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Las funciones trigonométricas y sus gráficas

Resumen

Esta clase estudia el seno, el coseno y la tangente como funciones de una variable real, medida en radianes. Determina sus dominios, sus recorridos, sus ceros, sus valores extremos y su paridad, y demuestra que 2π2\pi es el menor período positivo del seno y del coseno, y π\pi el de la tangente. Construye el gráfico del seno desenrollando la circunferencia unitaria, obtiene el del coseno por una traslación y describe con tablas de signos las asíntotas verticales de la tangente; de ahí deduce los gráficos de la secante, la cosecante y la cotangente. Demuestra, comparando áreas, la desigualdad sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x para 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}, y estudia las sinusoides y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d, con las que se modelan fenómenos periódicos como la duración del día, las mareas o el movimiento de una rueda de la fortuna.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir el seno, el coseno y la tangente como funciones de variable real, y demostrar sus recorridos, sus ceros, sus extremos, su paridad y sus períodos mínimos.
  2. Construir los gráficos de las seis funciones trigonométricas a partir de la circunferencia unitaria, describiendo las asíntotas verticales mediante tablas de signos.
  3. Demostrar la desigualdad sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x para 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} y la cota ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}, y emplearlas para estudiar funciones y ecuaciones.
  4. Interpretar la amplitud, el período, el desfase y el desplazamiento vertical de una sinusoide como transformaciones del gráfico del seno, y ajustar sinusoides a fenómenos periódicos.

El seno y el coseno como funciones

En la clase sobre las razones trigonométricas se definieron el seno y el coseno de un ángulo cualquiera como las coordenadas del punto P(θ)P(\theta) en que el lado terminal del ángulo, en posición normal, corta a la circunferencia unitaria. Ahora bien, según la clase sobre los ángulos y su medida, todo número real es la medida en radianes de algún ángulo orientado, y dos ángulos tienen el mismo lado terminal exactamente cuando sus medidas difieren en un múltiplo entero de 2π2\pi. Si esto es así, el seno y el coseno pueden considerarse funciones definidas en todo R\mathbb{R}: a cada real xx se le asigna una coordenada del punto P(x)P(x).

Para cada número real xx, sea P(x)P(x) el punto de la circunferencia unitaria correspondiente al ángulo de xx radianes en posición normal. La función seno asigna a xx la ordenada de P(x)P(x), y la función coseno, su abscisa. Ambas tienen por dominio el conjunto de todos los números reales.
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

La variable se mide siempre en radianes, y no en grados. La elección no es una convención indiferente: los resultados de la segunda sección, como sin⁡x<x\sin x < x para xx positivo, comparan el seno con la propia variable, y esa comparación tiene sentido solo cuando xx es la longitud del arco recorrido sobre la circunferencia unitaria, que es lo que mide un radián.

TeoremaPropiedades del seno y del coseno

El recorrido del seno y el del coseno es el intervalo [−1,1]\icc{-1}{1}. Para todo real xx se cumplen sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x y cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x; el seno es una función impar, y el coseno, una función par. El seno se anula exactamente en los múltiplos enteros de π\pi, vale 11 exactamente en los números π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi y vale −1-1 exactamente en los números −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, con kk entero. El coseno se anula exactamente en los números π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, vale 11 exactamente en los números 2kπ2k\pi y vale −1-1 exactamente en los números π+2kπ\pi + 2k\pi.

Todo se lee en la circunferencia unitaria, con la identidad pitagórica y las simetrías demostradas en la clase sobre las razones trigonométricas.

Demostración

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    Por la identidad pitagórica, el cuadrado del seno es a lo sumo 11, y el seno está entre −1-1 y 11; lo mismo vale para el coseno.

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→Rec⁡(sin⁡)=Rec⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{Rec}(\sin) = \operatorname{Rec}(\cos) = \icc{-1}{1}

    Recíprocamente, dado cc con −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1, el punto QQ siguiente está en la circunferencia unitaria; por la propiedad de recubrimiento del axioma del recorrido, admitido en la clase sobre los ángulos y su medida, es el punto P(x)P(x) de algún ángulo xx, y entonces sin⁡x=c\sin x = c. Del mismo modo, el punto (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) muestra que el coseno toma el valor cc.

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    Los ángulos de xx y de x+2πx + 2\pi radianes tienen el mismo lado terminal, de modo que P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x). Además, P(−x)P(-x) es el reflejo de P(x)P(x) respecto del eje horizontal, como se demostró en la clase sobre las razones trigonométricas: el seno es impar y el coseno es par.

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    El seno se anula cuando P(x)P(x) está en el eje horizontal, es decir, cuando es (1,0)(1, 0) o (−1,0)(-1, 0); esos son los puntos de los ángulos 00 y π\pi y de sus coterminales. El coseno se anula cuando P(x)P(x) es (0,1)(0, 1) o (0,−1)(0, -1).

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    Si sin⁡x=1\sin x = 1, la identidad pitagórica obliga a que el coseno sea nulo, y el punto P(x)P(x) es (0,1)(0, 1), que corresponde al ángulo π2\frac{\pi}{2}; si sin⁡x=−1\sin x = -1, el punto es (0,−1)(0, -1), que corresponde a −π2-\frac{\pi}{2}.

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    Con el mismo razonamiento, el coseno vale 11 cuando P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0) y vale −1-1 cuando P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0). En resumen, los valores extremos del seno y del coseno se alcanzan en los números siguientes, con kk entero.

El gráfico del seno

El gráfico de y=sin⁡xy = \sin x se obtiene desenrollando la circunferencia unitaria sobre el eje horizontal: mientras el punto P(x)P(x) recorre la circunferencia, el arco recorrido, de longitud xx, se lleva al eje de abscisas, y sobre cada abscisa se levanta la altura del punto. Las simetrías de la clase sobre las razones trigonométricas permiten construir todo el gráfico a partir de su primer cuarto.

EjemploEl gráfico del seno como circunferencia desenrollada

En la figura, la circunferencia unitaria está a la izquierda y el gráfico a la derecha, con la misma unidad en ambos; la línea horizontal discontinua traslada la altura de P(x)P(x) a la abscisa xx.

Demostración

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    Mientras xx avanza de 00 a π2\frac{\pi}{2}, el punto P(x)P(x) recorre el primer cuadrante desde (1,0)(1, 0) hasta (0,1)(0, 1). Por la propiedad de la media vuelta del axioma del recorrido, su abscisa cos⁡x\cos x decrece estrictamente de 11 a 00; como su altura es la raíz no negativa 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x}, sube estrictamente de 00 a 11. En la clase sobre las funciones trigonométricas inversas el mismo argumento se extiende a todo el intervalo [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Los valores notables calculados en la clase sobre las razones trigonométricas dan tres puntos intermedios del primer arco.

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    Entre π2\frac{\pi}{2} y π\pi, la simetría de los ángulos suplementarios dice que la altura en π−x\pi - x es la misma que en xx: el primer arco es simétrico respecto de la recta vertical x=π2x = \frac{\pi}{2}, y baja hasta 00 en π\pi.

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    Entre π\pi y 2π2\pi, el punto P(x+π)P(x + \pi) es el opuesto de P(x)P(x): la altura cambia de signo, y el gráfico repite el arco anterior por debajo del eje, trasladado en π\pi y reflejado.

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    Por la periodicidad, el tramo entre 00 y 2π2\pi, llamado ciclo, se repite a la derecha y a la izquierda; y como el seno es impar, el gráfico es simétrico respecto del origen.

El gráfico del seno es una onda que oscila entre las rectas y=−1y = -1 e y=1y = 1, corta el eje horizontal en los múltiplos de π\pi y alcanza sus máximos en los números π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi y sus mínimos en los números −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, de acuerdo con el teorema anterior.

El dibujo supone, además, dos propiedades que la circunferencia desenrollada sugiere, pero que las herramientas de esta unidad no permiten demostrar: que el gráfico es una curva sin cortes, y que cada arco situado sobre el eje se curva siempre hacia abajo. Ambas se definen mediante límites y se demuestran en el curso de Cálculo I; aquí se admiten. Ningún teorema de la unidad depende de ellas: se usan solo en algunos problemas, que lo indican expresamente.

Hecho admitido (continuidad de las funciones trigonométricas y de sus inversas). El seno y el coseno son continuos en toda la recta; la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente lo son en cada intervalo contenido en su dominio; y el arcoseno, el arcocoseno y el arcotangente, que se definirán en la clase sobre las funciones trigonométricas inversas, son continuos en sus dominios. Las sumas, los productos, los cocientes con denominador no nulo y las composiciones de funciones continuas son continuos. En consecuencia, el hecho admitido del curso I sobre el teorema del valor intermedio, enunciado en la clase sobre las funciones racionales, se aplica, en todo intervalo cerrado contenido en su dominio, a funciones como sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}, tan⁡x−x\tan x - x o arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x: si cambian de signo en los extremos, se anulan en algún punto interior.
Hecho admitido (concavidad del seno). El seno es estrictamente cóncavo en cada intervalo [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}, con kk entero: si u<x<vu < x < v son puntos de ese intervalo, el punto del gráfico de abscisa xx queda estrictamente por encima del segmento que une los puntos del gráfico de abscisas uu y vv.
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

Funciones periódicas

Una función ff es periódica si existe un número p>0p > 0 tal que, para todo xx del dominio, x+px + p y x−px - p están en el dominio y se cumple f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x); un número así se llama período de ff. Si pp es un período, también lo son 2p2p, 3p3p y, por inducción, todos sus múltiplos naturales: f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x). Una función periódica tiene, por tanto, infinitos períodos, y el más interesante es el menor de ellos, cuando existe, que se llama período mínimo. Su gráfico se obtiene repitiendo una y otra vez el tramo correspondiente a un intervalo de longitud igual al período.

LemaLos períodos son múltiplos del período mínimo

Si qq es el período mínimo de una función ff, los períodos de ff son exactamente los números kqkq, con kk natural.

Se divide un período cualquiera entre qq, como en la división con resto, y se muestra que el resto no puede ser positivo. La figura usa una función de período mínimo qq.

Demostración

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    Cada múltiplo natural de qq es un período, como se acaba de ver por inducción.

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    Recíprocamente, sea pp un período; por la minimalidad de qq, es p≥qp \geq q. Por la propiedad arquimediana de los reales, demostrada en la clase del curso I sobre la expresión decimal de los racionales, existe un natural k≥1k \geq 1 con kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q, y el resto r=p−kqr = p - kq está entre 00 y qq, este excluido.

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    Si rr fuera positivo, sería un período: al avanzar rr y después kqkq se avanza pp, y tanto kqkq como pp son períodos.

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    Pero un período positivo menor que qq contradice la minimalidad de qq. De donde el resto es nulo, y pp es un múltiplo natural de qq.

TeoremaPeríodo mínimo del seno y del coseno

El número 2π2\pi es el período mínimo del seno y del coseno.

Por el teorema de las propiedades, 2π2\pi es un período de ambas funciones. Falta ver que ningún número entre 00 y 2π2\pi lo es, y para ello basta mirar dónde se alcanza el máximo.

Demostración

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    Supongamos que pp, con 0<p<2π0 < p < 2\pi, es un período del seno. Evaluando la igualdad sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x en x=π2x = \frac{\pi}{2}, el número π2+p\frac{\pi}{2} + p sería también un punto de máximo.

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    Por el teorema de las propiedades, el seno vale 11 solo en los números π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi: entonces pp sería un múltiplo entero de 2π2\pi, lo que es imposible entre 00 y 2π2\pi. Dicho de otro modo, dos máximos consecutivos del seno distan exactamente 2π2\pi.

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    Para el coseno se razona igual en x=0x = 0: un período pp daría cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1, y el coseno vale 11 solo en los múltiplos enteros de 2π2\pi.

Por el lema anterior, los períodos del seno y del coseno son exactamente los números 2kπ2k\pi con kk natural.

El coseno como seno trasladado

El gráfico del coseno no exige una construcción nueva, porque es el del seno desplazado.

TeoremaEl coseno es un seno trasladado

Para todo real xx se cumple cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right). En consecuencia, el gráfico de y=cos⁡xy = \cos x es el del seno trasladado π2\frac{\pi}{2} unidades hacia la izquierda.

Se combinan las simetrías de los ángulos complementarios y suplementarios, y después el teorema de las transformaciones de la clase del curso I sobre las operaciones con funciones.

Demostración

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    Por la simetría de los ángulos complementarios, el coseno de xx es el seno de π2−x\frac{\pi}{2} - x.

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    Por la simetría de los ángulos suplementarios, sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u; con u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x, el ángulo π−u\pi - u es π2+x\frac{\pi}{2} + x.

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    Por el teorema de las transformaciones, el gráfico de y=f(x−h)y = f(x - h) es el de ff trasladado hh unidades en sentido horizontal. Aquí ff es el seno y h=−π2h = -\frac{\pi}{2}: cada punto del gráfico del seno se desplaza π2\frac{\pi}{2} hacia la izquierda. El máximo de (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) pasa a (0,1)(0, 1).

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    En el gráfico trasladado se leen las propiedades del coseno: es simétrico respecto del eje vertical, porque el coseno es par, corta el eje horizontal en los números π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi, y alcanza el máximo 11 en los múltiplos pares de π\pi y el mínimo −1-1 en los impares.