Saltar para o conteúdo
Topos Uranos
Português

Trigonometria analítica: síntese e desafios

Resumo

Esta aula fecha a unidade de trigonometria analítica. Reúne numa só cadeia dedutiva o que foi demonstrado em suas seis aulas: as identidades fundamentais, a fórmula do cosseno da diferença e todas as que dela se deduzem, a transformação de somas em produtos e a forma harmônica, a resolução de equações e inequações, o ângulo entre retas e a rotação de eixos que classifica as cônicas. Explica como essa cadeia se apoia na unidade precedente e no curso Álgebra e Geometria I, em especial na circunferência unitária, nas coordenadas polares, nos polinômios e nas cônicas, e como prepara a próxima unidade, na qual as mesmas fórmulas reaparecem como a regra de multiplicação dos números complexos. Termina com uma avaliação de saída, paralela à de entrada da introdução, e com dez desafios, de dificuldade superior à dos problemas propostos da unidade, que exigem combinar várias aulas.

Objetivos de aprendizagem

  1. Reconstruir a cadeia dedutiva da unidade, desde a fórmula do cosseno da diferença até a classificação das cônicas pelo discriminante, e identificar em cada etapa o resultado do qual ela depende.
  2. Relacionar os resultados da unidade com os da unidade precedente e do curso I sobre a circunferência unitária, as coordenadas polares, os polinômios e as cônicas.
  3. Antecipar o papel das fórmulas de adição e subtração na multiplicação de números complexos na forma polar.
  4. Resolver problemas que combinam identidades, equações, ângulos entre retas e rotações, escolhendo em cada caso a transformação que torna o problema tratável.

O que a unidade alcançou

A unidade começou por fixar a linguagem. Na aula sobre as identidades trigonométricas fundamentais, definiu-se uma identidade como uma igualdade que vale em todo o domínio comum de seus dois membros, reuniram-se as identidades recíprocas, de quociente, pitagóricas, de paridade e de cofunção, e estabeleceu-se o método de demonstração: transformar um membro no outro, ou ambos numa mesma expressão, sem partir do que se quer demonstrar; um contraexemplo basta para refutar uma identidade falsa. Com essa linguagem, expressou-se cada função em termos de outra, transformaram-se raízes mediante substituições e reconheceram-se a elipse e a hipérbole nas parametrizações (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) e (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right).

O avanço decisivo foi a aula sobre as fórmulas de adição e subtração. Calculando de duas maneiras o comprimento de uma corda da circunferência unitária, em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares, demonstrou-se que, para todos os reais α\alpha e β\beta, vale a igualdade abaixo:

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Todo o resto se deduziu dela. Com a paridade obteve-se o cosseno da soma; com a cofunção, o seno da soma e da diferença; com o quociente, a tangente da soma. Se isso é assim, fazendo α=β\alpha = \beta obtêm-se as fórmulas do ângulo duplo; isolando os quadrados, as de redução de potências e do ângulo metade; somando mais uma vez, as do ângulo triplo. A substituição t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} converteu o seno e o cosseno em frações racionais de tt, e daí se seguiram a parametrização racional da circunferência e a fórmula de todas as ternas pitagóricas.

A aula sobre a transformação de somas em produtos percorreu o caminho inverso: somando e subtraindo as fórmulas de adição e subtração, os produtos se convertem em somas e as somas em produtos. Seu resultado principal é que toda combinação asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x é uma só onda Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), com R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}; disso se seguem seu conjunto imagem, [−R,R]\icc{-R}{R}, a superposição de oscilações de igual frequência, os batimentos e, com um fator que torna telescópica a soma, as somas de senos e cossenos em progressão aritmética.

Com essas ferramentas, a aula sobre as equações e inequações trigonométricas pôde resolver toda uma família de problemas. As soluções gerais de sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c e tan⁡x=c\tan x = c estendem por periodicidade as que dão as funções inversas; as demais equações se reduzem a essas por identidades, fatoração, igualdade de dois senos ou de dois cossenos e forma harmônica, com dois cuidados permanentes: dividir pode perder soluções e elevar ao quadrado pode acrescentá-las. As inequações foram resolvidas em uma volta, com a circunferência unitária ou com quadros de sinais, e estendidas periodicamente.

As duas últimas aulas levaram esse cálculo à geometria analítica. Na aula sobre o ângulo entre retas, a tangente da diferença deu o ângulo entre duas retas a partir de seus coeficientes angulares, e o produto escalar, uma segunda fórmula, válida também para as retas verticais; obtiveram-se as bissetrizes e o incentro, e modelaram-se alturas inacessíveis, o movimento harmônico, o alcance dos projéteis e a reflexão da luz. Essa aula é a única da unidade que admite algo sem demonstrá-lo, e o declara: da geometria euclidiana, os três fatos que o curso I já admitia (o teorema de Pitágoras, a igualdade dos ângulos correspondentes entre paralelas e a soma π\pi dos ângulos de um triângulo), e da física, as equações do movimento harmônico simples e as do projétil. Por último, na aula sobre a rotação de eixos, as fórmulas da diferença descreveram a mudança de coordenadas ao girar os eixos; o ângulo que cumpre cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} elimina o termo em xyxy, a soma A+CA + C e o discriminante B2−4ACB^2 - 4AC não mudam com a rotação, e portanto o sinal do discriminante classifica toda equação do segundo grau.

A cadeia completa pode resumir-se assim: uma corda calculada de duas maneiras dá o cosseno da diferença; dele saem todas as fórmulas de adição e subtração; destas, as transformações e a forma harmônica; com todas elas se resolvem equações; e as equações resolvidas medem ângulos entre retas e eliminam o termo misto das cônicas. A figura abaixo reúne essa cadeia em cinco trechos, que seguem a ordem dos parágrafos precedentes: cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam e por um traço pontilhado ao elo onde se estabelece, exceto os que se admitem sem demonstração ou provêm da unidade precedente ou do curso I, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

  • ACircunferência unitária. Admite-se o axioma do percurso por comprimento de arco: para cada real ss há um único ponto P(s)P(s) da circunferência unitária ao qual se chega a partir de (1,0)(1, 0) percorrendo um comprimento ∣s∣\abs{s}, os percursos se encadeiam, P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s), a abscissa de P(s)P(s) decresce estritamente em [0,π]\icc{0}{\pi} e cresce em [π,2π]\icc{\pi}{2\pi}, e todo ponto da circunferência é algum P(s)P(s). Desse axioma demonstrou-se, na unidade sobre as funções trigonométricas e as coordenadas polares, que todo ponto da circunferência é P(θ)P(\theta) para um único θ\theta em [0,2π)\ico{0}{2\pi}, que o cosseno e o seno, coordenadas de P(θ)P(\theta), são periódicos e cumprem a paridade e a cofunção, e que são estritamente monótonos em seus intervalos principais. Admitido sem demonstração nesta unidade.
  • BFunções inversas. O arco seno, o arco cosseno e o arco tangente dão, em seus intervalos principais, o único ângulo que tem um seno, um cosseno ou uma tangente dados; demonstrado na unidade sobre as funções trigonométricas e as coordenadas polares. Admitido sem demonstração nesta unidade.
  • CCoordenadas polares. Um ponto de coordenadas polares (r,φ)(r, \varphi) tem coordenadas cartesianas x=rcos⁡φx = r \cos \varphi e y=rsin⁡φy = r \sin \varphi, e a distância entre (r1,θ1)(r_1, \theta_1) e (r2,θ2)(r_2, \theta_2) cumpre d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2); demonstrado na unidade sobre as funções trigonométricas e as coordenadas polares. Admitido sem demonstração nesta unidade.
  • DGeometria analítica do plano. A fórmula da distância, a distância de um ponto a uma reta, o teorema dos semiplanos, o produto escalar com a desigualdade de Cauchy-Schwarz e o ângulo entre dois vetores, e a classificação das cônicas de eixos paralelos aos coordenados; demonstrados no curso I, na unidade sobre a geometria analítica do plano, e na aula sobre a resolução de triângulos. Admitido sem demonstração nesta unidade.
  • EÁlgebra e aritmética prévias. A fatoração de polinômios, o teorema do fator e a divisão sintética, os quadros de sinais, as somas telescópicas e o lema de Euclides; demonstrados no curso I, nas unidades sobre os números naturais e sobre as funções algébricas e os polinômios. Admitido sem demonstração nesta unidade.
  • FIdentidade pitagórica. Para todo θ\theta vale sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, e, em seus domínios, 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta e 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta. Estabelecido em: 2. Identidades fundamentais.
  • GFórmulas de adição e subtração. Para todos os reais α\alpha e β\beta valem cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta e sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, e as da diferença, que resultam de trocar β\beta por −β-\beta. Estabelecido em: 6. Fórmulas de adição e subtração.
  • HGeometria euclidiana. Admitem-se da geometria euclidiana, como na unidade do curso I sobre a geometria analítica do plano, o teorema de Pitágoras e sua recíproca, a igualdade dos ângulos correspondentes que uma secante forma com duas paralelas e a soma π\pi dos ângulos de um triângulo; deles se deduzem a igualdade dos ângulos opostos pelo vértice e a dos alternos entre paralelas. Admitido sem demonstração nesta unidade.

  1. Trecho 1 A linguagem: as identidades e sua demonstração

    • Definir a identidade como uma igualdade que vale em todo o domínio comum de seus membros, e distingui-la da equação.
    • Reunir as identidades recíprocas, de quociente, pitagóricas, de paridade e de cofunção.
    • Demonstrar identidades sem partir do que se quer demonstrar, e refutar as falsas com um contraexemplo.
    • Transformar raízes mediante substituições e reconhecer a elipse e a hipérbole em suas parametrizações trigonométricas.

    1. Identidade e sua demonstração. Uma identidade é uma igualdade que vale em todo o domínio comum de seus dois membros; demonstra-se transformando um membro no outro, ou ambos numa mesma expressão, sem partir dela, e refuta-se com um único contraexemplo.

      Demonstrado em: Identidades trigonométricas fundamentais.

    2. Identidades fundamentais. No domínio comum de cada uma valem as identidades recíprocas, as de quociente e as pitagóricas; o seno, a tangente, a cossecante e a cotangente são ímpares, o cosseno e a secante são pares, e cada função de π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta é sua cofunção de θ\theta.

      Usa: 1. Identidade e sua demonstração. Apoia-se em: A (Circunferência unitária). Demonstrado em: Identidades trigonométricas fundamentais.

    3. Substituições trigonométricas. Se θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x, então 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta; se θ=arctan⁡x\theta = \arctan x, então 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta; e se x≥1x \geq 1 e θ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x}, então x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta.

      Usa: 2. Identidades fundamentais. Apoia-se em: F (Identidade pitagórica), B (Funções inversas). Demonstrado em: Identidades trigonométricas fundamentais.

    4. Elipse e hipérbole paramétricas. Quando tt percorre [0,2π)\ico{0}{2\pi}, o ponto (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t) percorre uma só vez a elipse x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1; e o ponto (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t) percorre uma só vez o ramo direito da hipérbole x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 quando tt percorre (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, e o esquerdo quando percorre (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}.

      Usa: 2. Identidades fundamentais. Apoia-se em: A (Circunferência unitária), F (Identidade pitagórica). Demonstrado em: Identidades trigonométricas fundamentais.

  2. Trecho 2 A fórmula do cosseno da diferença e suas consequências

    • Demonstrar o cosseno da diferença calculando de duas maneiras uma corda da circunferência unitária.
    • Deduzir dele o cosseno e o seno da soma e da diferença, e a tangente da soma.
    • Obter as fórmulas do ângulo duplo, de redução de potências, do ângulo metade e do ângulo triplo.
    • Expressar o seno e o cosseno como frações racionais de t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, parametrizar racionalmente a circunferência e gerar todas as ternas pitagóricas.

    1. Cosseno da diferença. Para todos os reais α\alpha e β\beta vale cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta, porque a corda que une P(α)P(\alpha) a P(β)P(\beta) mede o mesmo calculada em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares.

      Apoia-se em: C (Coordenadas polares), D (Geometria analítica do plano), F (Identidade pitagórica). Demonstrado em: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.

    2. Fórmulas de adição e subtração. Com a paridade e a cofunção obtêm-se cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta e o seno da diferença; e, se as tangentes de α\alpha e β\beta estão definidas e tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1, então tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}.

      Usa: 2. Identidades fundamentais, 5. Cosseno da diferença. Demonstrado em: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.

    3. Ângulo duplo. Valem sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta, cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta e, onde está definida, tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}.

      Apoia-se em: G (Fórmulas de adição e subtração), F (Identidade pitagórica). Demonstrado em: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.

    4. Redução de potências e ângulo metade. Valem cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} e sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}; delas, o seno e o cosseno de θ2\frac{\theta}{2} são as raízes de 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2} e de 1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2} com o sinal de seu quadrante, e tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} se cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1.

      Usa: 7. Ângulo duplo. Apoia-se em: F (Identidade pitagórica). Demonstrado em: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.

    5. Ângulo triplo. Para todo real θ\theta valem cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta e sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta.

      Usa: 7. Ângulo duplo. Apoia-se em: F (Identidade pitagórica), G (Fórmulas de adição e subtração). Demonstrado em: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.

    6. Tangente do ângulo metade. Se θ\theta não é múltiplo ímpar de π\pi e t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, então sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2} e cos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.

      Usa: 7. Ângulo duplo. Apoia-se em: F (Identidade pitagórica). Demonstrado em: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.

    7. Parametrização racional. A reta de coeficiente angular tt que passa por (−1,0)(-1, 0) corta de novo a circunferência unitária em (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right); todo outro ponto da circunferência se obtém assim para um único tt, e é racional se e somente se tt o é.

      Usa: 10. Tangente do ângulo metade. Apoia-se em: E (Álgebra e aritmética prévias). Demonstrado em: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.

    8. Ternas pitagóricas. As ternas pitagóricas primitivas com bb par são exatamente a=m2−n2a = m^2 - n^2, b=2mnb = 2mn e c=m2+n2c = m^2 + n^2, com m>nm > n, mdc⁡(m,n)=1\operatorname{mdc}(m, n) = 1 e m−nm - n ímpar.

      Usa: 11. Parametrização racional. Apoia-se em: E (Álgebra e aritmética prévias). Demonstrado em: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade.

  3. Trecho 3 As transformações e a forma harmônica

    • Converter produtos em somas e somas em produtos, somando e subtraindo as fórmulas de adição e subtração.
    • Escrever toda combinação asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x como uma só onda Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) e obter seu conjunto imagem.
    • Compor oscilações de igual frequência e explicar os batimentos.
    • Somar senos e cossenos em progressão aritmética mediante uma soma telescópica.

    1. De produto em soma. Vale sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), e do mesmo modo cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta, cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta e sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta são semissomas ou semidiferenças dos senos ou dos cossenos de α+β\alpha + \beta e de α−β\alpha - \beta.

      Apoia-se em: G (Fórmulas de adição e subtração). Demonstrado em: Transformação de somas em produtos e a forma harmônica.

    2. De soma em produto. Para todos os reais pp e qq vale sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}, com fórmulas análogas para sin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q, cos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q e cos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q; disso se seguem os batimentos de sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx).

      Usa: 13. De produto em soma. Demonstrado em: Transformação de somas em produtos e a forma harmônica.

    3. Forma harmônica. Se aa e bb não são ambos nulos e R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}, existe um único φ\varphi em [0,2π)\ico{0}{2\pi} tal que asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi) para todo xx; essa forma é única, e a função tem conjunto imagem [−R,R]\icc{-R}{R}.

      Apoia-se em: A (Circunferência unitária), D (Geometria analítica do plano), F (Identidade pitagórica), G (Fórmulas de adição e subtração). Demonstrado em: Transformação de somas em produtos e a forma harmônica.

    4. Superposição de oscilações. Salvo se se cancelarem, as oscilações A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1) e A2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2) somam uma oscilação da mesma frequência, cuja amplitude cumpre A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2).

      Usa: 5. Cosseno da diferença, 15. Forma harmônica. Apoia-se em: F (Identidade pitagórica), G (Fórmulas de adição e subtração). Demonstrado em: Transformação de somas em produtos e a forma harmônica.

    5. Somas em progressão aritmética. Se xx não é múltiplo inteiro de 2π2\pi, vale ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}, e a soma dos cossenos se obtém com cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2} no lugar de sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2}.

      Usa: 13. De produto em soma, 14. De soma em produto. Apoia-se em: E (Álgebra e aritmética prévias). Demonstrado em: Transformação de somas em produtos e a forma harmônica.

  4. Trecho 4 As equações e as inequações

    • Obter as soluções gerais de sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c e tan⁡x=c\tan x = c a partir das funções inversas e da periodicidade.
    • Reduzir as demais equações às elementares por identidades, fatoração, igualdade de dois senos ou de dois cossenos e forma harmônica.
    • Não perder soluções ao dividir nem acrescentá-las ao elevar ao quadrado.
    • Resolver inequações em uma volta, com a circunferência unitária ou com quadros de sinais, e estendê-las periodicamente.

    1. Soluções gerais. Se ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1, as soluções de sin⁡x=c\sin x = c são arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi e π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi, e as de cos⁡x=c\cos x = c, arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi e −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi; para todo real cc, as de tan⁡x=c\tan x = c são arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi, com kk inteiro.

      Usa: 2. Identidades fundamentais. Apoia-se em: A (Circunferência unitária), B (Funções inversas). Demonstrado em: Equações e inequações trigonométricas.

    2. Igualdade de senos e de cossenos. Vale sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B se e somente se A=B+2kπA = B + 2k\pi ou A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi, e cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B se e somente se A=B+2kπA = B + 2k\pi ou A=−B+2kπA = -B + 2k\pi, para algum inteiro kk; duas tangentes definidas são iguais se e somente se A=B+kπA = B + k\pi.

      Usa: 14. De soma em produto. Apoia-se em: A (Circunferência unitária), G (Fórmulas de adição e subtração). Demonstrado em: Equações e inequações trigonométricas.

    3. Equações polinomiais e homogêneas. A equação P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0 equivale às equações sin⁡x=r\sin x = r para as raízes reais rr de PP; uma equação homogênea em sin⁡x\sin x e cos⁡x\cos x se reduz a uma polinomial em tan⁡x\tan x examinando separadamente os zeros do cosseno; e toda solução obtida ao elevar ao quadrado deve ser verificada.

      Usa: 18. Soluções gerais. Apoia-se em: E (Álgebra e aritmética prévias). Demonstrado em: Equações e inequações trigonométricas.

    4. Equação linear em seno e cosseno. A equação asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c tem solução se e somente se c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2, e então suas soluções são −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi e π−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi, onde RR e φ\varphi são os da forma harmônica.

      Usa: 15. Forma harmônica, 18. Soluções gerais. Demonstrado em: Equações e inequações trigonométricas.

    5. Inequações. Se −1<c<1-1 < c < 1 e β=arccos⁡c\beta = \arccos c, vale cos⁡x>c\cos x > c se e somente se −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi para algum inteiro kk, e o análogo vale para o seno; os produtos e quocientes de fatores trigonométricos se resolvem com um quadro de sinais em uma volta.

      Usa: 18. Soluções gerais. Apoia-se em: A (Circunferência unitária), B (Funções inversas), E (Álgebra e aritmética prévias). Demonstrado em: Equações e inequações trigonométricas.

  5. Trecho 5 A geometria analítica: retas e cônicas

    • Medir o ângulo entre duas retas com a tangente da diferença e com o produto escalar.
    • Obter as bissetrizes de duas retas e o incentro de um triângulo.
    • Modelar alturas inacessíveis, o movimento harmônico, o alcance de um projétil e a reflexão da luz.
    • Deduzir as fórmulas de rotação, eliminar o termo em xyxy e classificar toda equação do segundo grau pelo sinal do discriminante.

    1. Ângulo entre retas. O coeficiente angular de uma reta não vertical é a tangente de sua inclinação; duas retas de coeficientes angulares m1m_1 e m2m_2 são perpendiculares se e somente se 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0, e, se não o são, o ângulo θ\theta entre elas cumpre tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}, de acordo com a fórmula do produto escalar de seus vetores diretores.

      Usa: 5. Cosseno da diferença, 6. Fórmulas de adição e subtração. Apoia-se em: B (Funções inversas), D (Geometria analítica do plano), F (Identidade pitagórica), H (Geometria euclidiana). Demonstrado em: O ângulo entre duas retas e aplicações da trigonometria.

    2. Bissetrizes e incentro. Os pontos equidistantes de duas retas concorrentes formam duas retas perpendiculares entre si, as bissetrizes, cada uma das quais divide ao meio um par distinto de ângulos opostos pelo vértice; e as três bissetrizes internas de um triângulo, cada uma das quais corta o lado oposto, cortam-se num ponto interior, o incentro, centro da circunferência inscrita.

      Usa: 8. Redução de potências e ângulo metade. Apoia-se em: D (Geometria analítica do plano), H (Geometria euclidiana). Demonstrado em: O ângulo entre duas retas e aplicações da trigonometria.

    3. Alcance de um projétil. Admitidas da física as equações do movimento, que combinam um avanço horizontal uniforme com uma queda uniformemente acelerada, o alcance de um projétil lançado com rapidez vv e elevação θ\theta é v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}; é máximo para θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, e cada alcance menor se obtém com exatamente dois ângulos, que são complementares.

      Usa: 18. Soluções gerais, 7. Ângulo duplo. Demonstrado em: O ângulo entre duas retas e aplicações da trigonometria.

    4. Fórmulas de rotação. Se os eixos giram de um ângulo θ\theta, as novas coordenadas são X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta e Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta, e a distância entre dois pontos não muda.

      Apoia-se em: A (Circunferência unitária), C (Coordenadas polares), F (Identidade pitagórica), G (Fórmulas de adição e subtração). Demonstrado em: Rotação de eixos e a equação geral do segundo grau.

    5. Coeficientes depois da rotação. Ao girar os eixos, a equação Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 conserva seu termo independente, e seu novo coeficiente de XYXY é B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta.

      Usa: 26. Fórmulas de rotação, 7. Ângulo duplo. Demonstrado em: Rotação de eixos e a equação geral do segundo grau.

    6. Eliminação do termo em xy. Se B≠0B \neq 0, existe um único ângulo θ\theta em (0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}} cuja rotação anula B1B_1: o que cumpre cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}.

      Usa: 27. Coeficientes depois da rotação. Apoia-se em: B (Funções inversas). Demonstrado em: Rotação de eixos e a equação geral do segundo grau.

    7. Invariantes da rotação. Para todo ângulo de rotação valem A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C e B12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC.

      Usa: 27. Coeficientes depois da rotação, 7. Ângulo duplo. Apoia-se em: F (Identidade pitagórica). Demonstrado em: Rotação de eixos e a equação geral do segundo grau.

    8. Classificação pelo discriminante. Se AA, BB e CC não são todos nulos e Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC, a equação representa uma elipse, um ponto ou nenhum ponto se Δ<0\Delta < 0; uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou nenhum ponto se Δ=0\Delta = 0; e uma hipérbole ou duas retas concorrentes se Δ>0\Delta > 0.

      Usa: 26. Fórmulas de rotação, 28. Eliminação do termo em xy, 29. Invariantes da rotação. Apoia-se em: D (Geometria analítica do plano). Demonstrado em: Rotação de eixos e a equação geral do segundo grau.

Rumo aos complexos na forma polar. Ao multiplicar cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha por cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta aparecem o cosseno e o seno de α+β\alpha + \beta: as fórmulas de adição e subtração são a regra de multiplicação dos números complexos, e a próxima unidade as reúne numa só, a fórmula de De Moivre.