Plan de estudios de Álgebra y Geometría II

Propósito y destinatarios

Este curso es la segunda mitad de un recorrido que comienza en Álgebra y Geometría I: Números, Funciones y Geometría del Plano. El curso I construyó, desde los axiomas de Peano, los sistemas numéricos hasta los complejos en forma binómica, el álgebra de los polinomios, las funciones reales y sus gráficos, la geometría analítica del plano con sus vectores y sus cónicas, y las funciones exponencial, logarítmica e hiperbólicas. El curso II toma esos objetos y los lleva a tres territorios nuevos: la trigonometría, que mide ángulos y convierte los giros en un cálculo; los números complejos en forma polar, donde ese cálculo se vuelve multiplicación; y las matrices, que ordenan los sistemas lineales y las transformaciones, y que, junto con los vectores, sostienen la geometría analítica del espacio con que el curso termina.

Su propósito es el mismo que el del curso I: no solo enseñar a calcular, sino mostrar de dónde procede cada cálculo. Cada resultado que se emplea se enuncia y se demuestra, o se declara expresamente admitido cuando su demostración pertenece a otro curso; así ocurre, por ejemplo, con el teorema fundamental del álgebra o con las propiedades de la longitud de un arco, que exigen el cálculo.

Se dirige a quien haya completado el curso I, o domine por otra vía sus contenidos: estudiantes de los últimos años de la enseñanza escolar que preparan su ingreso a la universidad, estudiantes del primer año universitario de ciencias, ingeniería, economía o pedagogía en matemática, y quien quiera reconstruir con rigor una matemática que aprendió como un conjunto de recetas. Si esto es así, el curso supone sabidos la completitud de los números reales, el estudio de funciones con sus inversas y sus transformaciones de gráficos, la recta, los vectores y el producto punto del plano, las cónicas, la exponencial y el logaritmo, y la aritmética de los complejos en forma binómica. Quien dude de alguno de estos puntos puede volver a la síntesis de la unidad correspondiente del curso I y resolver sus desafíos antes de comenzar.

Ahora bien, el curso ocupa también un lugar de paso. Es el prerrequisito de Cálculo I: Cálculo Diferencial, que deriva las funciones trigonométricas a partir de la desigualdad $\sin x < x < \tan x$ demostrada en la unidad 1 y que abre, a su vez, Fundamentos de Mecánica y Cálculo II: Cálculo Integral, donde reaparecen el movimiento circular, las sustituciones trigonométricas y las áreas en coordenadas polares.

Objetivos de aprendizaje globales

Los objetivos siguientes describen lo que un estudiante que complete el curso debe ser capaz de hacer. Cada uno se formula como un desempeño observable, de modo que pueda comprobarse con una tarea concreta; cada clase declara, a su vez, sus propios objetivos, y la clase de cierre muestra, clase por clase, a cuál de estos siete se asignó cada una. Los objetivos se numeran para que puedan citarse en ella.

1. Objetivo 1. Demostrar enunciados de trigonometría, de álgebra de los complejos y de las matrices, y de geometría analítica mediante razonamiento deductivo explícito, empleando la demostración directa, la contraposición, la reducción al absurdo y la inducción, y distinguir en cada demostración lo deducido de lo admitido.
2. Objetivo 2. Aplicar la trigonometría a la medida de ángulos y de triángulos, estudiar las funciones trigonométricas y sus inversas, demostrar identidades, resolver ecuaciones e inecuaciones trigonométricas dando su solución general y describir curvas en coordenadas polares.
3. Objetivo 3. Estudiar la geometría del plano con los instrumentos del curso: calcular ángulos entre rectas, eliminar mediante un giro de ejes el término rectangular de una ecuación de segundo grado y clasificar la cónica que define, y expresar giros, homotecias, reflexiones y proyecciones mediante trigonometría, números complejos y matrices.
4. Objetivo 4. Operar con números complejos en forma polar y exponencial, calcular sus potencias y sus raíces, interpretar geométricamente sus operaciones y resolver ecuaciones polinómicas en el campo complejo.
5. Objetivo 5. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con matrices, mediante el método de Gauss-Jordan, el rango, los determinantes y la matriz inversa, y reconocer en los sistemas numéricos, los polinomios, las matrices y los restos módulo $n$ las estructuras de grupo, anillo y cuerpo.
6. Objetivo 6. Representar puntos, vectores, rectas y planos del espacio mediante coordenadas y ecuaciones, operar con los productos escalar, vectorial y mixto, y calcular con ellos ángulos, distancias, áreas y volúmenes, decidiendo las posiciones relativas de rectas y planos mediante sistemas lineales.
7. Objetivo 7. Modelar matemáticamente situaciones de la ciencia, la técnica y la vida cotidiana con los instrumentos del curso, y comunicar por escrito los planteamientos, los cálculos y las demostraciones con notación correcta, argumentación completa y control de la plausibilidad de los resultados.

Los objetivos 2 a 6 corresponden, en lo esencial, a los grandes temas del curso: el 2 a las unidades 1 y 2, el 4 a la unidad 3, el 5 a la unidad 4 y el 6 a la unidad 5, mientras que el 3 recoge un hilo que atraviesa las unidades 1 a 4, la geometría del plano vista sucesivamente con senos y cosenos, con complejos y con matrices. El primero y el séptimo, en cambio, son transversales: no pertenecen a una unidad, sino que se ejercitan en todas. De ello se sigue que su logro no puede atribuirse a una clase determinada, y que conviene cultivarlos a lo largo del curso entero. Ahora bien, ambos tienen también clases que los sirven de modo principal: el primero, las síntesis, cuya parte central reconstruye la cadena deductiva de cada unidad; el séptimo, las clases en que el planteamiento de problemas es la materia misma, la del ángulo entre rectas y sus aplicaciones y la de los sistemas lineales.

Contenidos

El curso se organiza en siete unidades. La primera y la última enmarcan el recorrido; las cinco intermedias desarrollan los contenidos. Cada una de estas se abre con una clase de introducción, que presenta sus clases, el trasfondo histórico de sus ideas, el problema que les dio origen y su relevancia, y se cierra con una clase de síntesis, que reconstruye la cadena deductiva de la unidad, la enlaza con el resto del curso y del curso I, y propone diez desafíos de dificultad superior a la de los problemas de las clases.

Unidad 0. Plan de estudios

Consta de esta clase, que fija el propósito, los objetivos globales, los contenidos, la dedicación y el diseño del curso.

Unidad 1. Funciones trigonométricas y coordenadas polares

Su objetivo es definir las funciones trigonométricas sobre la circunferencia unitaria, estudiar sus gráficos y sus inversas, resolver triángulos y describir curvas en coordenadas polares.

1. Funciones trigonométricas y coordenadas polares: introducción.
2. Ángulos y su medida: grados y radianes.
3. Razones trigonométricas y la circunferencia unitaria.
4. Las funciones trigonométricas y sus gráficas.
5. Las funciones trigonométricas inversas.
6. Resolución de triángulos: teoremas del seno y del coseno.
7. Coordenadas polares y curvas polares.
8. Funciones trigonométricas y coordenadas polares: síntesis y desafíos.

Unidad 2. Trigonometría analítica

Su objetivo es convertir las funciones trigonométricas en un cálculo algebraico, con identidades, fórmulas de adición, ecuaciones e inecuaciones, y aplicarlo a los ángulos entre rectas y a las cónicas de ejes oblicuos.

1. Trigonometría analítica: introducción.
2. Identidades trigonométricas fundamentales.
3. Fórmulas de suma y diferencia, ángulo doble y ángulo mitad.
4. Transformaciones de sumas en productos y la forma armónica.
5. Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas.
6. El ángulo entre dos rectas y aplicaciones de la trigonometría.
7. Rotación de ejes y la ecuación general de segundo grado.
8. Trigonometría analítica: síntesis y desafíos.

Unidad 3. Números complejos en forma polar

Su objetivo es describir cada complejo por su módulo y su argumento, de modo que el producto se lea como un giro con dilatación, las potencias como múltiplos de un ángulo y las raíces como polígonos regulares, y resolver con ello las ecuaciones polinómicas. Retoma los complejos en forma binómica construidos en la unidad 2 del curso I.

1. Números complejos en forma polar: introducción.
2. La forma polar de los números complejos.
3. La fórmula de De Moivre y las potencias de complejos.
4. Raíces n-ésimas de un complejo y raíces de la unidad.
5. La exponencial compleja y la fórmula de Euler.
6. Geometría con números complejos.
7. Ecuaciones polinómicas en los complejos: las fórmulas de Cardano y de Ferrari.
8. Números complejos en forma polar: síntesis y desafíos.

Unidad 4. Matrices y estructuras algebraicas

Su objetivo es hacer de la tabla de coeficientes de un sistema lineal un objeto con operaciones propias, resolver con ella los sistemas, leer las matrices como transformaciones y condensar lo común a los cálculos de los dos cursos en las nociones de grupo, anillo y cuerpo.

1. Matrices y estructuras algebraicas: introducción.
2. Matrices y operaciones con matrices.
3. Sistemas lineales y el método de Gauss-Jordan.
4. Determinantes: propiedades y regla de Cramer.
5. La matriz inversa.
6. Las matrices como transformaciones del plano.
7. Los números complejos como matrices.
8. Estructuras algebraicas: grupos, anillos y cuerpos.
9. Matrices y estructuras algebraicas: síntesis y desafíos.

Unidad 5. Geometría analítica del espacio

Su objetivo es extender al espacio la geometría analítica del plano estudiada en la unidad 4 del curso I: describir puntos y vectores con tres coordenadas, a partir de una lista explícita de hechos admitidos de la geometría euclídea del espacio; medir longitudes y ángulos con el producto escalar, demostrando que el ángulo así definido es el de la geometría elemental; obtener del determinante de orden tres el producto vectorial y el producto mixto, con su lectura como área, como volumen y como criterio de coplanaridad; escribir rectas y planos mediante ecuaciones y decidir sus posiciones relativas con el rango y el teorema de Rouché-Frobenius de la unidad 4; y calcular distancias, ángulos, proyecciones y la perpendicular común a dos rectas que se cruzan, con aplicaciones a la mecánica, la cristalografía, la navegación aérea y el posicionamiento por satélites. La unidad estudia la esfera, pero no las demás superficies cuádricas (elipsoides, paraboloides, hiperboloides, conos y cilindros de segundo grado), que no se tratan en este curso; en la organización actual del sitio, su estudio corresponde a Cálculo III.

1. Geometría analítica del espacio: introducción.
2. Vectores en el espacio y producto escalar.
3. Producto vectorial y producto mixto.
4. Rectas y planos en el espacio.
5. Distancias, ángulos y volúmenes en el espacio.
6. Geometría analítica del espacio: síntesis y desafíos.

Unidad 6. Cierre

Consta de la clase Balance final de Álgebra y Geometría II, que recuerda los siete objetivos globales y muestra, en una figura, a cuál de ellos se asignó cada clase del curso y qué objetivos específicos alcanzó cada unidad, y reúne por objetivo el primer intento de las evaluaciones de salida.

Dedicación y créditos

La dedicación de un curso no se mide por las horas de exposición, que en un curso asincrónico no existen, sino por el trabajo total del estudiante: leer, seguir las demostraciones, resolver problemas y repasar. La estimación cuenta el tiempo de lectura del texto de cada clase, veinte minutos por problema resuelto, treinta y cinco por problema propuesto, cuarenta y cinco por desafío y doce por evaluación de entrada o de salida, y añade un margen de un décimo para el repaso.

Resultados

Las clases de las unidades 1 a 5 contienen en conjunto $145$ problemas resueltos, $145$ problemas propuestos y $50$ desafíos. La dedicación estimada por unidad, redondeada a la hora, es la siguiente:

• Unidad 0, plan de estudios: $1$ hora.
• Unidad 1, funciones trigonométricas y coordenadas polares: $46$ horas.
• Unidad 2, trigonometría analítica: $46$ horas.
• Unidad 3, números complejos en forma polar: $46$ horas.
• Unidad 4, matrices y estructuras algebraicas: $54$ horas.
• Unidad 5, geometría analítica del espacio: $36$ horas.
• Unidad 6, cierre: menos de $1$ hora.

La unidad 5 es la más breve en número de clases, pero sus cuatro clases de contenido son de las más extensas del curso. El total es de unas $230$ horas de trabajo del estudiante. Conviene leer esta cifra como lo que es: una estimación para un estudiante que estudia todas las demostraciones y resuelve todos los problemas y desafíos. Quien ya domine parte de los contenidos, o se limite a los problemas propuestos sin abordar los desafíos, empleará bastante menos; quien estudie el tema por primera vez y sin hábito de demostrar puede necesitar más.

Ahora bien, la cifra de $230$ horas es nominal: es la que fija los créditos del curso, y supone una lectura del texto a ritmo constante y tres cuartos de hora por desafío. Mientras no se mida con estudiantes reales, conviene acompañarla de una banda realista. Si la lectura avanzara a la mitad del ritmo supuesto, como ocurre cuando cada demostración se reescribe con papel y lápiz, y cada desafío exigiera setenta y cinco minutos en lugar de cuarenta y cinco, el mismo método daría unas $297$ horas. Por tanto, la dedicación esperable se sitúa entre unas $230$ y unas $300$ horas. El extremo superior es una cota prudente, no una medición; la banda se corregirá cuando se conozca el tiempo que emplean quienes estudian el curso, y hasta entonces los créditos se calculan con la cifra nominal.

Ritmo sugerido

Para nombrar los ritmos, este plan y el del curso I usan el mismo criterio: la dedicación completa es la de un año académico de $60$ créditos, unas $1650$ horas repartidas en unas cuarenta semanas, es decir, unas $40$ horas semanales, y la media jornada es la mitad, unas $20$ horas semanales. De ello se sigue un ritmo recomendado de un semestre de dieciséis semanas, con unas $14$ horas semanales de estudio, algo más de un tercio de la dedicación completa y, por tanto, menos que media jornada; con la banda realista, de $14$ a $19$ horas semanales, se acerca a la media jornada sin alcanzarla. Así, los cursos I y II ocupan dos semestres consecutivos. Un ritmo más holgado, de unas $7$ horas semanales, lleva el curso a dos semestres; uno intensivo, de unas $29$ horas semanales, algo menos de tres cuartos de la dedicación completa, lo completa en ocho semanas, lo que equivale a la dedicación de un estudiante que no cursa ninguna otra asignatura exigente en el mismo período.

Equivalencia en créditos transferibles

Los sistemas de créditos transferibles miden un curso por el trabajo total que exige al estudiante, y no por las horas de clase presencial, con el propósito de que los estudios realizados en una institución puedan reconocerse en otra. El Sistema Europeo de Transferencia y Acumulación de Créditos, adoptado por las universidades europeas a partir de la Declaración de Bolonia, asigna $60$ créditos a un año académico de dedicación completa, y fija cada crédito entre $25$ y $30$ horas de trabajo. El Sistema de Créditos Transferibles de Chile, adoptado por las universidades chilenas con un diseño análogo, asigna también $60$ créditos al año académico y fija cada crédito entre $24$ y $31$ horas de trabajo.

Ahora bien, dividiendo las $230$ horas estimadas por los extremos de cada intervalo, el curso equivale a entre $8$ y $9$ créditos europeos, aproximadamente (de 7,7 a 9,2), y a entre $7$ y $10$ créditos transferibles chilenos (de 7,4 a 9,6). Tomando como referencia el valor central de ambos intervalos, de 27,5 horas por crédito, se obtiene en los dos sistemas el mismo número, 8,3, que se redondea a 8. Para los créditos europeos, el número $C$ de créditos queda acotado así:

Por tanto, se recomienda asignar al curso $8$ créditos europeos y $8$ créditos transferibles chilenos, algo más de la octava parte de un año académico de dedicación completa. Quien desee acreditar solo una parte del curso puede usar la lista de horas por unidad: las unidades 0 a 4, por ejemplo, suman unas $193$ horas, es decir, unos $7$ créditos en ambos sistemas.

Diseño del curso

Modalidad

El curso es asincrónico, en línea y de ritmo autónomo: no tiene fechas, sesiones en vivo ni plazos, y cada estudiante avanza a la velocidad que le permiten su preparación y su tiempo. Por ahora está escrito en español; se traducirá a los catorce idiomas del sitio, con la misma matemática en todos: las fórmulas y los pasos de las demostraciones serán idénticos en cada versión, y solo se traducirá el texto. Las clases declaran qué otras clases conviene haber estudiado antes, también las del curso I de las que dependen, de modo que el orden recomendado es explícito y puede verificarse.

La estructura de una clase

Todas las clases temáticas siguen la misma estructura. Comienzan con un resumen y con una lista de objetivos de aprendizaje propios, formulados como desempeños observables. Siguen la teoría, con las definiciones, los teoremas enunciados con precisión y sus demostraciones, y los ejemplos. Las demostraciones y los ejemplos se presentan como reproductores de pasos: cada paso escribe una línea del razonamiento, ilumina los términos que intervienen y, cuando se apoya en un resultado anterior, vuelve sobre él y lo ilumina mientras se lee, de modo que la memoria del razonamiento quede a la vista; muchos se acompañan de una figura que cambia con cada paso. Cierran la clase cinco problemas resueltos, con su solución paso a paso, y cinco problemas propuestos, cada uno con una pista plegada y, después, la respuesta final, para que el estudiante compruebe su resultado sin que se le revele el camino; los propuestos de demostración añaden, plegada tras la respuesta, una solución desarrollada, que conviene abrir solo después de haber redactado la propia.

Las clases de introducción y de síntesis tienen una estructura propia. La introducción presenta la unidad, su historia, el problema que le dio origen y su relevancia; la síntesis reconstruye en una figura la cadena deductiva de la unidad, con los resultados que reutiliza y los eslabones que demuestra, la enlaza con las unidades anteriores y con el curso I, y propone diez desafíos, cada uno con pista, respuesta final y una solución desarrollada plegada, que combinan varias clases y exigen más invención que los problemas propuestos.

El lector de voz

Cada clase puede escucharse en voz alta con el lector del sitio, que usa las voces del propio dispositivo: el texto se lee tal como está escrito y las fórmulas se pronuncian en palabras. Esto permite repasar una clase lejos de la pantalla, seguir una demostración escuchándola mientras se mira el reproductor de pasos, y estudiar con limitaciones visuales.

Evaluación

El curso no califica ni certifica: su evaluación en el sitio es formativa. Los problemas propuestos permiten comprobar el logro de los objetivos de cada clase, y los desafíos, el de los objetivos de cada unidad. Cada una de las cinco unidades tiene, además, una evaluación de entrada en su introducción y una de salida en su síntesis, antes de los desafíos: autoevaluaciones breves, de ocho a doce preguntas, corregidas en el navegador sin calificación, que indican qué clase repasar ante cada error y comparan la salida con la entrada para mostrar el avance. El balance final reúne el primer intento de cada evaluación de salida en un perfil por objetivo global, que se guarda, como ellas, solo en el navegador del estudiante. La validación de las habilidades, con valor de certificación, se hará más adelante y fuera de este sitio, en otra plataforma.

Para los objetivos globales se sugieren, además, las evidencias de logro siguientes, que cada estudiante puede producir por sí mismo:

• Objetivo 1: redactar, sin consultar la clase, la demostración de un teorema del curso, como el teorema del coseno, la fórmula de De Moivre o la unicidad de la matriz inversa.
• Objetivo 2: demostrar una identidad trigonométrica no trivial y resolver una ecuación trigonométrica dando su solución general.
• Objetivo 3: clasificar la cónica que define una ecuación de segundo grado con término rectangular, girando los ejes, y expresar un giro del plano como producto por un complejo y como matriz.
• Objetivo 4: calcular las raíces $n$-ésimas de un complejo, representarlas en el plano y resolver una ecuación cúbica con la fórmula de Cardano.
• Objetivo 5: resolver un sistema lineal con parámetro, discutiendo los casos por el rango, y decidir si una estructura dada es un grupo, un anillo o un cuerpo.
• Objetivo 6: hallar la posición relativa de dos rectas del espacio y la distancia entre ellas, y el volumen de un tetraedro dado por sus vértices.
• Objetivo 7: escribir la solución completa de un problema de modelación, con planteamiento, desarrollo, respuesta y control de plausibilidad, de modo que otra persona pueda seguirla sin explicaciones adicionales.

Cómo estudiar este curso

El curso está pensado para estudiarse en orden. Cada unidad supone las anteriores y el curso I, y muchas demostraciones citan resultados de clases previas, de uno u otro curso; saltar una clase obliga, tarde o temprano, a volver sobre ella.

Cada unidad tiene dos puntos de control. La evaluación de entrada, al comienzo de la introducción, es el punto de partida: conviene responderla antes de estudiar la unidad, sin consultar nada, y anotar las clases a las que remiten los errores, que son las que piden más cuidado. La evaluación de salida, en la síntesis y antes de los desafíos, es el contraste: se responde al terminar las clases, también sin consultar, y se compara con la de entrada para ver qué cambió y qué clases conviene repasar. En ambas cuenta el primer intento, que es el que se compara y el que reúne el perfil del balance final; los siguientes se hacen ya con la retroalimentación vista. Los desafíos completan la comprobación, porque exigen combinar y redactar lo que las preguntas breves solo tocan. De ello se sigue que quien crea dominar ya una unidad no debe decidirlo por una sola prueba: si su evaluación de salida es sólida y resuelve los desafíos de la síntesis, puede pasar a la siguiente; si no, conviene recorrer las clases que una y otros señalen.

En cada clase, conviene leer primero el resumen y los objetivos, que dicen qué se busca; estudiar después la teoría con papel y lápiz, intentando anticipar cada paso de las demostraciones antes de que el reproductor lo escriba; intentar los problemas resueltos antes de mirar su solución, y resolver los propuestos sin ayuda, abriendo la pista solo cuando el intento se haya agotado, y la respuesta solo al final, para comprobar. Un problema cuya respuesta se consultó antes de intentarlo no ha sido resuelto, sino leído.

Los desafíos son más difíciles que los problemas de las clases, y es normal que algunos requieran varios intentos en días distintos. No conviene detenerse indefinidamente en uno: anotarlo, seguir avanzando y volver a él más tarde es, con frecuencia, el camino más corto. Ahora bien, la dedicación estimada supone que todos se intentan con seriedad, y en ese esfuerzo se juega buena parte de lo que el curso puede enseñar.

Por último, conviene escribir. Redactar una demostración o una solución completa, con sus premisas y sus conclusiones, es la única manera de saber si se ha comprendido, y es también el séptimo de los objetivos del curso. Un cuaderno de estudio, en el que se reescriban con palabras propias las definiciones y los teoremas de cada unidad, es el mejor material de repaso que el curso puede dejar, y lo será más aún en Cálculo I, que volverá sobre casi todo lo que aquí se demuestra.