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Topos Uranos
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Las funciones trigonométricas inversas

Resumen

Esta clase construye las inversas del seno, del coseno y de la tangente. Como estas funciones son periódicas, no son inyectivas, y para invertirlas hay que restringirlas a un intervalo en que tomen cada valor una sola vez: el seno a [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, el coseno a [0,π]\icc{0}{\pi} y la tangente a (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}. Deduce del axioma del recorrido por longitud de arco, que afirma que la abscisa del punto recorrido decrece estrictamente a lo largo de la primera media vuelta, que el coseno es estrictamente decreciente en [0,π]\icc{0}{\pi}; de ello y de las simetrías demuestra que el seno y la tangente son estrictamente crecientes en sus intervalos, y que las tres restricciones son biyectivas; define el arcoseno, el arcocoseno y el arcotangente, y obtiene sus gráficos como reflejos respecto de la recta y=xy = x. Demuestra después las identidades que los relacionan, distingue con cuidado sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x, siempre cierta, de arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x, cierta solo en el intervalo principal, y resuelve las ecuaciones sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c y tan⁡x=c\tan x = c en una vuelta completa.

Objetivos de aprendizaje

  1. Deducir del axioma del recorrido la monotonía estricta del coseno y del seno en sus intervalos principales, demostrar con ella la de la tangente, y definir las tres inversas con sus dominios y recorridos.
  2. Construir los gráficos del arcoseno, el arcocoseno y el arcotangente como reflejos respecto de la recta y=xy = x, y calcular sus valores en los puntos notables.
  3. Demostrar las identidades de composición, de simetría y de ángulos complementarios de las funciones inversas, y simplificar expresiones que combinan funciones trigonométricas con sus inversas.
  4. Resolver las ecuaciones trigonométricas elementales en el intervalo [0,2π)\ico{0}{2\pi} mediante las funciones inversas y las simetrías de la circunferencia unitaria.

La restricción de las funciones trigonométricas

Según la clase del curso I sobre las operaciones con funciones, una función tiene inversa si y solo si es biyectiva, y entonces el gráfico de la inversa es el reflejo del suyo respecto de la recta y=xy = x. Ahora bien, las funciones trigonométricas estudiadas en la clase sobre las funciones trigonométricas y sus gráficas no son inyectivas: el seno y el coseno tienen período 2π2\pi, y la tangente, período π\pi, de modo que cada valor se repite infinitas veces. Más aún, dentro de un mismo período los valores se repiten: por la simetría de los ángulos suplementarios, demostrada en la clase sobre las razones trigonométricas, se cumple sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x. Si esto es así, para invertir estas funciones hay que restringirlas a un intervalo en que sean inyectivas y en que tomen todos sus valores. Se eligen intervalos que contengan los ángulos agudos y en que la función sea estrictamente monótona.

TeoremaMonotonía en los intervalos principales

El coseno es estrictamente decreciente en [0,π]\icc{0}{\pi}; el seno es estrictamente creciente en [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, y la tangente es estrictamente creciente en (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Se usa la definición del seno y del coseno mediante el punto P(θ)=(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right) de la circunferencia unitaria, de la clase sobre las razones trigonométricas, y el axioma del recorrido por longitud de arco, admitido en la clase sobre los ángulos y su medida. La monotonía del coseno es la traducción de la propiedad de la media vuelta de ese axioma; la del seno y la de la tangente se demuestran a partir de ella.

Demostración

  1. 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi

    Sean α\alpha y β\beta con 0≤α<β≤π0 \leq \alpha < \beta \leq \pi. Los puntos P(α)P(\alpha) y P(β)P(\beta) son los extremos de los arcos de longitudes α\alpha y β\beta que parten de (1,0)(1, 0) en sentido antihorario, y ambos están en la primera media vuelta del recorrido, que cubre la semicircunferencia superior.

  2. 0≤α<β≤π→cos⁡α>cos⁡β\dato{c}{0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \cos \alpha > \cos \beta}

    Por la propiedad de la media vuelta del axioma, durante la primera media vuelta la abscisa del punto recorrido decrece estrictamente: la de P(α)P(\alpha) es mayor que la de P(β)P(\beta). Como el coseno es, por definición, la abscisa de P(θ)P(\theta), la desigualdad entre las abscisas es una desigualdad entre cosenos.

  3. sin⁡α=cos⁡(π2−α)<cos⁡(π2−β)=sin⁡β\sin \alpha = \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)} < \resaltar{\cos\left( \frac{\pi}{2} - \beta \right)} = \dato{s}{\sin \beta}

    Sean ahora −π2≤α<β≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \alpha < \beta \leq \frac{\pi}{2}. Sus complementarios cumplen π2−β<π2−α\frac{\pi}{2} - \beta < \frac{\pi}{2} - \alpha y están en [0,π]\icc{0}{\pi}; por la simetría de los ángulos complementarios, el seno de un ángulo es el coseno de su complementario, y como el coseno decrece en [0,π]\icc{0}{\pi}, el seno crece en [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

  4. tan⁡α=sin⁡αcos⁡α<sin⁡βcos⁡α<sin⁡βcos⁡β=tan⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} < \frac{\resaltar{\sin \beta}}{\cos \alpha} < \frac{\sin \beta}{\resaltar{\cos \beta}} = \dato{t}{\tan \beta}

    Para la tangente, sean 0≤α<β<π20 \leq \alpha < \beta < \frac{\pi}{2}. Por los pasos anteriores, 0≤sin⁡α<sin⁡β0 \leq \sin \alpha < \sin \beta y cos⁡α>cos⁡β>cos⁡π2=0\cos \alpha > \cos \beta > \cos \frac{\pi}{2} = 0. Al aumentar primero el numerador y disminuir después el denominador, ambos positivos, el cociente aumenta.

  5. tan⁡α=−tan⁡(−α)<−tan⁡(−β)=tan⁡β\tan \alpha = \resaltar{-\tan(-\alpha)} < \resaltar{-\tan(-\beta)} = \tan \beta

    La tangente es impar, porque es el cociente del seno, impar, entre el coseno, par. Si −π2<α<β≤0-\frac{\pi}{2} < \alpha < \beta \leq 0, los opuestos cumplen 0≤−β<−α0 \leq -\beta < -\alpha, y al cambiar de signo se invierte la desigualdad del paso anterior; si α<0<β\alpha < 0 < \beta, la tangente es negativa en α\alpha y positiva en β\beta. Por tanto, la tangente crece en todo el intervalo (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}.

Las restricciones biyectivas

Toda función estrictamente monótona es inyectiva, según el teorema de las funciones monótonas de la clase sobre las operaciones con funciones. Falta que cada restricción tome todos los valores de su recorrido.

TeoremaRestricciones biyectivas

El seno, restringido a [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, es una biyección sobre [−1,1]\icc{-1}{1}; el coseno, restringido a [0,π]\icc{0}{\pi}, es una biyección sobre [−1,1]\icc{-1}{1}, y la tangente, restringida a (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, es una biyección sobre R\mathbb{R}.

La inyectividad se sigue del teorema anterior. Que cada restricción tome todos sus valores se sigue de la propiedad de recubrimiento del axioma del recorrido, según la cual todo punto de la circunferencia unitaria es el extremo de un arco que parte de (1,0)(1, 0), y del lema según el cual una vuelta no repite puntos, ambos de la clase sobre los ángulos y su medida.

Demostración

  1. 0≤α<β≤π→cos⁡α≠cos⁡β0 \leq \alpha < \beta \leq \pi \rightarrow \resaltar{\cos \alpha \neq \cos \beta}

    Por el teorema anterior, las tres restricciones son estrictamente monótonas, y toda función estrictamente monótona es inyectiva: dos ángulos distintos de la semicircunferencia superior tienen abscisas distintas.

  2. Q=(c,1−c2),c2+(1−c2)2=1→Q=P(θ)Q = \left( c, \sqrt{1 - c^2} \right), \quad \resaltar{c^2 + \left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 = 1} \rightarrow \dato{q}{Q = P(\theta)}

    Sea cc con −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1. El punto QQ siguiente está en la circunferencia unitaria; por el recubrimiento y porque una vuelta no repite puntos, es P(θ)P(\theta) para un único θ\theta en [0,2π)\ico{0}{2\pi}.

  3. sin⁡θ=1−c2≥0→θ∈[0,π],cos⁡θ=c\sin \theta = \sqrt{1 - c^2} \geq 0 \rightarrow \theta \in \icc{0}{\pi}, \quad \dato{c}{\cos \theta = c}

    La ordenada de QQ no es negativa, y el seno es negativo en (π,2π)\ioo{\pi}{2\pi}, según los signos por cuadrantes de la clase sobre las razones trigonométricas: ese θ\theta está en [0,π]\icc{0}{\pi}, y su coseno es cc. El coseno restringido toma todos los valores de [−1,1]\icc{-1}{1}.

  4. sin⁡(π2−θ)=cos⁡θ=c,π2−θ∈[−π2,π2]\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \resaltar{\cos \theta} = \resaltar{c}, \quad \frac{\pi}{2} - \theta \in \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}

    Por la simetría de los ángulos complementarios, el seno de π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta es el coseno de θ\theta, y cuando θ\theta recorre [0,π]\icc{0}{\pi}, su complementario recorre [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}: el seno restringido también toma todos los valores de [−1,1]\icc{-1}{1}.

  5. tan⁡x=m,x−kπ∈(−π2,π2),tan⁡(x−kπ)=m\tan x = m, \quad x - k\pi \in \ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, \quad \tan(x - k\pi) = m

    Para la tangente, el teorema de sus propiedades, de la clase sobre las funciones trigonométricas y sus gráficas, dice que su recorrido es R\mathbb{R}: dado mm, la recta de pendiente mm por el origen corta la semicircunferencia derecha en un punto P(x)P(x) con xx entre −π2-\frac{\pi}{2} y π2\frac{\pi}{2}. También se ve por la periodicidad: si tan⁡x=m\tan x = m, restando a xx un múltiplo entero de π\pi, como en la reducción a la primera vuelta, se obtiene un número de ese intervalo con la misma tangente.