대수학과 기하학 II: 학습 계획

요약

이 수업은 강좌의 첫 단원을 이루며, 강좌의 학습 계획 전체를 제시한다. 강좌의 목적, 대상으로 하는 학생, 강좌 I에서 이어받는 것, 그리고 이 강좌가 열어 주는 강좌들을 밝힌다. 강좌가 내세우는 일곱 가지 전체 학습 목표를 진술한다. 다섯 개의 내용 단원과 그것을 이루는 수업들을 기술한다. 강좌가 요구하는 학습량, 그 단원별 배분, 권장하는 학습 속도, 학점 수를 추정한다. 수업이 어떻게 구성되어 있고 학습의 확인이 어떻게 설계되어 있는지를 설명하며, 마지막으로 강좌를 공부하는 방법에 대해 조언한다.

학습 목표

강좌의 단원 순서를 기술하고, 각 단원이 뒤의 단원들에 무엇을 주며 강좌 I에서 무엇을 가져오는지를 설명한다.
강좌의 전체 학습 목표를 진술하고, 각 목표에 어떤 단원들이 기여하는지 알아본다.
단원별 추정 시간으로부터 강좌 또는 그 일부가 요구하는 학습량을 계산하고, 이를 바탕으로 개인의 학습 속도를 계획한다.
사이트 수업의 구성과, 그 예제 문제, 연습 문제, 도전 과제, 단원 평가를 활용하는 바람직한 방법을 설명한다.

목적과 대상

이 강좌는 대수학과 기하학 I: 수, 함수, 평면기하학에서 시작하는 여정의 후반부이다. 강좌 I은 페아노 공리에서 출발하여 대수적 형태의 복소수에 이르는 수 체계, 다항식의 대수, 실함수와 그 그래프, 벡터와 원뿔곡선을 갖춘 평면의 해석기하학, 그리고 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수를 구성하였다. 강좌 II는 이 대상들을 이어받아 세 개의 새로운 영역으로 나아간다. 각을 재고 회전을 계산으로 바꾸는 삼각법, 그 계산이 곱셈이 되는 극형식의 복소수, 그리고 연립일차방정식과 변환을 정리하며 벡터와 함께 강좌의 마지막에 다루는 공간 해석기하학을 떠받치는 행렬이 그것이다.

그 목적은 강좌 I과 같다. 계산하는 법을 가르치는 데 그치지 않고, 각 계산이 어디에서 오는지를 보여 주는 것이다. 사용하는 결과는 모두 진술하고 증명하며, 그 증명이 다른 강좌에 속할 때에는 받아들인다는 것을 명시한다. 예를 들어 대수학의 기본 정리나 호의 길이의 성질이 그러한데, 이것들은 미적분학을 필요로 한다.

이 강좌는 강좌 I을 마쳤거나 다른 방법으로 그 내용을 익힌 사람을 대상으로 한다. 곧 대학 입학을 준비하는 학교 교육 마지막 학년의 학생, 이학, 공학, 경제학, 수학 교육을 전공하는 대학 1학년 학생, 그리고 예전에 요령의 모음으로 배운 수학을 엄밀하게 다시 세우고자 하는 모든 사람이다. 그렇다면 이 강좌는 실수의 완비성, 역함수와 그래프의 변환을 포함한 함수의 연구, 평면의 직선, 벡터, 내적, 원뿔곡선, 지수함수와 로그, 그리고 대수적 형태의 복소수의 산술을 이미 아는 것으로 가정한다. 이 가운데 어느 점에 자신이 없는 사람은 시작하기 전에 강좌 I의 해당 단원의 종합 수업으로 돌아가 그 도전 과제를 풀어 볼 수 있다.

한편, 이 강좌는 다리를 놓는 자리도 차지한다. 이 강좌는 미적분학 I: 미분법의 선수 강좌이다. 그 강좌는 1단원에서 증명한 부등식 $\sin x < x < \tan x$ 에서 출발하여 삼각함수를 미분하고, 나아가 역학의 기초와 미적분학 II: 적분법으로 이어지며, 이 강좌들에서 원운동, 삼각치환, 극좌표에서의 넓이가 다시 나타난다.

전체 학습 목표

아래의 목표들은 강좌를 마친 학생이 할 수 있어야 하는 것을 기술한다. 각 목표는 관찰 가능한 수행으로 진술되어, 구체적인 과제로 확인할 수 있다. 각 수업은 또한 자신의 목표를 밝히며, 마무리 수업은 수업마다 그 수업이 이 일곱 목표 가운데 어느 것에 배정되었는지를 보여 준다. 목표에는 그 수업에서 인용할 수 있도록 번호를 붙인다.

목표 1. 명시적인 연역적 추론으로 삼각법, 복소수와 행렬의 대수, 해석기하학의 명제를 증명한다. 이때 직접 증명, 대우에 의한 증명, 귀류법, 귀납법을 사용하고, 각 증명에서 이끌어 낸 것과 받아들인 것을 구별한다.
목표 2. 삼각법을 각과 삼각형의 측정에 적용하고, 삼각함수와 그 역함수를 연구하며, 항등식을 증명하고, 삼각방정식과 삼각함수 부등식을 일반해를 제시하여 풀고, 극좌표로 곡선을 기술한다.
목표 3. 강좌의 도구로 평면의 기하를 공부한다. 직선 사이의 각을 계산하고, 좌표축의 회전으로 이차방정식의 교차항을 소거하여 그 방정식이 정하는 원뿔곡선을 분류하며, 회전, 위치닮음변환, 대칭이동, 사영을 삼각법, 복소수, 행렬로 나타낸다.
목표 4. 극형식과 지수 형식의 복소수를 계산하고, 그 거듭제곱과 거듭제곱근을 구하며, 그 연산을 기하학적으로 해석하고, 복소수체에서 다항방정식을 푼다.
목표 5. 행렬을 이용하여 가우스-조르당 소거법, 랭크, 행렬식, 역행렬로 연립일차방정식을 풀고, 수 체계, 다항식, 행렬, $n$ 을 법으로 하는 잉여류에서 군, 환, 체의 구조를 알아본다.
목표 6. 공간의 점, 벡터, 직선, 평면을 좌표와 방정식으로 나타내고, 내적, 외적, 스칼라 삼중곱을 계산하며, 이것들로 각, 거리, 넓이, 부피를 구하고, 직선과 평면의 위치 관계를 연립일차방정식으로 판정한다.
목표 7. 과학, 기술, 일상생활의 상황을 강좌의 도구로 수학적으로 모형화하고, 문제의 설정, 계산, 증명을 올바른 기호, 완전한 논증, 결과의 타당성 점검과 함께 글로 전달한다.

목표 2부터 목표 6까지는 대체로 강좌의 큰 주제에 대응한다. 목표 2는 1단원과 2단원에, 목표 4는 3단원에, 목표 5는 4단원에, 목표 6은 5단원에 대응하며, 목표 3은 1단원부터 4단원까지를 관통하는 한 줄기, 곧 사인과 코사인으로, 복소수로, 행렬로 차례로 바라본 평면의 기하를 모은다. 반면 첫째 목표와 일곱째 목표는 횡단적이다. 어느 한 단원에 속하지 않고 모든 단원에서 훈련된다. 따라서 그 달성을 특정한 수업에 돌릴 수 없으며, 강좌 전체에 걸쳐 길러 가는 것이 좋다. 그렇지만 두 목표 모두 주로 그것에 이바지하는 수업이 있다. 첫째 목표에는 중심 내용에서 각 단원의 연역 사슬을 재구성하는 종합 수업들이, 일곱째 목표에는 문제의 설정 자체가 공부의 대상인 수업들, 곧 두 직선이 이루는 각과 그 응용에 관한 수업과 연립일차방정식에 관한 수업이 그것이다.

내용

강좌는 일곱 단원으로 이루어진다. 첫 단원과 마지막 단원은 전체 여정의 틀을 이루고, 가운데 다섯 단원이 내용을 전개한다. 이 단원들은 각각 도입 수업으로 시작하는데, 도입 수업은 단원의 수업들, 그 생각의 역사적 배경, 그것들을 낳은 문제, 그 의의를 소개한다. 그리고 종합 수업으로 끝나는데, 종합 수업은 단원의 연역 사슬을 재구성하고, 그것을 강좌의 나머지 내용 및 강좌 I과 연결하며, 각 수업의 문제보다 어려운 열 개의 도전 과제를 제시한다.

0단원. 강좌 소개

이 단원은 이 수업으로 이루어지며, 이 수업은 강좌의 목적, 전체 목표, 내용, 학습량, 설계를 정한다.

1단원. 삼각함수와 극좌표

그 목표는 단위원 위에서 삼각함수를 정의하고, 그 그래프와 역함수를 연구하며, 삼각형을 풀고, 극좌표로 곡선을 기술하는 것이다.

2단원. 해석 삼각법

그 목표는 항등식, 덧셈정리, 방정식과 부등식으로 삼각함수를 대수적 계산으로 바꾸고, 이를 직선 사이의 각과 축이 기울어진 원뿔곡선에 적용하는 것이다.

3단원. 극형식의 복소수

그 목표는 각 복소수를 절댓값과 편각으로 기술하여, 곱을 확대를 동반한 회전으로, 거듭제곱을 각의 배수로, 거듭제곱근을 정다각형으로 읽을 수 있게 하고, 이로써 다항방정식을 푸는 것이다. 이 단원은 강좌 I의 2단원에서 구성한 대수적 형태의 복소수로 되돌아간다.

4단원. 행렬과 대수 구조

그 목표는 연립일차방정식의 계수표를 고유한 연산을 가진 대상으로 만들고, 그것으로 연립방정식을 풀며, 행렬을 변환으로 읽고, 두 강좌의 계산에 공통된 것을 군, 환, 체의 개념으로 압축하는 것이다.

5단원. 공간 해석기하학

그 목표는 강좌 I의 4단원에서 공부한 평면의 해석기하학을 공간으로 확장하는 것이다. 곧 공간의 유클리드 기하학에 관해 받아들인 사실을 명시적으로 나열한 목록에서 출발하여 점과 벡터를 세 좌표로 기술하고, 내적으로 길이와 각을 재며 이렇게 정의한 각이 초등 기하학의 각임을 증명하고, 삼차 행렬식에서 외적과 스칼라 삼중곱을 이끌어 내어 이를 넓이로, 부피로, 공면 조건으로 읽으며, 직선과 평면을 방정식으로 쓰고 4단원의 랭크와 루셰-프로베니우스 정리로 그 위치 관계를 판정하고, 꼬인 위치에 있는 두 직선의 거리, 각, 사영, 공통수선을 계산하여 역학, 결정학, 항공 항법, 위성 측위에 응용하는 것이다. 이 단원은 구면을 공부하지만, 다른 이차곡면(타원면, 포물면, 쌍곡면, 이차 원뿔면과 원기둥면)은 공부하지 않으며, 이것들은 이 강좌에서 다루지 않는다. 사이트의 현재 구성에서 그 연구는 미적분학 III에 속한다.

6단원. 강좌 마무리

이 단원은 대수학과 기하학 II: 최종 결산 수업으로 이루어진다. 이 수업은 일곱 전체 목표를 되돌아보고, 강좌의 각 수업이 그 가운데 어느 것에 배정되었는지와 각 단원이 어떤 세부 목표를 달성했는지를 그림으로 보여 주며, 마무리 평가의 첫 시도를 목표별로 모은다.

학습량과 학점

강좌의 학습량은 강의 시간으로 재지 않는다. 비동기 강좌에는 강의 시간이 없기 때문이다. 재는 것은 학생의 작업 총량, 곧 읽기, 증명 따라가기, 문제 풀기, 복습이다. 추정은 각 수업의 본문을 읽는 시간, 예제 문제 하나에 이십 분, 연습 문제 하나에 삼십오 분, 도전 과제 하나에 사십오 분, 입문 평가나 마무리 평가 한 번에 십이 분을 세고, 복습을 위해 십분의 일의 여유를 더한다.

결과

1단원부터 5단원까지의 수업들은 모두 합쳐 예제 문제 $145$ 개, 연습 문제 $145$ 개, 도전 과제 $50$ 개를 담고 있다. 시간 단위로 반올림한 단원별 추정 학습량은 아래와 같다.

0단원, 강좌 소개: $1$ 시간.
1단원, 삼각함수와 극좌표: $46$ 시간.
2단원, 해석 삼각법: $46$ 시간.
3단원, 극형식의 복소수: $46$ 시간.
4단원, 행렬과 대수 구조: $54$ 시간.
5단원, 공간 해석기하학: $36$ 시간.
6단원, 강좌 마무리: 한 시간 미만.

5단원은 수업 수로는 가장 짧지만, 그 네 내용 수업은 강좌에서 가장 긴 수업에 속한다. 합계는 학생의 작업 약 $230$ 시간이다. 이 수치는 있는 그대로 읽어야 한다. 곧 모든 증명을 공부하고 모든 문제와 도전 과제를 푸는 학생에 대한 추정이다. 내용의 일부를 이미 익힌 사람이나 도전 과제에 손대지 않고 연습 문제에 그치는 사람은 훨씬 적은 시간을 쓸 것이고, 이 주제를 처음 공부하며 증명하는 습관이 없는 사람은 더 많은 시간이 필요할 수 있다.

그런데 $230$ 시간이라는 수치는 명목상의 것이다. 강좌의 학점을 정하는 것이 이 수치이며, 본문을 일정한 속도로 읽고 도전 과제 하나에 사분의 삼 시간을 쓴다고 가정한다. 실제 학생으로 측정하기 전까지는 현실적인 범위를 함께 제시하는 것이 좋다. 각 증명을 종이와 연필로 다시 쓸 때처럼 읽기가 가정한 속도의 절반으로 진행되고, 도전 과제 하나에 사십오 분 대신 칠십오 분이 걸린다면, 같은 방법으로 약 $298$ 시간이 된다. 따라서 예상되는 학습량은 약 $230$ 시간에서 약 $300$ 시간 사이에 놓인다. 상한은 신중한 한계이지 측정값이 아니다. 이 범위는 강좌를 공부하는 사람들이 실제로 쓰는 시간이 알려지면 수정될 것이며, 그때까지 학점은 명목상의 수치로 계산한다.

권장 속도

속도를 부르는 데에는 이 계획과 강좌 I의 계획이 같은 기준을 쓴다. 전일 학습은 $60$ 학점의 한 학년, 곧 약 사십 주에 걸친 약 $1650$ 시간, 다시 말해 주당 약 $40$ 시간이고, 반일 학습은 그 절반인 주당 약 $20$ 시간이다. 이로부터 권장 속도가 따라 나온다. 십육 주의 한 학기에 주당 약 $14$ 시간을 공부하는 것으로, 전일 학습의 삼분의 일을 조금 넘고, 따라서 반일 학습보다 적다. 현실적인 범위로는 주당 $14$ 시간에서 $19$ 시간이며, 반일 학습에 가까워지지만 미치지는 않는다. 이렇게 강좌 I과 강좌 II는 연속된 두 학기를 차지한다. 더 여유 있는 속도인 주당 약 $7$ 시간이면 강좌가 두 학기에 걸치고, 집중적인 속도인 주당 약 $29$ 시간은 전일 학습의 사분의 삼에 조금 못 미치며 팔 주 만에 강좌를 마치게 하는데, 이는 같은 기간에 부담이 큰 다른 과목을 하나도 듣지 않는 학생의 학습량에 해당한다.

학점

이 사이트의 학점은 강좌가 공부하는 사람에게 요구하는 학습의 총량(읽기, 문제, 도전 과제, 복습)을 재는 것이지, 수업 시간을 재는 것이 아니다. 한 학점은 약 $27.5$ 시간의 학습에 해당하고, 전일 학습 일 년은 $60$ 학점, 곧 약 $1650$ 시간에 해당한다. 이는 앞 항목에서 학습 속도를 부를 때 쓴 것과 같은 기준이다.

그런데 추정한 $230$ 시간을 $27.5$ 로 나누면 8.4를 얻으며, 이를 반올림하면 $8$ 이 된다. 학점 하나의 범위를 $25$ 시간에서 $30$ 시간의 학습으로 인정하면, 이 강좌의 학점 수 $C$ 는 7.7과 9.2 사이로 범위가 정해진다.

\left( \frac{230}{30} \right) \leq C \leq \left( \frac{230}{25} \right)

따라서 이 강좌는 $8$ 학점으로, 전일 학습 한 학년의 팔분의 일을 조금 넘는다. 강좌의 일부만 공부하고 싶은 사람은 단원별 시간 목록을 이용할 수 있다. 예를 들어 0단원부터 4단원까지는 합쳐서 약 $193$ 시간, 곧 약 $7$ 학점이 된다.

학점의 쓸모는 실제적이다. 학점으로 사이트 강좌들의 부담을 서로 비교하고, 쓸 수 있는 시간을 넘지 않으면서 몇 개의 강좌를 함께 공부하는 것이 좋은지 정할 수 있다. 예를 들어 십육 주의 한 학기 동안 반일 학습으로, 곧 약 $320$ 시간을 쓸 수 있는 사람은 합계 약 $12$ 학점의 강좌들을 다룰 수 있고, 같은 학기를 전일 학습으로 쓸 수 있다면 약 $23$ 학점이다.

이 학점은 학습을 계획하기 위해 이 사이트가 자체적으로 쓰는 척도로, 어떤 공식 학점 제도에도 해당하지 않으며 어떤 기관의 학업 인정도 뜻하지 않는다.

강좌의 설계

형태

강좌는 비동기, 온라인, 자기 속도 학습 방식이다. 날짜도, 실시간 수업도, 마감도 없으며, 학생은 저마다 준비와 시간이 허락하는 속도로 나아간다. 강좌는 사이트의 열네 개 언어로 제공되며, 모든 언어에서 수학은 같다. 수식과 증명의 단계는 모든 판에서 동일하고, 번역되는 것은 본문뿐이다. 각 수업은 먼저 공부해 두면 좋은 다른 수업들을, 그 수업이 의존하는 강좌 I의 수업들까지 포함하여 밝히므로, 권장 순서는 명시적이며 확인할 수 있다.

수업의 구성

주제를 다루는 수업은 모두 같은 구성을 따른다. 먼저 요약과, 관찰 가능한 수행으로 진술한 고유한 학습 목표의 목록이 있다. 이어서 이론이 나오며, 정의, 정확하게 진술한 정리와 그 증명, 그리고 예로 이루어진다. 증명과 예는 단계 재생기로 제시된다. 각 단계는 추론의 한 줄을 쓰고, 관련된 항을 강조하며, 앞선 결과에 기댈 때에는 그 결과로 돌아가 읽는 동안 그것을 강조한다. 그리하여 추론의 기억이 눈에 보이는 채로 남는다. 많은 예에는 단계마다 바뀌는 그림이 곁들여진다. 수업의 끝에는 단계별 풀이가 붙은 예제 문제 다섯 개와 연습 문제 다섯 개가 있다. 연습 문제마다 접힌 힌트가 있고 그 뒤에 최종 답이 주어지므로, 학생은 풀이의 길을 드러내 보이지 않고도 자기 결과를 확인할 수 있다. 증명을 요구하는 연습 문제에는 답 뒤에 접힌 풀이 과정이 더해지는데, 이것은 자기 풀이를 다 쓴 뒤에 여는 것이 좋다.

도입 수업과 종합 수업은 고유한 구성을 가진다. 도입은 단원, 그 역사, 그것을 낳은 문제, 그 의의를 소개한다. 종합은 단원의 연역 사슬을, 다시 사용하는 결과와 증명하는 고리와 함께 그림으로 재구성하고, 그것을 앞의 단원들 및 강좌 I과 연결하며, 열 개의 도전 과제를 제시한다. 도전 과제마다 힌트, 최종 답, 접힌 풀이 과정이 있으며, 도전 과제는 여러 수업을 결합하고 연습 문제보다 더 많은 창의를 요구한다.

음성 읽기

각 수업은 기기 자체의 음성을 사용하는 사이트의 읽기 기능으로 소리 내어 들을 수 있다. 본문은 쓰인 그대로 읽히고, 수식은 말로 발음된다. 이로써 화면에서 떨어져 수업을 복습하거나, 단계 재생기를 보면서 들으며 증명을 따라가거나, 시각에 제약이 있어도 공부할 수 있다.

평가

이 강좌는 성적을 매기지도 인증하지도 않는다. 사이트에서의 학습 확인은 형성적이다. 연습 문제로 각 수업의 목표 달성을, 도전 과제로 각 단원의 목표 달성을 확인할 수 있다. 또한 다섯 단원은 각각 도입 수업에 입문 평가를, 종합 수업의 도전 과제 앞에 마무리 평가를 둔다. 둘 다 짧은 자기 점검으로, 브라우저 안에서 성적 없이 채점된다. 입문 평가는 단원에 관한 아홉 문항이나 열 문항에, 단원이 앞의 단원들이나 강좌 I에서 이미 안다고 가정하는 것에 관한 두 문항에서 여섯 문항을 더한 것이고, 마무리 평가는 열한 문항이나 열두 문항이다. 둘 다 오류마다 복습할 수업을 가리키며, 서로 비교되어 진척을 보여 준다. 최종 결산은 각 마무리 평가의 첫 시도를 전체 목표별 개요로 모으며, 이 개요는 평가들과 마찬가지로 학생의 브라우저에만 저장된다. 인증의 효력을 가지는 능력의 검증은 나중에 이 사이트 밖의 다른 플랫폼에서 이루어질 것이다.

전체 목표에 대해서는 또한 학생이 저마다 스스로 만들어 낼 수 있는 아래와 같은 달성의 증거를 제안한다.

목표 1: 수업을 참고하지 않고, 코사인법칙, 드무아브르 공식, 역행렬의 유일성 같은 강좌의 정리의 증명을 쓴다.
목표 2: 자명하지 않은 삼각항등식을 증명하고, 삼각방정식을 일반해를 제시하여 푼다.
목표 3: 교차항이 있는 이차방정식이 정하는 원뿔곡선을 좌표축을 회전하여 분류하고, 평면의 회전을 복소수와의 곱으로, 또 행렬로 나타낸다.
목표 4: 복소수의 $n$ 제곱근을 계산하여 평면 위에 나타내고, 카르다노 공식으로 삼차방정식을 푼다.
목표 5: 매개변수가 있는 연립일차방정식을 랭크에 따라 경우를 나누어 풀고, 주어진 구조가 군인지, 환인지, 체인지 판정한다.
목표 6: 공간의 두 직선의 위치 관계와 그 사이의 거리, 그리고 꼭짓점으로 주어진 사면체의 부피를 구한다.
목표 7: 모형화 문제에 대해 설정, 전개, 답, 타당성 점검을 갖춘 완전한 풀이를, 다른 사람이 추가 설명 없이 따라갈 수 있도록 쓴다.

이 강좌를 공부하는 방법

이 강좌는 차례대로 공부하도록 만들어졌다. 각 단원은 앞의 단원들과 강좌 I을 전제하며, 많은 증명이 두 강좌 가운데 어느 한쪽의 앞선 수업의 결과를 인용한다. 수업 하나를 건너뛰면 조만간 그 수업으로 되돌아가야 한다.

각 단원에는 두 개의 점검 지점이 있다. 입문 평가는 도입의 처음에 있으며 출발점이다. 단원을 공부하기 전에 아무것도 참고하지 않고 답하고, 오류가 가리키는 수업들을 적어 두는 것이 좋다. 그 수업들이 더 주의를 요하는 수업이다. 마무리 평가는 종합 수업에서 도전 과제 앞에 있으며 대조이다. 수업들을 마친 뒤 역시 아무것도 참고하지 않고 답하고, 입문 평가와 비교하여 무엇이 달라졌는지, 어떤 수업을 복습하면 좋은지 본다. 두 평가 모두 첫 시도가 인정되며, 비교되는 것도, 최종 결산의 개요에 모이는 것도 그것이다. 그 뒤의 시도는 이미 피드백을 본 상태에서 이루어진다. 도전 과제는 확인을 완성한다. 짧은 문항이 건드리기만 하는 것을 결합하고 글로 쓰기를 요구하기 때문이다. 이로부터 어떤 단원을 이미 익혔다고 생각하는 사람도 한 번의 시험만으로 그것을 판단해서는 안 된다는 것이 따라 나온다. 마무리 평가의 결과가 탄탄하고 종합 수업의 도전 과제를 풀 수 있다면 그 뒤의 단원으로 넘어가도 된다. 그렇지 않다면 둘이 가리키는 수업들을 다시 공부하는 것이 좋다.

각 수업에서는 먼저 요약과 목표를 읽는 것이 좋다. 그것들은 무엇을 목표로 하는지 말해 준다. 그 뒤 종이와 연필로 이론을 공부하면서, 재생기가 쓰기 전에 증명의 각 단계를 미리 짐작해 본다. 예제 문제는 풀이를 보기 전에 시도하고, 연습 문제는 도움 없이 풀며, 힌트는 시도가 바닥났을 때에만 열고, 답은 마지막에 확인하기 위해서만 연다. 시도하기 전에 답을 본 문제는 푼 것이 아니라 읽은 것이다.

도전 과제는 수업의 문제보다 어려우며, 일부는 서로 다른 날에 여러 번 시도해야 하는 것이 보통이다. 한 과제에 끝없이 머무는 것은 좋지 않다. 그것을 적어 두고, 계속 나아가고, 나중에 그것으로 돌아오는 것이 흔히 가장 짧은 길이다. 그런데 추정한 학습량은 모든 과제를 진지하게 시도한다고 가정하며, 강좌가 가르칠 수 있는 것의 상당 부분이 그 노력에 달려 있다.

마지막으로, 글로 쓰는 것이 좋다. 전제와 결론을 갖춘 증명이나 완전한 풀이를 쓰는 것은 이해했는지를 아는 유일한 방법이며, 강좌의 일곱째 목표이기도 하다. 각 단원의 정의와 정리를 자기 말로 다시 쓴 공부 노트는 강좌가 남길 수 있는 가장 좋은 복습 자료이며, 여기서 증명하는 것의 거의 모두로 되돌아갈 미적분학 I에서는 더욱 그러할 것이다.