انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

علم المثلثات التحليلي: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس وحدة علم المثلثات التحليلي. ويجمع في سلسلة استنتاجية واحدة ما بُرهن عليه في دروسها الستة: المتطابقات الأساسية، وصيغة جيب تمام الفرق وكل الصيغ التي تُستنتج منها، وتحويل المجاميع إلى جداءات والشكل التوافقي، وحلّ المعادلات والمتراجحات، والزاوية بين مستقيمين، ودوران المحاور الذي يصنّف القطوع المخروطية. ويشرح كيف تستند هذه السلسلة إلى الوحدة التي سبقتها وإلى دورة الجبر والهندسة 1، ولا سيما إلى دائرة الوحدة والإحداثيات القطبية وكثيرات الحدود والقطوع المخروطية، وكيف تمهّد للوحدة اللاحقة، التي تعود فيها الصيغ نفسها بوصفها قاعدة ضرب الأعداد المركبة. ويختم بتقييم الخروج، الموازي لتقييم الدخول في المقدمة، وبعشرة تحدّيات، أصعب من المسائل المقترحة في الوحدة، تقتضي الجمع بين عدة دروس.

أهداف التعلم

  1. إعادة بناء السلسلة الاستنتاجية للوحدة، من صيغة جيب تمام الفرق إلى تصنيف القطوع المخروطية بمميزها، وتعيين النتيجة التي تعتمد عليها كل مرحلة.
  2. ربط نتائج الوحدة بنتائج الوحدة التي سبقتها ودورة الجبر والهندسة 1 في دائرة الوحدة والإحداثيات القطبية وكثيرات الحدود والقطوع المخروطية.
  3. استشراف دور صيغ المجموع في ضرب الأعداد المركبة في الشكل القطبي.
  4. حلّ مسائل تجمع بين المتطابقات والمعادلات والزوايا بين المستقيمات والدورانات، باختيار التحويل الذي يجعل المسألة قابلة للمعالجة في كل حالة.

ما حقّقته الوحدة

بدأت الوحدة بتثبيت اللغة. ففي درس المتطابقات المثلثية الأساسية عُرّفت المتطابقة بأنها مساواة تصحّ في كامل مجال التعريف المشترك لطرفيها، وجُمعت متطابقات المقلوبات والقسمة والمتطابقات الفيثاغورية ومتطابقات الزوجية والدوال المتتامة، وتقرّرت طريقة البرهان: تحويل أحد الطرفين إلى الآخر، أو تحويل كليهما إلى عبارة واحدة، دون الانطلاق مما يُراد إثباته؛ ويكفي مثال مضادّ واحد لدحض متطابقة خاطئة. وبهذه اللغة عُبّر عن كل دالة بدلالة غيرها، وحُوّلت الجذور بالتعويضات، وتُعرّف القطع الناقص والقطع الزائد في التمثيلين الوسيطيين (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) و(asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right).

وكان المنعطف الحاسم درس صيغ المجموع والفرق. فبحساب طول وتر من أوتار دائرة الوحدة بطريقتين، بالإحداثيات الديكارتية وبالإحداثيات القطبية، بُرهن على أنه لكل عددين حقيقيين α\alpha وβ\beta تتحقق المساواة الآتية:

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

وكل ما عدا ذلك استُنتج منها. فبالزوجية حُصل على جيب تمام المجموع؛ وبالدوال المتتامة، على جيب المجموع وجيب الفرق؛ وبالقسمة، على ظل المجموع. وإذا كان الأمر كذلك، فبوضع α=β\alpha = \beta نحصل على صيغ ضعف الزاوية؛ وبحلّها بالنسبة إلى المربع، على صيغ خفض الأس ونصف الزاوية؛ وبالجمع مرة أخرى، على صيغ ثلاثة أضعاف الزاوية. وحوّل التعويض t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} الجيب وجيب التمام إلى كسور نسبية في tt، ومن ذلك نتج التمثيل الوسيطي النسبي للدائرة وصيغة جميع الثلاثيات الفيثاغورية.

وسلك درس تحويل المجاميع إلى جداءات الطريق المعاكس: بجمع صيغ المجموع والفرق وطرحها، تتحوّل الجداءات إلى مجاميع والمجاميع إلى جداءات. ونتيجته الرئيسة أن كل تركيب asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x هو موجة واحدة Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)، حيث R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}؛ ويترتب على ذلك مداه، [−R,R]\icc{-R}{R}، وتراكب التذبذبات ذات التردد الواحد، والضربات، ثم، بعامل يجعل المجموع متداخلًا، مجاميع الجيوب وجيوب التمام في متوالية حسابية.

وبهذه الأدوات استطاع درس المعادلات والمتراجحات المثلثية أن يحلّ عائلة كاملة من المسائل. فالحلول العامة للمعادلات sin⁡x=c\sin x = c وcos⁡x=c\cos x = c وtan⁡x=c\tan x = c تمدّ بالدورية الحلولَ التي تعطيها الدوال العكسية؛ أما المعادلات الأخرى فتُردّ إليها بالمتطابقات والتحليل إلى عوامل وتساوي جيبين أو جيبي تمام والشكل التوافقي، مع حذرين دائمين: القسمة قد تُضيع حلولًا، والتربيع قد يضيف حلولًا. وحُلّت المتراجحات في دورة واحدة، بدائرة الوحدة أو بجداول الإشارات، ثم مُدّت دوريًا.

ونقل الدرسان الأخيران هذا الحساب إلى الهندسة التحليلية. ففي درس الزاوية بين مستقيمين، أعطى ظل الفرق الزاوية بين مستقيمين انطلاقًا من ميليهما، وأعطى الجداء السلمي صيغة ثانية تصحّ أيضًا للمستقيمات الرأسية؛ واستُخرج منصِّفا الزاويتين ومركز الدائرة المحاطة، ونُمذجت الارتفاعات التي يتعذّر الوصول إليها، والحركة التوافقية، والمسافة الأفقية للمقذوفات، وانعكاس الضوء. وذلك الدرس هو الوحيد في الوحدة الذي يقبل شيئًا دون برهان، ويصرّح بذلك: من الهندسة الإقليدية، الحقائق الثلاث التي كانت دورة الجبر والهندسة 1 تقبلها من قبل (مبرهنة فيثاغورس، وتساوي الزوايا المتناظرة بين المتوازيات، ومجموع زوايا المثلث الذي يساوي π\pi)، ومن الفيزياء، معادلات الحركة التوافقية البسيطة ومعادلات المقذوف. وأخيرًا، في درس دوران المحاور، وصفت صيغ الفرق تغيّر الإحداثيات عند تدوير المحاور؛ فالزاوية التي تحقق cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} تحذف الحد الذي يحوي xyxy، والمجموع A+CA + C والمميز B2−4ACB^2 - 4AC لا يتغيّران بالدوران، ومن ثمّ فإن إشارة المميز تصنّف كل معادلة من الدرجة الثانية.

ويمكن تلخيص السلسلة كلها هكذا: وتر يُحسب بطريقتين يعطي جيب تمام الفرق؛ ومنه تخرج كل صيغ المجموع؛ ومن هذه، التحويلات والشكل التوافقي؛ وبها جميعًا تُحلّ المعادلات؛ والمعادلات المحلولة تقيس الزوايا بين المستقيمات وتحذف الحدّ المختلط من القطوع المخروطية. ويجمع الرسم الآتي هذه السلسلة في خمسة مقاطع، تتبع ترتيب الفقرات أعلاه: كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي تُثبَت فيها، باستثناء ما يُقبل دون برهان أو يأتي من الوحدة التي سبقتها أو من دورة الجبر والهندسة 1، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

  • Aدائرة الوحدة. تُقبل مسلّمة السير على الدائرة بطول القوس: لكل عدد حقيقي ss توجد نقطة وحيدة P(s)P(s) من دائرة الوحدة يُوصل إليها من (1,0)(1, 0) بقطع طول قدره ∣s∣\abs{s}، والمسارات يتعاقب بعضها في إثر بعض، P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s)، والإحداثي السيني للنقطة P(s)P(s) متناقص تمامًا في [0,π]\icc{0}{\pi} ومتزايد في [π,2π]\icc{\pi}{2\pi}، وكل نقطة من الدائرة هي نقطةٌ ما P(s)P(s). ومن هذه المسلّمة بُرهن في وحدة الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية على أن كل نقطة من الدائرة هي P(θ)P(\theta) لزاوية وحيدة θ\theta في [0,2π)\ico{0}{2\pi}، وأن جيب التمام والجيب، وهما إحداثيا P(θ)P(\theta)، دالتان دوريتان تحققان متطابقات الزوجية والدوال المتتامة، وأنهما رتيبتان تمامًا على فتراتهما الرئيسة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Bالدوال العكسية. قوس الجيب وقوس جيب التمام وقوس الظل تعطي، على فتراتها الرئيسة، الزاوية الوحيدة التي لها جيب أو جيب تمام أو ظل معلوم؛ وقد بُرهن على ذلك في وحدة الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Cالإحداثيات القطبية. النقطة ذات الإحداثيين القطبيين (r,φ)(r, \varphi) إحداثياها الديكارتيان x=rcos⁡φx = r \cos \varphi وy=rsin⁡φy = r \sin \varphi، والمسافة بين (r1,θ1)(r_1, \theta_1) و(r2,θ2)(r_2, \theta_2) تحقق d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)؛ وقد بُرهن على ذلك في وحدة الدوال المثلثية والإحداثيات القطبية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Dالهندسة التحليلية في المستوى. صيغة المسافة، والمسافة من نقطة إلى مستقيم، ومبرهنة نصفي المستوى، والجداء السلمي مع متباينة كوشي-شفارتز والزاوية بين متجهين، وتصنيف القطوع المخروطية ذات المحاور الموازية لمحاور الإحداثيات؛ بُرهن عليها في دورة الجبر والهندسة 1، في وحدة الهندسة التحليلية في المستوى، وفي درس حلّ المثلثات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Eالجبر والحساب في دورة الجبر والهندسة 1. تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل، ومبرهنة العامل والقسمة التركيبية، وجداول الإشارات، والمجاميع المتداخلة، وتوطئة إقليدس؛ بُرهن عليها في دورة الجبر والهندسة 1، في وحدتي الأعداد الطبيعية والدوال الجبرية وكثيرات الحدود. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
  • Fالمتطابقة الفيثاغورية. لكل θ\theta يتحقق sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1، وفي مجالات تعريفها، 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta و1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta. تثبت في: 2. المتطابقات الأساسية.
  • Gصيغ المجموع. لكل عددين حقيقيين α\alpha وβ\beta يتحقق cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta وsin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta، وكذلك صيغ الفرق، التي تنتج حين يوضع مكان β\beta العدد −β-\beta. تثبت في: 6. صيغ المجموع.
  • Hالهندسة الإقليدية. تُقبل من الهندسة الإقليدية، كما في وحدة دورة الجبر والهندسة 1 عن الهندسة التحليلية في المستوى، مبرهنة فيثاغورس وعكسها، وتساوي الزوايا المتناظرة التي يصنعها قاطع مع مستقيمين متوازيين، ومجموع زوايا المثلث الذي يساوي π\pi؛ ومنها تُستنتج تساوي الزاويتين المتقابلتين بالرأس وتساوي الزاويتين المتبادلتين بين المتوازيات. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.

  1. المقطع 1 اللغة: المتطابقات وبرهانها

    • تعريف المتطابقة بأنها مساواة تصحّ في كامل مجال التعريف المشترك لطرفيها، وتمييزها من المعادلة.
    • جمع متطابقات المقلوبات والقسمة والمتطابقات الفيثاغورية ومتطابقات الزوجية والدوال المتتامة.
    • البرهان على المتطابقات دون الانطلاق مما يُراد إثباته، ودحض الخاطئة منها بمثال مضادّ.
    • تحويل الجذور بالتعويضات، وتعرّف القطع الناقص والقطع الزائد في تمثيليهما الوسيطيين المثلثيين.

    1. المتطابقة وبرهانها. المتطابقة مساواة تصحّ في كامل مجال التعريف المشترك لطرفيها؛ ويُبرهن عليها بتحويل أحد الطرفين إلى الآخر، أو بتحويل كليهما إلى عبارة واحدة، دون الانطلاق منها، وتُدحض بمثال مضادّ واحد.

      يُبرهن في: المتطابقات المثلثية الأساسية.

    2. المتطابقات الأساسية. في مجال التعريف المشترك لكلٍّ منها تتحقق متطابقات المقلوبات والقسمة والمتطابقات الفيثاغورية؛ والجيب والظل وقاطع التمام وظل التمام دوال فردية، وجيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان، وكل دالة في π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta تساوي الدالة المتممة لها في θ\theta.

      تستعمل: 1. المتطابقة وبرهانها. تستند إلى: A (دائرة الوحدة). يُبرهن في: المتطابقات المثلثية الأساسية.

    3. التعويضات المثلثية. إذا كان θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x فإن 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta؛ وإذا كان θ=arctan⁡x\theta = \arctan x فإن 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta؛ وإذا كان x≥1x \geq 1 وθ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x} فإن x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta.

      تستعمل: 2. المتطابقات الأساسية. تستند إلى: F (المتطابقة الفيثاغورية), B (الدوال العكسية). يُبرهن في: المتطابقات المثلثية الأساسية.

    4. القطع الناقص والقطع الزائد وسيطيًا. عندما يمسح tt الفترة [0,2π)\ico{0}{2\pi}، تمسح النقطة (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t) القطع الناقص x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 مرة واحدة فقط؛ وتمسح النقطة (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t) الفرع الأيمن من القطع الزائد x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 مرة واحدة فقط عندما يمسح tt الفترة (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}، والفرع الأيسر عندما يمسح (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}.

      تستعمل: 2. المتطابقات الأساسية. تستند إلى: A (دائرة الوحدة), F (المتطابقة الفيثاغورية). يُبرهن في: المتطابقات المثلثية الأساسية.

  2. المقطع 2 صيغة جيب تمام الفرق ونتائجها

    • البرهان على صيغة جيب تمام الفرق بحساب وتر من أوتار دائرة الوحدة بطريقتين.
    • استنتاج جيب تمام المجموع والفرق وجيبهما منها، وظل المجموع.
    • الحصول على صيغ ضعف الزاوية وخفض الأس ونصف الزاوية وثلاثة أضعاف الزاوية.
    • التعبير عن الجيب وجيب التمام بكسور نسبية في t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}، وتمثيل الدائرة وسيطيًا تمثيلًا نسبيًا، وتوليد جميع الثلاثيات الفيثاغورية.

    1. جيب تمام الفرق. لكل عددين حقيقيين α\alpha وβ\beta يتحقق cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta، لأن الوتر الواصل بين P(α)P(\alpha) وP(β)P(\beta) له الطول نفسه محسوبًا بالإحداثيات الديكارتية وبالإحداثيات القطبية.

      تستند إلى: C (الإحداثيات القطبية), D (الهندسة التحليلية في المستوى), F (المتطابقة الفيثاغورية). يُبرهن في: صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.

    2. صيغ المجموع. بالزوجية والدوال المتتامة نحصل على cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta وsin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta وعلى جيب الفرق؛ وإذا كان ظلّا α\alpha وβ\beta معرّفين وكان tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1، فإن tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}.

      تستعمل: 2. المتطابقات الأساسية, 5. جيب تمام الفرق. يُبرهن في: صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.

    3. ضعف الزاوية. يتحقق sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta وcos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta، وحيثما كان معرّفًا، tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}.

      تستند إلى: G (صيغ المجموع), F (المتطابقة الفيثاغورية). يُبرهن في: صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.

    4. خفض الأس ونصف الزاوية. يتحقق cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} وsin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}؛ ومنهما فإن جيب θ2\frac{\theta}{2} وجيب تمامه هما جذرا 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2} و1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2} بإشارة ربعهما، وtan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} إذا كان cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1.

      تستعمل: 7. ضعف الزاوية. تستند إلى: F (المتطابقة الفيثاغورية). يُبرهن في: صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.

    5. ثلاثة أضعاف الزاوية. لكل عدد حقيقي θ\theta يتحقق cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta وsin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta.

      تستعمل: 7. ضعف الزاوية. تستند إلى: F (المتطابقة الفيثاغورية), G (صيغ المجموع). يُبرهن في: صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.

    6. ظل نصف الزاوية. إذا لم يكن θ\theta مضاعفًا فرديًا لـπ\pi وكان t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}، فإن sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2} وcos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.

      تستعمل: 7. ضعف الزاوية. تستند إلى: F (المتطابقة الفيثاغورية). يُبرهن في: صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.

    7. التمثيل الوسيطي النسبي. المستقيم الذي ميله tt ويمرّ بالنقطة (−1,0)(-1, 0) يقطع دائرة الوحدة مرة أخرى في (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right)؛ وكل نقطة أخرى من الدائرة تُنال بهذه الطريقة لقيمة وحيدة tt، وتكون نسبية إذا وفقط إذا كان tt نسبيًا.

      تستعمل: 10. ظل نصف الزاوية. تستند إلى: E (الجبر والحساب في دورة الجبر والهندسة 1). يُبرهن في: صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.

    8. الثلاثيات الفيثاغورية. الثلاثيات الفيثاغورية البدائية التي يكون فيها bb زوجيًا هي بالضبط a=m2−n2a = m^2 - n^2 وb=2mnb = 2mn وc=m2+n2c = m^2 + n^2، حيث m>nm > n وgcd⁡(m,n)=1\operatorname{gcd}(m, n) = 1 وm−nm - n فردي.

      تستعمل: 11. التمثيل الوسيطي النسبي. تستند إلى: E (الجبر والحساب في دورة الجبر والهندسة 1). يُبرهن في: صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية.

  3. المقطع 3 التحويلات والشكل التوافقي

    • تحويل الجداءات إلى مجاميع والمجاميع إلى جداءات، بجمع صيغ المجموع والفرق وطرحها.
    • كتابة كل تركيب asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x موجةً واحدة Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi)، وإيجاد مداه.
    • تركيب تذبذبات ذات تردد واحد، وتفسير الضربات.
    • جمع الجيوب وجيوب التمام في متوالية حسابية بواسطة مجموع متداخل.

    1. تحويل الجداء إلى مجموع. يتحقق sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)، وعلى النحو نفسه فإن cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta وcos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta وsin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta أنصاف مجاميع أو أنصاف فروق لجيوب أو جيوب تمام α+β\alpha + \beta وα−β\alpha - \beta.

      تستند إلى: G (صيغ المجموع). يُبرهن في: تحويل المجاميع إلى جداءات والشكل التوافقي.

    2. تحويل المجموع إلى جداء. لكل عددين حقيقيين pp وqq يتحقق sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}، مع صيغ مماثلة لـsin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q وcos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q وcos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q؛ ويترتب على ذلك ضربات sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx).

      تستعمل: 13. تحويل الجداء إلى مجموع. يُبرهن في: تحويل المجاميع إلى جداءات والشكل التوافقي.

    3. الشكل التوافقي. إذا لم يكن aa وbb منعدمين معًا وكان R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}، فإنه توجد قيمة وحيدة φ\varphi في [0,2π)\ico{0}{2\pi} بحيث asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi) لكل xx؛ وهذا الشكل وحيد، ومدى الدالة [−R,R]\icc{-R}{R}.

      تستند إلى: A (دائرة الوحدة), D (الهندسة التحليلية في المستوى), F (المتطابقة الفيثاغورية), G (صيغ المجموع). يُبرهن في: تحويل المجاميع إلى جداءات والشكل التوافقي.

    4. تراكب التذبذبات. ما لم يُلغِ أحدهما الآخر، فإن مجموع التذبذبين A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1) وA2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2) تذبذب له التردد نفسه، وسعته تحقق A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2).

      تستعمل: 5. جيب تمام الفرق, 15. الشكل التوافقي. تستند إلى: F (المتطابقة الفيثاغورية), G (صيغ المجموع). يُبرهن في: تحويل المجاميع إلى جداءات والشكل التوافقي.

    5. المجاميع في متوالية حسابية. إذا لم يكن xx مضاعفًا صحيحًا لـ2π2\pi، فإن ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}، ومجموع جيوب التمام يُنال بوضع cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2} مكان sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2}.

      تستعمل: 13. تحويل الجداء إلى مجموع, 14. تحويل المجموع إلى جداء. تستند إلى: E (الجبر والحساب في دورة الجبر والهندسة 1). يُبرهن في: تحويل المجاميع إلى جداءات والشكل التوافقي.

  4. المقطع 4 المعادلات والمتراجحات

    • الحصول على الحلول العامة للمعادلات sin⁡x=c\sin x = c وcos⁡x=c\cos x = c وtan⁡x=c\tan x = c انطلاقًا من الدوال العكسية والدورية.
    • ردّ المعادلات الأخرى إلى المعادلات الأولية بالمتطابقات والتحليل إلى عوامل وتساوي جيبين أو جيبي تمام والشكل التوافقي.
    • عدم إضاعة حلول عند القسمة، وعدم إضافة حلول عند التربيع.
    • حلّ المتراجحات في دورة واحدة، بدائرة الوحدة أو بجداول الإشارات، ومدّ حلولها دوريًا.

    1. الحلول العامة. إذا كان ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1، فإن حلول sin⁡x=c\sin x = c هي arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi وπ−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi، وحلول cos⁡x=c\cos x = c هي arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi و−arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi؛ ولكل عدد حقيقي cc، فإن حلول tan⁡x=c\tan x = c هي arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi، حيث kk عدد صحيح.

      تستعمل: 2. المتطابقات الأساسية. تستند إلى: A (دائرة الوحدة), B (الدوال العكسية). يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات المثلثية.

    2. تساوي الجيوب وجيوب التمام. يتحقق sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B إذا وفقط إذا كان A=B+2kπA = B + 2k\pi أو A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi، ويتحقق cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B إذا وفقط إذا كان A=B+2kπA = B + 2k\pi أو A=−B+2kπA = -B + 2k\pi، لعدد صحيح ما kk؛ ويتساوى ظلّان معرّفان إذا وفقط إذا كان A=B+kπA = B + k\pi.

      تستعمل: 14. تحويل المجموع إلى جداء. تستند إلى: A (دائرة الوحدة), G (صيغ المجموع). يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات المثلثية.

    3. معادلات كثيرات الحدود والمعادلات المتجانسة. المعادلة P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0 تكافئ المعادلات sin⁡x=r\sin x = r للجذور الحقيقية rr لكثير الحدود PP؛ والمعادلة المتجانسة في sin⁡x\sin x وcos⁡x\cos x تُردّ إلى معادلة كثير حدود في tan⁡x\tan x بعد فحص أصفار جيب التمام على حدة؛ وكل حلّ يُحصل عليه بالتربيع يجب التحقق منه بالتعويض.

      تستعمل: 18. الحلول العامة. تستند إلى: E (الجبر والحساب في دورة الجبر والهندسة 1). يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات المثلثية.

    4. المعادلة الخطية في الجيب وجيب التمام. للمعادلة asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c حلّ إذا وفقط إذا كان c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2، وحلولها عندئذ هي −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi وπ−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi، حيث RR وφ\varphi هما ما في الشكل التوافقي.

      تستعمل: 15. الشكل التوافقي, 18. الحلول العامة. يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات المثلثية.

    5. المتراجحات. إذا كان −1<c<1-1 < c < 1 وβ=arccos⁡c\beta = \arccos c، فإن cos⁡x>c\cos x > c إذا وفقط إذا كان −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi لعدد صحيح ما kk، ويصحّ ما يماثل ذلك للجيب؛ وتُحلّ الجداءات وخوارج القسمة لعوامل مثلثية بجدول إشارات في دورة واحدة.

      تستعمل: 18. الحلول العامة. تستند إلى: A (دائرة الوحدة), B (الدوال العكسية), E (الجبر والحساب في دورة الجبر والهندسة 1). يُبرهن في: المعادلات والمتراجحات المثلثية.

  5. المقطع 5 الهندسة التحليلية: المستقيمات والقطوع المخروطية

    • قياس الزاوية بين مستقيمين بظل الفرق وبالجداء السلمي.
    • إيجاد منصِّفَي زاويتي مستقيمين ومركز الدائرة المحاطة بمثلث.
    • نمذجة الارتفاعات التي يتعذّر الوصول إليها، والحركة التوافقية، والمسافة الأفقية للمقذوف، وانعكاس الضوء.
    • استنتاج صيغ الدوران، وحذف الحد الذي يحوي xyxy، وتصنيف كل معادلة من الدرجة الثانية بإشارة المميز.

    1. الزاوية بين مستقيمين. ميل مستقيم غير رأسي هو ظل زاوية ميله؛ والمستقيمان اللذان ميلاهما m1m_1 وm2m_2 متعامدان إذا وفقط إذا كان 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0، وإن لم يكونا كذلك فإن الزاوية θ\theta بينهما تحقق tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}، بما يتفق مع صيغة الجداء السلمي لمتجهي توجيههما.

      تستعمل: 5. جيب تمام الفرق, 6. صيغ المجموع. تستند إلى: B (الدوال العكسية), D (الهندسة التحليلية في المستوى), F (المتطابقة الفيثاغورية), H (الهندسة الإقليدية). يُبرهن في: الزاوية بين مستقيمين وتطبيقات حساب المثلثات.

    2. منصِّفا الزاويتين ومركز الدائرة المحاطة. النقاط المتساوية البعد عن مستقيمين متقاطعين تكوّن مستقيمين متعامدين، هما المنصِّفان، وكلٌّ منهما يقسم إلى قسمين متساويين زوجًا مختلفًا من الزوايا المتقابلة بالرأس؛ والمنصِّفات الداخلية الثلاثة لمثلث، وكلٌّ منها يقطع الضلع المقابل، تتلاقى في نقطة داخلية، هي مركز الدائرة المحاطة.

      تستعمل: 8. خفض الأس ونصف الزاوية. تستند إلى: D (الهندسة التحليلية في المستوى), H (الهندسة الإقليدية). يُبرهن في: الزاوية بين مستقيمين وتطبيقات حساب المثلثات.

    3. المسافة الأفقية للمقذوف. إذا قُبلت من الفيزياء معادلات الحركة، التي تجمع بين تقدّم أفقي منتظم وسقوط متسارع بانتظام، فإن المسافة الأفقية لمقذوف أُطلق بسرعة مقدارها vv وبزاوية ارتفاع θ\theta هي v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}؛ وتبلغ أقصاها عند θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}، وكل مسافة أصغر تُنال بزاويتين بالضبط، متتامّتين.

      تستعمل: 18. الحلول العامة, 7. ضعف الزاوية. يُبرهن في: الزاوية بين مستقيمين وتطبيقات حساب المثلثات.

    4. صيغ الدوران. إذا دارت المحاور بالزاوية θ\theta، فإن الإحداثيات الجديدة هي X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta وY=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta، والمسافة بين نقطتين لا تتغيّر.

      تستند إلى: A (دائرة الوحدة), C (الإحداثيات القطبية), F (المتطابقة الفيثاغورية), G (صيغ المجموع). يُبرهن في: دوران المحاور والمعادلة العامة من الدرجة الثانية.

    5. المعاملات بعد الدوران. عند تدوير المحاور تحافظ المعادلة Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 على حدّها الثابت، ومعاملها الجديد لـXYXY هو B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta.

      تستعمل: 26. صيغ الدوران, 7. ضعف الزاوية. يُبرهن في: دوران المحاور والمعادلة العامة من الدرجة الثانية.

    6. حذف الحد الذي يحوي xy. إذا كان B≠0B \neq 0، فإنه توجد زاوية وحيدة θ\theta في (0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}} يُعدِم الدورانُ بها B1B_1: وهي التي تحقق cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}.

      تستعمل: 27. المعاملات بعد الدوران. تستند إلى: B (الدوال العكسية). يُبرهن في: دوران المحاور والمعادلة العامة من الدرجة الثانية.

    7. لا متغيِّرات الدوران. لكل زاوية دوران يتحقق A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C وB12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC.

      تستعمل: 27. المعاملات بعد الدوران, 7. ضعف الزاوية. تستند إلى: F (المتطابقة الفيثاغورية). يُبرهن في: دوران المحاور والمعادلة العامة من الدرجة الثانية.

    8. التصنيف بحسب المميز. إذا لم تكن AA وBB وCC منعدمة كلها وكان Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC، فإن المعادلة تمثّل قطعًا ناقصًا أو نقطة أو لا شيء إذا كان Δ<0\Delta < 0؛ وقطعًا مكافئًا أو مستقيمين متوازيين أو مستقيمًا واحدًا أو لا شيء إذا كان Δ=0\Delta = 0؛ وقطعًا زائدًا أو مستقيمين متقاطعين إذا كان Δ>0\Delta > 0.

      تستعمل: 26. صيغ الدوران, 28. حذف الحد الذي يحوي xy, 29. لا متغيِّرات الدوران. تستند إلى: D (الهندسة التحليلية في المستوى). يُبرهن في: دوران المحاور والمعادلة العامة من الدرجة الثانية.

نحو الأعداد المركبة في الشكل القطبي. عند ضرب cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha في cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta يظهر جيب تمام α+β\alpha + \beta وجيبه: فصيغ المجموع هي قاعدة ضرب الأعداد المركبة، والوحدة اللاحقة تجمعها في صيغة واحدة، هي صيغة دي موافر.