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Topos Uranos
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Trigonométrie analytique : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité de trigonométrie analytique. Elle réunit en une seule chaîne déductive ce qui a été démontré dans ses six leçons : les identités fondamentales, la formule du cosinus d’une différence et toutes celles qui s’en déduisent, la transformation de sommes en produits et la forme harmonique, la résolution des équations et des inéquations, l’angle de deux droites et la rotation des axes qui classe les coniques. Elle explique comment cette chaîne s’appuie sur l’unité antérieure et sur le cours Algèbre et géométrie I, en particulier sur le cercle trigonométrique, sur les coordonnées polaires, sur les polynômes et sur les coniques, et comment elle prépare l’unité qui vient ensuite, où les mêmes formules reparaissent comme la règle de multiplication des nombres complexes. Elle se termine par une évaluation de sortie, parallèle à l’évaluation d’entrée de l’introduction, et par dix défis, d’une difficulté supérieure à celle des problèmes proposés de l’unité, qui exigent de combiner plusieurs leçons.

Objectifs d’apprentissage

  1. Reconstruire la chaîne déductive de l’unité, depuis la formule du cosinus d’une différence jusqu’à la classification des coniques par leur discriminant, et identifier à chaque stade le résultat dont il dépend.
  2. Relier les résultats de l’unité à ceux de l’unité antérieure et du cours I sur le cercle trigonométrique, les coordonnées polaires, les polynômes et les coniques.
  3. Anticiper le rôle des formules d’addition dans la multiplication des nombres complexes sous forme polaire.
  4. Résoudre des problèmes qui combinent identités, équations, angles de droites et rotations, en choisissant dans chaque cas la transformation qui rend le problème abordable.

L’acquis de l’unité

L’unité a commencé par fixer le langage. Dans la leçon sur les identités trigonométriques fondamentales, on a défini une identité comme une égalité vraie sur tout l’ensemble de définition commun de ses deux membres, on a réuni les identités des inverses, du quotient, pythagoriciennes, de parité et des cofonctions, et on a fixé la méthode de démonstration : transformer un membre en l’autre, ou les deux en une même expression, sans partir de ce qu’on veut démontrer ; un contre-exemple suffit pour réfuter une identité fausse. Avec ce langage, on a exprimé chaque fonction en fonction d’une autre, transformé des racines par des substitutions et reconnu l’ellipse et l’hyperbole dans les paramétrages (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) et (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right).

L’avancée décisive fut la leçon sur les formules d’addition. En calculant de deux façons la longueur d’une corde du cercle trigonométrique, en coordonnées cartésiennes et en coordonnées polaires, on a démontré que pour tous réels α\alpha et β\beta l’égalité ci-dessous est vraie :

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Tout le reste s’en est déduit. Avec la parité, on a obtenu le cosinus d’une somme ; avec la cofonction, le sinus d’une somme et d’une différence ; avec le quotient, la tangente d’une somme. Dès lors, en posant α=β\alpha = \beta on obtient les formules de l’angle double ; en isolant les carrés, les formules de linéarisation et de l’angle moitié ; en additionnant une fois de plus, celles de l’angle triple. La substitution t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} a changé le sinus et le cosinus en fractions rationnelles de tt, et il en a découlé le paramétrage rationnel du cercle et la formule de tous les triplets pythagoriciens.

La leçon sur la transformation de sommes en produits a parcouru le chemin inverse : en additionnant et en soustrayant les formules d’addition, les produits se changent en sommes et les sommes en produits. Son résultat principal est que toute combinaison asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x est une seule onde Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), avec R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2} ; il en découle son ensemble image, [−R,R]\icc{-R}{R}, la superposition d’oscillations de même fréquence, les battements et, grâce à un facteur qui rend la somme télescopique, les sommes de sinus et de cosinus en progression arithmétique.

Avec ces outils, la leçon sur les équations et inéquations trigonométriques a pu résoudre toute une famille de problèmes. Les solutions générales de sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c et tan⁡x=c\tan x = c prolongent par périodicité celles que donnent les fonctions réciproques ; les autres équations se ramènent à celles-ci par des identités, la factorisation, l’égalité de deux sinus ou de deux cosinus et la forme harmonique, avec deux précautions constantes : diviser peut faire perdre des solutions et élever au carré peut en ajouter. Les inéquations ont été résolues sur un tour, avec le cercle trigonométrique ou avec des tableaux de signes, puis prolongées par périodicité.

Les deux dernières leçons ont porté ce calcul dans la géométrie analytique. Dans la leçon sur l’angle de deux droites, la tangente d’une différence a donné l’angle de deux droites à partir de leurs pentes, et le produit scalaire une seconde formule, valable aussi pour les droites verticales ; on a obtenu les bissectrices et le centre du cercle inscrit, et on a modélisé des hauteurs inaccessibles, le mouvement harmonique, la portée des projectiles et la réflexion de la lumière. Cette leçon est la seule de l’unité qui admette quelque chose sans le démontrer, et elle le déclare : de la géométrie euclidienne, les trois faits que le cours I admettait déjà (le théorème de Pythagore, l’égalité des angles correspondants formés avec des parallèles et la somme π\pi des angles d’un triangle), et de la physique, les équations du mouvement harmonique simple et celles du projectile. Enfin, dans la leçon sur la rotation des axes, les formules de la différence ont décrit le changement de coordonnées quand on tourne les axes ; l’angle qui vérifie cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} élimine le terme en xyxy, la somme A+CA + C et le discriminant B2−4ACB^2 - 4AC ne changent pas par la rotation, et par conséquent le signe du discriminant classe toute équation du second degré.

La chaîne complète peut se résumer ainsi : une corde calculée de deux façons donne le cosinus d’une différence ; de lui sortent toutes les formules d’addition ; de celles-ci, les transformations et la forme harmonique ; avec toutes, on résout des équations ; et les équations résolues mesurent des angles de droites et éliminent le terme rectangle des coniques. La figure ci-dessous réunit cette chaîne en cinq tronçons, qui suivent l’ordre des paragraphes ci-dessus : chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait en pointillés au maillon où il est établi, sauf ceux qui sont admis sans démonstration ou proviennent de l’unité antérieure ou du cours I, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

  • ACercle trigonométrique. On admet l’axiome du parcours par longueur d’arc : pour chaque réel ss il existe un unique point P(s)P(s) du cercle trigonométrique que l’on atteint depuis (1,0)(1, 0) en parcourant une longueur ∣s∣\abs{s}, les parcours se concatènent, P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s), l’abscisse de P(s)P(s) est strictement décroissante sur [0,π]\icc{0}{\pi} et croissante sur [π,2π]\icc{\pi}{2\pi}, et tout point du cercle est un certain P(s)P(s). De cet axiome, on a démontré dans l’unité sur les fonctions trigonométriques et les coordonnées polaires que tout point du cercle est P(θ)P(\theta) pour un unique θ\theta dans [0,2π)\ico{0}{2\pi}, que le cosinus et le sinus, coordonnées de P(θ)P(\theta), sont périodiques et vérifient la parité et les relations des cofonctions, et qu’ils sont strictement monotones sur leurs intervalles principaux. Admis sans démonstration dans cette unité.
  • BFonctions réciproques. L’arc sinus, l’arc cosinus et l’arc tangente donnent, sur leurs intervalles principaux, l’unique angle qui a un sinus, un cosinus ou une tangente donnés ; démontré dans l’unité sur les fonctions trigonométriques et les coordonnées polaires. Admis sans démonstration dans cette unité.
  • CCoordonnées polaires. Un point de coordonnées polaires (r,φ)(r, \varphi) a pour coordonnées cartésiennes x=rcos⁡φx = r \cos \varphi et y=rsin⁡φy = r \sin \varphi, et la distance entre (r1,θ1)(r_1, \theta_1) et (r2,θ2)(r_2, \theta_2) vérifie d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2) ; démontré dans l’unité sur les fonctions trigonométriques et les coordonnées polaires. Admis sans démonstration dans cette unité.
  • DGéométrie analytique du plan. La formule de la distance, la distance d’un point à une droite, le théorème des demi-plans, le produit scalaire avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’angle de deux vecteurs, et la classification des coniques d’axes parallèles aux axes de coordonnées ; démontrés dans le cours I, dans l’unité sur la géométrie analytique du plan, et dans la leçon sur la résolution des triangles. Admis sans démonstration dans cette unité.
  • EAlgèbre et arithmétique préalables. La factorisation des polynômes, le théorème du facteur et la division synthétique, les tableaux de signes, les sommes télescopiques et le lemme d’Euclide ; démontrés dans le cours I, dans les unités sur les nombres naturels et sur les fonctions algébriques et les polynômes. Admis sans démonstration dans cette unité.
  • FIdentité pythagoricienne. Pour tout θ\theta on a sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, et sur leurs ensembles de définition, 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta et 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta. Établi dans: 2. Identités fondamentales.
  • GFormules d’addition. Pour tous réels α\alpha et β\beta on a cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta et sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, ainsi que les formules de la différence, qui s’obtiennent en remplaçant β\beta par −β-\beta. Établi dans: 6. Formules d’addition.
  • HGéométrie euclidienne. On admet de la géométrie euclidienne, comme dans l’unité du cours I sur la géométrie analytique du plan, le théorème de Pythagore et sa réciproque, l’égalité des angles correspondants que forme une sécante avec deux parallèles et la somme π\pi des angles d’un triangle ; on en déduit l’égalité des angles opposés par le sommet et celle des angles alternes-internes entre parallèles. Admis sans démonstration dans cette unité.

  1. Tronçon 1 Le langage : les identités et leur démonstration

    • Définir une identité comme une égalité vraie sur tout l’ensemble de définition commun de ses membres, et la distinguer d’une équation.
    • Réunir les identités des inverses, du quotient, pythagoriciennes, de parité et des cofonctions.
    • Démontrer des identités sans partir de ce qu’on veut démontrer, et réfuter les fausses par un contre-exemple.
    • Transformer des racines par des substitutions et reconnaître l’ellipse et l’hyperbole dans leurs paramétrages trigonométriques.

    1. Identité et démonstration. Une identité est une égalité vraie sur tout l’ensemble de définition commun de ses deux membres ; on la démontre en transformant un membre en l’autre, ou les deux en une même expression, sans partir d’elle, et on la réfute par un seul contre-exemple.

      Démontré dans: Identités trigonométriques fondamentales.

    2. Identités fondamentales. Sur l’ensemble de définition commun de chacune, les identités des inverses, du quotient et pythagoriciennes sont vraies ; le sinus, la tangente, la cosécante et la cotangente sont impairs, le cosinus et la sécante sont pairs, et chaque fonction de π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta est sa cofonction de θ\theta.

      Utilise: 1. Identité et démonstration. Repose sur: A (Cercle trigonométrique). Démontré dans: Identités trigonométriques fondamentales.

    3. Substitutions trigonométriques. Si θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x, alors 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta ; si θ=arctan⁡x\theta = \arctan x, alors 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta ; et si x≥1x \geq 1 et θ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x}, alors x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta.

      Utilise: 2. Identités fondamentales. Repose sur: F (Identité pythagoricienne), B (Fonctions réciproques). Démontré dans: Identités trigonométriques fondamentales.

    4. Ellipse et hyperbole paramétrées. Quand tt parcourt [0,2π)\ico{0}{2\pi}, le point (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t) parcourt une seule fois l’ellipse x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ; et le point (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t) parcourt une seule fois la branche droite de l’hyperbole x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 quand tt parcourt (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, et la branche gauche quand il parcourt (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}.

      Utilise: 2. Identités fondamentales. Repose sur: A (Cercle trigonométrique), F (Identité pythagoricienne). Démontré dans: Identités trigonométriques fondamentales.

  2. Tronçon 2 La formule du cosinus d’une différence et ses conséquences

    • Démontrer la formule du cosinus d’une différence en calculant de deux façons une corde du cercle trigonométrique.
    • En déduire le cosinus et le sinus d’une somme et d’une différence, et la tangente d’une somme.
    • Obtenir les formules de l’angle double, de linéarisation, de l’angle moitié et de l’angle triple.
    • Exprimer le sinus et le cosinus comme fractions rationnelles de t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, paramétrer rationnellement le cercle et engendrer tous les triplets pythagoriciens.

    1. Cosinus d’une différence. Pour tous réels α\alpha et β\beta on a cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta, car la corde qui joint P(α)P(\alpha) à P(β)P(\beta) a la même longueur calculée en coordonnées cartésiennes et en coordonnées polaires.

      Repose sur: C (Coordonnées polaires), D (Géométrie analytique du plan), F (Identité pythagoricienne). Démontré dans: Formules d’addition, angle double et angle moitié.

    2. Formules d’addition. Avec la parité et la cofonction, on obtient cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta et le sinus d’une différence ; et, si les tangentes de α\alpha et β\beta sont définies et tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1, alors tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}.

      Utilise: 2. Identités fondamentales, 5. Cosinus d’une différence. Démontré dans: Formules d’addition, angle double et angle moitié.

    3. Angle double. On a sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta, cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta et, là où elle est définie, tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}.

      Repose sur: G (Formules d’addition), F (Identité pythagoricienne). Démontré dans: Formules d’addition, angle double et angle moitié.

    4. Linéarisation et angle moitié. On a cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} et sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} ; d’où le sinus et le cosinus de θ2\frac{\theta}{2} sont les racines carrées de 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2} et de 1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2} affectées du signe de leur quadrant, et tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} si cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1.

      Utilise: 7. Angle double. Repose sur: F (Identité pythagoricienne). Démontré dans: Formules d’addition, angle double et angle moitié.

    5. Angle triple. Pour tout réel θ\theta on a cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta et sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta.

      Utilise: 7. Angle double. Repose sur: F (Identité pythagoricienne), G (Formules d’addition). Démontré dans: Formules d’addition, angle double et angle moitié.

    6. Tangente de l’angle moitié. Si θ\theta n’est pas un multiple impair de π\pi et si t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, alors sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2} et cos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.

      Utilise: 7. Angle double. Repose sur: F (Identité pythagoricienne). Démontré dans: Formules d’addition, angle double et angle moitié.

    7. Paramétrage rationnel. La droite de pente tt passant par (−1,0)(-1, 0) recoupe le cercle trigonométrique en (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right) ; tout autre point du cercle s’obtient ainsi pour un unique tt, et il est rationnel si et seulement si tt l’est.

      Utilise: 10. Tangente de l’angle moitié. Repose sur: E (Algèbre et arithmétique préalables). Démontré dans: Formules d’addition, angle double et angle moitié.

    8. Triplets pythagoriciens. Les triplets pythagoriciens primitifs avec bb pair sont exactement a=m2−n2a = m^2 - n^2, b=2mnb = 2mn et c=m2+n2c = m^2 + n^2, avec m>nm > n, pgcd⁡(m,n)=1\operatorname{pgcd}(m, n) = 1 et m−nm - n impair.

      Utilise: 11. Paramétrage rationnel. Repose sur: E (Algèbre et arithmétique préalables). Démontré dans: Formules d’addition, angle double et angle moitié.

  3. Tronçon 3 Les transformations et la forme harmonique

    • Changer des produits en sommes et des sommes en produits, en additionnant et en soustrayant les formules d’addition.
    • Écrire toute combinaison asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x comme une seule onde Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) et obtenir son ensemble image.
    • Composer des oscillations de même fréquence et expliquer les battements.
    • Sommer des sinus et des cosinus en progression arithmétique au moyen d’une somme télescopique.

    1. Transformation de produit en somme. On a sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), et de même cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta, cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta et sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta sont des demi-sommes ou des demi-différences des sinus ou des cosinus de α+β\alpha + \beta et de α−β\alpha - \beta.

      Repose sur: G (Formules d’addition). Démontré dans: Transformation de sommes en produits et forme harmonique.

    2. Transformation de somme en produit. Pour tous réels pp et qq on a sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}, avec des formules analogues pour sin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q, cos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q et cos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q ; il en découle les battements de sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx).

      Utilise: 13. Transformation de produit en somme. Démontré dans: Transformation de sommes en produits et forme harmonique.

    3. Forme harmonique. Si aa et bb ne sont pas tous deux nuls et R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}, il existe un unique φ\varphi dans [0,2π)\ico{0}{2\pi} tel que asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi) pour tout xx ; cette forme est unique, et la fonction a pour ensemble image [−R,R]\icc{-R}{R}.

      Repose sur: A (Cercle trigonométrique), D (Géométrie analytique du plan), F (Identité pythagoricienne), G (Formules d’addition). Démontré dans: Transformation de sommes en produits et forme harmonique.

    4. Superposition d’oscillations. Sauf si elles s’annulent, les oscillations A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1) et A2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2) ont pour somme une oscillation de même fréquence, dont l’amplitude vérifie A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2).

      Utilise: 5. Cosinus d’une différence, 15. Forme harmonique. Repose sur: F (Identité pythagoricienne), G (Formules d’addition). Démontré dans: Transformation de sommes en produits et forme harmonique.

    5. Sommes en progression arithmétique. Si xx n’est pas un multiple entier de 2π2\pi, on a ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}, et la somme des cosinus s’obtient avec cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2} à la place de sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2}.

      Utilise: 13. Transformation de produit en somme, 14. Transformation de somme en produit. Repose sur: E (Algèbre et arithmétique préalables). Démontré dans: Transformation de sommes en produits et forme harmonique.

  4. Tronçon 4 Les équations et les inéquations

    • Obtenir les solutions générales de sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c et tan⁡x=c\tan x = c à partir des fonctions réciproques et de la périodicité.
    • Ramener les autres équations aux équations élémentaires par des identités, la factorisation, l’égalité de deux sinus ou de deux cosinus et la forme harmonique.
    • Ne pas perdre de solutions en divisant ni en ajouter en élevant au carré.
    • Résoudre des inéquations sur un tour, avec le cercle trigonométrique ou avec des tableaux de signes, et les prolonger par périodicité.

    1. Solutions générales. Si ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1, les solutions de sin⁡x=c\sin x = c sont arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi et π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi, et celles de cos⁡x=c\cos x = c, arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi et −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi ; pour tout réel cc, celles de tan⁡x=c\tan x = c sont arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi, avec kk entier.

      Utilise: 2. Identités fondamentales. Repose sur: A (Cercle trigonométrique), B (Fonctions réciproques). Démontré dans: Équations et inéquations trigonométriques.

    2. Égalité de sinus et de cosinus. On a sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B si et seulement si A=B+2kπA = B + 2k\pi ou A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi, et cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B si et seulement si A=B+2kπA = B + 2k\pi ou A=−B+2kπA = -B + 2k\pi, pour un certain entier kk ; deux tangentes définies sont égales si et seulement si A=B+kπA = B + k\pi.

      Utilise: 14. Transformation de somme en produit. Repose sur: A (Cercle trigonométrique), G (Formules d’addition). Démontré dans: Équations et inéquations trigonométriques.

    3. Équations polynomiales et homogènes. L’équation P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0 équivaut aux équations sin⁡x=r\sin x = r pour les racines réelles rr de PP ; une équation homogène en sin⁡x\sin x et cos⁡x\cos x se ramène à une équation polynomiale en tan⁡x\tan x en examinant à part les zéros du cosinus ; et toute solution obtenue en élevant au carré doit être vérifiée.

      Utilise: 18. Solutions générales. Repose sur: E (Algèbre et arithmétique préalables). Démontré dans: Équations et inéquations trigonométriques.

    4. Équation linéaire en sinus et cosinus. L’équation asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c a des solutions si et seulement si c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2, et ses solutions sont alors −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi et π−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi, où RR et φ\varphi sont ceux de la forme harmonique.

      Utilise: 15. Forme harmonique, 18. Solutions générales. Démontré dans: Équations et inéquations trigonométriques.

    5. Inéquations. Si −1<c<1-1 < c < 1 et β=arccos⁡c\beta = \arccos c, on a cos⁡x>c\cos x > c si et seulement si −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi pour un certain entier kk, et l’analogue vaut pour le sinus ; les produits et quotients de facteurs trigonométriques se résolvent par un tableau de signes sur un tour.

      Utilise: 18. Solutions générales. Repose sur: A (Cercle trigonométrique), B (Fonctions réciproques), E (Algèbre et arithmétique préalables). Démontré dans: Équations et inéquations trigonométriques.

  5. Tronçon 5 La géométrie analytique : droites et coniques

    • Mesurer l’angle de deux droites avec la tangente d’une différence et avec le produit scalaire.
    • Obtenir les bissectrices de deux droites et le centre du cercle inscrit d’un triangle.
    • Modéliser des hauteurs inaccessibles, le mouvement harmonique, la portée d’un projectile et la réflexion de la lumière.
    • Déduire les formules de rotation, éliminer le terme en xyxy et classer toute équation du second degré par le signe du discriminant.

    1. Angle de deux droites. La pente d’une droite non verticale est la tangente de son angle d’inclinaison ; deux droites de pentes m1m_1 et m2m_2 sont perpendiculaires si et seulement si 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0, et si elles ne le sont pas, l’angle θ\theta qu’elles forment vérifie tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}, en accord avec la formule du produit scalaire de leurs vecteurs directeurs.

      Utilise: 5. Cosinus d’une différence, 6. Formules d’addition. Repose sur: B (Fonctions réciproques), D (Géométrie analytique du plan), F (Identité pythagoricienne), H (Géométrie euclidienne). Démontré dans: L’angle de deux droites et applications de la trigonométrie.

    2. Bissectrices et centre du cercle inscrit. Les points équidistants de deux droites sécantes forment deux droites perpendiculaires entre elles, les bissectrices, dont chacune partage en deux angles égaux un couple différent d’angles opposés par le sommet ; et les trois bissectrices intérieures d’un triangle, dont chacune coupe le côté opposé, se coupent en un point intérieur, le centre du cercle inscrit.

      Utilise: 8. Linéarisation et angle moitié. Repose sur: D (Géométrie analytique du plan), H (Géométrie euclidienne). Démontré dans: L’angle de deux droites et applications de la trigonométrie.

    3. Portée d’un projectile. Une fois admises de la physique les équations du mouvement, qui combinent une avance horizontale uniforme et une chute uniformément accélérée, la portée d’un projectile lancé avec la vitesse vv et l’élévation θ\theta est v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g} ; elle est maximale pour θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, et chaque portée plus petite s’obtient avec exactement deux angles, qui sont complémentaires.

      Utilise: 18. Solutions générales, 7. Angle double. Démontré dans: L’angle de deux droites et applications de la trigonométrie.

    4. Formules de rotation. Si les axes tournent de l’angle θ\theta, les nouvelles coordonnées sont X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta et Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta, et la distance entre deux points ne change pas.

      Repose sur: A (Cercle trigonométrique), C (Coordonnées polaires), F (Identité pythagoricienne), G (Formules d’addition). Démontré dans: Rotation des axes et équation générale du second degré.

    5. Coefficients après la rotation. Quand on tourne les axes, l’équation Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 conserve son terme constant, et son nouveau coefficient de XYXY est B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta.

      Utilise: 26. Formules de rotation, 7. Angle double. Démontré dans: Rotation des axes et équation générale du second degré.

    6. Élimination du terme en xy. Si B≠0B \neq 0, il existe un unique angle θ\theta dans (0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}} dont la rotation annule B1B_1 : celui qui vérifie cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}.

      Utilise: 27. Coefficients après la rotation. Repose sur: B (Fonctions réciproques). Démontré dans: Rotation des axes et équation générale du second degré.

    7. Invariants de la rotation. Pour tout angle de rotation on a A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C et B12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC.

      Utilise: 27. Coefficients après la rotation, 7. Angle double. Repose sur: F (Identité pythagoricienne). Démontré dans: Rotation des axes et équation générale du second degré.

    8. Classification par le discriminant. Si AA, BB et CC ne sont pas tous nuls et Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC, l’équation représente une ellipse, un point ou aucun point si Δ<0\Delta < 0 ; une parabole, deux droites parallèles, une droite ou aucun point si Δ=0\Delta = 0 ; et une hyperbole ou deux droites sécantes si Δ>0\Delta > 0.

      Utilise: 26. Formules de rotation, 28. Élimination du terme en xy, 29. Invariants de la rotation. Repose sur: D (Géométrie analytique du plan). Démontré dans: Rotation des axes et équation générale du second degré.

Vers les complexes sous forme polaire. En multipliant cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha par cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta, on voit apparaître le cosinus et le sinus de α+β\alpha + \beta : les formules d’addition sont la règle de multiplication des nombres complexes, et l’unité qui vient ensuite les réunit en une seule, la formule de Moivre.