Funciones trigonométricas y coordenadas polares: introducción

Resumen

Esta clase abre el curso de Álgebra y Geometría II y su primera unidad, dedicada a las funciones trigonométricas y a las coordenadas polares. Propone una evaluación de entrada, que mide el punto de partida en las seis clases de la unidad y en lo que esta da por sabido del curso I. Recoge lo que el curso I deja establecido y presenta sus seis clases en el orden en que se estudian, desde la medida de los ángulos hasta las curvas polares y las cónicas con un foco en el polo, y explica qué demuestra cada una y por qué importa. Reconstruye después el trasfondo histórico: la astronomía griega, que necesitaba medir lo inaccesible y tabuló las cuerdas de los arcos; la mitad de la cuerda del arco doble, que los astrónomos de la India pusieron en el centro del cálculo y que, a través de las traducciones árabes y latinas, recibió el nombre de seno; la trigonometría como disciplina independiente, y su transformación, en el siglo XVIII, en el estudio de funciones de una variable real. Formula el problema que le dio origen, el de calcular distancias a partir de ángulos, con el triángulo de Aristarco de Samos, y termina señalando dónde se usan estas ideas en el resto del curso, en otros cursos del sitio y en la ciencia y la técnica.

Objetivos de aprendizaje

Describir el contenido de la unidad, situando cada una de sus clases en una cadena que va de la medida de los ángulos a las curvas polares.
Explicar el origen astronómico y geodésico de la trigonometría y de las coordenadas polares, y reconocer sus etapas principales, desde la tabla de cuerdas hasta las funciones de una variable real.
Expresar la cuerda de un arco mediante el seno del arco mitad, y plantear el problema de Aristarco como el cálculo de un cociente de distancias a partir de un ángulo.
Identificar los lugares del curso, de otros cursos y de la ciencia y la técnica en que se emplean las funciones trigonométricas y las coordenadas polares.

Evaluación de entrada

Antes de recorrer la unidad conviene medir el punto de partida, sin calificación alguna. Las diez primeras preguntas tocan las seis clases de contenido de la unidad: dos para las funciones inversas y dos para la resolución de triángulos, que son las clases en que más se apoya el resto del curso; dos para las funciones trigonométricas y sus gráficas, una de ellas un problema en contexto que hay que plantear; dos para las coordenadas polares, una de ellas sobre la ecuación polar de las cónicas; y una para cada una de las otras dos clases. Las mismas destrezas se vuelven a medir al final, en la clase de síntesis. Las seis últimas comprueban lo que el curso supone sabido del curso I: la completitud de los números reales, la inversa de una función, la recta tangente a una circunferencia y el producto punto, la excentricidad de una elipse, la exponencial y el logaritmo a través del coseno hiperbólico, y el cociente de dos números complejos en forma binómica. Quien falle alguna de ellas sabrá a qué clase del curso I conviene volver antes de comenzar, y quien falle alguna de las diez primeras, en qué clase de la unidad detenerse.

El contenido de la unidad

Con esta unidad comienza el curso de Álgebra y Geometría II, que supone completo el curso Álgebra y Geometría I. De este trae cinco cosas que aquí se emplean sin volver a demostrarlas. La primera son los números reales como cuerpo ordenado completo, con la propiedad arquimediana y la densidad de los racionales, que permitirán reducir todo ángulo a la primera vuelta y extender a todos los ángulos lo que se prueba para los racionales. La segunda es el estudio de las funciones: dominio, recorrido, composición, inversa de una función biyectiva y transformaciones de gráficos, con las tablas de signos y la factorización de polinomios. La tercera es la geometría analítica del plano: la distancia, la recta en forma cartesiana y paramétrica, los vectores con el producto punto, la circunferencia y las cónicas con su foco y su directriz. La cuarta son las funciones exponencial, logarítmica e hiperbólicas, cuya parametrización de la hipérbola anticipa la de la circunferencia. La quinta son los números complejos en forma binómica, representados como puntos del plano, que esta unidad prepara para escribirse con un módulo y un ángulo.

Ahora bien, ninguna de esas herramientas responde a una pregunta muy antigua: dado un ángulo, ¿qué cociente guardan los lados de un triángulo rectángulo que lo contiene? Esta unidad responde a ella, y de la respuesta nacen seis funciones de una variable real, sus inversas, la resolución de todos los triángulos y un segundo modo de nombrar los puntos del plano. Las clases se suceden así.

Los ángulos y su medida define los ángulos orientados, que miden giros con su sentido y pueden exceder la vuelta, enuncia el axioma del recorrido de la circunferencia por longitud de arco, en el que descansa toda la unidad, y define con él la medida en radianes como longitud del arco de la circunferencia unitaria; demuestra las fórmulas del arco y del sector, el teorema del ángulo inscrito y la reducción de todo ángulo a la primera vuelta, que es la división con resto de los números reales por $2\pi$ . Importa porque el radián es la medida que hace sencillas todas las fórmulas posteriores.
Las razones trigonométricas y la circunferencia unitaria define el seno, el coseno y la tangente primero en el triángulo rectángulo, demostrando por semejanza que no dependen del triángulo, y después para todo número real, como coordenadas de un punto de la circunferencia unitaria; demuestra la identidad pitagórica, los valores notables y las simetrías. Es el paso decisivo de la unidad: convierte una razón geométrica en una cantidad definida para cualquier ángulo.
Las funciones trigonométricas y sus gráficas estudia el seno, el coseno y la tangente como funciones, demuestra sus períodos mínimos, construye sus gráficos y prueba, comparando áreas, la desigualdad $\sin x < x < \tan x$ . Con las sinusoides proporciona el modelo de todos los fenómenos periódicos.
Las funciones trigonométricas inversas deduce del axioma del recorrido que el coseno y el seno son estrictamente monótonos en ciertos intervalos, restringe a ellos las funciones, define el arcoseno, el arcocoseno y el arcotangente, y resuelve las ecuaciones elementales en una vuelta. Permite recorrer el camino inverso: de una razón conocida al ángulo que la produce.
La resolución de triángulos demuestra el área en función de dos lados y el ángulo comprendido, el teorema del seno, el teorema del coseno y la fórmula de Herón, y discute el caso ambiguo. Extiende la trigonometría del triángulo rectángulo a todos los triángulos y mide, con el producto punto, el ángulo entre dos vectores.
Las coordenadas polares y las curvas polares nombra cada punto por su distancia al polo y por un ángulo, deduce las fórmulas de paso a las coordenadas cartesianas, traza cardioides, rosas, espirales y caracoles, y obtiene la ecuación polar de las cónicas con un foco en el polo. Prepara la forma polar de los números complejos y la descripción de las órbitas.

La unidad termina con la clase de síntesis y desafíos, que reúne lo demostrado, mide con una evaluación de salida lo logrado respecto de la evaluación de entrada de esta clase y propone diez problemas de mayor dificultad.

Trasfondo histórico

La trigonometría no nació como un capítulo del álgebra, sino como una técnica de la astronomía. Para predecir la posición de los astros y medir distancias que no pueden recorrerse, los astrónomos necesitaban pasar de ángulos, que se observan, a longitudes, que se calculan; y la geometría griega, que sabía construir figuras con regla y compás, no ofrecía medio alguno para calcular, dado un ángulo arbitrario, la razón entre dos lados de un triángulo.

La tabla de cuerdas

La astronomía griega heredó de la babilónica la división de la circunferencia en $360$ grados y el cálculo en base sesenta. Hacia el siglo III antes de nuestra era, Aristarco de Samos estimó con argumentos geométricos la razón entre las distancias del Sol y de la Luna, y Eratóstenes midió la circunferencia de la Tierra a partir de un ángulo, como se verá en la clase sobre los ángulos y su medida. A Hiparco de Nicea, en el siglo II antes de nuestra era, se atribuye la primera tabla de cuerdas: para cada ángulo central, la longitud de la cuerda que abarca en una circunferencia de radio fijo. La tabla que se conserva es la de Claudio Ptolomeo, que en el Almagesto, en el siglo II de nuestra era, dio las cuerdas de los arcos de medio en medio grado en una circunferencia de radio $60$ . Menelao de Alejandría, hacia el año 100, había extendido el cálculo a los triángulos trazados sobre la esfera celeste.

La cuerda y el seno son la misma información escrita de dos maneras. La proposición siguiente lo precisa, y muestra por qué el paso de una a otro fue algo más que un cambio de nombre: el seno es la mitad de la cuerda del arco doble, y es el cateto de un triángulo rectángulo.

ProposiciónLa cuerda y el seno

En la circunferencia de radio $1$ y centro $O$ , sea $C(\theta)$ la longitud de la cuerda que une los extremos $A$ y $B$ de un arco de ángulo central $\theta$ , con $0 < \theta < \pi$ . Entonces $C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ .

Demostración

$C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1$
La cuerda es el lado opuesto al ángulo $\theta$ en el triángulo de vértices $O$ , $A$ y $B$ , cuyos otros dos lados son radios.
$\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}$
El triángulo es isósceles; la perpendicular trazada desde $O$ a la cuerda la corta en su punto medio $M$ y divide el ángulo central en dos ángulos iguales, porque los triángulos de vértices $O$ , $M$ , $A$ y $O$ , $M$ , $B$ son congruentes.
$\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}$
En el triángulo rectángulo de vértices $O$ , $M$ y $B$ , la hipotenusa mide $1$ y el cateto opuesto al ángulo $\frac{\theta}{2}$ es la mitad de la cuerda; por la definición del seno, ese cateto es $\sin \frac{\theta}{2}$ .
$\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}$
Leída al revés, con $\theta = 2\alpha$ , la igualdad dice que el seno de un ángulo es la mitad de la cuerda del ángulo doble; en la circunferencia de radio $60$ de Ptolomeo todas las longitudes se multiplican por $60$ .

Del medio arco al seno

Los astrónomos de la India, como Aryabhata hacia el año 500, tabularon directamente la mitad de la cuerda del arco doble, a la que llamaron jya, y con ello pusieron en el centro del cálculo un cateto de un triángulo rectángulo en lugar de una cuerda. La palabra pasó al árabe como jiba, que en la escritura sin vocales se confundió con jaib, «pliegue» o «seno» de una vestidura, y los traductores latinos del siglo XII la vertieron como sinus, de donde procede el nombre actual. Los astrónomos del mundo islámico, entre los siglos IX y XI, entre ellos al-Battani y Abu al-Wafa, añadieron las tablas de la tangente y de la cotangente, que provenían del estudio de las sombras de los relojes de sol; en el siglo XIII, Nasir al-Din al-Tusi expuso la trigonometría como una disciplina independiente de la astronomía.

La trigonometría como disciplina

En Europa, Regiomontanus redactó hacia 1464 un tratado sobre los triángulos de toda clase, impreso en 1533, que reunía la resolución de triángulos planos y esféricos; la palabra trigonometría, «medida de los triángulos», aparece en el título de una obra de Bartholomaeus Pitiscus de 1595. El teorema del coseno tiene una historia más larga: Euclides, en el libro II de los Elementos, ya había corregido el teorema de Pitágoras para los triángulos acutángulos y obtusángulos mediante el doble de un rectángulo, formado por un lado y la proyección del otro sobre él, que hoy se escribe $2bc \cos A$ salvo el signo, y en el siglo XV al-Kashi le dio una forma apta para el cálculo. La fórmula de Herón, por su parte, figura en la Métrica de Herón de Alejandría, en el siglo I.

De las razones a las funciones

Durante siglos, el seno de un ángulo fue una longitud en una circunferencia de radio convenido, de sesenta partes o de varios millones, según la tabla. El cálculo infinitesimal del siglo XVII mostró que las fórmulas se simplifican si el radio es $1$ y los ángulos se miden por la longitud de su arco, y Leonhard Euler, en su Introductio in analysin infinitorum de 1748, trató el seno y el coseno como funciones de una variable real, definidas en la circunferencia unitaria, que es el punto de vista de esta unidad; el nombre de radián para la unidad de medida correspondiente se acuñó en la segunda mitad del siglo XIX. A comienzos del siglo XIX, Joseph Fourier sostuvo, en su teoría analítica del calor publicada en 1822, que una función periódica muy general puede escribirse como suma de senos y cosenos, y las funciones trigonométricas pasaron a ser el lenguaje de todos los fenómenos periódicos.

Las coordenadas polares

La idea de describir un punto por su distancia a un centro y por un ángulo es tan antigua como la astronomía, y Arquímedes, en el siglo III antes de nuestra era, definió su espiral precisamente así: un punto que se aleja a velocidad constante de un centro mientras la semirrecta que lo lleva gira a velocidad constante. Como sistema de coordenadas, sin embargo, aparece en el siglo XVII: Bonaventura Cavalieri y Grégoire de Saint-Vincent las usaron para estudiar espirales, Isaac Newton las incluyó entre los sistemas con que describía curvas, y Jakob Bernoulli las empleó en sus trabajos de fines de ese siglo; Euler las sistematizó en el siglo XVIII. Entretanto, Johannes Kepler había publicado en 1609 que la órbita de Marte es una elipse con el Sol en uno de sus focos, y la ecuación polar de las cónicas con un foco en el polo, que cierra esta unidad, es la forma natural de esa ley.

El problema que les dio origen

El problema común a todos estos desarrollos puede enunciarse así: conocidos algunos ángulos y algunas longitudes de una figura, calcular las demás. Su forma más simple es el triángulo rectángulo. Por semejanza, el cociente entre dos lados depende solo del ángulo agudo $\alpha$ , y es por tanto una función de $\alpha$ ; pero esa función no es algebraica, no se obtiene de $\alpha$ con sumas, productos ni raíces, y por eso hubo que tabularla. El ejemplo siguiente, el primer intento conocido de medir el sistema solar, muestra el problema en su estado puro.

EjemploEl triángulo de Aristarco

Cuando la Luna se ve exactamente en cuarto, la mitad iluminada de su disco se ve de perfil, y el Sol, la Luna y la Tierra forman un triángulo rectángulo en la Luna. Aristarco midió, desde la Tierra, el ángulo $\alpha$ entre las direcciones de la Luna y del Sol, y obtuvo $87^\circ$ . Sean $T$ , $L$ y $S$ la Tierra, la Luna y el Sol.

Demostración

${\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2$
El triángulo de vértices $T$ , $L$ y $S$ es rectángulo en $L$ : la distancia de la Tierra al Sol es la hipotenusa.
$\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}$
El cateto adyacente al ángulo $\alpha$ es la distancia a la Luna; por la definición del coseno, el cociente entre la distancia al Sol y la distancia a la Luna depende solo de $\alpha$ .
$\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20$
Sin tablas de cosenos, Aristarco acotó el cociente con argumentos geométricos y concluyó que el Sol está entre $18$ y $20$ veces más lejos que la Luna. El valor exacto de la secante de $87^\circ$ es aproximadamente 19,1, dentro de sus cotas.
$\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty$
El método era correcto, pero el dato no: el ángulo verdadero difiere del recto en menos de la sexta parte de un grado, y el cociente verdadero ronda los $390$ . Cuando $\alpha$ se acerca a un recto, el Sol se aleja sin límite a lo largo de la recta que pasa por la Luna, y un error minúsculo en el ángulo produce un error enorme en la distancia.

Como el Sol y la Luna tienen casi el mismo tamaño aparente, como muestran los eclipses totales de Sol, el razonamiento de Aristarco daba también la razón entre sus diámetros, y con ella la conclusión de que el Sol es mucho mayor que la Tierra. El ejemplo contiene en germen toda la unidad: una razón entre lados que depende de un ángulo, la necesidad de conocer esa dependencia con precisión, y la observación de que ciertas funciones crecen sin cota cerca de valores aislados del ángulo, que es la asíntota vertical de la secante estudiada en la clase sobre las funciones trigonométricas y sus gráficas.

El mismo problema se presenta de otras dos maneras, que dan origen a las restantes clases de la unidad. La primera es inversa: se conoce la razón y se busca el ángulo, como cuando se mide la pendiente de un camino y se quiere saber su inclinación; responder a ella exige invertir funciones que no son inyectivas, y esa es la tarea de las funciones trigonométricas inversas. La segunda es la de describir lo que gira: un planeta alrededor del Sol, una rueda, una onda que se repite. Para ello conviene nombrar los puntos por su distancia a un centro y su dirección, y no por sus distancias a dos ejes, y expresar el movimiento periódico con funciones que se repiten; así nacen las coordenadas polares y las sinusoides.

Relevancia

En el resto de este curso, la unidad 2, que comienza en la clase sobre las identidades trigonométricas fundamentales, demuestra las fórmulas del seno y del coseno de una suma, resuelve en general las ecuaciones trigonométricas y, mediante la rotación de ejes, clasifica todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables. La unidad 3, dedicada a los números complejos en forma polar, escribe cada número complejo con su módulo y su ángulo, como en la clase sobre la forma polar de los números complejos, y reduce las potencias y las raíces a multiplicar módulos y sumar ángulos; la unidad 4 representa los giros del plano mediante matrices cuyos coeficientes son senos y cosenos, en la clase sobre las matrices como transformaciones del plano; y la unidad 5, sobre la geometría analítica del espacio, mide el ángulo entre dos vectores del espacio por su coseno, en la clase sobre los vectores en el espacio y el producto escalar, y lo emplea para calcular ángulos entre rectas y planos.

En otros cursos del sitio, la desigualdad $\sin x < x < \tan x$ es el punto de partida del cálculo de la derivada del seno en el curso de Cálculo I, y las longitudes de arcos, las áreas limitadas por curvas polares y las sustituciones trigonométricas se estudian en el curso de Cálculo II. El curso de Fundamentos de Mecánica descompone fuerzas y velocidades en componentes mediante el seno y el coseno, y estudia el movimiento circular con la relación entre la velocidad angular y la lineal. En el curso de Programación en C++ I, las bibliotecas matemáticas del lenguaje ofrecen, además del seno, el coseno y el arcotangente, una función de dos argumentos que devuelve el ángulo polar de un punto entre $-\pi$ y $\pi$ , con la misma corrección según el cuadrante que se demuestra en esta unidad.

Fuera de las matemáticas, la trigonometría es la herramienta de la topografía, de la navegación y de la geodesia, que miden el terreno por triangulación; las coordenadas polares son las de los radares y de los sistemas que localizan un objeto por su distancia y su rumbo; y las sinusoides son el lenguaje de la acústica, de la electricidad alterna, de las telecomunicaciones y del tratamiento de señales e imágenes, que descomponen toda señal en oscilaciones simples siguiendo la idea de Fourier.