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Razones trigonométricas y la circunferencia unitaria

Resumen

Esta clase define el seno, el coseno y la tangente de un ángulo de dos maneras. La primera, como cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo, vale para los ángulos agudos, y se demuestra por semejanza que no depende del triángulo elegido. La segunda, como coordenadas del punto en que el lado terminal del ángulo corta a la circunferencia unitaria, vale para todo número real y coincide con la primera en los ángulos agudos. De ella se deducen los signos en cada cuadrante, la identidad pitagórica, los valores notables de los ángulos de π6\frac{\pi}{6}, π4\frac{\pi}{4} y π3\frac{\pi}{3}, que se obtienen del medio triángulo equilátero y del medio cuadrado, y las simetrías del seno y del coseno, que se demuestran reflejando el punto sobre la circunferencia y permiten calcular las razones de cualquier ángulo mediante su ángulo de referencia.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir las seis razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo y demostrar, por semejanza, que no dependen del triángulo.
  2. Definir el seno, el coseno y las demás razones de un ángulo cualquiera mediante la circunferencia unitaria, reconocer la tangente como pendiente del lado terminal y demostrar que ambas definiciones coinciden en los ángulos agudos.
  3. Demostrar la identidad pitagórica, los valores notables y las simetrías del seno y del coseno, y emplearlos para calcular las razones de cualquier ángulo con el método del ángulo de referencia.
  4. Obtener todas las razones de un ángulo a partir de una de ellas y del cuadrante, y aplicar las razones a problemas de alturas, distancias y áreas.

Las razones de un ángulo agudo

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa, y los otros dos, catetos. Los ángulos interiores de un triángulo suman un ángulo llano, que mide π\pi; este hecho de la geometría elemental se admitió en la clase sobre los ángulos y su medida. Si esto es así, los dos ángulos no rectos de un triángulo rectángulo suman π2\frac{\pi}{2}, y cada uno de ellos es agudo, es decir, mide entre 00 y π2\frac{\pi}{2}. Respecto de uno de esos ángulos agudos, de medida α\alpha, uno de los catetos es el cateto opuesto, que no toca su vértice, y el otro es el cateto adyacente, que forma con la hipotenusa los lados del ángulo.

Sea α\alpha un ángulo agudo de un triángulo rectángulo de hipotenusa cc, cuyo cateto opuesto a α\alpha mide aa y cuyo cateto adyacente mide bb. El seno, el coseno y la tangente de α\alpha son, respectivamente, el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y entre el cateto opuesto y el adyacente.
sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tan⁡α=ab\sin \alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{b}{c}, \qquad \tan \alpha = \frac{a}{b}

Sus recíprocos se llaman cosecante, secante y cotangente: csc⁡α=ca\csc \alpha = \frac{c}{a}, sec⁡α=cb\sec \alpha = \frac{c}{b} y cot⁡α=ba\cot \alpha = \frac{b}{a}. Las seis se llaman razones trigonométricas, porque son razones, es decir, cocientes, entre los lados de un triángulo. La definición, sin embargo, plantea una duda: hay infinitos triángulos rectángulos con un ángulo agudo de medida α\alpha, grandes y pequeños, y si cada uno diera un cociente distinto, las palabras «el seno de α\alpha» no designarían ningún número. El teorema siguiente disipa la duda.

TeoremaLas razones no dependen del triángulo

Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo de la misma medida α\alpha, el cociente entre dos lados cualesquiera del primero es igual al cociente entre los lados correspondientes del segundo. En consecuencia, el seno, el coseno y la tangente de α\alpha, y sus recíprocos, dependen solo de α\alpha. Además, 0<sin⁡α<10 < \sin \alpha < 1 y 0<cos⁡α<10 < \cos \alpha < 1.

Sean dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo α\alpha, de catetos a1a_1 y b1b_1 e hipotenusa c1c_1 el primero, y de catetos a2a_2 y b2b_2 e hipotenusa c2c_2 el segundo, donde a1a_1 y a2a_2 son los catetos opuestos a α\alpha. Se admiten los criterios de semejanza de triángulos de la geometría elemental, los mismos que en la clase del curso I sobre la ecuación de la recta garantizaron que la pendiente no depende de los puntos elegidos.

Demostración

  1. a2=ka1,b2=kb1,c2=kc1\dato{k}{a_2 = k a_1, \quad b_2 = k b_1, \quad c_2 = k c_1}

    Los dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el recto y el de medida α\alpha; por el criterio de semejanza de dos ángulos, son semejantes, y sus lados correspondientes son proporcionales: existe un número k>0k > 0 tal que cada lado del segundo es kk veces el lado correspondiente del primero.

  2. a2c2=ka1kc1=a1c1\frac{a_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{c_1}}

    El cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa es el mismo en ambos triángulos, porque el factor kk se simplifica.

  3. b2c2=kb1kc1=b1c1\frac{b_2}{c_2} = \frac{\resaltar{k b_1}}{\resaltar{k c_1}} = \resaltar{\frac{b_1}{c_1}}

    Lo mismo ocurre con el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

  4. a2b2=ka1kb1=a1b1\frac{a_2}{b_2} = \frac{\resaltar{k a_1}}{\resaltar{k b_1}} = \resaltar{\frac{a_1}{b_1}}

    Y con el cociente entre los dos catetos. Por tanto, el seno, el coseno y la tangente, y con ellos sus recíprocos, toman el mismo valor en los dos triángulos: dependen solo de α\alpha.

  5. c2=a2+b2→0<ac<1,0<bc<1c^2 = a^2 + b^2 \rightarrow 0 < \frac{a}{c} < 1, \quad 0 < \frac{b}{c} < 1

    Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos, y supera a cada uno de ellos: la hipotenusa es mayor que cada cateto, y los dos cocientes con la hipotenusa están entre 00 y 11.

El teorema permite calcular las razones de un ángulo con cualquier triángulo rectángulo que lo contenga, y elegir el más cómodo. En particular, el cateto opuesto a uno de los ángulos agudos es el cateto adyacente al otro, y de ello se sigue una relación entre las razones de dos ángulos que suman π2\frac{\pi}{2}, llamados complementarios.

EjemploLas razones de los dos ángulos agudos

En un triángulo rectángulo de catetos 33 y 44, sea α\alpha el ángulo opuesto al cateto 33 y β\beta el opuesto al cateto 44. Calcular sus razones y compararlas.

Demostración

  1. c=32+42=25=5c = \sqrt{\resaltar{3^2 + 4^2}} = \sqrt{25} = \resaltar{5}

    Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide 55.

  2. sin⁡α=35,cos⁡α=45,tan⁡α=34\dato{a}{\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}}

    Para α\alpha, el cateto opuesto es 33 y el adyacente es 44.

  3. sin⁡β=45,cos⁡β=35,tan⁡β=43\dato{b}{\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}}

    Para β\beta, los papeles de los catetos se intercambian: el opuesto es 44 y el adyacente es 33.

  4. sin⁡β=cos⁡α,cos⁡β=sin⁡α,tan⁡β=1tan⁡α=cot⁡α\sin \beta = \cos \alpha, \quad \cos \beta = \sin \alpha, \quad \tan \beta = \frac{1}{\tan \alpha} = \cot \alpha

    Como α+β=π2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}, el seno de cada ángulo es el coseno del otro, y la tangente de cada uno es la cotangente del otro. Lo mismo ocurre en todo triángulo rectángulo, porque el intercambio de los catetos no depende de sus medidas.

De aquí provienen los nombres: el coseno es el seno del complemento, la cotangente es la tangente del complemento y la cosecante es la secante del complemento.