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Topos Uranos
Deutsch

Analytische Trigonometrie: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über analytische Trigonometrie ab. Sie fasst in einer einzigen deduktiven Kette zusammen, was in ihren sechs Lektionen bewiesen wurde: die grundlegenden Identitäten, die Formel für den Kosinus einer Differenz und alle, die sich aus ihr ergeben, die Umformung von Summen in Produkte und die harmonische Form, das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, den Schnittwinkel zweier Geraden und die Achsendrehung, mit der die Kegelschnitte klassifiziert werden. Sie erklärt, wie sich diese Kette auf die vorangehende Einheit und auf den Kurs Algebra und Geometrie I stützt, insbesondere auf den Einheitskreis, die Polarkoordinaten, die Polynome und die Kegelschnitte, und wie sie die nächste Einheit vorbereitet, in der dieselben Formeln als Regel für die Multiplikation komplexer Zahlen wiederkehren. Sie endet mit einem Abschlusstest, der dem Eingangstest der Einführung entspricht, und mit zehn Herausforderungen, schwieriger als die gestellten Aufgaben der Einheit, die verlangen, mehrere Lektionen zu verbinden.

Lernziele

  1. Die deduktive Kette der Einheit rekonstruieren, von der Formel für den Kosinus einer Differenz bis zur Klassifikation der Kegelschnitte durch ihre Diskriminante, und auf jeder Stufe das Ergebnis erkennen, von dem sie abhängt.
  2. Die Ergebnisse der Einheit mit denen der vorangehenden Einheit und des Kurses I über den Einheitskreis, die Polarkoordinaten, die Polynome und die Kegelschnitte in Beziehung setzen.
  3. Die Rolle der Additionstheoreme bei der Multiplikation komplexer Zahlen in Polarform vorwegnehmen.
  4. Aufgaben lösen, die Identitäten, Gleichungen, Schnittwinkel von Geraden und Drehungen verbinden, und dabei jeweils die Umformung wählen, die die Aufgabe zugänglich macht.

Was die Einheit erreicht hat

Die Einheit begann damit, die Sprache festzulegen. In der Lektion über die grundlegenden trigonometrischen Identitäten wurde eine Identität als eine Gleichung definiert, die auf der ganzen gemeinsamen Definitionsmenge ihrer beiden Seiten gilt; es wurden die Kehrwertidentitäten, die Quotientenidentitäten, die pythagoreischen Identitäten, die Paritätsidentitäten und die Kofunktionsidentitäten zusammengestellt, und das Beweisverfahren wurde festgelegt: eine Seite in die andere umformen oder beide in denselben Ausdruck, ohne von dem auszugehen, was bewiesen werden soll; ein Gegenbeispiel genügt, um eine falsche Identität zu widerlegen. Mit dieser Sprache wurde jede Funktion durch eine andere ausgedrückt, wurden Wurzeln durch Substitutionen umgeformt und wurden die Ellipse und die Hyperbel in den Parametrisierungen (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) und (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right) erkannt.

Der entscheidende Durchbruch war die Lektion über die Additionstheoreme. Indem man die Länge einer Sehne des Einheitskreises auf zwei Arten berechnete, in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten, wurde bewiesen, dass für alle reellen Zahlen α\alpha und β\beta die folgende Gleichung gilt:

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Alles Übrige wurde aus ihr hergeleitet. Mit der Parität ergab sich der Kosinus einer Summe; mit der Kofunktion der Sinus einer Summe und einer Differenz; mit dem Quotienten der Tangens einer Summe. Ist dem so, dann erhält man mit α=β\alpha = \beta die Doppelwinkelformeln; durch Auflösen nach den Quadraten die Formeln der Potenzreduktion und die Halbwinkelformeln; durch eine nochmalige Addition die Formeln für den dreifachen Winkel. Die Substitution t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} verwandelte Sinus und Kosinus in rationale Ausdrücke in tt, und daraus folgten die rationale Parametrisierung des Kreises und die Formel für alle pythagoreischen Tripel.

Die Lektion über die Umformung von Summen in Produkte ging den umgekehrten Weg: Durch Addieren und Subtrahieren der Additionstheoreme werden Produkte in Summen und Summen in Produkte verwandelt. Ihr Hauptergebnis ist, dass jede Kombination asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x eine einzige Welle Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) ist, mit R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}; daraus folgen ihre Wertemenge, [−R,R]\icc{-R}{R}, die Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz, die Schwebung und, mit einem Faktor, der die Summe zu einer Teleskopsumme macht, die Summen von Sinus- und Kosinuswerten in arithmetischer Folge.

Mit diesen Werkzeugen konnte die Lektion über trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen eine ganze Familie von Aufgaben lösen. Die allgemeinen Lösungen von sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c und tan⁡x=c\tan x = c setzen diejenigen, die die Umkehrfunktionen liefern, periodisch fort; die anderen Gleichungen werden auf diese reduziert, durch Identitäten, Faktorisieren, Gleichheit zweier Sinus- oder zweier Kosinuswerte und die harmonische Form, mit zwei ständigen Vorsichtsmaßnahmen: Dividieren kann Lösungen verlieren, und Quadrieren kann welche hinzufügen. Die Ungleichungen wurden in einer Umdrehung gelöst, mit dem Einheitskreis oder mit Vorzeichentabellen, und periodisch fortgesetzt.

Die beiden letzten Lektionen trugen diese Rechnung in die analytische Geometrie. In der Lektion über den Schnittwinkel zweier Geraden lieferte der Tangens einer Differenz den Winkel zwischen zwei Geraden aus ihren Steigungen und das Skalarprodukt eine zweite Formel, die auch für vertikale Geraden gilt; es ergaben sich die Winkelhalbierenden und der Inkreismittelpunkt, und es wurden unzugängliche Höhen, die harmonische Schwingung, die Wurfweite von Geschossen und die Reflexion des Lichts modelliert. Diese Lektion ist die einzige der Einheit, die etwas ohne Beweis annimmt, und sie sagt es: aus der euklidischen Geometrie die drei Tatsachen, die schon Kurs I annahm (den Satz des Pythagoras, die Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen und die Summe π\pi der Winkel eines Dreiecks), und aus der Physik die Gleichungen der harmonischen Schwingung und die des Wurfs. Schließlich beschrieben in der Lektion über die Achsendrehung die Differenzformeln den Koordinatenwechsel beim Drehen der Achsen; der Winkel, der cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} erfüllt, eliminiert den Term mit xyxy, die Summe A+CA + C und die Diskriminante B2−4ACB^2 - 4AC ändern sich bei der Drehung nicht, und daher klassifiziert das Vorzeichen der Diskriminante jede Gleichung zweiten Grades.

Die ganze Kette lässt sich so zusammenfassen: Eine auf zwei Arten berechnete Sehne liefert den Kosinus einer Differenz; aus ihm gehen alle Additionstheoreme hervor; aus diesen die Umformungen und die harmonische Form; mit ihnen allen werden Gleichungen gelöst; und die gelösten Gleichungen messen Winkel zwischen Geraden und eliminieren den gemischten Term der Kegelschnitte. Die folgende Abbildung fasst diese Kette in fünf Abschnitten zusammen, die der Reihenfolge der obigen Absätze folgen: Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die ohne Beweis angenommen werden oder aus der vorangehenden Einheit oder aus Kurs I stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

  • AEinheitskreis. Angenommen wird das Axiom des Durchlaufens nach Bogenlänge: Zu jeder reellen Zahl ss gibt es genau einen Punkt P(s)P(s) des Einheitskreises, den man von (1,0)(1, 0) aus erreicht, indem man eine Länge ∣s∣\abs{s} durchläuft, die Durchläufe lassen sich aneinanderfügen, P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s), die Abszisse von P(s)P(s) ist auf [0,π]\icc{0}{\pi} streng fallend und auf [π,2π]\icc{\pi}{2\pi} steigend, und jeder Punkt des Kreises ist ein P(s)P(s). Aus diesem Axiom wurde in der Einheit über die trigonometrischen Funktionen und die Polarkoordinaten bewiesen, dass jeder Punkt des Kreises P(θ)P(\theta) für genau ein θ\theta in [0,2π)\ico{0}{2\pi} ist, dass Kosinus und Sinus, die Koordinaten von P(θ)P(\theta), periodisch sind und die Parität und die Kofunktionsbeziehungen erfüllen und dass sie auf ihren Hauptintervallen streng monoton sind. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • BUmkehrfunktionen. Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens liefern auf ihren Hauptintervallen den einzigen Winkel, der einen gegebenen Sinus, Kosinus oder Tangens hat; bewiesen in der Einheit über die trigonometrischen Funktionen und die Polarkoordinaten. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • CPolarkoordinaten. Ein Punkt mit den Polarkoordinaten (r,φ)(r, \varphi) hat die kartesischen Koordinaten x=rcos⁡φx = r \cos \varphi und y=rsin⁡φy = r \sin \varphi, und der Abstand zwischen (r1,θ1)(r_1, \theta_1) und (r2,θ2)(r_2, \theta_2) erfüllt d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2); bewiesen in der Einheit über die trigonometrischen Funktionen und die Polarkoordinaten. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • DAnalytische Geometrie der Ebene. Die Abstandsformel, der Abstand eines Punktes von einer Geraden, der Satz über die Halbebenen, das Skalarprodukt mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Winkel zwischen zwei Vektoren sowie die Klassifikation der Kegelschnitte mit achsenparallelen Achsen; bewiesen in Kurs I, in der Einheit über die analytische Geometrie der Ebene, und in der Lektion über die Dreiecksberechnung. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • EAlgebra und Arithmetik aus früheren Einheiten. Das Faktorisieren von Polynomen, der Faktorsatz und die synthetische Division, die Vorzeichentabellen, die Teleskopsummen und das Lemma von Euklid; bewiesen in Kurs I, in den Einheiten über die natürlichen Zahlen und über die algebraischen Funktionen und die Polynome. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
  • FTrigonometrischer Pythagoras. Für jedes θ\theta gilt sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, und auf ihren Definitionsmengen gelten 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta und 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta. Begründet in: 2. Grundlegende Identitäten.
  • GAdditionstheoreme. Für alle reellen α\alpha und β\beta gelten cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta und sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta sowie die Differenzformeln, die man erhält, wenn man β\beta durch −β-\beta ersetzt. Begründet in: 6. Additionstheoreme.
  • HEuklidische Geometrie. Aus der euklidischen Geometrie werden, wie in der Einheit von Kurs I über die analytische Geometrie der Ebene, angenommen: der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung, die Gleichheit der Stufenwinkel, die eine Schnittgerade mit zwei Parallelen bildet, und die Summe π\pi der Winkel eines Dreiecks; aus ihnen folgen die Gleichheit der Scheitelwinkel und die der Wechselwinkel an Parallelen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.

  1. Abschnitt 1 Die Sprache: die Identitäten und ihr Beweis

    • Die Identität als eine Gleichung definieren, die auf der ganzen gemeinsamen Definitionsmenge ihrer Seiten gilt, und sie von der Bestimmungsgleichung unterscheiden.
    • Die Kehrwert-, Quotienten-, pythagoreischen, Paritäts- und Kofunktionsidentitäten zusammenstellen.
    • Identitäten beweisen, ohne von dem auszugehen, was bewiesen werden soll, und falsche mit einem Gegenbeispiel widerlegen.
    • Wurzeln durch Substitutionen umformen und die Ellipse und die Hyperbel in ihren trigonometrischen Parametrisierungen erkennen.

    1. Identität und ihr Beweis. Eine Identität ist eine Gleichung, die auf der ganzen gemeinsamen Definitionsmenge ihrer beiden Seiten gilt; man beweist sie, indem man eine Seite in die andere umformt oder beide in denselben Ausdruck, ohne von ihr auszugehen, und man widerlegt sie mit einem einzigen Gegenbeispiel.

      Bewiesen in: Grundlegende trigonometrische Identitäten.

    2. Grundlegende Identitäten. Auf der gemeinsamen Definitionsmenge jeder von ihnen gelten die Kehrwertidentitäten, die Quotientenidentitäten und die pythagoreischen Identitäten; Sinus, Tangens, Kosekans und Kotangens sind ungerade, Kosinus und Sekans sind gerade, und jede Funktion von π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta ist ihre Kofunktion von θ\theta.

      Verwendet: 1. Identität und ihr Beweis. Stützt sich auf: A (Einheitskreis). Bewiesen in: Grundlegende trigonometrische Identitäten.

    3. Trigonometrische Substitutionen. Ist θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x, so gilt 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta; ist θ=arctan⁡x\theta = \arctan x, so gilt 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta; und sind x≥1x \geq 1 und θ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x}, so gilt x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta.

      Verwendet: 2. Grundlegende Identitäten. Stützt sich auf: F (Trigonometrischer Pythagoras), B (Umkehrfunktionen). Bewiesen in: Grundlegende trigonometrische Identitäten.

    4. Ellipse und Hyperbel in Parameterform. Wenn tt das Intervall [0,2π)\ico{0}{2\pi} durchläuft, durchläuft der Punkt (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t) die Ellipse x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 genau einmal; und der Punkt (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t) durchläuft den rechten Ast der Hyperbel x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 genau einmal, wenn tt das Intervall (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} durchläuft, und den linken, wenn es (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}} durchläuft.

      Verwendet: 2. Grundlegende Identitäten. Stützt sich auf: A (Einheitskreis), F (Trigonometrischer Pythagoras). Bewiesen in: Grundlegende trigonometrische Identitäten.

  2. Abschnitt 2 Die Formel für den Kosinus einer Differenz und ihre Folgerungen

    • Den Kosinus einer Differenz beweisen, indem man eine Sehne des Einheitskreises auf zwei Arten berechnet.
    • Daraus den Kosinus und den Sinus einer Summe und einer Differenz sowie den Tangens einer Summe herleiten.
    • Die Doppelwinkelformeln, die Formeln der Potenzreduktion, die Halbwinkelformeln und die Formeln für den dreifachen Winkel gewinnen.
    • Sinus und Kosinus als rationale Ausdrücke in t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} darstellen, den Kreis rational parametrisieren und alle pythagoreischen Tripel erzeugen.

    1. Kosinus einer Differenz. Für alle reellen α\alpha und β\beta gilt cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta, weil die Sehne, die P(α)P(\alpha) mit P(β)P(\beta) verbindet, in kartesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten berechnet dieselbe Länge hat.

      Stützt sich auf: C (Polarkoordinaten), D (Analytische Geometrie der Ebene), F (Trigonometrischer Pythagoras). Bewiesen in: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.

    2. Additionstheoreme. Mit der Parität und der Kofunktion erhält man cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta und den Sinus einer Differenz; und wenn die Tangenswerte von α\alpha und β\beta definiert sind und tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1 gilt, dann gilt tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}.

      Verwendet: 2. Grundlegende Identitäten, 5. Kosinus einer Differenz. Bewiesen in: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.

    3. Doppelter Winkel. Es gelten sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta, cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta und, wo er definiert ist, tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}.

      Stützt sich auf: G (Additionstheoreme), F (Trigonometrischer Pythagoras). Bewiesen in: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.

    4. Potenzreduktion und halber Winkel. Es gelten cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} und sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}; daraus folgt, dass Sinus und Kosinus von θ2\frac{\theta}{2} die Wurzeln aus 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2} und aus 1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2} mit dem Vorzeichen ihres Quadranten sind, und es gilt tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}, falls cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1.

      Verwendet: 7. Doppelter Winkel. Stützt sich auf: F (Trigonometrischer Pythagoras). Bewiesen in: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.

    5. Dreifacher Winkel. Für jede reelle Zahl θ\theta gelten cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta und sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta.

      Verwendet: 7. Doppelter Winkel. Stützt sich auf: F (Trigonometrischer Pythagoras), G (Additionstheoreme). Bewiesen in: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.

    6. Tangens des halben Winkels. Ist θ\theta kein ungerades Vielfaches von π\pi und ist t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, so gelten sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2} und cos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.

      Verwendet: 7. Doppelter Winkel. Stützt sich auf: F (Trigonometrischer Pythagoras). Bewiesen in: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.

    7. Rationale Parametrisierung. Die Gerade mit der Steigung tt durch (−1,0)(-1, 0) schneidet den Einheitskreis ein zweites Mal in (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right); jeder andere Punkt des Kreises ergibt sich so für genau ein tt, und er ist genau dann rational, wenn tt es ist.

      Verwendet: 10. Tangens des halben Winkels. Stützt sich auf: E (Algebra und Arithmetik aus früheren Einheiten). Bewiesen in: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.

    8. Pythagoreische Tripel. Die primitiven pythagoreischen Tripel mit geradem bb sind genau a=m2−n2a = m^2 - n^2, b=2mnb = 2mn und c=m2+n2c = m^2 + n^2, mit m>nm > n, ggT⁡(m,n)=1\operatorname{ggT}(m, n) = 1 und ungeradem m−nm - n.

      Verwendet: 11. Rationale Parametrisierung. Stützt sich auf: E (Algebra und Arithmetik aus früheren Einheiten). Bewiesen in: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.

  3. Abschnitt 3 Die Umformungen und die harmonische Form

    • Produkte in Summen und Summen in Produkte verwandeln, durch Addieren und Subtrahieren der Additionstheoreme.
    • Jede Kombination asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x als eine einzige Welle Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) schreiben und ihre Wertemenge bestimmen.
    • Schwingungen gleicher Frequenz zusammensetzen und die Schwebung erklären.
    • Sinus- und Kosinuswerte in arithmetischer Folge mithilfe einer Teleskopsumme addieren.

    1. Umformung von Produkten in Summen. Es gilt sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), und ebenso sind cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta, cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta und sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta halbe Summen oder halbe Differenzen der Sinus- oder der Kosinuswerte von α+β\alpha + \beta und von α−β\alpha - \beta.

      Stützt sich auf: G (Additionstheoreme). Bewiesen in: Umformung von Summen in Produkte und die harmonische Form.

    2. Umformung von Summen in Produkte. Für alle reellen pp und qq gilt sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}, mit entsprechenden Formeln für sin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q, cos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q und cos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q; daraus folgt die Schwebung von sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx).

      Verwendet: 13. Umformung von Produkten in Summen. Bewiesen in: Umformung von Summen in Produkte und die harmonische Form.

    3. Harmonische Form. Sind aa und bb nicht beide null und ist R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}, so gibt es genau ein φ\varphi in [0,2π)\ico{0}{2\pi} mit asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi) für alle xx; diese Form ist eindeutig, und die Funktion hat die Wertemenge [−R,R]\icc{-R}{R}.

      Stützt sich auf: A (Einheitskreis), D (Analytische Geometrie der Ebene), F (Trigonometrischer Pythagoras), G (Additionstheoreme). Bewiesen in: Umformung von Summen in Produkte und die harmonische Form.

    4. Überlagerung von Schwingungen. Sofern sie sich nicht auslöschen, ergeben die Schwingungen A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1) und A2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2) zusammen eine Schwingung derselben Frequenz, deren Amplitude A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2) erfüllt.

      Verwendet: 5. Kosinus einer Differenz, 15. Harmonische Form. Stützt sich auf: F (Trigonometrischer Pythagoras), G (Additionstheoreme). Bewiesen in: Umformung von Summen in Produkte und die harmonische Form.

    5. Summen in arithmetischer Folge. Ist xx kein ganzzahliges Vielfaches von 2π2\pi, so gilt ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}, und die Summe der Kosinuswerte erhält man mit cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2} anstelle von sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2}.

      Verwendet: 13. Umformung von Produkten in Summen, 14. Umformung von Summen in Produkte. Stützt sich auf: E (Algebra und Arithmetik aus früheren Einheiten). Bewiesen in: Umformung von Summen in Produkte und die harmonische Form.

  4. Abschnitt 4 Die Gleichungen und die Ungleichungen

    • Die allgemeinen Lösungen von sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c und tan⁡x=c\tan x = c aus den Umkehrfunktionen und der Periodizität gewinnen.
    • Die anderen Gleichungen durch Identitäten, Faktorisieren, Gleichheit zweier Sinus- oder zweier Kosinuswerte und die harmonische Form auf die elementaren reduzieren.
    • Beim Dividieren keine Lösungen verlieren und beim Quadrieren keine hinzufügen.
    • Ungleichungen in einer Umdrehung lösen, mit dem Einheitskreis oder mit Vorzeichentabellen, und sie periodisch fortsetzen.

    1. Allgemeine Lösungen. Ist ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1, so sind die Lösungen von sin⁡x=c\sin x = c die Zahlen arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi und π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi, und die von cos⁡x=c\cos x = c die Zahlen arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi und −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi; für jede reelle Zahl cc sind die von tan⁡x=c\tan x = c die Zahlen arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi, mit ganzzahligem kk.

      Verwendet: 2. Grundlegende Identitäten. Stützt sich auf: A (Einheitskreis), B (Umkehrfunktionen). Bewiesen in: Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen.

    2. Gleichheit von Sinus- und Kosinuswerten. Es gilt sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B genau dann, wenn A=B+2kπA = B + 2k\pi oder A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi, und cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B genau dann, wenn A=B+2kπA = B + 2k\pi oder A=−B+2kπA = -B + 2k\pi, für eine ganze Zahl kk; zwei definierte Tangenswerte sind genau dann gleich, wenn A=B+kπA = B + k\pi.

      Verwendet: 14. Umformung von Summen in Produkte. Stützt sich auf: A (Einheitskreis), G (Additionstheoreme). Bewiesen in: Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen.

    3. Polynomiale und homogene Gleichungen. Die Gleichung P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0 ist äquivalent zu den Gleichungen sin⁡x=r\sin x = r für die reellen Nullstellen rr von PP; eine in sin⁡x\sin x und cos⁡x\cos x homogene Gleichung wird auf eine polynomiale in tan⁡x\tan x reduziert, wobei man die Nullstellen des Kosinus gesondert untersucht; und jede durch Quadrieren gewonnene Lösung muss geprüft werden.

      Verwendet: 18. Allgemeine Lösungen. Stützt sich auf: E (Algebra und Arithmetik aus früheren Einheiten). Bewiesen in: Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen.

    4. In Sinus und Kosinus lineare Gleichung. Die Gleichung asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c hat genau dann eine Lösung, wenn c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2, und dann sind ihre Lösungen −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi und π−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi, wobei RR und φ\varphi die der harmonischen Form sind.

      Verwendet: 15. Harmonische Form, 18. Allgemeine Lösungen. Bewiesen in: Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen.

    5. Ungleichungen. Ist −1<c<1-1 < c < 1 und β=arccos⁡c\beta = \arccos c, so gilt cos⁡x>c\cos x > c genau dann, wenn −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi für eine ganze Zahl kk, und Entsprechendes gilt für den Sinus; Produkte und Quotienten trigonometrischer Faktoren werden mit einer Vorzeichentabelle in einer Umdrehung gelöst.

      Verwendet: 18. Allgemeine Lösungen. Stützt sich auf: A (Einheitskreis), B (Umkehrfunktionen), E (Algebra und Arithmetik aus früheren Einheiten). Bewiesen in: Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen.

  5. Abschnitt 5 Die analytische Geometrie: Geraden und Kegelschnitte

    • Den Schnittwinkel zweier Geraden mit dem Tangens einer Differenz und mit dem Skalarprodukt messen.
    • Die Winkelhalbierenden zweier Geraden und den Inkreismittelpunkt eines Dreiecks bestimmen.
    • Unzugängliche Höhen, die harmonische Schwingung, die Wurfweite eines Geschosses und die Reflexion des Lichts modellieren.
    • Die Drehformeln herleiten, den Term mit xyxy eliminieren und jede Gleichung zweiten Grades nach dem Vorzeichen der Diskriminante klassifizieren.

    1. Schnittwinkel zweier Geraden. Die Steigung einer nicht vertikalen Geraden ist der Tangens ihres Steigungswinkels; zwei Geraden mit den Steigungen m1m_1 und m2m_2 sind genau dann senkrecht zueinander, wenn 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0, und wenn sie es nicht sind, erfüllt der Winkel θ\theta zwischen ihnen tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}, in Übereinstimmung mit der Skalarproduktformel für ihre Richtungsvektoren.

      Verwendet: 5. Kosinus einer Differenz, 6. Additionstheoreme. Stützt sich auf: B (Umkehrfunktionen), D (Analytische Geometrie der Ebene), F (Trigonometrischer Pythagoras), H (Euklidische Geometrie). Bewiesen in: Schnittwinkel zweier Geraden und Anwendungen der Trigonometrie.

    2. Winkelhalbierende und Inkreismittelpunkt. Die Punkte, die von zwei sich schneidenden Geraden gleich weit entfernt sind, bilden zwei zueinander senkrechte Geraden, die Winkelhalbierenden, von denen jede ein anderes Paar von Scheitelwinkeln halbiert; und die drei Innenwinkelhalbierenden eines Dreiecks, von denen jede die gegenüberliegende Seite schneidet, schneiden sich in einem inneren Punkt, dem Inkreismittelpunkt, dem Mittelpunkt des Inkreises.

      Verwendet: 8. Potenzreduktion und halber Winkel. Stützt sich auf: D (Analytische Geometrie der Ebene), H (Euklidische Geometrie). Bewiesen in: Schnittwinkel zweier Geraden und Anwendungen der Trigonometrie.

    3. Wurfweite eines Geschosses. Nimmt man aus der Physik die Bewegungsgleichungen an, die ein gleichförmiges waagerechtes Vorrücken mit einem gleichmäßig beschleunigten Fall verbinden, so ist die Wurfweite eines mit der Geschwindigkeit vv und dem Abwurfwinkel θ\theta geworfenen Geschosses v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}; sie ist maximal für θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, und jede kleinere Wurfweite wird mit genau zwei Winkeln erreicht, die einander zu einem rechten Winkel ergänzen.

      Verwendet: 18. Allgemeine Lösungen, 7. Doppelter Winkel. Bewiesen in: Schnittwinkel zweier Geraden und Anwendungen der Trigonometrie.

    4. Drehformeln. Werden die Achsen um den Winkel θ\theta gedreht, so sind die neuen Koordinaten X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta und Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta, und der Abstand zweier Punkte ändert sich nicht.

      Stützt sich auf: A (Einheitskreis), C (Polarkoordinaten), F (Trigonometrischer Pythagoras), G (Additionstheoreme). Bewiesen in: Achsendrehung und die allgemeine Gleichung zweiten Grades.

    5. Koeffizienten nach der Drehung. Beim Drehen der Achsen behält die Gleichung Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 ihren konstanten Term, und ihr neuer Koeffizient von XYXY ist B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta.

      Verwendet: 26. Drehformeln, 7. Doppelter Winkel. Bewiesen in: Achsendrehung und die allgemeine Gleichung zweiten Grades.

    6. Elimination des Terms mit xy. Ist B≠0B \neq 0, so gibt es genau einen Winkel θ\theta in (0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}}, dessen Drehung B1B_1 zum Verschwinden bringt: den, der cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} erfüllt.

      Verwendet: 27. Koeffizienten nach der Drehung. Stützt sich auf: B (Umkehrfunktionen). Bewiesen in: Achsendrehung und die allgemeine Gleichung zweiten Grades.

    7. Invarianten der Drehung. Für jeden Drehwinkel gelten A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C und B12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC.

      Verwendet: 27. Koeffizienten nach der Drehung, 7. Doppelter Winkel. Stützt sich auf: F (Trigonometrischer Pythagoras). Bewiesen in: Achsendrehung und die allgemeine Gleichung zweiten Grades.

    8. Klassifikation durch die Diskriminante. Sind AA, BB und CC nicht alle null und ist Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC, so stellt die Gleichung eine Ellipse, einen Punkt oder keinen Punkt dar, wenn Δ<0\Delta < 0; eine Parabel, zwei parallele Geraden, eine Gerade oder keinen Punkt, wenn Δ=0\Delta = 0; und eine Hyperbel oder zwei sich schneidende Geraden, wenn Δ>0\Delta > 0.

      Verwendet: 26. Drehformeln, 28. Elimination des Terms mit xy, 29. Invarianten der Drehung. Stützt sich auf: D (Analytische Geometrie der Ebene). Bewiesen in: Achsendrehung und die allgemeine Gleichung zweiten Grades.

Auf dem Weg zu den komplexen Zahlen in Polarform. Multipliziert man cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha mit cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta, so erscheinen Kosinus und Sinus von α+β\alpha + \beta: Die Additionstheoreme sind die Multiplikationsregel der komplexen Zahlen, und die nächste Einheit fasst sie in einer einzigen zusammen, der Formel von de Moivre.