Учебный план курса «Алгебра и геометрия II»

Цель и для кого курс

Этот курс составляет вторую половину пути, который начинается в курсе «Алгебра и геометрия I: числа, функции и геометрия плоскости». Курс I построил, исходя из аксиом Пеано, числовые системы вплоть до комплексных чисел в алгебраической форме, алгебру многочленов, действительные функции и их графики, аналитическую геометрию на плоскости с её векторами и коническими сечениями, а также показательную, логарифмическую и гиперболические функции. Курс II берёт эти объекты и ведёт их в три новые области: в тригонометрию, которая измеряет углы и превращает повороты в вычисление; в комплексные числа в тригонометрической форме, где это вычисление становится умножением; и в матрицы, которые упорядочивают линейные системы и преобразования и которые вместе с векторами служат основой аналитической геометрии в пространстве, которой курс завершается.

Его цель та же, что и у курса I: не только научить вычислять, но и показать, откуда берётся каждое вычисление. Каждый используемый результат формулируется и доказывается или явно объявляется принятым, когда его доказательство принадлежит другому курсу; так обстоит дело, например, с основной теоремой алгебры или со свойствами длины дуги, которые требуют математического анализа.

Курс адресован тому, кто завершил курс I или владеет его содержанием иным путём: учащимся последних классов школы, которые готовятся к поступлению в университет, студентам первого курса университета, изучающим естественные науки, инженерное дело, экономику или педагогику математики, и всякому, кто хочет строго восстановить математику, которую усвоил как набор рецептов. Если это так, курс считает известными полноту действительных чисел, исследование функций вместе с их обратными функциями и преобразованиями графиков, прямую, векторы и скалярное произведение на плоскости, конические сечения, показательную функцию и логарифм, а также арифметику комплексных чисел в алгебраической форме. Тот, кто сомневается в каком-либо из этих пунктов, может вернуться к обобщению соответствующего раздела курса I и решить его задачи повышенной трудности, прежде чем начать.

Вместе с тем курс занимает и промежуточное положение. Он служит пререквизитом курса «Математический анализ I: дифференциальное исчисление», который дифференцирует тригонометрические функции, исходя из неравенства $\sin x < x < \tan x$, доказанного в разделе 1, и который, в свою очередь, открывает путь к курсам «Основы механики» и «Математический анализ II: интегральное исчисление», где вновь появляются движение по окружности, тригонометрические подстановки и площади в полярных координатах.

Общие учебные цели

Перечисленные ниже цели описывают то, что должен уметь студент, завершивший курс. Каждая сформулирована как наблюдаемое действие, так что её можно проверить конкретным заданием; каждый урок, в свою очередь, объявляет собственные цели, а урок завершения показывает, урок за уроком, к какой из этих семи целей был отнесён каждый урок. Цели пронумерованы, чтобы на них можно было ссылаться в этом уроке.

1. Цель 1. Доказывать утверждения тригонометрии, алгебры комплексных чисел и матриц и аналитической геометрии с помощью явного дедуктивного рассуждения, применяя прямое доказательство, контрапозицию, доказательство от противного и индукцию, и различать в каждом доказательстве выведенное и принятое.
2. Цель 2. Применять тригонометрию к измерению углов и треугольников, исследовать тригонометрические функции и обратные к ним, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения и неравенства, указывая их общее решение, и описывать кривые в полярных координатах.
3. Цель 3. Изучать геометрию плоскости средствами курса: вычислять углы между прямыми, исключать поворотом осей смешанный член уравнения второй степени и классифицировать задаваемое им коническое сечение, а также выражать повороты, гомотетии, отражения и проекции с помощью тригонометрии, комплексных чисел и матриц.
4. Цель 4. Выполнять действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной форме, вычислять их степени и корни, геометрически истолковывать действия над ними и решать алгебраические уравнения в поле комплексных чисел.
5. Цель 5. Решать системы линейных уравнений с помощью матриц, методом Гаусса-Жордана, через ранг, определители и обратную матрицу, и распознавать в числовых системах, многочленах, матрицах и вычетах по модулю $n$ структуры группы, кольца и поля.
6. Цель 6. Задавать точки, векторы, прямые и плоскости пространства координатами и уравнениями, выполнять действия со скалярным, векторным и смешанным произведениями и вычислять с их помощью углы, расстояния, площади и объёмы, устанавливая взаимное расположение прямых и плоскостей с помощью линейных систем.
7. Цель 7. Математически моделировать ситуации из науки, техники и повседневной жизни средствами курса и излагать письменно постановки задач, вычисления и доказательства с правильной записью, полной аргументацией и контролем правдоподобия результатов.

Цели со 2 по 6 соответствуют в основном крупным темам курса: цель 2 разделам 1 и 2, цель 4 разделу 3, цель 5 разделу 4 и цель 6 разделу 5, тогда как цель 3 собирает нить, которая проходит через разделы с 1 по 4: геометрию плоскости, рассматриваемую последовательно с помощью синусов и косинусов, комплексных чисел и матриц. Первая и седьмая цели, напротив, сквозные: они не принадлежат какому-либо одному разделу, а отрабатываются во всех. Отсюда следует, что их достижение нельзя приписать определённому уроку и что их стоит развивать на протяжении всего курса. Вместе с тем у обеих есть и уроки, которые служат им главным образом: у первой это обобщения, чьё центральное звено восстанавливает дедуктивную цепь каждого раздела; у седьмой это уроки, в которых постановка задач и есть сам предмет, урок об угле между двумя прямыми и его приложениях и урок о линейных системах.

Содержание

Курс состоит из семи разделов. Первый и последний обрамляют весь путь; пять промежуточных развивают содержание. Каждый из них открывается вводным уроком, который представляет его уроки, историческую предысторию его идей, задачу, из которой они родились, и их значение, и закрывается уроком обобщения, который восстанавливает дедуктивную цепь раздела, связывает её с остальным курсом и с курсом I и предлагает десять задач повышенной трудности, превосходящих по сложности задачи уроков.

Раздел 0. Знакомство с курсом

Он состоит из этого урока, который устанавливает цель, общие цели, содержание, трудоёмкость и устройство курса.

Раздел 1. Тригонометрические функции и полярные координаты

Его цель состоит в том, чтобы определить тригонометрические функции на единичной окружности, исследовать их графики и обратные к ним функции, решать треугольники и описывать кривые в полярных координатах.

1. Тригонометрические функции и полярные координаты: введение.
2. Углы и их измерение: градусы и радианы.
3. Тригонометрические отношения и единичная окружность.
4. Тригонометрические функции и их графики.
5. Обратные тригонометрические функции.
6. Решение треугольников: теоремы синусов и косинусов.
7. Полярные координаты и кривые в полярных координатах.
8. Тригонометрические функции и полярные координаты: итоги и задачи.

Раздел 2. Аналитическая тригонометрия

Его цель состоит в том, чтобы превратить тригонометрические функции в алгебраическое исчисление, с тождествами, формулами сложения, уравнениями и неравенствами, и применить его к углам между прямыми и к коническим сечениям с наклонными осями.

1. Аналитическая тригонометрия: введение.
2. Основные тригонометрические тождества.
3. Формулы сложения, двойного и половинного угла.
4. Преобразование сумм в произведения и гармоническая форма.
5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
6. Угол между двумя прямыми и приложения тригонометрии.
7. Поворот осей и общее уравнение второй степени.
8. Аналитическая тригонометрия: итоги и задачи.

Раздел 3. Комплексные числа в тригонометрической форме

Его цель состоит в том, чтобы описывать каждое комплексное число его модулем и аргументом, так чтобы произведение читалось как поворот с растяжением, степени как кратные угла, а корни как правильные многоугольники, и решать с помощью этого алгебраические уравнения. Он возвращается к комплексным числам в алгебраической форме, построенным в разделе 2 курса I.

1. Комплексные числа в тригонометрической форме: введение.
2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
3. Формула Муавра и степени комплексных чисел.
4. Корни n-й степени из комплексного числа и корни из единицы.
5. Комплексная экспонента и формула Эйлера.
6. Геометрия с комплексными числами.
7. Уравнения в комплексных числах: формулы Кардано и Феррари.
8. Комплексные числа в тригонометрической форме: итоги и задачи.

Раздел 4. Матрицы и алгебраические структуры

Его цель состоит в том, чтобы сделать таблицу коэффициентов линейной системы объектом с собственными операциями, решать с её помощью системы, читать матрицы как преобразования и свести то общее, что есть в вычислениях обоих курсов, к понятиям группы, кольца и поля.

1. Матрицы и алгебраические структуры: введение.
2. Матрицы и операции над матрицами.
3. Линейные системы и метод Гаусса-Жордана.
4. Определители: свойства и правило Крамера.
5. Обратная матрица.
6. Матрицы как преобразования плоскости.
7. Комплексные числа как матрицы.
8. Алгебраические структуры: группы, кольца и поля.
9. Матрицы и алгебраические структуры: итоги и задачи.

Раздел 5. Аналитическая геометрия в пространстве

Его цель состоит в том, чтобы распространить на пространство аналитическую геометрию на плоскости, изученную в разделе 4 курса I: описывать точки и векторы тремя координатами, исходя из явного списка принимаемых фактов евклидовой геометрии пространства; измерять длины и углы с помощью скалярного произведения, доказывая, что определённый так угол совпадает с углом элементарной геометрии; получить из определителя третьего порядка векторное и смешанное произведения с их истолкованием как площади, как объёма и как признака компланарности; записывать прямые и плоскости уравнениями и устанавливать их взаимное расположение с помощью ранга и теоремы Кронекера-Капелли из раздела 4; вычислять расстояния, углы, проекции и общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых, с приложениями к механике, кристаллографии, аэронавигации и спутниковому позиционированию. Раздел изучает сферу, но не остальные поверхности второго порядка (эллипсоиды, параболоиды, гиперболоиды, конусы и цилиндры второго порядка), которые в этом курсе не рассматриваются; при нынешней организации сайта их изучение относится к курсу «Математический анализ III».

1. Аналитическая геометрия в пространстве: введение.
2. Векторы в пространстве и скалярное произведение.
3. Векторное и смешанное произведения.
4. Прямые и плоскости в пространстве.
5. Расстояния, углы и объёмы в пространстве.
6. Аналитическая геометрия в пространстве: итоги и задачи.

Раздел 6. Завершение курса

Он состоит из урока Итоговый обзор курса «Алгебра и геометрия II», который напоминает семь общих целей и показывает на рисунке, к какой из них был отнесён каждый урок курса и каких конкретных целей достиг каждый раздел, а также сводит по целям первую попытку итоговых проверок.

Трудоёмкость и кредиты

Трудоёмкость курса измеряется не часами изложения, которых в асинхронном курсе нет, а всей работой студента: чтением, разбором доказательств, решением задач и повторением. Оценка учитывает время чтения текста каждого урока, двадцать минут на решённую задачу, тридцать пять на предложенную задачу, сорок пять на задачу повышенной трудности и двенадцать на входную или итоговую проверку и добавляет запас в одну десятую на повторение.

Результаты

Уроки разделов с 1 по 5 содержат в совокупности $145$ решённых задач, $145$ предложенных задач и $50$ задач повышенной трудности. Оценочная трудоёмкость по разделам, округлённая до часа, такова:

• Раздел 0, знакомство с курсом: $1$ час.
• Раздел 1, тригонометрические функции и полярные координаты: $46$ часов.
• Раздел 2, аналитическая тригонометрия: $46$ часов.
• Раздел 3, комплексные числа в тригонометрической форме: $46$ часов.
• Раздел 4, матрицы и алгебраические структуры: $54$ часа.
• Раздел 5, аналитическая геометрия в пространстве: $36$ часов.
• Раздел 6, завершение курса: меньше одного часа.

Раздел 5 самый короткий по числу уроков, но четыре его содержательных урока относятся к самым объёмным в курсе. Всего получается около $230$ часов работы студента. Эту цифру стоит понимать как то, что она есть: оценку для студента, который изучает все доказательства и решает все задачи, включая задачи повышенной трудности. Тот, кто уже владеет каким-то из разделов содержания или ограничивается предложенными задачами, не берясь за задачи повышенной трудности, потратит заметно меньше; тот, кто изучает тему впервые и без привычки доказывать, может потратить больше.

Однако цифра в $230$ часов номинальна: именно она определяет кредиты курса, и она предполагает чтение текста в постоянном темпе и три четверти часа на каждую задачу повышенной трудности. Пока она не измерена на реальных студентах, её стоит сопровождать реалистичным диапазоном. Если бы чтение шло вдвое медленнее предполагаемого темпа, как бывает, когда каждое доказательство переписывается на бумаге карандашом, и каждая задача повышенной трудности требовала семидесяти пяти минут вместо сорока пяти, тот же метод дал бы около $298$ часов. Следовательно, ожидаемая трудоёмкость лежит в пределах примерно от $230$ до $300$ часов. Верхняя граница является осторожной оценкой сверху, а не измерением; диапазон будет уточнён, когда станет известно время, которое тратят изучающие курс, а до тех пор кредиты вычисляются по номинальной цифре.

Рекомендуемый темп

Чтобы назвать темпы, этот план и план курса I используют один и тот же критерий: полная занятость соответствует учебному году в $60$ кредитов, около $1650$ часов, распределённых примерно на сорок недель, то есть около $40$ часов в неделю, а неполная занятость составляет половину, около $20$ часов в неделю. Отсюда следует рекомендуемый темп в один семестр из шестнадцати недель, примерно по $14$ часов занятий в неделю, немногим больше трети полной занятости и, следовательно, меньше неполной занятости; с учётом реалистичного диапазона, от $14$ до $19$ часов в неделю, он приближается к неполной занятости, не достигая её. Таким образом, курсы I и II занимают два семестра подряд. Более свободный темп, примерно по $7$ часов в неделю, растягивает курс на два семестра; интенсивный, примерно по $29$ часов в неделю, немногим меньше трёх четвертей полной занятости, позволяет пройти его за восемь недель, что соответствует нагрузке студента, не изучающего в тот же период никакого другого трудного предмета.

Кредиты

Кредиты этого сайта измеряют всю работу, которой курс требует от того, кто его изучает (чтение, задачи, в том числе повышенной трудности, и повторение), а не часы занятий. Один кредит соответствует примерно $27{,}5$ часа работы, а год при полной занятости равен $60$ кредитам, то есть примерно $1650$ часам; это тот же критерий, по которому предыдущий пункт называет темпы занятий.

Однако если разделить $230$ оценочных часов на $27{,}5$, получается 8,4, что округляется до $8$. Если допустить для кредита диапазон от $25$ до $30$ часов работы, то число $C$ кредитов курса ограничено пределами от 7,7 до 9,2:

Следовательно, курс имеет $8$ кредитов, немногим больше восьмой доли учебного года полной занятости. Тот, кто хочет изучить лишь некоторые разделы курса, может воспользоваться списком часов по разделам: разделы с 0 по 4, например, в сумме дают около $193$ часов, то есть около $7$ кредитов.

Их польза практическая: они позволяют сравнивать между собой нагрузку курсов сайта и решать, сколько из них стоит изучать одновременно, не превышая доступного времени. Например, при неполной занятости в течение семестра из шестнадцати недель, то есть примерно за $320$ часов, можно взяться за курсы, которые в сумме составляют около $12$ кредитов; при полной занятости в тот же семестр, около $23$.

Эти кредиты являются собственной мерой сайта для планирования учёбы: они не соответствуют никакой официальной системе кредитов и не означают академического признания со стороны какого-либо учреждения.

Устройство курса

Форма обучения

Курс является асинхронным, дистанционным и проходится в собственном темпе: у него нет дат, занятий в прямом эфире и сроков, и каждый студент продвигается со скоростью, которую позволяют его подготовка и его время. Он предлагается на четырнадцати языках сайта, с одной и той же математикой во всех: формулы и шаги доказательств одинаковы в каждой версии, а переводится только текст. Уроки указывают, какие другие уроки стоит изучить прежде, в том числе уроки курса I, от которых они зависят, так что рекомендуемый порядок задан явно и может быть проверен.

Устройство урока

Все тематические уроки построены одинаково. Они начинаются с краткого содержания и списка собственных учебных целей, сформулированных как наблюдаемые действия. Затем идёт теория, с определениями, точно сформулированными теоремами и их доказательствами, и примеры. Доказательства и примеры подаются как проигрыватели шагов: каждый шаг записывает строку рассуждения, подсвечивает задействованные в нём члены и, когда опирается на ранее полученный результат, возвращается к нему и подсвечивает его, пока он читается, так что память рассуждения остаётся перед глазами; многие сопровождаются рисунком, который меняется с каждым шагом. Завершают урок пять решённых задач с пошаговым решением и пять предложенных задач, каждая со свёрнутой подсказкой и затем окончательным ответом, чтобы студент мог проверить свой результат, не узнавая пути решения; предложенные задачи на доказательство добавляют, в свёрнутом виде после ответа, подробное решение, которое стоит открывать только после того, как написано собственное.

Вводные уроки и уроки обобщения устроены по-своему. Введение представляет раздел, его историю, задачу, из которой он родился, и его значение; обобщение восстанавливает на рисунке дедуктивную цепь раздела, с результатами, которые оно использует повторно, и звеньями, которые оно доказывает, связывает её с предшествующими разделами и с курсом I и предлагает десять задач повышенной трудности, каждая с подсказкой, окончательным ответом и свёрнутым подробным решением, которые сочетают несколько уроков и требуют больше изобретательности, чем предложенные задачи.

Озвучивание текста

Каждый урок можно прослушать вслух с помощью озвучивания на сайте, которое использует голоса самого устройства: текст читается так, как написан, а формулы произносятся словами. Это позволяет повторять урок вдали от экрана, следить за доказательством на слух, глядя на проигрыватель шагов, и заниматься при нарушениях зрения.

Проверка

Курс не выставляет отметок и не выдаёт сертификата: проверка усвоенного на сайте носит формирующий характер. Предложенные задачи позволяют проверить достижение целей каждого урока, а задачи повышенной трудности позволяют проверить достижение целей каждого раздела. Кроме того, у каждого из пяти разделов есть входная проверка во введении и итоговая проверка в обобщении, перед задачами повышенной трудности: это короткие самопроверки, которые проверяются в браузере без выставления отметок; входная содержит девять или десять вопросов о разделе и ещё от двух до шести о том, что раздел считает известным из предшествующих разделов или из курса I, а итоговая содержит одиннадцать или двенадцать; обе указывают, какой урок повторить при каждой ошибке, и сравниваются между собой, чтобы показать продвижение. Итоговый обзор сводит первую попытку каждой итоговой проверки в профиль по общим целям, который, как и они, хранится только в браузере студента. Подтверждение умений, имеющее силу сертификата, будет проводиться позднее и вне этого сайта, на другой платформе.

Для общих целей предлагаются, кроме того, такие свидетельства достижения, которые каждый студент может получить самостоятельно:

• Цель 1: написать, не заглядывая в урок, доказательство какой-либо теоремы курса, например теоремы косинусов, формулы Муавра или единственности обратной матрицы.
• Цель 2: доказать нетривиальное тригонометрическое тождество и решить тригонометрическое уравнение, указав его общее решение.
• Цель 3: классифицировать коническое сечение, задаваемое уравнением второй степени со смешанным членом, повернув оси, и выразить поворот плоскости как умножение на комплексное число и как матрицу.
• Цель 4: вычислить корни $n$-й степени из комплексного числа, изобразить их на плоскости и решить кубическое уравнение по формуле Кардано.
• Цель 5: решить линейную систему с параметром, разбирая случаи по рангу, и установить, является ли данная структура группой, кольцом или полем.
• Цель 6: найти взаимное расположение двух прямых в пространстве и расстояние между ними, а также объём тетраэдра, заданного своими вершинами.
• Цель 7: написать полное решение задачи на моделирование, с постановкой, ходом решения, ответом и контролем правдоподобия, так чтобы другой человек мог проследить его без дополнительных объяснений.

Как изучать этот курс

Курс рассчитан на изучение по порядку. Каждый раздел предполагает предшествующие и курс I, и многие доказательства ссылаются на результаты прежних уроков того или другого курса; пропуск урока рано или поздно заставляет к нему вернуться.

В каждом разделе есть две контрольные точки. Входная проверка, в начале введения, является исходной точкой: на неё стоит ответить до изучения раздела, ничего не подглядывая, и отметить уроки, к которым отсылают ошибки, потому что именно они требуют наибольшего внимания. Итоговая проверка, в обобщении и перед задачами повышенной трудности, служит сопоставлением: на неё отвечают по окончании уроков, тоже ничего не подглядывая, и сравнивают её с входной, чтобы увидеть, что изменилось и какие уроки стоит повторить. В обеих засчитывается первая попытка: именно её сравнивают и именно её сводит профиль итогового обзора; дальнейшие делаются уже после того, как обратная связь просмотрена. Задачи повышенной трудности дополняют проверку знаний, потому что требуют сочетать и излагать письменно то, чего короткие вопросы лишь касаются. Отсюда следует, что тот, кто считает, что уже владеет разделом, не должен решать это по одному испытанию: если его итоговая проверка дала уверенный результат и он решает задачи повышенной трудности обобщения, он может перейти к очередному разделу; если нет, стоит пройти уроки, на которые указывают проверка и задачи.

В каждом уроке стоит сначала прочитать краткое содержание и цели, которые говорят, к чему он стремится; затем изучить теорию с бумагой и карандашом, стараясь предугадать каждый шаг доказательств прежде, чем его запишет проигрыватель; пытаться решить решённые задачи, прежде чем смотреть их решение, и решать предложенные задачи без помощи, открывая подсказку только тогда, когда попытка исчерпана, а ответ только в конце, для проверки. Задача, ответ на которую был подсмотрен до попытки, не решена, а прочитана.

Задачи повышенной трудности сложнее задач уроков, и это нормально, что некоторые из них требуют нескольких попыток в разные дни. Не стоит бесконечно задерживаться на одной: отметить её, продолжить двигаться вперёд и вернуться к ней позже часто оказывается самым коротким путём. Однако оценочная трудоёмкость предполагает, что за каждую из них берутся всерьёз, и в этом усилии во многом решается то, чему может научить курс.

Наконец, стоит писать. Изложить письменно доказательство или полное решение, с его посылками и выводами, есть единственный способ узнать, понято ли оно, и это также седьмая из целей курса. Тетрадь для занятий, в которой своими словами переписываются определения и теоремы каждого раздела, есть лучший материал для повторения, какой может оставить курс, и ещё больше она пригодится в курсе «Математический анализ I», который вернётся почти ко всему, что здесь доказывается.