انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

دوران المحاور والمعادلة العامة من الدرجة الثانية

ملخص

يُكمل هذا الدرس دراسة القطوع المخروطية بالحالة التي بقيت معلّقة: معادلة الدرجة الثانية التي تحوي حدًّا في xyxy. ويستنتج، بالإحداثيات القطبية وبصيغ الفرق، كيف تتغيّر إحداثيات نقطة عندما تدور المحاور بزاوية θ\theta، ويبرهن أن الدوران يحفظ المسافات، فلا يغيّر شكل أي رسم. ويحسب معاملات المعادلة العامة بعد الدوران، ويبرهن أن الزاوية التي تحقّق cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} تحذف الحد الذي يحوي xyxy، وأن المجموع A+CA + C والمميز B2−4ACB^2 - 4AC لا يتغيّران بالدوران. ومن ذلك يلزم تصنيف جميع معادلات الدرجة الثانية بحسب إشارة المميز: قطوع ناقصة وقطوع مكافئة وقطوع زائدة، مع حالاتها المنحلة. ويختم بالتعرّف، بوصفها قطوعًا مخروطية مدوَّرة، على القطع الزائد xy=1xy = 1 وعلى قطع ناقص وقطع مكافئ محاورها مائلة.

أهداف التعلم

  1. استنتاج الصيغ التي تربط إحداثيات نقطة في نظامين ديكارتيين يختلفان بدوران، والبرهنة على أن الدوران يحفظ المسافات.
  2. حساب معاملات معادلة من الدرجة الثانية بعد دوران، واختيار الزاوية التي تحذف الحد الذي يحوي xyxy.
  3. البرهنة على أن A+CA + C وB2−4ACB^2 - 4AC لا متغيِّران بالدوران، واستعمالهما للحصول على الشكل المختصر دون تعويض.
  4. تصنيف معادلة عامة من الدرجة الثانية بحسب إشارة مميزها، وإيجاد عناصرها في الإحداثيات المدوَّرة، والتعبير عنها في الإحداثيات الأصلية.

دوران المحاور

في درس القطوع المخروطية من دورة الجبر والهندسة 1 بُرهن على أن كل معادلة من الدرجة الثانية لا تحوي حدًّا في xyxy تمثّل قطعًا مكافئًا أو قطعًا ناقصًا أو قطعًا زائدًا أو إحدى حالاتها المنحلة، ومحاور تناظرها موازية لمحوري الإحداثيات. غير أن قطعًا ناقصًا يقع محوره الأكبر على المستقيم y=xy = x له أيضًا معادلة من الدرجة الثانية، ويظهر فيها حدّ في xyxy. وللتعرّف عليه يحسن اختيار نظام آخر من المحاور، مدوَّر بالنسبة إلى الأول، يستعيد فيه المنحنى شكله القانوني. وتدرس هذه الفقرة كيف تتغيّر إحداثيات نقطة عند تدوير المحاور.

ليكن نظام ديكارتي محوراه xx وyy، كالذي في درس معادلة المستقيم وأنظمة الإحداثيات الديكارتية من دورة الجبر والهندسة 1، وليكن θ\theta عددًا حقيقيًا. النظام المدوَّر بالزاوية θ\theta هو النظام الديكارتي الذي له الأصل نفسه ووحدة الطول نفسها، ونصف محور سيناته الموجب هو نصف المستقيم الذي ينطلق من الأصل بزاوية θ\theta في الوضع القياسي، ونصف محور صاداته الموجب هو نصف المستقيم ذو الزاوية θ+π2\theta + \frac{\pi}{2}. وتُكتب الإحداثيات الجديدة بحروف كبيرة: للنقطة نفسها PP الإحداثيات (x,y)(x, y) في النظام الأصلي و(X,Y)(X, Y) في النظام المدوَّر. ولأن للنظامين التوجيه نفسه، تُعرَّف في النظام المدوَّر أيضًا إحداثيات قطبية، لها القطب نفسه، ويكون فيها نصف المحور الموجب لـXX هو المحور القطبي.

مبرهنةصيغ الدوران

إذا كانت لنقطة الإحداثيات (x,y)(x, y) في نظام ديكارتي والإحداثيات (X,Y)(X, Y) في النظام المدوَّر بالزاوية θ\theta، فإن إحداثياتها الجديدة تُستخرج من الأصلية، والأصلية من الجديدة، بالصيغ الآتية.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

الفكرة أن تدوير المحاور، في الإحداثيات القطبية، لا يغيّر البعد عن القطب، وإنما يُنقص الزاوية القطبية بمقدار θ\theta؛ وصيغ المجموع والفرق، المبرهنة في درس صيغ المجموع والفرق، تتكفّل بالباقي.

البرهان

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    إذا كانت PP هي الأصل، فإحداثياتها منعدمة في النظامين والصيغ متحقّقة. وإن لم تكن كذلك، نأخذ تمثيلًا قطبيًا (r,φ)(r, \varphi) مع r>0r > 0 بالنسبة إلى المحور القطبي الأصلي، كما في درس الإحداثيات القطبية.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    في النظام المدوَّر القطب هو نفسه، فيبقى بعد PP عن القطب مساويًا لـrr. لتكن ψ\psi زاوية قطبية لـPP في النظام المدوَّر. على دائرة الوحدة يمرّ المحور القطبي الجديد بـP(θ)P(\theta)؛ والسير من هناك على قوس ψ\psi يوصل، بخاصية التعاقب في مسلّمة السير على الدائرة من درس الزوايا وقياسها، إلى P(θ+ψ)P(\theta + \psi)، التي يجب أن تكون النقطة P(φ)P(\varphi) من نصف المستقيم الذي يذهب من القطب إلى PP. وبحسب توطئة الزوايا المشتركة في الضلع النهائي، تختلف θ+ψ\theta + \psi وφ\varphi بمضاعف لـ2π2\pi، فيمكن أن نأخذ ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    نفكّ جيب تمام الفرق ونتعرّف في كل حدّ على الإحداثيات الأصلية.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    وبالطريقة نفسها مع جيب الفرق.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    وبالعكس، الزاوية الأصلية هي المجموع φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta؛ وصيغ المجموع تعطي الإحداثيات الأصلية بدلالة الجديدة.

للزوجين من الصيغ البنية نفسها: يُحصل على الثاني من الأول بأن يُكتب في موضع θ\theta العدد −θ-\theta، لأن النظام الأصلي هو الذي ينتج من تدوير الجديد بالزاوية −θ-\theta. فمثلًا، عندما θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}، يكون للنقطة (1,1)(1, 1) الإحداثيان الجديدان X=2X = \sqrt{2} وY=0Y = 0: فهي على محور السينات الجديد، على بعد 2\sqrt{2} من الأصل. وينبغي ألّا يُخلط بين تدوير المحاور وتدوير النقاط: تدوير المحاور بالزاوية θ\theta يترك النقاط في أماكنها ويغيّر أسماءها، والنتيجة هي نفسها كما لو تُركت المحاور في أماكنها ودُوِّر المستوى كله بالزاوية −θ-\theta.

توطئةالدوران يحفظ المسافات

المسافة بين نقطتين، محسوبةً بإحداثياتهما في النظام المدوَّر، تساوي المسافة المحسوبة بإحداثياتهما الأصلية.

لوحظت هذه الحقيقة من قبلُ في درس الإحداثيات القطبية: المسافة بين نقطتين لا تتعلّق بزاويتيهما القطبيتين إلا من خلال الفرق بينهما، وتدوير المستوى هو إضافة ثابت إلى هاتين الزاويتين. وهنا يُتحقّق منها مباشرة في الإحداثيات الديكارتية، بصيغ الدوران وبالمتطابقة الفيثاغورية من درس النسب المثلثية.

البرهان

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    لتكن P1P_1 وP2P_2 نقطتين، إحداثياتهما (x1,y1)(x_1, y_1) و(x2,y2)(x_2, y_2) في النظام الأصلي و(X1,Y1)(X_1, Y_1) و(X2,Y2)(X_2, Y_2) في النظام المدوَّر. نطرح صيغتي الدوران المكتوبتين لكل نقطة، مع u=x1−x2u = x_1 - x_2 وv=y1−y2v = y_1 - y_2.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    نربّع ونجمع. يحذف الضعفان للجداءين، 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta و−2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta، أحدهما الآخر.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    بحسب المتطابقة الفيثاغورية، كل قوس يساوي 11، ويبقى مربع المسافة الأصلية.

للتوطئة نتيجة تسوّغ كل ما يلي. فقد عُرِّف القطع المكافئ والقطع الناقص والقطع الزائد في دروس سبقت بخواص المسافات إلى البؤر والمستقيمات الدليلة؛ ولأن الدوران يحفظ المسافات، فإن منحنى هو في النظام المدوَّر قطع ناقص نصفا محوريه aa وbb هو، منظورًا إليه في النظام الأصلي، قطع ناقص له نصفا المحورين نفساهما، وإن كانت محاور تناظره مائلة. ويصحّ الأمر نفسه في القطوع المخروطية الأخرى، وفي بؤرها ورؤوسها ومقارباتها، التي تُنقل من نظام إلى آخر بصيغ الدوران.