Ángulos y su medida: grados y radianes

Resumen

Esta clase define los ángulos orientados, que miden una rotación con su sentido y pueden exceder la vuelta completa, y sus dos medidas usuales: el grado sexagesimal, fijado por una convención antigua, y el radián, que es la longitud del arco que el ángulo abarca en la circunferencia unitaria. Admite la longitud de la circunferencia, la proporcionalidad de los arcos con los radios y la conservación de las longitudes por las reflexiones, define el número $\pi$ como la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria y enuncia el axioma del recorrido por longitud de arco, que asigna a cada número real un punto de esa circunferencia; deduce de ello el comportamiento del recorrido en su segunda media vuelta, la regla de conversión entre grados y radianes, la longitud de un arco, el área de un sector y el teorema del ángulo inscrito. Sitúa después los ángulos en posición normal, demuestra que todo ángulo se reduce de un único modo a uno de la primera vuelta y que una vuelta no pasa dos veces por el mismo punto, caracteriza los ángulos coterminales y relaciona la velocidad angular con la lineal. Los problemas miden la Tierra como Eratóstenes, calculan un segmento circular, transmiten un giro por una cadena, maximizan el área de un sector de perímetro fijo y cuentan las veces que se superponen las agujas de un reloj.

Objetivos de aprendizaje

Distinguir el lado inicial y el lado terminal de un ángulo orientado, medirlo en grados, minutos y segundos, y reconocer su signo según el sentido de la rotación.
Enunciar el axioma del recorrido por longitud de arco, definir con él el radián y convertir medidas entre grados y radianes, en particular las de los ángulos notables.
Demostrar y aplicar las fórmulas de la longitud de un arco y del área de un sector, el teorema del ángulo inscrito y la relación entre la velocidad angular y la lineal.
Reducir cualquier ángulo a uno de la primera vuelta, demostrando la existencia y la unicidad de la reducción, y decidir si dos ángulos son coterminales.

Ángulos orientados

En la geometría elemental, un ángulo es la figura formada por dos semirrectas con un origen común, y su medida está entre $0^\circ$ y $180^\circ$ . Para estudiar los giros, como el de una rueda, el de las agujas de un reloj o el de la Tierra sobre su eje, esa noción no basta: interesa cuánto se ha girado y en qué sentido, y un giro puede dar varias vueltas. Por eso se considera el ángulo como el resultado de una rotación.

Un ángulo orientado está determinado por una semirrecta, llamada lado inicial, que gira alrededor de su origen, llamado vértice, hasta ocupar una posición final, llamada lado terminal, junto con la rotación efectuada. El ángulo es positivo si la rotación se hace en sentido contrario al de las agujas del reloj (sentido antihorario), y negativo si se hace en el sentido de las agujas del reloj (sentido horario). El ángulo nulo es el que no gira.

Un mismo par de lados puede corresponder a muchos ángulos orientados: el lado terminal ocupa la misma posición si se gira un cuarto de vuelta en sentido antihorario, tres cuartos de vuelta en sentido horario o un cuarto de vuelta más una vuelta completa. Estos ángulos son distintos, porque describen rotaciones distintas, aunque terminen en el mismo lado; la tercera sección precisa cómo se relacionan.

El sistema sexagesimal

La medida más antigua de los ángulos divide la vuelta completa en $360$ partes iguales, llamadas grados; cada grado, en $60$ minutos, y cada minuto, en $60$ segundos. El sistema proviene de la astronomía babilónica, que contaba en base sesenta, como se explica en la clase del curso I sobre los sistemas de numeración posicional; el número $360$ tiene la ventaja de ser divisible por $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $8$ , $9$ , $10$ y $12$ , entre otros. Un ángulo recto mide $90^\circ$ , un ángulo llano mide $180^\circ$ y una vuelta completa, $360^\circ$ ; un ángulo negativo se mide con el signo menos, de modo que un cuarto de vuelta en sentido horario mide $-90^\circ$ . El ángulo de 40 grados, 15 minutos y 36 segundos, que se abrevia escribiendo tras cada cifra el signo de grado, un apóstrofo para los minutos y dos para los segundos, mide en grados lo siguiente, es decir, 40,26 grados:

40 + \frac{15}{60} + \frac{36}{3600} = 40 + \frac{1}{4} + \frac{1}{100} = \frac{2013}{50}

El número $360$ es, sin embargo, una convención: nada en la geometría del círculo lo distingue de otro número. Las fórmulas de la longitud de un arco y del área de un sector, y más adelante las de las funciones trigonométricas, se simplifican si los ángulos se miden de un modo que nace de la propia circunferencia.

El radián

La idea es medir un ángulo por la longitud del arco que abarca en una circunferencia de radio $1$ centrada en su vértice. Esto exige saber qué es la longitud de un arco, y ahí aparece una dificultad: un arco no es una unión de segmentos, y su longitud se define como el valor al que se acercan las longitudes de las poligonales inscritas en él cuando sus lados se hacen cada vez más cortos, es decir, mediante un límite. Su estudio corresponde al curso de Cálculo II, donde se calculan longitudes de curvas y áreas de regiones limitadas por curvas. Aquí se admiten los hechos siguientes.

Hecho admitido (longitudes y áreas en el círculo). Todo arco de circunferencia tiene una longitud, y toda región limitada por segmentos y arcos tiene un área. Las figuras congruentes tienen la misma longitud o la misma área; si una figura se descompone en dos que no se superponen, su medida es la suma de las medidas de las partes; y si una región contiene a otra, su área no es menor, y es mayor si la diferencia contiene algún disco. Además, si dos circunferencias tienen radios $r$ y $R$ , los arcos que abarca un mismo ángulo central en ellas son proporcionales a los radios, y el área de un disco de radio $r$ es $\pi r^2$ .

Este hecho se admite sin demostración, porque las longitudes de los arcos y las áreas de las regiones curvas se definen mediante límites y se calculan con la integral, en el curso de Cálculo II. Su última parte supone conocido el número $\pi$ , que se define ahora: el número $\pi$ es la mitad de la longitud de la circunferencia unitaria, es decir, de la circunferencia de radio $1$ . Por la proporcionalidad de los arcos con los radios, aplicada al ángulo de una vuelta completa, la circunferencia de radio $r$ tiene longitud $2\pi r$ , y el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro es siempre $\pi$ . También se admite que $\pi$ es irracional, y que su expresión decimal comienza por 3,14159; en particular, $3 < \pi < 4$ .

Para medir los ángulos hace falta, además, recorrer la circunferencia por longitud de arco: partir de un punto y avanzar sobre ella una longitud dada, en un sentido o en el otro, y saber a qué punto se llega. Todo lo que esta unidad dice de los ángulos y de las funciones trigonométricas descansa en ese recorrido, de modo que conviene enunciar con precisión lo que se admite de él. Se enuncia en el plano cartesiano, para la circunferencia unitaria $x^2 + y^2 = 1$ y su punto $A = (1, 0)$ ; como las longitudes no cambian al mover las figuras, vale igual para cualquier circunferencia de radio $1$ y cualquier punto de partida.

Axioma (recorrido por longitud de arco). Para cada número real $s$ existe un único punto $P(s)$ de la circunferencia unitaria al que se llega partiendo de $A = (1, 0)$ y recorriendo sobre ella una longitud $\abs{s}$ , en sentido antihorario si $s > 0$ y en sentido horario si $s < 0$ , dando tantas vueltas como haga falta; para $s = 0$ es $P(0) = A$ . Este recorrido tiene las cuatro propiedades siguientes.

Encadenamiento: si desde el punto $P(s)$ se recorre una longitud $t \geq 0$ en sentido antihorario, se llega a $P(s + t)$ ; si se recorre en sentido horario, se llega a $P(s - t)$ .
Periodicidad: una vuelta completa, en cualquier sentido, recorre la longitud $2\pi$ de la circunferencia y devuelve al punto de partida; es decir, $P(s + 2\pi) = P(s)$ para todo número real $s$ .
Media vuelta: el recorrido antihorario pasa primero por la semicircunferencia superior, de derecha a izquierda. Precisamente, $P(\pi) = (-1, 0)$ , y si $0 \leq s < t \leq \pi$ , los puntos $P(s)$ y $P(t)$ tienen ordenada no negativa y la abscisa de $P(s)$ es mayor que la de $P(t)$ .
Recubrimiento: todo punto de la circunferencia unitaria es $P(s)$ para algún número real $s$ .

El axioma se admite sin demostración por la misma razón que el hecho anterior: la longitud de un arco se define mediante un límite, y sus propiedades se demuestran en el curso de Cálculo II; el recubrimiento, que afirma que al recorrer la circunferencia no se salta ningún punto, descansa además en la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas, que se demuestra en el curso de Cálculo I. La propiedad de la media vuelta tiene una lectura geométrica sencilla. Si $(x, y)$ está en la circunferencia unitaria, el cuadrado de su distancia al punto $A$ es el siguiente:

(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + y^2 - 2x + 1 = 2 - 2x

De donde decir que la abscisa decrece estrictamente a lo largo de la semicircunferencia superior equivale a decir que la cuerda que une $A$ con el punto recorrido crece estrictamente con el arco, hasta convertirse en un diámetro al cabo de media vuelta. Cuando, en la clase sobre las razones trigonométricas, el coseno de $s$ se defina como la abscisa de $P(s)$ , esta propiedad dirá que el coseno es estrictamente decreciente en $\icc{0}{\pi}$ : esa monotonía no se deduce, sino que es la propia cláusula de la media vuelta leída en coordenadas. Ahora bien, de este axioma, de los hechos sobre longitudes y áreas y del hecho que se admite a continuación sobre las reflexiones se deduce todo lo demás que se usa del recorrido: en esta clase, el comportamiento de la segunda media vuelta y que una vuelta no pasa dos veces por el mismo punto; en la clase sobre las funciones trigonométricas inversas, la monotonía del seno y de la tangente.

Hecho admitido (reflexiones y giro de media vuelta). Una reflexión respecto de una recta conserva las distancias y, con ellas, las longitudes de los arcos, pero invierte el sentido de giro: transforma un recorrido antihorario de una circunferencia centrada en un punto de esa recta en un recorrido horario de la misma longitud, y recíprocamente. El giro de media vuelta alrededor de un punto, que es la composición de las reflexiones respecto de dos rectas perpendiculares que pasan por él, conserva las distancias, las longitudes y también el sentido de giro.

Este hecho pertenece a la geometría elemental de los movimientos del plano, que este curso no desarrolla. En coordenadas, la reflexión respecto del eje $x$ es la transformación $(x, y) \mapsto (x, -y)$ ; lleva la circunferencia unitaria en sí misma, porque $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$ , y deja fijo el punto $A = (1, 0)$ . Con ella, la segunda media vuelta del recorrido se obtiene de la primera.

ProposiciónLa segunda media vuelta

Para todo número real $u$ , el punto $P(-u)$ es el reflejo de $P(u)$ respecto del eje $x$ . Además, si $\pi \leq s < t \leq 2\pi$ , los puntos $P(s)$ y $P(t)$ tienen ordenada no positiva y la abscisa de $P(s)$ es menor que la de $P(t)$ : en su segunda media vuelta, el recorrido antihorario pasa por la semicircunferencia inferior, de izquierda a derecha.

Se refleja el recorrido respecto del eje $x$ , y la periodicidad traslada la primera media vuelta, recorrida hacia atrás, a la segunda. Se escribe $(x_w, y_w)$ para las coordenadas de $P(w)$ , y $\sigma$ para la reflexión respecto del eje $x$ .

Demostración

$\sigma(x, y) = (x, \resaltar{-y}), \quad \sigma(A) = A$
La reflexión $\sigma$ cambia el signo de la ordenada, lleva la circunferencia unitaria en sí misma y deja fijo el punto $A$ .
$\dato{r}{P(-u) = \resaltar{\sigma(P(u))} = \left( x_u, -y_u \right)}$
Sea $u \geq 0$ . Por el hecho admitido, $\sigma$ transforma el recorrido antihorario de longitud $u$ que parte de $A$ y termina en $P(u)$ en un recorrido horario de la misma longitud que parte de $A$ ; por la unicidad del punto en el axioma, ese recorrido termina en $P(-u)$ . Si $u < 0$ , se aplica lo anterior a $-u$ y se refleja otra vez, porque $\sigma$ aplicada dos veces deja cada punto en su sitio.
$P(s) = P(\resaltar{-u}) = \dato{st}{\resaltar{\left( x_u, -y_u \right)}}, \quad P(t) = \left( x_v, -y_v \right)$
Sean $\pi \leq s < t \leq 2\pi$ , y sean $u = 2\pi - s$ y $v = 2\pi - t$ , que cumplen $0 \leq v < u \leq \pi$ . Por la periodicidad, $P(s) = P(s - 2\pi) = P(-u)$ , que es el reflejo de $P(u)$ ; del mismo modo, $P(t)$ es el reflejo de $P(v)$ .
$x_s = \resaltar{x_u < x_v} = x_t, \quad y_s = -y_u \leq 0, \quad y_t = -y_v \leq 0$
Por la propiedad de la media vuelta, aplicada a $v < u$ en $\icc{0}{\pi}$ , las ordenadas de $P(u)$ y de $P(v)$ no son negativas y la abscisa de $P(v)$ es mayor que la de $P(u)$ . La reflexión conserva las abscisas y cambia el signo de las ordenadas: se obtiene lo enunciado.

Sea un ángulo orientado con vértice en el centro $O$ de la circunferencia unitaria, y sea $A$ el punto en que el lado inicial corta a esa circunferencia. Cuando el lado gira, el punto $A$ recorre un arco de la circunferencia, como en el axioma anterior. La medida en radianes del ángulo es la longitud de ese arco, con signo positivo si el giro es antihorario y negativo si es horario; si el giro da varias vueltas, cada vuelta completa aporta la longitud $2\pi$ de la circunferencia.

EjemploAlgunos ángulos medidos en radianes

La definición permite medir de inmediato los ángulos que son fracciones sencillas de la vuelta.

Demostración

$L = 2\pi$
La circunferencia unitaria tiene centro en el vértice $O$ y radio $1$ ; por la definición de $\pi$ , su longitud es $2\pi$ . El lado inicial la corta en el punto $A$ .
$\theta = s$
Al girar el lado en sentido antihorario, el punto $A$ recorre un arco; la longitud $s$ de ese arco es la medida del ángulo.
$s = 1 \rightarrow \theta = 1$
Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Como $2\pi$ es algo mayor que $6$ , un radián es algo menos que la sexta parte de la vuelta.
$\theta = \frac{\resaltar{2\pi}}{4} = \resaltar{\frac{\pi}{2}}$
Un cuarto de vuelta recorre la cuarta parte de la circunferencia: el ángulo recto mide $\frac{\pi}{2}$ radianes.
$\theta = \pi, \quad \theta = 2\pi$
Media vuelta recorre la mitad de la circunferencia, cuya longitud es $\pi$ por definición; la vuelta completa mide $2\pi$ .
$\theta = -\frac{\pi}{2}$
Si el lado gira un cuarto de vuelta en sentido horario, el arco recorrido mide lo mismo, pero el ángulo es negativo.

Un ángulo medido en radianes es un número real sin unidades: es el cociente entre una longitud de arco y la longitud del radio, que vale $1$ . Por eso se escribe simplemente $\theta = 2$ para un ángulo de dos radianes; cuando se quiere insistir en la unidad, se escribe 2 rad. En cambio, la medida en grados se indica siempre con su símbolo, como en $30^\circ$ . Recíprocamente, todo número real es la medida de algún ángulo orientado: por el axioma del recorrido, para cada $\theta$ el punto $A$ puede recorrer la circunferencia una longitud $\abs{\theta}$ en el sentido que indica el signo de $\theta$ , dando tantas vueltas completas como haga falta, y la semirrecta que va del vértice al punto alcanzado es el lado terminal.

La conversión entre grados y radianes

Como la vuelta completa mide $360^\circ$ y también $2\pi$ radianes, y como los arcos de una misma circunferencia son proporcionales a los ángulos centrales que abarcan, las dos medidas de un ángulo son proporcionales.

TeoremaConversión entre grados y radianes

Si un ángulo mide $g$ grados y $\theta$ radianes, entonces $\theta = \frac{\pi g}{180}$ y $g = \frac{180 \theta}{\pi}$ .

La regla se obtiene de la proporción entre el ángulo y la vuelta completa, y se aplica después a las marcas notables de la circunferencia, los ángulos que aparecen en las figuras elementales.

Demostración

$\dato{v}{360^\circ = 2\pi}$
Una vuelta completa mide $360$ grados y $2\pi$ radianes.
$\frac{\theta}{2\pi} = \frac{g}{360} \rightarrow \dato{c}{\theta = \resaltar{\frac{2\pi g}{360}} = \resaltar{\frac{\pi g}{180}}}$
El cociente entre un ángulo y la vuelta completa es el mismo en las dos medidas, porque ambas son proporcionales a la longitud del arco; cada vuelta adicional suma $360^\circ$ en una y $2\pi$ en la otra. Despejando $\theta$ se obtiene la regla.
$1^\circ = \frac{\pi}{180}, \quad 1 = \left( \frac{180}{\pi} \right)^\circ$
Con $g = 1$ y con $\theta = 1$ : un grado es una pequeña fracción del radián, y un radián mide algo más de $57$ grados, porque $\frac{180}{\pi}$ es aproximadamente 57,3.
$30^\circ = \resaltar{\frac{30\pi}{180}} = \resaltar{\frac{\pi}{6}}, \quad 45^\circ = \frac{\pi}{4}, \quad 60^\circ = \frac{\pi}{3}$
Los ángulos de $30$ , $45$ y $60$ grados, que aparecen en el triángulo equilátero y en el cuadrado, se convierten simplificando la fracción.
$90^\circ = \frac{\pi}{2}, \quad 180^\circ = \pi, \quad 270^\circ = \frac{3\pi}{2}$
El ángulo recto, el llano y tres cuartos de vuelta marcan los semiejes.
$120^\circ = \frac{2\pi}{3}, \quad 135^\circ = \frac{3\pi}{4}, \quad 150^\circ = \resaltar{\pi - \frac{\pi}{6}} = \resaltar{\frac{5\pi}{6}}$
Los demás ángulos notables de la vuelta se obtienen sumando o restando; por ejemplo, $150^\circ$ es $180^\circ$ menos $30^\circ$ .

En la práctica, para pasar de grados a radianes se multiplica por $\frac{\pi}{180}$ , y para pasar de radianes a grados, por $\frac{180}{\pi}$ . Así, $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$ , $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ y $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$ ; el ángulo de $2$ radianes mide $\frac{360}{\pi}$ grados, aproximadamente 114,6 grados.

Longitud de arco y área de un sector

En una circunferencia de radio $r$ , un ángulo central $\theta$ abarca un arco, y los dos lados del ángulo, junto con ese arco, limitan un sector circular. La medida en radianes da a sus fórmulas una forma particularmente simple.

TeoremaLongitud de arco y área del sector

En una circunferencia de radio $r$ , un ángulo central de $\theta$ radianes, con $0 < \theta \leq 2\pi$ , abarca un arco de longitud $s = r\theta$ , y el sector que determina tiene área $A = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} rs$ .

La longitud del arco se sigue de la proporcionalidad admitida. Para el área se demuestra primero la fórmula cuando el ángulo es una fracción racional de la vuelta, y después se extiende a todo ángulo con la densidad de los racionales, demostrada en la clase del curso I sobre la recta real.

Demostración

$s_1 = \theta$
En la circunferencia unitaria con el mismo centro, el ángulo abarca un arco de longitud $\theta$ , por la definición del radián.
$s = r \resaltar{s_1} = \dato{s}{\resaltar{r\theta}}$
Por la proporcionalidad de los arcos con los radios, el arco correspondiente en la circunferencia de radio $r$ es $r$ veces mayor.
$A = \resaltar{\frac{p}{q} \pi r^2} = \dato{f}{\resaltar{\frac{1}{2} r^2 \theta}}$
Si $\theta = \frac{2\pi p}{q}$ , con $p$ y $q$ naturales y $p \leq q$ , el disco se divide en $q$ sectores congruentes de ángulo $\frac{2\pi}{q}$ , cada uno de área $\frac{\pi r^2}{q}$ , y el sector de ángulo $\theta$ es la unión de $p$ de ellos.
$\frac{2A}{r^2} < \varphi < \theta \rightarrow A < \resaltar{\frac{1}{2} r^2 \varphi} = A_\varphi \leq A$
Sea ahora $\theta$ cualquiera, y supongamos que el área $A$ de su sector fuera menor que $\frac{1}{2} r^2 \theta$ . Por la densidad de los racionales hay un ángulo $\varphi$ , fracción racional de la vuelta, entre $\frac{2A}{r^2}$ y $\theta$ . Su sector está contenido en el de $\theta$ , y su área tiene la fórmula del paso anterior: se llega a una contradicción.
$A = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} r \resaltar{s}$
Del mismo modo, con un $\varphi$ entre $\theta$ y $\frac{2A}{r^2}$ , que no excede la vuelta porque el sector no supera al disco, se descarta que $A$ sea mayor que $\frac{1}{2} r^2 \theta$ . Por tanto, el área es la indicada, y con $r\theta = s$ resulta una fórmula análoga a la del área de un triángulo de base $s$ y altura $r$ .

Si el ángulo se midiera en grados, las fórmulas llevarían el factor de conversión: el arco sería $\frac{\pi r g}{180}$ y el área del sector $\frac{\pi r^2 g}{360}$ . La sencillez de $s = r\theta$ es la razón principal para preferir el radián. Además, la fórmula da la medida de un ángulo en cualquier circunferencia, no solo en la unitaria: $\theta = \frac{s}{r}$ es el cociente entre el arco y el radio, y no depende del radio elegido.

El ángulo inscrito

Un ángulo con el vértice en el centro de una circunferencia se llama ángulo central. Si $A$ , $B$ y $C$ son tres puntos distintos de una circunferencia, el ángulo que forman en $C$ las cuerdas $CA$ y $CB$ se llama ángulo inscrito, y se dice que abarca el arco de extremos $A$ y $B$ que no contiene a $C$ . Por el teorema anterior, a un arco de longitud $s$ de una circunferencia de radio $r$ le corresponde el ángulo central de $\frac{s}{r}$ radianes, aunque ese número exceda a $\pi$ . Para comparar el ángulo inscrito con el central se admiten los hechos siguientes de la geometría elemental, que este curso no demuestra porque no desarrolla la geometría sintética. Los dos primeros miden los ángulos de un triángulo; los dos últimos son hechos de posición, que dicen cómo se reparten los ángulos y los arcos cuando una semirrecta pasa por el interior de un ángulo.

Hecho admitido (ángulos del triángulo y posiciones en la circunferencia). Se admiten las cuatro afirmaciones siguientes, en las que los ángulos no orientados se miden en radianes, entre $0$ y $\pi$ .

Suma de los ángulos: los tres ángulos de un triángulo suman un ángulo llano, es decir, $\pi$ radianes.
Triángulo isósceles: en un triángulo con dos lados iguales, los ángulos opuestos a esos lados son iguales.
Suma de ángulos adyacentes: si una semirrecta que parte del vértice de un ángulo pasa por su interior, lo divide en dos ángulos cuyas medidas suman la del ángulo dado.
Posición del centro: sean $A$ , $B$ y $C$ tres puntos distintos de una circunferencia de centro $O$ , y sea $D$ el otro extremo del diámetro que parte de $C$ . Si $O$ no está en las cuerdas $CA$ ni $CB$ , ocurre una de dos cosas. O bien $O$ está en el interior del ángulo que forman en $C$ esas cuerdas, y entonces la semirrecta que va de $C$ a $D$ pasa por ese interior y $D$ está en el arco de extremos $A$ y $B$ que no contiene a $C$ . O bien $O$ está fuera de ese ángulo, y entonces uno de los puntos $A$ y $B$ , que puede llamarse $A$ , está en el arco de extremos $D$ y $B$ que no contiene a $C$ , y la semirrecta que va de $C$ a $A$ pasa por el interior del ángulo que forman en $C$ las cuerdas $CD$ y $CB$ .

TeoremaEl ángulo inscrito mide la mitad del arco que abarca

Sean $A$ , $B$ y $C$ tres puntos distintos de una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ , y sea $s$ la longitud del arco de extremos $A$ y $B$ que no contiene a $C$ . El ángulo inscrito $\gamma$ que forman en $C$ las cuerdas $CA$ y $CB$ es la mitad del ángulo central correspondiente a ese arco.

\gamma = \frac{s}{2r}

La demostración trata primero el caso en que un lado del ángulo inscrito pasa por el centro, y reduce a él los otros dos casos del hecho admitido sobre la posición del centro mediante el diámetro que parte de $C$ .

Demostración

$\dato{i}{\alpha = \gamma}$
Supongamos primero que el centro $O$ está en la cuerda $CB$ , que es entonces un diámetro (el caso en que está en la cuerda $CA$ es igual). Sea $\alpha$ el ángulo en $A$ del triángulo de vértices $O$ , $C$ y $A$ , que es un verdadero triángulo porque $A$ , distinto de $C$ y de $B$ , no está en la recta que los une; ese triángulo es isósceles, porque $OA$ y $OC$ son radios, y sus ángulos en $C$ y en $A$ son iguales.
$\delta = \pi - \left( \pi - \alpha - \gamma \right) = \resaltar{\alpha + \gamma} = \dato{d}{\resaltar{2\gamma}} < \pi$
Sea $\delta$ el ángulo central que forman los radios $OA$ y $OB$ . Como $C$ , $O$ y $B$ están alineados, $\delta$ y el ángulo en $O$ del triángulo suman $\pi$ ; como los tres ángulos del triángulo también suman $\pi$ , $\delta$ es la suma de los otros dos. Además, el ángulo en $O$ es positivo, de modo que $\alpha + \gamma$ es menor que $\pi$ , y también lo es $\delta$ .
$s = r \resaltar{\delta} = \resaltar{2r\gamma} \rightarrow \dato{c}{\gamma = \frac{s}{2r}}$
Los radios $OA$ y $OB$ dividen la circunferencia en dos arcos; como $\delta < \pi$ , por el teorema del arco, el que abarca $\delta$ mide $r\delta$ , menos que la semicircunferencia, y el otro, más. El punto $C$ , extremo opuesto a $B$ del diámetro, está a una semicircunferencia de $B$ en los dos sentidos, de modo que no está en el arco menor: este es el arco abarcado por $\gamma$ , y $s = r\delta$ .
$\gamma = \frac{s_1}{2r} + \frac{s_2}{2r} = \frac{\resaltar{s_1 + s_2}}{2r} = \frac{\resaltar{s}}{2r}$
Si el centro está en el interior del ángulo, sea $D$ el otro extremo del diámetro que parte de $C$ . Por el hecho admitido sobre la posición del centro, la semirrecta de $C$ a $D$ divide el ángulo en dos, cada uno con un lado que pasa por el centro, cuyas medidas suman $\gamma$ por la suma de ángulos adyacentes; y $D$ divide el arco abarcado en dos arcos, de longitudes $s_1$ y $s_2$ , que suman $s$ . Por el caso anterior, aplicado a cada uno de los dos ángulos, se obtiene lo siguiente.
$\gamma = \frac{s_2}{2r} - \frac{s_1}{2r} = \frac{\resaltar{s_2 - s_1}}{2r} = \frac{\resaltar{s}}{2r}$
Si el centro está fuera del ángulo, sea otra vez $D$ el otro extremo del diámetro que parte de $C$ . Por el hecho admitido sobre la posición del centro, puede suponerse que $A$ está en el arco que va de $D$ a $B$ sin pasar por $C$ , y que la semirrecta de $C$ a $A$ divide el ángulo de lados $CD$ y $CB$ en el de lados $CD$ y $CA$ y en $\gamma$ . Ese arco, de longitud $s_2$ , se compone del arco que va de $D$ a $A$ , de longitud $s_1$ , y del arco abarcado por $\gamma$ ; y $\gamma$ es la diferencia de dos ángulos con un lado que pasa por el centro.

CorolarioÁngulos inscritos en una misma cuerda

Dos ángulos inscritos con los mismos extremos $A$ y $B$ son iguales si sus vértices están en el mismo arco de los dos que la cuerda $AB$ determina, y suplementarios si están en arcos distintos. En particular, todo ángulo inscrito en una semicircunferencia, es decir, cuyos extremos $A$ y $B$ son los de un diámetro, es recto.

Basta leer, en cada caso, qué arco abarca cada ángulo, y aplicar el teorema. Sean $C$ y $C'$ los vértices, $\gamma$ y $\gamma'$ los ángulos, y $s$ la longitud del arco de extremos $A$ y $B$ que no contiene a $C$ .

Demostración

$\dato{g}{\gamma = \frac{s}{2r}} = \gamma'$
Si $C'$ está en el mismo arco que $C$ , los dos ángulos abarcan el otro arco, de longitud $s$ , y por el teorema miden lo mismo.
$\gamma + \gamma' = \frac{s}{2r} + \frac{\resaltar{2\pi r - s}}{2r} = \resaltar{\pi}$
Si $C'$ está en el otro arco, abarca el arco que contiene a $C$ , cuya longitud es lo que falta a $s$ para completar la circunferencia; las dos medidas suman un ángulo llano.
$s = \pi r \rightarrow \gamma = \frac{\resaltar{\pi r}}{2r} = \resaltar{\frac{\pi}{2}}$
Si $AB$ es un diámetro, los dos arcos son semicircunferencias, de longitud $\pi r$ , y el ángulo es recto; este caso particular se conoce como teorema de Tales.

Los puntos que no están en la circunferencia ven la cuerda bajo otros ángulos. El resultado siguiente se admite también de la geometría elemental: se obtiene del teorema anterior y de la proposición 21 del libro I de los Elementos de Euclides, según la cual un punto interior a un triángulo ve uno de sus lados bajo un ángulo mayor que el vértice opuesto; pero su demostración exige saber dónde cortan a la circunferencia los segmentos que parten del punto, una cuestión de posición que este curso no desarrolla. Se usará en el último problema resuelto de la clase sobre las funciones trigonométricas inversas.

Hecho admitido (ángulos desde puntos interiores y exteriores). Sean $A$ y $B$ dos puntos de una circunferencia, y $\gamma$ la medida común de los ángulos inscritos con extremos $A$ y $B$ cuyo vértice está en uno de los dos arcos que estos determinan. Si $Q$ es un punto que no está en la circunferencia, situado del mismo lado de la recta $AB$ que ese arco, el ángulo que forman en $Q$ los segmentos $QA$ y $QB$ es menor que $\gamma$ si $Q$ es exterior al círculo, y mayor que $\gamma$ si es interior.

Posición normal y ángulos coterminales

En el plano cartesiano, estudiado en la clase del curso I sobre la ecuación de la recta y los sistemas cartesianos, cada ángulo tiene una posición privilegiada.

Un ángulo orientado está en posición normal si su vértice es el origen y su lado inicial es el semieje $x$ positivo. Su lado terminal es entonces la semirrecta que parte del origen y pasa por el punto $P(\theta)$ del axioma del recorrido, es decir, el punto de la circunferencia unitaria $x^2 + y^2 = 1$ al que se llega recorriendo, desde $(1, 0)$ , un arco de longitud $\abs{\theta}$ en el sentido que indica el signo de $\theta$ . Dos ángulos son coterminales si, en posición normal, tienen el mismo lado terminal.

Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario a partir del que contiene los puntos de coordenadas positivas. Un ángulo en posición normal está en el cuadrante que contiene su lado terminal; si este cae sobre un eje, el ángulo se llama cuadrantal. Las coordenadas del punto $P(\theta)$ son el coseno y el seno de $\theta$ , que se estudiarán en la clase siguiente, sobre las razones trigonométricas.

Una vuelta completa, en cualquier sentido, devuelve el lado a su posición, por la periodicidad del recorrido: el ángulo $\theta + 2\pi$ es coterminal con $\theta$ , y lo mismo $\theta - 2\pi$ , $\theta + 4\pi$ y, en general, $\theta + 2k\pi$ con $k$ entero. Para saber dónde termina un ángulo cualquiera basta, entonces, descontar las vueltas completas, como se descuentan los múltiplos del divisor en la clase del curso I sobre la divisibilidad y la división con resto. El teorema siguiente es la versión real de aquella división: el divisor es $2\pi$ , el cociente es el número de vueltas y el resto, el ángulo que queda.

TeoremaReducción a la primera vuelta

Para todo número real $\theta$ existen un único entero $k$ y un único real $\theta_0$ tales que $\theta = \theta_0 + 2k\pi$ y $0 \leq \theta_0 < 2\pi$ .

La existencia se apoya en la propiedad arquimediana, demostrada en la clase del curso I sobre la expresión decimal de los racionales, y la unicidad, en que un entero comprendido estrictamente entre $-1$ y $1$ es nulo.

Demostración

$\dato{k}{k \leq \frac{\theta}{2\pi} < k + 1}$
Sea $\theta$ un número real. Por la propiedad arquimediana y el principio del buen orden, como en la demostración de la densidad de los racionales de la clase sobre la recta real, existe el menor entero $m$ mayor que $\frac{\theta}{2\pi}$ ; sea $k = m - 1$ , que ya no es mayor que ese número.
$\resaltar{2k\pi \leq \theta < 2k\pi + 2\pi} \rightarrow \resaltar{0 \leq \theta - 2k\pi < 2\pi}$
Multiplicamos por $2\pi$ , que es positivo, y restamos $2k\pi$ a los tres miembros.
$\dato{e}{\theta = \theta_0 + 2k\pi, \quad \theta_0 \in \ico{0}{2\pi}}$
Sea $\theta_0 = \theta - 2k\pi$ . Entonces $\theta$ consiste en $k$ vueltas completas seguidas del ángulo $\theta_0$ , que está en la primera vuelta: $\theta$ y $\theta_0$ son coterminales.
$\dato{d}{2\pi(k - j) = \theta_1 - \theta_0}, \quad -2\pi < \theta_1 - \theta_0 < 2\pi$
Para la unicidad, supongamos que también $\theta = \theta_1 + 2j\pi$ , con $j$ entero y $0 \leq \theta_1 < 2\pi$ . Restando las dos escrituras, la diferencia $\theta_1 - \theta_0$ es un múltiplo entero de $2\pi$ ; y como los dos números están en el intervalo $\ico{0}{2\pi}$ , esa diferencia está entre $-2\pi$ y $2\pi$ .
$\abs{k - j} < 1 \rightarrow k = j \rightarrow \theta_1 = \theta_0$
Dividiendo por $2\pi$ , el entero $k - j$ está estrictamente entre $-1$ y $1$ : es nulo. Por tanto, $j = k$ y, por la igualdad anterior, $\theta_1 = \theta_0$ .
$\theta_0 = \resaltar{-\frac{23\pi}{6} + 4\pi} = \resaltar{\frac{\pi}{6}}$
Por ejemplo, para $\theta = -\frac{23\pi}{6}$ se tiene $\frac{\theta}{2\pi} = -\frac{23}{12}$ , que está entre $-2$ y $-1$ : es $k = -2$ , y el ángulo da casi dos vueltas en sentido horario para terminar en el lado de $\frac{\pi}{6}$ .

El número $\theta_0$ se llama la reducción de $\theta$ a la primera vuelta. En grados, el mismo razonamiento, con $360$ en lugar de $2\pi$ , reduce cualquier ángulo a uno entre $0^\circ$ y $360^\circ$ , este excluido: por ejemplo, $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$ . Con la reducción se reconocen todos los ángulos que terminan en un mismo lado; antes hace falta saber que una vuelta no pasa dos veces por el mismo punto, lo que se deduce del axioma del recorrido.

LemaUna vuelta no repite puntos

Si $0 \leq \alpha < \beta < 2\pi$ , entonces $P(\alpha) \neq P(\beta)$ .

Se separan los casos según la media vuelta en que estén $\alpha$ y $\beta$ : en cada una, la abscisa es estrictamente monótona; entre una y otra, cambia el signo de la ordenada. Se escribe $(x_s, y_s)$ para las coordenadas de $P(s)$ .

Demostración

$0 < s < \pi \vee \pi < s < 2\pi \rightarrow \dato{x}{-1 < x_s < 1}$
Por la propiedad de la media vuelta, cuando $s$ crece de $0$ a $\pi$ la abscisa de $P(s)$ decrece estrictamente desde $1$ hasta $-1$ ; por la proposición de la segunda media vuelta, cuando $s$ crece de $\pi$ a $2\pi$ crece estrictamente desde $-1$ hasta la abscisa de $P(2\pi)$ , que por la periodicidad es $P(0) = (1, 0)$ .
$y_s^2 = \resaltar{1 - x_s^2} > 0 \rightarrow \dato{y}{\pi < s < 2\pi \rightarrow y_s < 0}$
En esos casos la ordenada no es nula, porque su cuadrado es $1 - x_s^2 > 0$ : es positiva en la primera media vuelta, porque no es negativa, y negativa en la segunda, porque no es positiva.
$x_\alpha \neq x_\beta \rightarrow P(\alpha) \neq P(\beta)$
Si $\alpha$ y $\beta$ están ambos en $\icc{0}{\pi}$ , o ambos en $\ico{\pi}{2\pi}$ , los dos puntos tienen abscisas distintas, por la monotonía estricta en cada media vuelta.
$\resaltar{y_\beta < 0 \leq y_\alpha} \rightarrow P(\alpha) \neq P(\beta)$
Si $\alpha < \pi < \beta$ , el punto $P(\beta)$ tiene ordenada negativa, mientras que la de $P(\alpha)$ , en la primera media vuelta, no es negativa. En todos los casos los dos puntos son distintos.

LemaÁngulos coterminales

Dos ángulos $\theta$ y $\varphi$ son coterminales si y solo si su diferencia es un múltiplo entero de $2\pi$ , es decir, si existe un entero $k$ tal que $\theta - \varphi = 2k\pi$ . En particular, son coterminales si y solo si tienen la misma reducción a la primera vuelta.

Cada ángulo se reemplaza por su reducción, y el lema anterior compara las reducciones.

Demostración

$\dato{p}{P(\theta) = P(\resaltar{\theta_0}), \quad P(\varphi) = P(\resaltar{\varphi_0})}$
Por el teorema de reducción, $\theta = \theta_0 + 2k\pi$ y $\varphi = \varphi_0 + 2j\pi$ , con $\theta_0$ y $\varphi_0$ en $\ico{0}{2\pi}$ ; por la periodicidad del recorrido, las vueltas completas no cambian el punto, y el lado terminal de cada ángulo es el de su reducción.
$\dato{c}{P(\theta) = P(\varphi) \leftrightarrow \theta_0 = \varphi_0}$
Si $\theta_0 \neq \varphi_0$ , por el lema anterior los puntos $P(\theta_0)$ y $P(\varphi_0)$ son distintos, y también los lados terminales; si son iguales, los lados coinciden. Por tanto, los ángulos son coterminales si y solo si tienen la misma reducción.
$\theta_0 = \varphi_0 \rightarrow \theta - \varphi = \resaltar{2(k - j)\pi}, \qquad \theta - \varphi = 2m\pi \rightarrow \theta = \varphi_0 + \resaltar{2(j + m)\pi} \rightarrow \theta_0 = \varphi_0$
Si las reducciones son iguales, la diferencia es un múltiplo entero de $2\pi$ . Recíprocamente, si $\theta - \varphi = 2m\pi$ , entonces $\theta = \varphi_0 + 2(j + m)\pi$ , y por la unicidad de la reducción, $\theta_0 = \varphi_0$ .

De ello se sigue que los ángulos coterminales con $\theta$ son exactamente los de la forma $\theta + 2k\pi$ , con $k$ entero, y que el cuadrante de un ángulo lo decide su reducción: está en el primer cuadrante si $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$ , en el segundo si $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$ , en el tercero si $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$ y en el cuarto si $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$ ; es cuadrantal si $\theta_0$ es $0$ , $\frac{\pi}{2}$ , $\pi$ o $\frac{3\pi}{2}$ . Así, $-\frac{23\pi}{6}$ está en el primer cuadrante, y $1000^\circ$ , cuya reducción es $280^\circ$ , en el cuarto.

Por último, todo punto de la circunferencia unitaria es el punto $P(\theta)$ de algún ángulo: es la propiedad de recubrimiento del axioma del recorrido, que dice que al recorrer la circunferencia desde $(1, 0)$ se pasa por todos sus puntos. Si esto es así, por la reducción a la primera vuelta, la periodicidad y el lema de los ángulos coterminales, cada punto de la circunferencia unitaria es $P(\theta)$ para un único $\theta$ en $\ico{0}{2\pi}$ , y los ángulos que le corresponden son exactamente los coterminales con ese $\theta$ .

Velocidad angular y velocidad lineal

Cuando un cuerpo gira alrededor de un eje, todos sus puntos describen arcos de circunferencia centrados en el eje, y todos giran el mismo ángulo en el mismo tiempo. Si en un tiempo $t$ el cuerpo gira, a ritmo constante, un ángulo $\theta$ , su velocidad angular es el cociente $\omega = \frac{\theta}{t}$ , que se mide en radianes por segundo; también se expresa en revoluciones por minuto, y como una revolución es $2\pi$ radianes y un minuto, $60$ segundos, una revolución por minuto equivale a $\frac{\pi}{30}$ radianes por segundo.

Un punto situado a distancia $r$ del eje recorre, en ese tiempo, un arco de longitud $s = r\theta$ , por el teorema de la longitud de arco. Su velocidad lineal, cociente entre la distancia recorrida y el tiempo, es por tanto el producto del radio por la velocidad angular:

v = \frac{s}{t} = \frac{r\theta}{t} = r\omega

De ello se sigue que, en un cuerpo que gira, la velocidad angular es la misma para todos los puntos, mientras que la lineal crece en proporción a la distancia al eje: el borde de un disco que gira se mueve más deprisa que los puntos cercanos al centro. Esta relación, válida solo si los ángulos se miden en radianes, es el punto de partida del estudio del movimiento circular en el curso de Fundamentos de Mecánica. Dos ruedas unidas por una correa o una cadena que no resbala, o que engranan entre sí, tienen en el punto de contacto la misma velocidad lineal; por tanto, $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$ , y la rueda menor gira más deprisa, como se verá en el problema resuelto 3.

Problemas resueltos

Los problemas miden la Tierra a partir de un ángulo, calculan el área de un segmento circular, transmiten un giro por una cadena, buscan el sector de mayor área con un perímetro dado y cuentan las superposiciones de las agujas de un reloj. Cada uno exige una idea propia, que conviene buscar antes de leer la solución.

Problema resuelto 1La medida de la Tierra según Eratóstenes

Hacia el año 240 antes de nuestra era, Eratóstenes observó que al mediodía del solsticio de verano el Sol iluminaba el fondo de los pozos de Siena, mientras que en Alejandría, situada al norte y, según supuso, sobre el mismo meridiano, los rayos formaban con la vertical un ángulo de 7 grados y 12 minutos. Tomando 800 km como distancia entre las dos ciudades, calcular el radio de la Tierra y la longitud del meridiano, la longitud del arco de meridiano que corresponde a un minuto y la distancia, a lo largo del meridiano, desde el ecuador hasta un punto de latitud $33^\circ$ .

Solución

$\alpha = 7^\circ + \resaltar{\left( \frac{12}{60} \right)^\circ} = \resaltar{\left( \frac{36}{5} \right)^\circ}$
El ángulo, expresado en grados, es $7$ más doce sesentavos; es la quincuagésima parte de la vuelta, porque $\frac{36}{5} \cdot 50 = 360$ .
$\theta = \frac{\resaltar{\frac{36}{5}} \pi}{180} = \dato{t}{\resaltar{\frac{\pi}{25}}}$
Como los rayos del Sol llegan paralelos y en Siena caen en la dirección del radio terrestre, el ángulo en Alejandría entre el rayo y la vertical es igual al que forman en el centro de la Tierra los radios de las dos ciudades: son ángulos alternos entre paralelas. En radianes, por la regla de conversión, es el siguiente.
$R = \frac{s}{\theta} = \frac{\resaltar{800}}{\resaltar{\frac{\pi}{25}}} = \dato{r}{\resaltar{\frac{20000}{\pi}}}$
Los 800 km son el arco de meridiano que abarca ese ángulo central. De $s = R\theta$ se despeja el radio, aproximadamente 6366 km.
$2\pi R = 2\pi \cdot \resaltar{\frac{20000}{\pi}} = \resaltar{40000}$
La longitud del meridiano es la de la circunferencia de radio $R$ ; también es $50$ veces la distancia entre las dos ciudades.
$s = \frac{20000}{\pi} \cdot \resaltar{\frac{\pi}{10800}} = \resaltar{\frac{50}{27}}$
Un minuto es la sexagésima parte de un grado, es decir, $\frac{\pi}{10800}$ radianes. Su arco mide unos 1,852 km: es la milla náutica, que se definió precisamente así.
$s = \frac{20000}{\pi} \cdot \resaltar{\frac{11\pi}{60}} = \resaltar{\frac{11000}{3}}$
La latitud de un punto es el ángulo que forma su radio con el plano del ecuador; $33^\circ$ son $\frac{11\pi}{60}$ radianes. La distancia pedida es de unos 3667 km.

Eratóstenes expresó la distancia en estadios, cuyo valor exacto se discute; con la cifra adoptada aquí, el meridiano mide 40000 km, y no por casualidad: a fines del siglo XVIII el metro se definió como la diezmillonésima parte del cuarto de meridiano. Por otra parte, Alejandría no está exactamente al norte de Siena, sino unos tres grados más al oeste, de modo que el arco que las une no es del todo un arco de meridiano.

Problema resuelto 2El segmento circular de sesenta grados

Una cuerda de extremos $A$ y $B$ , en una circunferencia de centro $O$ y radio $r$ , abarca un ángulo central de $\frac{\pi}{3}$ . Calcular el área del segmento circular limitado por la cuerda y el arco menor de extremos $A$ y $B$ , y la fracción del disco que ocupa.

Solución

$A_s = \frac{1}{2} r^2 \cdot \resaltar{\frac{\pi}{3}} = \dato{s}{\resaltar{\frac{\pi r^2}{6}}}$
El segmento es lo que queda del sector de vértice $O$ y extremos $A$ y $B$ al quitarle el triángulo de vértices $O$ , $A$ y $B$ . El área del sector la da el teorema del sector.
$\frac{\resaltar{\pi - \frac{\pi}{3}}}{2} = \resaltar{\frac{\pi}{3}}$
Ese triángulo tiene dos lados iguales al radio: es isósceles, y sus ángulos en $A$ y en $B$ son iguales. Como los tres ángulos de un triángulo suman $\pi$ , resultado de la geometría elemental, cada uno de ellos mide $\frac{\pi}{3}$ , y el triángulo es equilátero, de lado $r$ .
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} r, \quad A_t = \frac{1}{2} r \cdot \resaltar{\frac{\sqrt{3}}{2} r} = \dato{t}{\resaltar{\frac{\sqrt{3}}{4} r^2}}$
La altura desde $O$ corta la base en su punto medio; por el teorema de Pitágoras, su cuadrado es $r^2 - \frac{r^2}{4}$ . El área del triángulo es la mitad de la base por la altura.
$A = \resaltar{\frac{\pi r^2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} r^2} = \dato{a}{\resaltar{\frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{12} r^2}}$
El área del segmento es la diferencia, con denominador común $12$ ; es positiva, porque $2\pi > 6 > 3\sqrt{3}$ .
$\frac{A}{\pi r^2} = \frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{12\pi}$
Dividiendo por el área del disco, el segmento ocupa aproximadamente el 2,9 por ciento del disco; el sector ocupa la sexta parte, y el triángulo llena cerca del 83 por ciento del sector.

Problema resuelto 3La cadena de una bicicleta

En una bicicleta, la cadena une el plato, de radio $10$ cm, que mueven los pedales, con el piñón, de radio $4$ cm, fijo al eje de la rueda trasera, cuyo radio es $35$ cm. Si el ciclista da una vuelta de pedal por segundo, calcular la velocidad angular de la rueda y la velocidad de la bicicleta, suponiendo que la cadena no resbala y que la rueda rueda sin deslizar.

Solución

$\omega_1 = \dato{w}{2\pi}$
Una vuelta por segundo son $2\pi$ radianes por segundo: esa es la velocidad angular del plato.
$v = r_1 \omega_1 = 10 \cdot \resaltar{2\pi} = \dato{v}{\resaltar{20\pi}}$
Todos los eslabones de la cadena se mueven con la misma rapidez, que es la velocidad lineal del borde del plato, en centímetros por segundo.
$\omega_2 = \frac{v}{r_2} = \frac{\resaltar{20\pi}}{\resaltar{4}} = \dato{p}{\resaltar{5\pi}}$
La cadena arrastra el borde del piñón con la misma velocidad lineal; de $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$ se obtiene la velocidad angular del piñón: dos vueltas y media por segundo.
$v_r = 35 \cdot \resaltar{5\pi} = \dato{b}{\resaltar{175\pi}}$
La rueda está fija al eje del piñón y gira con su misma velocidad angular, pero su borde está mucho más lejos del eje, y su velocidad lineal es mucho mayor, en centímetros por segundo.
$175\pi \cdot \resaltar{\frac{3600}{100000}} = \resaltar{\frac{63\pi}{10}}$
Si la rueda no desliza, en cada vuelta la bicicleta avanza lo que mide la circunferencia de la rueda, que se va apoyando sobre el suelo: su velocidad es la del borde de la rueda. Un centímetro por segundo son $\frac{3600}{100000}$ kilómetros por hora, de modo que la bicicleta avanza a unos 19,8 kilómetros por hora.

Problema resuelto 4El sector de perímetro fijo y área máxima

Con un alambre de longitud $P$ se forma el contorno de un sector circular: dos radios y el arco que los une. Hallar el radio y el ángulo del sector de mayor área, y el valor de esa área.

Solución

$P = 2r + s \rightarrow \dato{s}{s = P - 2r}$
Si el radio es $r$ y el ángulo $\theta$ , el contorno consta de dos radios y de un arco de longitud $s = r\theta$ .
$A = \frac{1}{2} r \resaltar{s} = \frac{1}{2} r \resaltar{(P - 2r)} = \dato{a}{\frac{Pr}{2} - r^2}$
Por el teorema del sector, el área es la mitad del radio por el arco: es una función cuadrática del radio.
$\dato{d}{\frac{P}{2 + 2\pi} \leq r < \frac{P}{2}}$
El arco debe ser positivo y no mayor que la circunferencia entera, es decir, $0 < \theta \leq 2\pi$ ; de $P - 2r > 0$ y $P - 2r \leq 2\pi r$ resulta el intervalo de radios posibles.
$A = \resaltar{\frac{P^2}{16} - \left( r - \frac{P}{4} \right)^2} \leq \resaltar{\frac{P^2}{16}}$
Completando el cuadrado, el área es un número fijo menos un cuadrado. Su gráfico, en función de $r$ , es la parábola $\left( r - \frac{P}{4} \right)^2 = -\left( A - \frac{P^2}{16} \right)$ , que se abre hacia abajo; por el teorema del vértice de la clase del curso I sobre la caracterización de las parábolas, su punto más alto es el vértice.
$r = \frac{P}{4}, \quad A = \frac{P^2}{16}$
La abscisa del vértice, $\frac{P}{4}$ , pertenece al intervalo de radios posibles, porque $2 + 2\pi > 4$ . Por tanto, el área máxima se alcanza exactamente con ese radio.
$\theta = \frac{s}{r} = \frac{\resaltar{P - \frac{P}{2}}}{\frac{P}{4}} = \resaltar{2}$
El arco correspondiente mide $\frac{P}{2}$ , y el ángulo es el cociente entre el arco y el radio: $2$ radianes, unos 114,6 grados, cualquiera que sea $P$ . Curiosamente, el área máxima es la del cuadrado de perímetro $P$ .

Problema resuelto 5Las agujas del reloj

Calcular el ángulo que forman las agujas de un reloj a las 3:40. Demostrar después que, entre las 12:00 y las 12:00 siguientes (excluidas estas últimas), las agujas se superponen exactamente once veces, separadas por intervalos iguales de $\frac{12}{11}$ horas.

Solución

$\dato{p}{\alpha_m = 360t, \quad \alpha_h = 30t}$
Medimos la posición de cada aguja por el ángulo, en grados y en sentido horario, que ha girado desde las 12:00. Al cabo de $t$ horas, el minutero ha dado $t$ vueltas, y el horario, que da una vuelta cada 12 horas, ha girado $30^\circ$ por hora.
$\alpha_m = 360 \cdot \frac{11}{3} = \resaltar{1320^\circ} = \resaltar{240^\circ + 3 \cdot 360^\circ}$
A las 3:40 han pasado $3 + \frac{40}{60} = \frac{11}{3}$ horas. El minutero ha dado tres vueltas completas, que no cambian su posición, y está en la reducción de su ángulo.
$\alpha_h = 30 \cdot \resaltar{\frac{11}{3}} = \resaltar{110^\circ}$
El horario no ha completado ninguna vuelta.
$240^\circ - 110^\circ = \resaltar{130^\circ} = \resaltar{\frac{13\pi}{18}}$
La diferencia de las posiciones reducidas es menor que $180^\circ$ , de modo que es el ángulo que forman las agujas, en grados y en radianes.
$360t - 30t = 330t = 360k \leftrightarrow \dato{t}{t = \frac{12k}{11}}, \quad k \in \mathbb{Z}$
Las agujas se superponen cuando sus ángulos son coterminales, es decir, por el lema de los ángulos coterminales, cuando su diferencia es un múltiplo entero de una vuelta.
$0 \leq \frac{12k}{11} < 12 \leftrightarrow 0 \leq k < 11$
La condición $0 \leq t < 12$ equivale a $0 \leq k < 11$ : hay exactamente once superposiciones, para $k = 0, 1, \ldots, 10$ , y dos consecutivas distan $\frac{12}{11}$ horas, aproximadamente una hora, 5 minutos y 27 segundos. Las posiciones del horario, $\frac{360k}{11}$ grados, son los vértices de un endecágono regular.

Problemas propuestos

Los problemas siguen las ideas de la clase: convertir un sector en un cono, estimar la longitud de una espiral sumando circunferencias, descomponer una cinta en tramos rectos y arcos cuyos ángulos centrales se suman, y reducir los ángulos a la primera vuelta mediante los ángulos coterminales para contar posiciones e instantes. Cada uno tiene una pista, que conviene abrir solo después de haberlo intentado; los de demostración tienen, además, una solución desarrollada.

Problema propuesto 1Un cono de papel

Se recorta de una hoja un sector circular de radio $12$ cm y ángulo $120^\circ$ , y se pegan sus dos radios para formar la superficie lateral de un cono. Calcular el radio de la base y la altura del cono.

Pista

El arco del sector se convierte en la circunferencia de la base, y el radio del sector, en la distancia del vértice del cono a cualquier punto de esa circunferencia. La altura se obtiene después con el teorema de Pitágoras.

Respuesta

El radio de la base es $4$ cm y la altura, $8\sqrt{2}$ cm.

Problema propuesto 2La pista de un disco compacto

En un disco compacto, la información está grabada a lo largo de una sola pista en espiral, que empieza a 2,3 cm del centro y termina a 5,8 cm; dos vueltas consecutivas de la espiral distan 1,6 micrómetros. El lector recorre la pista con una velocidad lineal constante de 1,2 metros por segundo. Estimar la longitud de la pista y la duración de una lectura completa, aproximando cada vuelta de la espiral por una circunferencia centrada en el eje del disco.

Pista

Si $r$ y $R$ son los radios inicial y final y $p$ es la separación entre vueltas, hay $N = \frac{R - r}{p}$ vueltas, de radios $r$ , $r + p$ , $r + 2p$ , y así sucesivamente. Sus longitudes forman una progresión aritmética, cuya suma se calculó en la clase del curso I sobre sumatorias, progresiones e inducción; el resultado es muy próximo al área de la corona dividida entre el paso. Cuida las unidades.

Respuesta

La espiral da $21875$ vueltas, y su longitud es aproximadamente la siguiente, unos 5,57 km; la lectura completa dura unos 4640 segundos, es decir, unos 77 minutos.

L \approx \frac{\pi \left( R^2 - r^2 \right)}{p}

Problema propuesto 3La cinta que ata tres tubos

Tres tubos cilíndricos iguales, de radio $r$ , se colocan paralelos, cada uno apoyado en los otros dos, y se atan con una cinta tensa que los rodea. Demostrar que la cinta mide $6r + 2\pi r$ , y calcular su longitud para tubos de 5 cm de radio.

Pista

En un corte perpendicular a los tubos, cada tramo recto de la cinta forma un rectángulo con los radios trazados a sus puntos de tangencia y con un lado del triángulo de los centros. Para los arcos, calcula el ángulo central que abraza la cinta en cada tubo, y usa la suma de los ángulos de un triángulo.

Respuesta

La cinta consta de tres tramos rectos de longitud $2r$ y de tres arcos que juntos forman una circunferencia completa. Para $r = 5$ mide $30 + 10\pi$ cm, unos 61,4 cm.

Solución desarrollada

Solución

$\operatorname{d}(A, B) = \operatorname{d}(B, C) = \operatorname{d}(C, A) = \dato{l}{2r}$
Se corta el haz por un plano perpendicular a los tubos: se ven tres circunferencias de radio $r$ , de centros $A$ , $B$ y $C$ . Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen los centros a una distancia igual a la suma de los radios, de modo que el triángulo de los centros es equilátero, de lado $2r$ .
$\operatorname{d}(T, T') = \resaltar{\operatorname{d}(A, B)} = \resaltar{2r} \rightarrow \dato{t}{3 \cdot 2r = 6r}$
Cada tramo recto de la cinta toca dos tubos, por ejemplo los de centros $A$ y $B$ , en dos puntos $T$ y $T'$ . El radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente, según la clase del curso I sobre la circunferencia; los radios $AT$ y $BT'$ son perpendiculares a la misma recta, iguales y del mismo lado de ella, y el cuadrilátero de vértices $A$ , $B$ , $T'$ y $T$ es un rectángulo. Cada tramo recto mide lo mismo que un lado del triángulo.
$\frac{\pi}{2} + \alpha + \frac{\pi}{2} + \varphi_A = 2\pi \rightarrow \dato{f}{\varphi_A = \pi - \alpha}$
En el tubo de centro $A$ , la cinta abraza el arco comprendido entre los puntos de tangencia de los dos tramos que llegan a él. Los radios trazados a esos puntos forman ángulos rectos con los lados $AB$ y $AC$ ; con el ángulo $\alpha$ del triángulo en $A$ y el ángulo central $\varphi_A$ del arco, completan una vuelta en torno a $A$ , por la suma de ángulos adyacentes.
$r(\pi - \alpha) + r(\pi - \beta) + r(\pi - \gamma) = r\left( 3\pi - \resaltar{(\alpha + \beta + \gamma)} \right) = r\left( 3\pi - \resaltar{\pi} \right) = \dato{a}{2\pi r}$
Lo mismo ocurre en los otros dos tubos, con los ángulos $\beta$ y $\gamma$ del triángulo. Por el teorema de la longitud de arco, los tres arcos suman lo siguiente, y como los ángulos del triángulo suman $\pi$ , forman juntos una circunferencia completa; aquí cada uno es la tercera parte, porque $\alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3}$ .
$L = \resaltar{6r} + \resaltar{2\pi r}, \qquad r = 5 \rightarrow L = 30 + 10\pi$
La cinta mide la suma de los tramos rectos y de los arcos. El cálculo de los arcos no usa que el triángulo sea equilátero: la parte curva de una cinta tensa en torno a tres tubos iguales suma siempre una circunferencia completa. Para $r = 5$ , la cinta mide unos 61,4 cm.

Problema propuesto 4Una rueda que avanza a saltos

Una rueda dentada gira, en cada paso, un ángulo de $150^\circ$ en sentido antihorario. Demostrar que vuelve por primera vez a su posición inicial después de $12$ pasos, y que en esos pasos ocupa $12$ posiciones distintas. Generalizar: si cada paso es una fracción $\frac{p}{q}$ de la vuelta, con $p$ y $q$ coprimos, ¿cuántas posiciones distintas ocupa?

Pista

Por el lema de los ángulos coterminales, los pasos $j$ y $k$ dejan la rueda en la misma posición si y solo si $150(k - j)$ es múltiplo de $360$ , es decir, si $12$ divide a $5(k - j)$ . Usa que $5$ y $12$ son coprimos, como en la clase del curso I sobre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

Respuesta

Dos pasos dan la misma posición si y solo si su diferencia es múltiplo de $12$ ; en general, la rueda ocupa $q$ posiciones distintas, y vuelve a la inicial por primera vez en el paso $q$ .

Solución desarrollada

Solución

$150(k - j) = 360m \leftrightarrow \dato{c}{5(k - j) = 12m}, \quad m \in \mathbb{Z}$
Tras $k$ pasos, la rueda ha girado $150k$ grados. Por el lema de los ángulos coterminales, los pasos $j$ y $k$ la dejan en la misma posición si y solo si la diferencia de los ángulos es un múltiplo entero de una vuelta; dividiendo por $30$ , la condición es que $5(k - j)$ sea múltiplo de $12$ .
$\resaltar{60 \mid 5(k - j)} \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{12 \mid k - j}}$
El entero $5(k - j)$ es entonces múltiplo de $12$ y de $5$ , que son coprimos; por el lema de los múltiplos comunes de la clase del curso I sobre el máximo común divisor, es múltiplo de $60$ , y $k - j$ es múltiplo de $12$ . Recíprocamente, si $k - j = 12t$ , los ángulos difieren en $5t$ vueltas.
$0 \leq j < k \leq 11 \rightarrow 0 < k - j < 12, \qquad 150 \cdot \resaltar{12} = \resaltar{5 \cdot 360}$
Entre los pasos $0$ y $11$ , ninguna diferencia es múltiplo de $12$ : la rueda ocupa $12$ posiciones distintas. En el paso $12$ ha girado $1800^\circ$ , cinco vueltas completas, y vuelve por primera vez a la posición inicial; desde allí repite las mismas posiciones en el mismo orden.
$q \mid p(k - j) \leftrightarrow \resaltar{q \mid k - j}$
En general, si cada paso es la fracción $\frac{p}{q}$ de la vuelta, los pasos $j$ y $k$ dan la misma posición si y solo si $\frac{p(k - j)}{q}$ es entero, es decir, si $q$ divide a $p(k - j)$ . Con $p$ y $q$ coprimos, el mismo lema da que $pq$ divide a $p(k - j)$ , y $q$ divide a $k - j$ : la rueda ocupa exactamente $q$ posiciones y vuelve a la inicial por primera vez en el paso $q$ . La fracción $\frac{150}{360} = \frac{5}{12}$ da el caso anterior.

Problema propuesto 5Las agujas en ángulo recto

Demostrar que, entre las 12:00 y las 12:00 siguientes (excluidas estas últimas), las agujas de un reloj forman un ángulo recto exactamente $22$ veces, y hallar esos instantes.

Pista

Con las notaciones del problema resuelto 5, las agujas forman un ángulo recto cuando la diferencia $330t$ es coterminal con $90^\circ$ o con $270^\circ$ , es decir, cuando $330t = 90 + 180j$ para algún entero $j$ .

Respuesta

Los instantes son los siguientes, en horas después de las 12:00, con $j = 0, 1, \ldots, 21$ ; el primero es hacia las 12:16 y entre ellos están las 3:00 y las 9:00.

t = \frac{3(2j + 1)}{11}

Solución desarrollada

Solución

$\alpha_m - \alpha_h = 360t - 30t = \dato{d}{330t}$
Como en el problema resuelto 5, al cabo de $t$ horas el minutero ha girado $360t$ grados y el horario $30t$ , en sentido horario desde las 12:00; la diferencia de sus posiciones es $330t$ grados.
$330t = 90 + 360m \vee 330t = 270 + 360m \leftrightarrow \dato{e}{330t = 90 + 180j}, \quad j \in \mathbb{Z}$
Las agujas forman un ángulo recto si y solo si esa diferencia es coterminal con $90^\circ$ o con $270^\circ$ , es decir, si es $90 + 360m$ o $270 + 360m$ para algún entero $m$ . Las dos familias juntas son los números $90 + 180j$ : los valores pares de $j$ dan la primera y los impares, la segunda.
$t = \frac{\resaltar{90 + 180j}}{\resaltar{330}} = \dato{t}{\frac{3(2j + 1)}{11}}$
Despejando $t$ y simplificando la fracción por $30$ se obtienen los instantes.
$0 \leq \frac{3(2j + 1)}{11} < 12 \leftrightarrow \resaltar{0 \leq j \leq 21}, \qquad j = 5 \rightarrow t = 3, \quad j = 16 \rightarrow t = 9$
La condición $0 \leq t < 12$ equivale a $0 \leq 2j + 1 < 44$ , es decir, a $0 \leq j \leq 21$ : hay exactamente $22$ instantes, distintos porque $t$ crece con $j$ . Con $j = 0$ se obtiene $t = \frac{3}{11}$ , unos 16 minutos y 22 segundos; con $j = 5$ y $j = 16$ , las 3:00 y las 9:00. Las posiciones correspondientes del horario, $\frac{90(2j + 1)}{11}$ grados, están repartidas con regularidad en la esfera.

Con esta clase los ángulos quedan medidos y situados en el plano. En la clase siguiente, sobre las razones trigonométricas, las coordenadas del punto $P(\theta)$ de la circunferencia unitaria definirán el coseno y el seno de cualquier ángulo, y la reducción a la primera vuelta y los ángulos coterminales explicarán su periodicidad.