الخطة الدراسية لدورة الجبر والهندسة 2

الغاية والفئة المستهدفة

هذه الدورة هي النصف الثاني من مسار يبدأ في الجبر والهندسة 1: الأعداد والدوال وهندسة المستوى. فقد بنت دورة الجبر والهندسة 1، انطلاقًا من مسلّمات بيانو، الأنظمة العددية حتى الأعداد المركبة في الشكل الجبري، وجبر كثيرات الحدود، والدوال الحقيقية ومنحنياتها البيانية، والهندسة التحليلية في المستوى بمتجهاتها وقطوعها المخروطية، والدوال الأسية واللوغاريتمية والزائدية. وتأخذ دورة الجبر والهندسة 2 هذه الموضوعات وتمضي بها إلى ثلاثة ميادين جديدة: حساب المثلثات، الذي يقيس الزوايا ويحوّل الدورانات إلى حساب؛ والأعداد المركبة في الشكل القطبي، حيث يصير ذلك الحساب ضربًا؛ والمصفوفات، التي تنظّم الأنظمة الخطية والتحويلات، والتي تحمل، مع المتجهات، الهندسة التحليلية في الفضاء التي تُختتم بها الدورة.

وغايتها هي غاية دورة الجبر والهندسة 1 نفسها: ألّا تعلّم الحساب فحسب، بل أن تبيّن من أين يأتي كل حساب. فكل نتيجة تُستعمل تُصاغ وتُبرهن، أو يُصرَّح بأنها مقبولة حين ينتمي برهانها إلى دورة أخرى؛ وذلك ما يحدث، مثلًا، مع المبرهنة الأساسية في الجبر أو مع خواص طول القوس، اللتين تتطلبان التفاضل والتكامل.

وهي تتوجّه إلى من أتمّ دورة الجبر والهندسة 1، أو أتقن محتوياتها بطريق آخر: إلى تلاميذ السنوات الأخيرة من التعليم المدرسي الذين يستعدّون للالتحاق بالجامعة، وإلى طلبة السنة الجامعية الأولى في العلوم أو الهندسة أو الاقتصاد أو تربويات الرياضيات، وإلى كل من يريد أن يعيد بناء رياضيات تعلّمها مجموعةً من الوصفات، بناءً صارمًا. وإذا كان الأمر كذلك، فإن الدورة تفترض معلومًا تمامَ الأعداد الحقيقية، ودراسة الدوال مع دوالها العكسية وتحويلات منحنياتها البيانية، والمستقيم والمتجهات والجداء السلمي في المستوى، والقطوع المخروطية، والدالة الأسية واللوغاريتم، وحساب الأعداد المركبة في الشكل الجبري. ومن يشكّ في أي من هذه النقاط يمكنه أن يعود إلى خلاصة الوحدة المقابلة في دورة الجبر والهندسة 1 وأن يحلّ تحدّياتها قبل أن يبدأ.

غير أن الدورة تشغل أيضًا موقع عبور. فهي المتطلب القبلي لدورة التفاضل والتكامل 1: حساب التفاضل، التي تشتقّ الدوال المثلثية انطلاقًا من المتباينة $\sin x < x < \tan x$ المبرهنة في الوحدة 1، والتي تفتح بدورها الطريق إلى أساسيات الميكانيكا والتفاضل والتكامل 2: حساب التكامل، حيث تعود الحركة الدائرية والتعويضات المثلثية والمساحات في الإحداثيات القطبية.

الأهداف التعلّمية العامة

تصف الأهداف الآتية ما ينبغي أن يكون الطالب الذي يُتمّ الدورة قادرًا على فعله. ويُصاغ كل منها أداءً قابلًا للملاحظة، بحيث يمكن التحقق منه بمهمة محددة؛ ويعلن كل درس بدوره أهدافه الخاصة، ويبيّن درس الختام، درسًا درسًا، إلى أي هذه الأهداف السبعة أُسند كل درس. وتُرقَّم الأهداف ليمكن الإحالة إليها فيه.

1. الهدف 1. أن يبرهن عبارات في حساب المثلثات، وفي جبر الأعداد المركبة والمصفوفات، وفي الهندسة التحليلية بالاستدلال الاستنتاجي الصريح، مستعملًا البرهان المباشر، والبرهان بعكس النقيض، والبرهان بالخلف، والاستقراء، وأن يميّز في كل برهان ما استُنتج مما قُبل دون برهان.
2. الهدف 2. أن يطبّق حساب المثلثات على قياس الزوايا والمثلثات، وأن يدرس الدوال المثلثية ودوالها العكسية، وأن يبرهن المتطابقات، وأن يحلّ المعادلات والمتراجحات المثلثية معطيًا حلّها العام، وأن يصف منحنيات في الإحداثيات القطبية.
3. الهدف 3. أن يدرس هندسة المستوى بأدوات الدورة: أن يحسب الزوايا بين المستقيمات، وأن يحذف بدوران المحاور الحدَّ المختلط من معادلة من الدرجة الثانية ويصنّف القطع المخروطي الذي تعرّفه، وأن يعبّر عن الدورانات والتحاكيات والانعكاسات والإسقاطات بحساب المثلثات والأعداد المركبة والمصفوفات.
4. الهدف 4. أن يجري العمليات على الأعداد المركبة في الشكلين القطبي والأسي، وأن يحسب قواها وجذورها، وأن يفسّر عملياتها هندسيًا، وأن يحلّ معادلات كثيرات الحدود في حقل الأعداد المركبة.
5. الهدف 5. أن يحلّ أنظمة المعادلات الخطية بالمصفوفات، بطريقة غاوس-جوردان والرتبة والمحددات والمصفوفة العكسية، وأن يتعرّف في الأنظمة العددية وكثيرات الحدود والمصفوفات والبواقي بترديد $n$ بنى الزمرة والحلقة والحقل.
6. الهدف 6. أن يمثّل نقاط الفضاء ومتجهاته ومستقيماته ومستوياته بالإحداثيات والمعادلات، وأن يجري العمليات بالجداء السلمي والجداء المتجهي والجداء المختلط، وأن يحسب بها الزوايا والمسافات والمساحات والحجوم، مقرّرًا الأوضاع النسبية للمستقيمات والمستويات بالأنظمة الخطية.
7. الهدف 7. أن ينمذج رياضيًا مواقف من العلم والتقنية والحياة اليومية بأدوات الدورة، وأن يعرض كتابةً صياغة المسائل والحسابات والبراهين بترميز صحيح، وحجاج تام، وضبط لمعقولية النتائج.

تقابل الأهداف من 2 إلى 6، في جوهرها، الموضوعات الكبرى للدورة: الهدف 2 الوحدتين 1 و2، والهدف 4 الوحدة 3، والهدف 5 الوحدة 4، والهدف 6 الوحدة 5، في حين يجمع الهدف 3 خيطًا يخترق الوحدات من 1 إلى 4، هو هندسة المستوى منظورًا إليها تباعًا بالجيوب وجيوب التمام، وبالأعداد المركبة، وبالمصفوفات. أما الهدفان الأول والسابع فعرضيّان: لا ينتميان إلى وحدة بعينها، بل يُتمرَّن عليهما في جميع الوحدات. ويلزم من ذلك أن بلوغهما لا يمكن أن يُنسب إلى درس محدّد، وأنه يحسن تنميتهما على امتداد الدورة كلها. غير أن لكليهما أيضًا دروسًا تخدمه خدمة رئيسية: للأول الخلاصات، التي يعيد جزؤها المركزي بناء السلسلة الاستنتاجية لكل وحدة؛ وللسابع الدروس التي تكون فيها صياغة المسائل هي المادة نفسها، أي درس الزاوية بين مستقيمين وتطبيقاتها ودرس الأنظمة الخطية.

المحتويات

تنتظم الدورة في سبع وحدات. تؤطّر الأولى والأخيرة المسار؛ وتطوّر الخمس الوسطى المحتويات. وتُفتتح كل واحدة من هذه بدرس مقدمة، يعرض دروسها، والخلفية التاريخية لأفكارها، والمسألة التي نشأت منها، وأهميتها، وتُختتم بدرس خلاصة، يعيد بناء السلسلة الاستنتاجية للوحدة، ويصلها ببقية الدورة وبدورة الجبر والهندسة 1، ويقترح عشرة تحدّيات تفوق صعوبتها صعوبة مسائل الدروس.

الوحدة 0. تقديم الدورة

تتألف من هذا الدرس، الذي يحدّد غاية الدورة، وأهدافها العامة، ومحتوياتها، وعبأها الدراسي، وتصميمها.

الوحدة 1. الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية

غايتها تعريف الدوال المثلثية على دائرة الوحدة، ودراسة منحنياتها البيانية ودوالها العكسية، وحلّ المثلثات، ووصف المنحنيات في الإحداثيات القطبية.

1. الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية: مقدمة.
2. الزوايا وقياسها: الدرجات والراديان.
3. النسب المثلثية ودائرة الوحدة.
4. الدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية.
5. الدوال المثلثية العكسية.
6. حل المثلثات: قانون الجيوب وقانون جيوب التمام.
7. الإحداثيات القطبية والمنحنيات القطبية.
8. الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 2. علم المثلثات التحليلي

غايتها تحويل الدوال المثلثية إلى حساب جبري، بالمتطابقات وصيغ الجمع والمعادلات والمتراجحات، وتطبيقه على الزوايا بين المستقيمات وعلى القطوع المخروطية ذات المحاور المائلة.

1. علم المثلثات التحليلي: مقدمة.
2. المتطابقات المثلثية الأساسية.
3. صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.
4. تحويل المجاميع إلى جداءات والشكل التوافقي.
5. المعادلات والمتراجحات المثلثية.
6. الزاوية بين مستقيمين وتطبيقات حساب المثلثات.
7. دوران المحاور والمعادلة العامة من الدرجة الثانية.
8. علم المثلثات التحليلي: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 3. الأعداد المركبة في الشكل القطبي

غايتها وصف كل عدد مركب بمقياسه وعمدته، بحيث يُقرأ الجداء دورانًا مع تمديد، والقوى مضاعفاتٍ لزاوية، والجذور مضلعاتٍ منتظمة، وحلّ معادلات كثيرات الحدود بذلك. وهي تعود إلى الأعداد المركبة في الشكل الجبري التي بُنيت في الوحدة 2 من دورة الجبر والهندسة 1.

1. الأعداد المركبة في الشكل القطبي: مقدمة.
2. الشكل القطبي للأعداد المركبة.
3. صيغة دي موافر وقوى الأعداد المركبة.
4. الجذور النونية لعدد مركب وجذور الواحد.
5. الدالة الأسية المركبة وصيغة أويلر.
6. الهندسة بالأعداد المركبة.
7. المعادلات الحدودية في الأعداد المركبة: صيغتا كاردانو وفيراري.
8. الأعداد المركبة في الشكل القطبي: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 4. المصفوفات والبنى الجبرية

غايتها أن تجعل جدول معاملات نظام خطي موضوعًا له عملياته الخاصة، وأن تحلّ به الأنظمة، وأن تقرأ المصفوفات تحويلاتٍ، وأن تكثّف ما هو مشترك بين حسابات الدورتين في مفاهيم الزمرة والحلقة والحقل.

1. المصفوفات والبنى الجبرية: مقدمة.
2. المصفوفات والعمليات على المصفوفات.
3. الأنظمة الخطية وطريقة غاوس-جوردان.
4. المحددات: الخصائص وقاعدة كرامر.
5. المصفوفة العكسية.
6. المصفوفات بوصفها تحويلات للمستوى.
7. الأعداد المركبة بوصفها مصفوفات.
8. البنى الجبرية: الزمر والحلقات والحقول.
9. المصفوفات والبنى الجبرية: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 5. الهندسة التحليلية في الفضاء

غايتها أن تمدّ إلى الفضاء الهندسة التحليلية في المستوى المدروسة في الوحدة 4 من دورة الجبر والهندسة 1: أن تصف النقاط والمتجهات بثلاث إحداثيات، انطلاقًا من قائمة صريحة بالحقائق المقبولة من الهندسة الإقليدية في الفضاء؛ وأن تقيس الأطوال والزوايا بالجداء السلمي، مبرهنةً أن الزاوية المعرَّفة على هذا النحو هي زاوية الهندسة الأولية؛ وأن تستخرج من محدد الرتبة الثالثة الجداء المتجهي والجداء المختلط، مع قراءتهما مساحةً وحجمًا ومعيارًا لاتحاد المستوى؛ وأن تكتب المستقيمات والمستويات بمعادلات وتقرّر أوضاعها النسبية بالرتبة وبمبرهنة روشيه-فروبنيوس من الوحدة 4؛ وأن تحسب المسافات والزوايا والإسقاطات والعمود المشترك لمستقيمين متخالفين، مع تطبيقات في الميكانيكا وعلم البلّورات والملاحة الجوية وتحديد المواقع بالأقمار الصناعية. وتدرس الوحدة سطح الكرة، لكنها لا تدرس السطوح التربيعية الأخرى (المجسّمات الناقصية، والمجسّمات المكافئة، والمجسّمات الزائدية، والمخاريط والأسطوانات من الدرجة الثانية)، التي لا تُتناول في هذه الدورة؛ وفي التنظيم الحالي للموقع، تعود دراستها إلى التفاضل والتكامل 3.

1. الهندسة التحليلية في الفضاء: مقدمة.
2. المتجهات في الفضاء والجداء السلمي.
3. الجداء المتجهي والجداء المختلط.
4. المستقيمات والمستويات في الفضاء.
5. المسافات والزوايا والحجوم في الفضاء.
6. الهندسة التحليلية في الفضاء: الخلاصة والتحديات.

الوحدة 6. ختام الدورة

تتألف من درس الحصيلة النهائية لدورة الجبر والهندسة 2، الذي يذكّر بالأهداف العامة السبعة ويبيّن، في رسم، إلى أيٍّ منها أُسند كل درس من دروس الدورة وأيّ الأهداف الخاصة بلغتها كل وحدة، ويجمع لكل هدف المحاولة الأولى في تقييمات الخروج.

العبء الدراسي والساعات المعتمدة

لا يُقاس العبء الدراسي لدورةٍ بساعات العرض، التي لا وجود لها في دورة غير متزامنة، بل بمجموع عمل الطالب: القراءة، وتتبّع البراهين، وحلّ المسائل، والمراجعة. ويحسب التقدير وقت قراءة نص كل درس، وعشرين دقيقة لكل مسألة محلولة، وخمسًا وثلاثين لكل مسألة مقترحة، وخمسًا وأربعين لكل تحدٍّ، واثنتي عشرة لكل تقييم دخول أو خروج، ثم يضيف هامشًا قدره العُشر للمراجعة.

النتائج

تحتوي دروس الوحدات من 1 إلى 5 في مجموعها على $145$ مسألة محلولة و$145$ مسألة مقترحة و$50$ تحدّيًا. والعبء المقدَّر لكل وحدة، مقرَّبًا إلى أقرب ساعة، هو الآتي:

• الوحدة 0، تقديم الدورة: $1$ ساعة.
• الوحدة 1، الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية: $46$ ساعة.
• الوحدة 2، علم المثلثات التحليلي: $46$ ساعة.
• الوحدة 3، الأعداد المركبة في الشكل القطبي: $46$ ساعة.
• الوحدة 4، المصفوفات والبنى الجبرية: $54$ ساعة.
• الوحدة 5، الهندسة التحليلية في الفضاء: $36$ ساعة.
• الوحدة 6، ختام الدورة: أقل من ساعة واحدة.

الوحدة 5 هي الأقصر من حيث عدد الدروس، لكن دروس المحتوى الأربعة فيها من أطول دروس الدورة. ويبلغ المجموع نحو $230$ ساعة من عمل الطالب. وينبغي أن يُقرأ هذا الرقم على حقيقته: تقديرٌ لطالب يدرس جميع البراهين ويحلّ جميع المسائل والتحدّيات. فمن يتقن بعض المحتويات، أو يقتصر على المسائل المقترحة دون أن يتصدّى للتحدّيات، سيحتاج إلى أقل من ذلك بكثير؛ ومن يدرس الموضوع لأول مرة، دون اعتياد على البرهنة، قد يحتاج إلى أكثر.

غير أن رقم $230$ ساعة رقمٌ اسمي: هو الذي تُحدَّد به الساعات المعتمدة للدورة، ويفترض قراءة النص بوتيرة ثابتة وثلاثة أرباع الساعة لكل تحدٍّ. وما دام لم يُقَس مع طلبة حقيقيين، فيحسن أن يُرفَق بمجال واقعي. فلو سارت القراءة بنصف الوتيرة المفترضة، كما يحدث حين يُعاد كتابة كل برهان بالورقة والقلم، واستلزم كل تحدٍّ خمسًا وسبعين دقيقة بدلًا من خمس وأربعين، لأعطت الطريقة نفسها نحو $298$ ساعة. ومن ثَمّ يقع العبء المتوقّع بين نحو $230$ ونحو $300$ ساعة. والطرف الأعلى حدٌّ حذِر، لا قياس؛ وسيُصحَّح المجال حين يُعرف الوقت الذي يستغرقه من يدرسون الدورة، وإلى ذلك الحين تُحسب الساعات المعتمدة بالرقم الاسمي.

الوتيرة المقترحة

لتسمية الوتائر، تعتمد هذه الخطة وخطة دورة الجبر والهندسة 1 المعيار نفسه: الدراسة بدوام كامل هي دراسة عام أكاديمي من $60$ ساعة معتمدة، أي نحو $1650$ ساعة موزّعة على نحو أربعين أسبوعًا، أي نحو $40$ ساعة أسبوعيًا، والدراسة بدوام جزئي نصفها، أي نحو $20$ ساعة أسبوعيًا. ومن ذلك يلزم وتيرة موصى بها قدرها فصل دراسي واحد من ستة عشر أسبوعًا، بنحو $14$ ساعة دراسة أسبوعيًا، أي أكثر قليلًا من ثلث الدوام الكامل، ومن ثمّ أقل من الدوام الجزئي؛ ومع المجال الواقعي، من $14$ إلى $19$ ساعة أسبوعيًا، تقترب من الدوام الجزئي دون أن تبلغه. وهكذا تشغل دورتا الجبر والهندسة 1 و2 فصلين دراسيين متتاليين. ووتيرة أيسر، بنحو $7$ ساعات أسبوعيًا، تمدّ الدورة على فصلين دراسيين؛ ووتيرة مكثّفة، بنحو $29$ ساعة أسبوعيًا، أي أقل قليلًا من ثلاثة أرباع الدوام الكامل، تُتمّها في ثمانية أسابيع، وهو ما يعادل عبء طالب لا يدرس أي مقرّر آخر متطلّب في الفترة نفسها.

الساعات المعتمدة

تقيس الساعات المعتمدة في هذا الموقع مجموع الجهد الذي تتطلّبه الدورة ممن يدرسها (القراءة، والمسائل، والتحديات، والمراجعة)، لا ساعات الحصص. فالساعة المعتمدة الواحدة تعادل نحو $27{,}5$ ساعة عمل، وعامٌ من الدراسة بدوام كامل يعادل $60$ ساعة معتمدة، أي نحو $1650$ ساعة؛ وهو المعيار نفسه الذي سُمّيت به وتائر الدراسة في القسم الذي قبله.

غير أننا إذا قسمنا الساعات المقدَّرة $230$ على $27{,}5$ حصلنا على 8.4، الذي يُقرَّب إلى $8$. وإذا قُبل للساعة المعتمدة نطاق من $25$ إلى $30$ ساعة عمل، كان عدد الساعات المعتمدة $C$ للدورة محصورًا بين 7.7 و9.2:

ومن ثمّ فللدورة $8$ ساعات معتمدة، أي أكثر قليلًا من ثُمن عام من الدراسة بدوام كامل. ومن يرغب في دراسة بعض وحدات الدورة فقط يمكنه أن يستعين بقائمة الساعات لكل وحدة: فالوحدات من 0 إلى 4، مثلًا، يبلغ مجموعها نحو $193$ ساعة، أي نحو $7$ ساعات معتمدة.

وفائدتها عملية: فهي تتيح المقارنة بين أعباء دورات الموقع، وتقدير عدد ما يحسن دراسته منها في آن واحد دون تجاوز الوقت المتاح. فمن كان لديه، مثلًا، دوام جزئي طوال فصل دراسي من ستة عشر أسبوعًا، أي نحو $320$ ساعة، أمكنه أن يتناول دورات يبلغ مجموعها نحو $12$ ساعة معتمدة؛ ومع الدوام الكامل في الفصل نفسه، نحو $23$.

وهذه الساعات المعتمدة مقياس خاص بالموقع لتخطيط الدراسة: فهي لا تقابل أي نظام رسمي للساعات المعتمدة، ولا تعني اعترافًا أكاديميًا من أي مؤسسة.

تصميم الدورة

نمط الدراسة

الدورة غير متزامنة، وعبر الإنترنت، وذاتية الوتيرة: ليس لها مواعيد ولا جلسات مباشرة ولا آجال، ويتقدّم كل طالب بالسرعة التي يسمح بها إعداده ووقته. وتُقدَّم بلغات الموقع الأربع عشرة، بالرياضيات نفسها في جميعها: الصيغ وخطوات البراهين متطابقة في كل نسخة، ولا يُترجَم إلا النص. وتعلن الدروس أي الدروس الأخرى يحسن أن تُدرَس قبلها، ومنها دروس دورة الجبر والهندسة 1 التي تعتمد عليها، بحيث يكون الترتيب الموصى به صريحًا ويمكن التحقق منه.

بنية الدرس

تتبع جميع الدروس الموضوعية البنية نفسها. فهي تبدأ بملخّص وقائمة بأهدافها التعلّمية الخاصة، مصوغةً أداءاتٍ قابلة للملاحظة. ثم تأتي النظرية، بالتعريفات، والمبرهنات المصوغة بدقة وبراهينها، والأمثلة. وتُعرض البراهين والأمثلة في مشغّلات خطوات: كل خطوة تكتب سطرًا من الاستدلال، وتُبرز الحدود المعنية، وحين تستند إلى نتيجة متقدّمة تعود إليها وتُبرزها في أثناء القراءة، بحيث تبقى ذاكرة الاستدلال ظاهرة للعين؛ وكثير منها يرافقه رسم يتغيّر مع كل خطوة. ويُختتم الدرس بخمس مسائل محلولة، مع حلّها خطوة بخطوة، وخمس مسائل مقترحة، لكل منها تلميح مطويّ ثم الإجابة النهائية، كي يتحقق الطالب من نتيجته دون أن يُكشف له الطريق؛ وتضيف المسائل المقترحة التي تطلب برهانًا، مطويًّا بعد الإجابة، حلًّا مفصّلًا يحسن ألا يُفتح إلا بعد كتابة الحل الخاص.

ولدروس المقدمة والخلاصة بنية خاصة. فالمقدمة تعرض الوحدة، وتاريخها، والمسألة التي نشأت منها، وأهميتها؛ والخلاصة تعيد بناء السلسلة الاستنتاجية للوحدة في رسم، بالنتائج التي تعيد استعمالها والحلقات التي تبرهنها، وتصلها بالوحدات التي قبلها وبدورة الجبر والهندسة 1، وتقترح عشرة تحدّيات، لكل منها تلميح، وإجابة نهائية، وحلّ مفصّل مطويّ، تجمع بين عدة دروس وتتطلب ابتكارًا أكثر مما تتطلبه المسائل المقترحة.

القارئ الصوتي

يمكن الاستماع إلى كل درس بصوت مرتفع بواسطة قارئ الموقع، الذي يستعمل أصوات الجهاز نفسه: يُقرأ النص كما هو مكتوب، وتُنطق الصيغ بالكلمات. ويتيح ذلك مراجعة درس بعيدًا عن الشاشة، وتتبّع برهان بالاستماع إليه مع النظر إلى مشغّل الخطوات، والدراسة مع إعاقات بصرية.

التقييم

لا تمنح الدورة علامات ولا شهادات: تقويمها في الموقع تكويني. فالمسائل المقترحة تتيح التحقق من بلوغ أهداف كل درس، والتحدّيات من بلوغ أهداف كل وحدة. ولكل وحدة من الوحدات الخمس، فضلًا عن ذلك، تقييم دخول في مقدمتها وتقييم خروج في خلاصتها، قبل التحدّيات: وهما تقويمان ذاتيان قصيران، يُصحَّحان في المتصفح دون علامات؛ في تقييم الدخول تسعة أسئلة أو عشرة عن الوحدة، يُضاف إليها ما بين سؤالين وستة أسئلة عمّا تفترضه الوحدة معلومًا من الوحدات التي قبلها أو من دورة الجبر والهندسة 1، وفي تقييم الخروج أحد عشر سؤالًا أو اثنا عشر؛ ويبيّن كلاهما الدرس الذي يُراجَع عند كل خطأ، ويُقارَن أحدهما بالآخر لإظهار التقدّم. وتجمع الحصيلة النهائية المحاولة الأولى في كل تقييم خروج في ملف أداء بحسب الهدف العام، يُحفظ مثلها في متصفح الطالب وحده. وسيجري التصديق على المهارات، بقيمة الشهادة، لاحقًا وخارج هذا الموقع، في منصة أخرى.

ولأجل الأهداف العامة، تُقترح فضلًا عن ذلك شواهد البلوغ الآتية، التي يستطيع كل طالب أن يُنتجها بنفسه:

• الهدف 1: أن يكتب، دون الرجوع إلى الدرس، برهان مبرهنة من مبرهنات الدورة، مثل قانون جيوب التمام أو صيغة دي موافر أو وحدانية المصفوفة العكسية.
• الهدف 2: أن يبرهن متطابقة مثلثية غير بديهية وأن يحلّ معادلة مثلثية معطيًا حلّها العام.
• الهدف 3: أن يصنّف القطع المخروطي الذي تعرّفه معادلة من الدرجة الثانية ذات حدّ مختلط، بتدوير المحاور، وأن يعبّر عن دوران في المستوى بوصفه ضربًا في عدد مركب وبوصفه مصفوفة.
• الهدف 4: أن يحسب الجذور ذات الدليل $n$ لعدد مركب، وأن يمثّلها في المستوى، وأن يحلّ معادلة تكعيبية بصيغة كاردانو.
• الهدف 5: أن يحلّ نظامًا خطيًا ذا وسيط، مناقشًا الحالات بحسب الرتبة، وأن يقرّر ما إذا كانت بنية معطاة زمرة أو حلقة أو حقلًا.
• الهدف 6: أن يجد الوضع النسبي لمستقيمين في الفضاء والمسافة بينهما، وحجم رباعي أوجه معطى برؤوسه.
• الهدف 7: أن يكتب الحلّ الكامل لمسألة نمذجة، بصياغتها وخطوات حلّها وإجابتها وضبط معقوليتها، بحيث يستطيع شخص آخر أن يتتبّعه دون شروح إضافية.

كيف تُدرَس هذه الدورة

صُمّمت الدورة لتُدرَس بالترتيب. فكل وحدة تفترض الوحدات التي قبلها ودورة الجبر والهندسة 1، وكثير من البراهين يستشهد بنتائج من دروس متقدّمة، في هذه الدورة أو تلك؛ وتخطّي درس يُلزم، عاجلًا أو آجلًا، بالعودة إليه.

لكل وحدة نقطتا مراقبة. فتقييم الدخول، في بداية المقدمة، هو نقطة الانطلاق: يحسن الإجابة عنه قبل دراسة الوحدة، دون الرجوع إلى أي شيء، وتدوين الدروس التي تحيل إليها الأخطاء، فهي التي تطلب عناية أكبر. وتقييم الخروج، في الخلاصة وقبل التحدّيات، هو المقابلة: يُجاب عنه عند الانتهاء من الدروس، دون الرجوع إلى شيء أيضًا، ويُقارَن بتقييم الدخول لرؤية ما تغيّر وأي الدروس يحسن مراجعتها. وفي كليهما تُحتسب المحاولة الأولى، فهي التي تُقارَن وهي التي يجمعها ملف أداء الحصيلة النهائية؛ أما المحاولات اللاحقة فتجري بعد الاطلاع على التغذية الراجعة. وتُكمل التحدّيات التحقق، لأنها تتطلب الجمع والكتابة فيما لا تمسّه الأسئلة القصيرة إلا مسًّا. ومن ذلك يلزم أن من يظن أنه يتقن وحدة لا ينبغي أن يحكم بذلك بناءً على اختبار واحد: فإن كان تقييم خروجه متينًا وحلّ تحدّيات الخلاصة، أمكنه الانتقال إلى الوحدة اللاحقة؛ وإلا، فيحسن أن يجتاز الدروس التي يشير إليها هذا وتلك.

في كل درس، يحسن أن يُقرأ أولًا الملخّص والأهداف، فهي تقول ما المقصود؛ ثم أن تُدرَس النظرية بالورقة والقلم، مع محاولة توقّع كل خطوة من البراهين قبل أن يكتبها المشغّل؛ وأن تُحاوَل المسائل المحلولة قبل النظر في حلّها، وأن تُحلّ المقترحة دون مساعدة، فلا يُفتح التلميح إلا حين تُستنفد المحاولة، ولا الإجابة إلا في النهاية، للتحقق. فالمسألة التي استُشيرت إجابتها قبل محاولتها لم تُحَلّ، بل قُرئت.

التحدّيات أصعب من مسائل الدروس، ومن الطبيعي أن يتطلب بعضها عدة محاولات في أيام مختلفة. ولا يحسن التوقف عند واحد منها إلى ما لا نهاية: فتدوينه، ومواصلة التقدّم، والعودة إليه لاحقًا، كثيرًا ما يكون أقصر الطرق. غير أن العبء المقدَّر يفترض أن تُحاوَل جميعها بجدّية، وفي هذا الجهد يتوقف جانب كبير مما يمكن أن تعلّمه الدورة.

وأخيرًا، يحسن أن يكتب الطالب. فكتابة برهان أو حلّ كامل، بمقدّماته ونتائجه، هي السبيل الوحيد لمعرفة ما إذا كان قد فُهم، وهي أيضًا الهدف السابع من أهداف الدورة. ودفتر دراسة تُعاد فيه كتابة تعريفات كل وحدة ومبرهناتها بكلمات المرء نفسه هو أفضل مادة للمراجعة يمكن أن تتركها الدورة، وسيكون كذلك أكثر في دورة التفاضل والتكامل 1، التي ستعود إلى كل ما يُبرهن هنا تقريبًا.