Trigonometria analitica: sintesi e sfide

Riepilogo

Questa lezione chiude l’unità di trigonometria analitica. Riunisce in un’unica catena deduttiva ciò che è stato dimostrato nelle sue sei lezioni: le identità fondamentali, la formula del coseno della differenza e tutte quelle che se ne deducono, le formule di prostaferesi e la forma armonica, la risoluzione di equazioni e disequazioni, l’angolo tra rette e la rotazione degli assi che classifica le coniche. Spiega come quella catena poggi sull’unità anteriore e sul corso Algebra e Geometria I, in particolare sulla circonferenza goniometrica, sulle coordinate polari, sui polinomi e sulle coniche, e come prepari l’unità che segue, in cui le stesse formule ricompaiono come la regola di moltiplicazione dei numeri complessi. Termina con una valutazione d’uscita, parallela a quella d’ingresso dell’introduzione, e con dieci sfide, di difficoltà superiore a quella dei problemi proposti dell’unità, che esigono di combinare diverse lezioni.

Obiettivi di apprendimento

Ricostruire la catena deduttiva dell’unità, dalla formula del coseno della differenza fino alla classificazione delle coniche mediante il discriminante, e individuare a ogni stadio il risultato da cui dipende.
Mettere in relazione i risultati dell’unità con quelli dell’unità anteriore e del corso I sulla circonferenza goniometrica, sulle coordinate polari, sui polinomi e sulle coniche.
Anticipare il ruolo delle formule di addizione e sottrazione nella moltiplicazione dei numeri complessi in forma polare.
Risolvere problemi che combinano identità, equazioni, angoli tra rette e rotazioni, scegliendo in ogni caso la trasformazione che rende trattabile il problema.

Ciò che l’unità ha ottenuto

L’unità è cominciata fissando il linguaggio. Nella lezione sulle identità trigonometriche fondamentali si è definita un’identità come un’uguaglianza che vale in tutto il dominio comune dei suoi due membri, si sono riunite le identità reciproche, di quoziente, pitagoriche, di parità e di cofunzione, e si è stabilito il metodo di dimostrazione: trasformare un membro nell’altro, o entrambi in una stessa espressione, senza prendere le mosse da ciò che si vuole dimostrare; un controesempio basta per confutare un’identità falsa. Con quel linguaggio si è espressa ogni funzione in termini di un’altra, si sono trasformate radici mediante sostituzioni e si sono riconosciute l’ellisse e l’iperbole nelle parametrizzazioni $\left( a \cos t, b \sin t \right)$ e $\left( a \sec t, b \tan t \right)$ .

Il progresso decisivo è stato la lezione sulle formule di addizione e sottrazione. Calcolando in due modi la lunghezza di una corda della circonferenza goniometrica, in coordinate cartesiane e in coordinate polari, si è dimostrato che per tutti i reali $\alpha$ e $\beta$ vale l’uguaglianza seguente:

\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Tutto il resto si è dedotto da essa. Con la parità si è ottenuto il coseno della somma; con la cofunzione, il seno della somma e della differenza; con il quoziente, la tangente della somma. Se è così, ponendo $\alpha = \beta$ si ottengono le formule di duplicazione; isolando i quadrati, quelle di riduzione delle potenze e di bisezione; sommando ancora una volta, quelle dell’angolo triplo. La sostituzione $t = \tan \frac{\theta}{2}$ ha trasformato il seno e il coseno in frazioni razionali di $t$ , e da qui sono discese la parametrizzazione razionale della circonferenza e la formula di tutte le terne pitagoriche.

La lezione sulle formule di prostaferesi ha percorso il cammino inverso: sommando e sottraendo le formule di addizione e sottrazione, i prodotti si trasformano in somme e le somme in prodotti. Il suo risultato principale è che ogni combinazione $a \sin x + b \cos x$ è un’unica onda $R \sin(x + \varphi)$ , con $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ ; ne discendono il suo insieme immagine, $\icc{-R}{R}$ , la sovrapposizione di oscillazioni di uguale frequenza, i battimenti e, con un fattore che rende telescopica la somma, le somme di seni e coseni in progressione aritmetica.

Con questi strumenti, la lezione sulle equazioni e disequazioni trigonometriche ha potuto risolvere tutta una famiglia di problemi. Le soluzioni generali di $\sin x = c$ , $\cos x = c$ e $\tan x = c$ estendono per periodicità quelle date dalle funzioni inverse; le altre equazioni si riconducono a queste mediante identità, scomposizione in fattori, uguaglianza di due seni o di due coseni e forma armonica, con due cautele costanti: dividere può far perdere soluzioni ed elevare al quadrato può aggiungerne. Le disequazioni si sono risolte in un giro, con la circonferenza goniometrica o con tabelle dei segni, e si sono estese per periodicità.

Le ultime due lezioni hanno portato questo calcolo nella geometria analitica. Nella lezione sull’angolo tra rette, la tangente della differenza ha dato l’angolo tra due rette a partire dai loro coefficienti angolari, e il prodotto scalare una seconda formula, valida anche per le rette verticali; si sono ottenute le bisettrici e l’incentro, e si sono modellizzate altezze inaccessibili, il moto armonico, la gittata dei proiettili e la riflessione della luce. Quella lezione è l’unica dell’unità che ammetta qualcosa senza dimostrarlo, e lo dichiara: della geometria euclidea, i tre fatti che il corso I già ammetteva (il teorema di Pitagora, l’uguaglianza degli angoli corrispondenti tra parallele e la somma $\pi$ degli angoli di un triangolo), e della fisica, le equazioni del moto armonico semplice e quelle del proiettile. Infine, nella lezione sulla rotazione degli assi, le formule della differenza hanno descritto il cambiamento di coordinate quando si ruotano gli assi; l’angolo che soddisfa $\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}$ elimina il termine in $xy$ , la somma $A + C$ e il discriminante $B^2 - 4AC$ non cambiano con la rotazione, e perciò il segno del discriminante classifica ogni equazione di secondo grado.

L’intera catena si può riassumere così: una corda calcolata in due modi dà il coseno della differenza; da esso escono tutte le formule di addizione e sottrazione; da queste, le trasformazioni e la forma armonica; con tutte esse si risolvono equazioni; e le equazioni risolte misurano angoli tra rette ed eliminano il termine misto delle coniche. La figura seguente riunisce quella catena in cinque tratti, che seguono l’ordine dei paragrafi sopra: ogni nodo della colonna è una definizione o un teorema, numerato secondo l’ordine logico e unito da un arco agli anelli anteriori che la sua dimostrazione usa; intorno fluttuano i sostegni, cioè i principi e gli strumenti a cui la catena ricorre più e più volte, ciascuno unito da una linea continua agli anelli che si appoggiano su di esso e da una linea punteggiata all’anello in cui viene stabilito, tranne quelli che si ammettono senza dimostrazione o provengono dall’unità anteriore o dal corso I, che sono disegnati come cerchietti vuoti. Facendo clic su un sostegno si evidenziano tutti gli anelli che lo usano, e ogni anello rimanda alla lezione in cui viene dimostrato.

Sostegni della catena

ACirconferenza goniometrica. Si ammette l’assioma del percorso per lunghezza d’arco: per ogni reale $s$ c’è un unico punto $P(s)$ della circonferenza goniometrica a cui si giunge da $(1, 0)$ percorrendo una lunghezza $\abs{s}$ , i percorsi si giustappongono, $P(s + 2\pi) = P(s)$ , l’ascissa di $P(s)$ decresce strettamente in $\icc{0}{\pi}$ e cresce in $\icc{\pi}{2\pi}$ , e ogni punto della circonferenza è un qualche $P(s)$ . Da quell’assioma si è dimostrato, nell’unità sulle funzioni trigonometriche e sulle coordinate polari, che ogni punto della circonferenza è $P(\theta)$ per un unico $\theta$ in $\ico{0}{2\pi}$ , che il coseno e il seno, coordinate di $P(\theta)$ , sono periodici e soddisfano la parità e la cofunzione, e che sono strettamente monotoni nei loro intervalli principali. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
BFunzioni inverse. L’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente danno, nei loro intervalli principali, l’unico angolo che ha un seno, un coseno o una tangente dati; dimostrato nell’unità sulle funzioni trigonometriche e sulle coordinate polari. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
CCoordinate polari. Un punto di coordinate polari $(r, \varphi)$ ha coordinate cartesiane $x = r \cos \varphi$ e $y = r \sin \varphi$ , e la distanza tra $(r_1, \theta_1)$ e $(r_2, \theta_2)$ soddisfa $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)$ ; dimostrato nell’unità sulle funzioni trigonometriche e sulle coordinate polari. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
DGeometria analitica del piano. La formula della distanza, la distanza di un punto da una retta, il teorema dei semipiani, il prodotto scalare con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e l’angolo tra due vettori, e la classificazione delle coniche con assi paralleli a quelli coordinati; dimostrati nel corso I, nell’unità sulla geometria analitica del piano, e nella lezione sulla risoluzione dei triangoli. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
EAlgebra e aritmetica pregresse. La scomposizione dei polinomi, il teorema del fattore e la divisione sintetica, le tabelle dei segni, le somme telescopiche e il lemma di Euclide; dimostrati nel corso I, nelle unità sui numeri naturali e sulle funzioni algebriche e i polinomi. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.
FIdentità pitagorica. Per ogni $\theta$ vale $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , e nei loro domini, $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ e $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ . Stabilito in: 2. Identità fondamentali.
GFormule di addizione e sottrazione. Per tutti i reali $\alpha$ e $\beta$ valgono $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ e $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ , e quelle della differenza, che si ottengono sostituendo $\beta$ con $-\beta$ . Stabilito in: 6. Formule di addizione e sottrazione.
HGeometria euclidea. Si ammettono della geometria euclidea, come nell’unità del corso I sulla geometria analitica del piano, il teorema di Pitagora e il suo inverso, l’uguaglianza degli angoli corrispondenti che una trasversale forma con due parallele e la somma $\pi$ degli angoli di un triangolo; da essi si deducono l’uguaglianza degli angoli opposti al vertice e quella degli angoli alterni tra parallele. Ammesso senza dimostrazione in questa unità.

Tratto 1 Il linguaggio: le identità e la loro dimostrazione
- Definire l’identità come un’uguaglianza che vale in tutto il dominio comune dei suoi membri, e distinguerla dall’equazione.
- Riunire le identità reciproche, di quoziente, pitagoriche, di parità e di cofunzione.
- Dimostrare identità senza prendere le mosse da ciò che si vuole dimostrare, e confutare quelle false con un controesempio.
- Trasformare radici mediante sostituzioni e riconoscere l’ellisse e l’iperbole nelle loro parametrizzazioni trigonometriche.
1. Identità e sua dimostrazione. Un’identità è un’uguaglianza che vale in tutto il dominio comune dei suoi due membri; si dimostra trasformando un membro nell’altro, o entrambi in una stessa espressione, senza prendere le mosse da essa, e si confuta con un solo controesempio.
  Dimostrato in: Identità trigonometriche fondamentali.
2. Identità fondamentali. Nel dominio comune di ciascuna valgono le identità reciproche, quelle di quoziente e quelle pitagoriche; il seno, la tangente, la cosecante e la cotangente sono dispari, il coseno e la secante sono pari, e ogni funzione di $\frac{\pi}{2} - \theta$ è la sua cofunzione di $\theta$ .
  Usa: 1. Identità e sua dimostrazione. Si appoggia su: A (Circonferenza goniometrica). Dimostrato in: Identità trigonometriche fondamentali.
3. Sostituzioni trigonometriche. Se $\theta = \arcsin x$ , allora $\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta$ ; se $\theta = \arctan x$ , allora $\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta$ ; e se $x \geq 1$ e $\theta = \arccos \frac{1}{x}$ , allora $\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta$ .
  Usa: 2. Identità fondamentali. Si appoggia su: F (Identità pitagorica), B (Funzioni inverse). Dimostrato in: Identità trigonometriche fondamentali.
4. Ellisse e iperbole parametriche. Quando $t$ percorre $\ico{0}{2\pi}$ , il punto $(a \cos t, b \sin t)$ percorre una sola volta l’ellisse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ; e il punto $(a \sec t, b \tan t)$ percorre una sola volta il ramo destro dell’iperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ quando $t$ percorre $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ , e quello sinistro quando percorre $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$ .
  Usa: 2. Identità fondamentali. Si appoggia su: A (Circonferenza goniometrica), F (Identità pitagorica). Dimostrato in: Identità trigonometriche fondamentali.
Tratto 2 La formula del coseno della differenza e le sue conseguenze
- Dimostrare la formula del coseno della differenza calcolando in due modi una corda della circonferenza goniometrica.
- Dedurne il coseno e il seno della somma e della differenza, e la tangente della somma.
- Ottenere le formule di duplicazione, di riduzione delle potenze, di bisezione e dell’angolo triplo.
- Esprimere il seno e il coseno come frazioni razionali di $t = \tan \frac{\theta}{2}$ , parametrizzare razionalmente la circonferenza e generare tutte le terne pitagoriche.
1. Coseno della differenza. Per tutti i reali $\alpha$ e $\beta$ vale $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ , perché la corda che unisce $P(\alpha)$ con $P(\beta)$ misura lo stesso calcolata in coordinate cartesiane e in coordinate polari.
  Si appoggia su: C (Coordinate polari), D (Geometria analitica del piano), F (Identità pitagorica). Dimostrato in: Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
2. Formule di addizione e sottrazione. Con la parità e la cofunzione si ottengono $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ , $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ e il seno della differenza; e, se le tangenti di $\alpha$ e $\beta$ sono definite e $\tan \alpha \tan \beta \neq 1$ , allora $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ .
  Usa: 2. Identità fondamentali, 5. Coseno della differenza. Dimostrato in: Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
3. Angolo doppio. Valgono $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ , $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta$ e, dove è definita, $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ .
  Si appoggia su: G (Formule di addizione e sottrazione), F (Identità pitagorica). Dimostrato in: Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
4. Riduzione delle potenze e angolo metà. Valgono $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ e $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ ; da esse, il seno e il coseno di $\frac{\theta}{2}$ sono le radici di $\frac{1 - \cos \theta}{2}$ e di $\frac{1 + \cos \theta}{2}$ con il segno del loro quadrante, e $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ se $\cos \theta \neq -1$ .
  Usa: 7. Angolo doppio. Si appoggia su: F (Identità pitagorica). Dimostrato in: Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
5. Angolo triplo. Per ogni reale $\theta$ valgono $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ e $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ .
  Usa: 7. Angolo doppio. Si appoggia su: F (Identità pitagorica), G (Formule di addizione e sottrazione). Dimostrato in: Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
6. Tangente dell’angolo metà. Se $\theta$ non è multiplo dispari di $\pi$ e $t = \tan \frac{\theta}{2}$ , allora $\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}$ e $\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ .
  Usa: 7. Angolo doppio. Si appoggia su: F (Identità pitagorica). Dimostrato in: Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
7. Parametrizzazione razionale. La retta di coefficiente angolare $t$ passante per $(-1, 0)$ taglia di nuovo la circonferenza goniometrica in $\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right)$ ; ogni altro punto della circonferenza si ottiene così per un unico $t$ , ed è razionale se e solo se lo è $t$ .
  Usa: 10. Tangente dell’angolo metà. Si appoggia su: E (Algebra e aritmetica pregresse). Dimostrato in: Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
8. Terne pitagoriche. Le terne pitagoriche primitive con $b$ pari sono esattamente $a = m^2 - n^2$ , $b = 2mn$ e $c = m^2 + n^2$ , con $m > n$ , $\operatorname{MCD}(m, n) = 1$ e $m - n$ dispari.
  Usa: 11. Parametrizzazione razionale. Si appoggia su: E (Algebra e aritmetica pregresse). Dimostrato in: Formule di addizione e sottrazione, duplicazione e bisezione.
Tratto 3 Le trasformazioni e la forma armonica
- Trasformare prodotti in somme e somme in prodotti, sommando e sottraendo le formule di addizione e sottrazione.
- Scrivere ogni combinazione $a \sin x + b \cos x$ come un’unica onda $R \sin(x + \varphi)$ e ottenerne l’insieme immagine.
- Comporre oscillazioni di uguale frequenza e spiegare i battimenti.
- Sommare seni e coseni in progressione aritmetica mediante una somma telescopica.
1. Formule di Werner. Vale $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)$ , e allo stesso modo $\cos \alpha \sin \beta$ , $\cos \alpha \cos \beta$ e $\sin \alpha \sin \beta$ sono semisomme o semidifferenze dei seni o dei coseni di $\alpha + \beta$ e di $\alpha - \beta$ .
  Si appoggia su: G (Formule di addizione e sottrazione). Dimostrato in: Formule di prostaferesi e la forma armonica.
2. Formule di prostaferesi. Per tutti i reali $p$ e $q$ vale $\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}$ , con formule analoghe per $\sin p - \sin q$ , $\cos p + \cos q$ e $\cos p - \cos q$ ; ne discendono i battimenti di $\sin(ax) + \sin(bx)$ .
  Usa: 13. Formule di Werner. Dimostrato in: Formule di prostaferesi e la forma armonica.
3. Forma armonica. Se $a$ e $b$ non sono entrambi nulli e $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ , esiste un unico $\varphi$ in $\ico{0}{2\pi}$ tale che $a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi)$ per ogni $x$ ; quella forma è unica, e la funzione ha insieme immagine $\icc{-R}{R}$ .
  Si appoggia su: A (Circonferenza goniometrica), D (Geometria analitica del piano), F (Identità pitagorica), G (Formule di addizione e sottrazione). Dimostrato in: Formule di prostaferesi e la forma armonica.
4. Sovrapposizione di oscillazioni. Salvo che si annullino, le oscillazioni $A_1 \sin(\omega t + \varphi_1)$ e $A_2 \sin(\omega t + \varphi_2)$ sommano un’oscillazione della stessa frequenza, la cui ampiezza soddisfa $A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ .
  Usa: 5. Coseno della differenza, 15. Forma armonica. Si appoggia su: F (Identità pitagorica), G (Formule di addizione e sottrazione). Dimostrato in: Formule di prostaferesi e la forma armonica.
5. Somme in progressione aritmetica. Se $x$ non è multiplo intero di $2\pi$ , vale $\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$ , e la somma dei coseni si ottiene con $\cos \frac{(n + 1)x}{2}$ al posto di $\sin \frac{(n + 1)x}{2}$ .
  Usa: 13. Formule di Werner, 14. Formule di prostaferesi. Si appoggia su: E (Algebra e aritmetica pregresse). Dimostrato in: Formule di prostaferesi e la forma armonica.
Tratto 4 Le equazioni e le disequazioni
- Ottenere le soluzioni generali di $\sin x = c$ , $\cos x = c$ e $\tan x = c$ a partire dalle funzioni inverse e dalla periodicità.
- Ricondurre le altre equazioni a quelle elementari mediante identità, scomposizione in fattori, uguaglianza di due seni o di due coseni e forma armonica.
- Non perdere soluzioni dividendo né aggiungerne elevando al quadrato.
- Risolvere disequazioni in un giro, con la circonferenza goniometrica o con tabelle dei segni, ed estenderle per periodicità.
1. Soluzioni generali. Se $\abs{c} \leq 1$ , le soluzioni di $\sin x = c$ sono $\arcsin c + 2k\pi$ e $\pi - \arcsin c + 2k\pi$ , e quelle di $\cos x = c$ , $\arccos c + 2k\pi$ e $-\arccos c + 2k\pi$ ; per ogni reale $c$ , quelle di $\tan x = c$ sono $\arctan c + k\pi$ , con $k$ intero.
  Usa: 2. Identità fondamentali. Si appoggia su: A (Circonferenza goniometrica), B (Funzioni inverse). Dimostrato in: Equazioni e disequazioni trigonometriche.
2. Uguaglianza di seni e di coseni. Vale $\sin A = \sin B$ se e solo se $A = B + 2k\pi$ o $A = \pi - B + 2k\pi$ , e $\cos A = \cos B$ se e solo se $A = B + 2k\pi$ o $A = -B + 2k\pi$ , per qualche intero $k$ ; due tangenti definite sono uguali se e solo se $A = B + k\pi$ .
  Usa: 14. Formule di prostaferesi. Si appoggia su: A (Circonferenza goniometrica), G (Formule di addizione e sottrazione). Dimostrato in: Equazioni e disequazioni trigonometriche.
3. Equazioni polinomiali e omogenee. L’equazione $P(\sin x) = 0$ equivale alle equazioni $\sin x = r$ per le radici reali $r$ di $P$ ; un’equazione omogenea in $\sin x$ e $\cos x$ si riconduce a una polinomiale in $\tan x$ esaminando a sé gli zeri del coseno; e ogni soluzione ottenuta elevando al quadrato va verificata.
  Usa: 18. Soluzioni generali. Si appoggia su: E (Algebra e aritmetica pregresse). Dimostrato in: Equazioni e disequazioni trigonometriche.
4. Equazione lineare in seno e coseno. L’equazione $a \sin x + b \cos x = c$ ha soluzione se e solo se $c^2 \leq a^2 + b^2$ , e allora le sue soluzioni sono $-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi$ e $\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi$ , dove $R$ e $\varphi$ sono quelli della forma armonica.
  Usa: 15. Forma armonica, 18. Soluzioni generali. Dimostrato in: Equazioni e disequazioni trigonometriche.
5. Disequazioni. Se $-1 < c < 1$ e $\beta = \arccos c$ , vale $\cos x > c$ se e solo se $-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi$ per qualche intero $k$ , e l’analogo vale per il seno; i prodotti e i quozienti di fattori trigonometrici si risolvono con una tabella dei segni in un giro.
  Usa: 18. Soluzioni generali. Si appoggia su: A (Circonferenza goniometrica), B (Funzioni inverse), E (Algebra e aritmetica pregresse). Dimostrato in: Equazioni e disequazioni trigonometriche.
Tratto 5 La geometria analitica: rette e coniche
- Misurare l’angolo tra due rette con la tangente della differenza e con il prodotto scalare.
- Ottenere le bisettrici di due rette e l’incentro di un triangolo.
- Modellizzare altezze inaccessibili, il moto armonico, la gittata di un proiettile e la riflessione della luce.
- Dedurre le formule di rotazione, eliminare il termine in $xy$ e classificare ogni equazione di secondo grado mediante il segno del discriminante.
1. Angolo tra rette. Il coefficiente angolare di una retta non verticale è la tangente della sua inclinazione; due rette di coefficienti angolari $m_1$ e $m_2$ sono perpendicolari se e solo se $1 + m_1 m_2 = 0$ , e se non lo sono, l’angolo $\theta$ tra esse soddisfa $\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}$ , in accordo con la formula del prodotto scalare dei loro vettori direttori.
  Usa: 5. Coseno della differenza, 6. Formule di addizione e sottrazione. Si appoggia su: B (Funzioni inverse), D (Geometria analitica del piano), F (Identità pitagorica), H (Geometria euclidea). Dimostrato in: L’angolo tra due rette e applicazioni della trigonometria.
2. Bisettrici e incentro. I punti equidistanti da due rette incidenti formano due rette perpendicolari tra loro, le bisettrici, ciascuna delle quali divide a metà una diversa coppia di angoli opposti al vertice; e le tre bisettrici interne di un triangolo, ciascuna delle quali taglia il lato opposto, si incontrano in un punto interno, l’incentro, centro della circonferenza inscritta.
  Usa: 8. Riduzione delle potenze e angolo metà. Si appoggia su: D (Geometria analitica del piano), H (Geometria euclidea). Dimostrato in: L’angolo tra due rette e applicazioni della trigonometria.
3. Gittata di un proiettile. Ammesse dalla fisica le equazioni del moto, che combinano un avanzamento orizzontale uniforme con una caduta uniformemente accelerata, la gittata di un proiettile lanciato con velocità $v$ e alzo $\theta$ è $\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ ; è massima per $\theta = \frac{\pi}{4}$ , e ogni gittata minore si ottiene con esattamente due angoli, che sono complementari.
  Usa: 18. Soluzioni generali, 7. Angolo doppio. Dimostrato in: L’angolo tra due rette e applicazioni della trigonometria.
4. Formule di rotazione. Se gli assi ruotano dell’angolo $\theta$ , le nuove coordinate sono $X = x \cos \theta + y \sin \theta$ e $Y = -x \sin \theta + y \cos \theta$ , e la distanza tra due punti non cambia.
  Si appoggia su: A (Circonferenza goniometrica), C (Coordinate polari), F (Identità pitagorica), G (Formule di addizione e sottrazione). Dimostrato in: Rotazione degli assi e l’equazione generale di secondo grado.
5. Coefficienti dopo la rotazione. Ruotando gli assi, l’equazione $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ conserva il suo termine noto, e il suo nuovo coefficiente di $XY$ è $B_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta$ .
  Usa: 26. Formule di rotazione, 7. Angolo doppio. Dimostrato in: Rotazione degli assi e l’equazione generale di secondo grado.
6. Eliminazione del termine in xy. Se $B \neq 0$ , esiste un unico angolo $\theta$ in $\ioo{0}{\frac{\pi}{2}}$ la cui rotazione annulla $B_1$ : quello che soddisfa $\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}$ .
  Usa: 27. Coefficienti dopo la rotazione. Si appoggia su: B (Funzioni inverse). Dimostrato in: Rotazione degli assi e l’equazione generale di secondo grado.
7. Invarianti della rotazione. Per ogni angolo di rotazione valgono $A_1 + C_1 = A + C$ e $B_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC$ .
  Usa: 27. Coefficienti dopo la rotazione, 7. Angolo doppio. Si appoggia su: F (Identità pitagorica). Dimostrato in: Rotazione degli assi e l’equazione generale di secondo grado.
8. Classificazione mediante il discriminante. Se $A$ , $B$ e $C$ non sono tutti nulli e $\Delta = B^2 - 4AC$ , l’equazione rappresenta un’ellisse, un punto o nessun punto se $\Delta < 0$ ; una parabola, due rette parallele, una retta o nessun punto se $\Delta = 0$ ; e un’iperbole o due rette incidenti se $\Delta > 0$ .
  Usa: 26. Formule di rotazione, 28. Eliminazione del termine in xy, 29. Invarianti della rotazione. Si appoggia su: D (Geometria analitica del piano). Dimostrato in: Rotazione degli assi e l’equazione generale di secondo grado.

Verso i complessi in forma polare. Moltiplicando $\cos \alpha + i \sin \alpha$ per $\cos \beta + i \sin \beta$ compaiono il coseno e il seno di $\alpha + \beta$ : le formule di addizione e sottrazione sono la regola di moltiplicazione dei numeri complessi, e l’unità che segue le riunisce in una sola, la formula di De Moivre.

Nel resto di questa lezione

L’unione con ciò che precede
Il legame con l’unità che segue
Valutazione d’uscita
Sfide
Le tangenti dei multipli di pi settimi
Una somma telescopica di arcotangenti
La massima somma di coseni in un triangolo
Un prodotto di coseni uguale a uno
I punti più vicini e più lontani di un’ellisse ruotata
Le tangenti a una parabola che formano quarantacinque gradi
Una torre vista con angoli in progressione
Una somma di quattro seni positiva
Il rettangolo più grande in un settore circolare
Una famiglia di coniche con fuochi a distanza due