, o critério de paralelismo e a fórmula do duplo produto vetorial.
- Identificar o produto misto com um determinante de ordem três e lê-lo como volume e como critério de coplanaridade.
- Separar, no sentido do produto vetorial, o que se demonstra da convenção do sistema dextrógiro e da regra da mão direita, que se admite.
1. Propriedades algébricas. O produto vetorial, cujas componentes são três determinantes de ordem dois, é anticomutativo e bilinear, cumpre $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$ e não é associativo.
  Apoia-se em: E (Matrizes e determinantes). Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
2. Perpendicularidade. Valem $\vec{u} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ e $\vec{v} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ : o produto vetorial é perpendicular a seus dois fatores.
  Usa: 3. Propriedades do produto escalar, 8. Propriedades algébricas. Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
3. Identidade de Lagrange. Para todos os vetores vale ${\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}^2 = {\norma{\vec{u}}}^2 {\norma{\vec{v}}}^2 - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right)^2$ .
  Usa: 3. Propriedades do produto escalar, 8. Propriedades algébricas. Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
4. Área do paralelogramo. A norma $\norma{\vec{u} \times \vec{v}} = \norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}} \sin \theta$ é a área do paralelogramo de lados $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , e o triângulo $ABC$ tem área $\frac{1}{2} \norma{\vec{AB} \times \vec{AC}}$ .
  Usa: 5. O ângulo é o geométrico, 10. Identidade de Lagrange. Apoia-se em: B (Áreas e volumes elementares), D (Trigonometria), G (Projeção ortogonal). Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
5. Produto nulo e paralelismo. Vale $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$ se e somente se um dos dois vetores é múltiplo do outro.
  Usa: 8. Propriedades algébricas. Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
6. Duplo produto vetorial. Valem $\vec{u} \times \left( \vec{v} \times \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}$ e a identidade de Jacobi.
  Usa: 3. Propriedades do produto escalar, 8. Propriedades algébricas. Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
7. Perpendiculares a dois vetores. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não são nulos nem paralelos, um vetor é perpendicular a ambos se e somente se é múltiplo de $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ , e então é $\frac{\vec{x} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}$ .
  Usa: 9. Perpendicularidade, 12. Produto nulo e paralelismo, 13. Duplo produto vetorial. Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
8. O produto misto é um determinante. O produto misto $\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)$ é o determinante da matriz de linhas $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ ; não muda ao permutar circularmente os fatores, muda de sinal ao trocar dois, e o ponto e a cruz podem ser trocados.
  Usa: 3. Propriedades do produto escalar, 8. Propriedades algébricas. Apoia-se em: E (Matrizes e determinantes). Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
9. Critério de coplanaridade. Três vetores são coplanares, isto é, admitem uma combinação nula com algum coeficiente não nulo, se e somente se seu produto misto é nulo.
  Usa: 15. O produto misto é um determinante. Apoia-se em: E (Matrizes e determinantes). Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
10. Volume e matriz de Gram. O paralelepípedo de arestas $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ tem volume $\abs{\vec{u} \cdot \left( \vec{v} \times \vec{w} \right)}$ , o tetraedro, um sexto dele, e o quadrado do produto misto é o determinante de Gram.
  Usa: 11. Área do paralelogramo, 12. Produto nulo e paralelismo, 15. O produto misto é um determinante, 16. Critério de coplanaridade. Apoia-se em: B (Áreas e volumes elementares), G (Projeção ortogonal), E (Matrizes e determinantes). Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
11. Caracterização e orientação. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não são nulos nem paralelos, $\vec{u} \times \vec{v}$ é o único vetor perpendicular a ambos, com a norma da área e com produto misto positivo; que aponte para onde indica o polegar da mão direita é admitido, uma vez convencionado o desenho dos eixos.
  Usa: 11. Área do paralelogramo, 15. O produto misto é um determinante. Apoia-se em: H (Perpendiculares a dois vetores). Demonstrado em: Produto vetorial e produto misto.
Trecho 3 As retas e os planos
- Escrever retas na forma vetorial, paramétrica e simétrica, e planos na forma paramétrica e cartesiana, convertendo uma na outra com o produto vetorial.
- Demonstrar que todo plano tem uma equação cartesiana, única a menos de um fator, e que toda equação de primeiro grau descreve um plano.
- Decidir as posições relativas de planos e retas com os postos de um sistema linear e com o produto misto.
- Construir com o feixe de planos os planos que contêm uma reta e cumprem outra condição.
1. A reta que passa por dois pontos. Por dois pontos distintos $A$ e $B$ passa uma única reta, $A + t \vec{AB}$ .
  Usa: 2. Vetores e base canônica. Demonstrado em: Retas e planos no espaço.
2. Combinações de dois vetores. Se $\vec{u}$ e $\vec{v}$ não são nulos nem paralelos, $\vec{w}$ é combinação deles se e somente se $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{w} = 0$ , e então os coeficientes são únicos.
  Usa: 9. Perpendicularidade, 15. O produto misto é um determinante. Apoia-se em: F (Rouché-Capelli), E (Matrizes e determinantes). Demonstrado em: Retas e planos no espaço.
3. Equação cartesiana do plano. Um ponto está no plano $A + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ se e somente se $\left( \vec{u} \times \vec{v} \right) \cdot \vec{AP} = 0$ ; todo plano tem uma equação $ax + by + cz = d$ , única a menos de um fator, e toda equação assim descreve um plano.
  Usa: 12. Produto nulo e paralelismo, 20. Combinações de dois vetores. Apoia-se em: H (Perpendiculares a dois vetores). Demonstrado em: Retas e planos no espaço.
4. Posições dos planos. As soluções de um sistema compatível em $x$ , $y$ e $z$ formam um ponto, uma reta ou um plano conforme o posto seja $3$ , $2$ ou $1$ ; disso resultam as posições de dois e de três planos e as de uma reta e um plano.
  Usa: 19. A reta que passa por dois pontos, 20. Combinações de dois vetores, 21. Equação cartesiana do plano, 15. O produto misto é um determinante. Apoia-se em: F (Rouché-Capelli), E (Matrizes e determinantes), H (Perpendiculares a dois vetores). Demonstrado em: Retas e planos no espaço.
5. Posições de duas retas. Duas retas $A + t \vec{u}$ e $B + \lambda \vec{v}$ não paralelas são concorrentes se $\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right) = 0$ e reversas se não; esse produto misto é nulo se e somente se elas estão em um plano.
  Usa: 19. A reta que passa por dois pontos, 15. O produto misto é um determinante, 21. Equação cartesiana do plano. Apoia-se em: F (Rouché-Capelli), E (Matrizes e determinantes), H (Perpendiculares a dois vetores). Demonstrado em: Retas e planos no espaço.
6. Feixe de planos. Os planos que contêm a reta comum a dois planos secantes são as combinações de suas equações com coeficientes não ambos nulos.
  Usa: 20. Combinações de dois vetores, 22. Posições dos planos. Demonstrado em: Retas e planos no espaço.
Trecho 4 As medidas
- Demonstrar as fórmulas das distâncias de um ponto a um plano e a uma reta, com o pé da perpendicular como único ponto mais próximo.
- Encontrar a perpendicular comum a duas retas reversas, demonstrar que é única e calcular seu comprimento com um produto misto.
- Definir os ângulos entre retas e planos, demonstrar que coincidem com os geométricos e relacionar a área de uma figura plana com a de sua projeção.
- Estudar a esfera, sua interseção com um plano e seu plano tangente, e aplicar tudo isso à cristalografia e ao posicionamento por satélite.
1. Distância a um plano. A distância de $(x_0, y_0, z_0)$ ao plano $ax + by + cz = d$ é $\frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ e só é atingida no pé da perpendicular; dela resultam os semiespaços e o simétrico de um ponto.
  Usa: 21. Equação cartesiana do plano. Apoia-se em: G (Projeção ortogonal). Demonstrado em: Distâncias, ângulos e volumes no espaço.
2. Distância a uma reta. A distância de $P$ à reta $A + t \vec{u}$ é $\frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$ e só é atingida no pé da perpendicular.
  Usa: 10. Identidade de Lagrange, 19. A reta que passa por dois pontos. Apoia-se em: G (Projeção ortogonal). Demonstrado em: Distâncias, ângulos e volumes no espaço.
3. Perpendicular comum. Duas retas reversas, $A + t \vec{u}$ e $B + s \vec{v}$ , têm uma única perpendicular comum, e a distância entre elas é $\frac{\abs{\vec{AB} \cdot \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)}}{\norma{\vec{u} \times \vec{v}}}$ , que só é atingida entre seus pés.
  Usa: 10. Identidade de Lagrange, 15. O produto misto é um determinante, 23. Posições de duas retas. Apoia-se em: E (Matrizes e determinantes), H (Perpendiculares a dois vetores), G (Projeção ortogonal). Demonstrado em: Distâncias, ângulos e volumes no espaço.
4. Ângulos com planos e diedros. O ângulo de uma reta com um plano, de seno $\frac{\abs{\vec{u} \cdot \vec{n}}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{n}}}$ , é o que ela forma com sua projeção, e o ângulo entre as normais de dois planos é, a menos do suplemento, o do diedro.
  Usa: 4. Cauchy-Schwarz e desigualdade triangular, 11. Área do paralelogramo, 13. Duplo produto vetorial, 15. O produto misto é um determinante, 25. Distância a um plano. Apoia-se em: D (Trigonometria), H (Perpendiculares a dois vetores), G (Projeção ortogonal). Demonstrado em: Distâncias, ângulos e volumes no espaço.
5. Área da projeção. Se um polígono de área $S$ está em um plano que forma o ângulo diedro $\alpha$ com o plano $\pi$ , com $\alpha = 0$ se são paralelos, sua projeção ortogonal sobre $\pi$ tem área $S \cos \alpha$ .
  Usa: 11. Área do paralelogramo, 15. O produto misto é um determinante, 25. Distância a um plano, 28. Ângulos com planos e diedros. Apoia-se em: B (Áreas e volumes elementares), H (Perpendiculares a dois vetores). Demonstrado em: Distâncias, ângulos e volumes no espaço.
6. A esfera e seu plano tangente. Um plano à distância $\delta$ do centro de uma esfera de raio $R$ a corta em uma circunferência de raio $\sqrt{R^2 - \delta^2}$ se $\delta < R$ e a toca só no pé da perpendicular se $\delta = R$ ; o plano tangente em $T$ tem por normal $\vec{CT}$ .
  Usa: 1. Distância entre dois pontos, 25. Distância a um plano. Apoia-se em: C (Geometria do plano), G (Projeção ortogonal). Demonstrado em: Distâncias, ângulos e volumes no espaço.

Rumo ao cálculo. A cadeia termina onde terminam os instrumentos elementares. O balanço final do curso a situa entre os sete objetivos globais; Cálculo III substituirá os planos por planos tangentes a superfícies curvas e o determinante pelo fator de volume de uma transformação.