Resolución de triángulos: teoremas del seno y del coseno

Notación y hechos previos

En la clase sobre las razones trigonométricas el seno, el coseno y la tangente de un ángulo agudo se definieron como cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo, y se extendieron después a todo ángulo mediante la circunferencia unitaria. Un triángulo rectángulo se resuelve, por tanto, con esas razones y con el teorema de Pitágoras. Ahora bien, la mayoría de los triángulos que aparecen en la geometría y en la medición del terreno no tienen ningún ángulo recto; el objeto de esta clase es resolverlos todos.

En un triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$, la misma letra mayúscula designa el vértice y la medida del ángulo interior del triángulo en ese vértice, y la letra minúscula correspondiente designa la longitud del lado opuesto: $a$ es la longitud del lado $BC$, $b$ la del lado $CA$ y $c$ la del lado $AB$. El área del triángulo se denota $S$, y la distancia entre dos puntos $P$ y $Q$, $\operatorname{d}(P, Q)$. Como es costumbre en la resolución de triángulos, los ángulos se expresan en grados. Ahora bien, las funciones trigonométricas están definidas para números reales, que son medidas en radianes; por la regla de conversión de la clase sobre los ángulos y su medida, un ángulo de $g$ grados mide $\frac{\pi g}{180}$ radianes, y se adopta la convención siguiente: $\sin g^\circ$ designa $\sin \frac{\pi g}{180}$, y lo mismo con las demás funciones; por ejemplo, $\cos 60^\circ = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Del mismo modo, el arcocoseno, que toma valores en $\icc{0}{\pi}$, devuelve la medida en radianes de un ángulo, que se expresa en grados: la igualdad $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ$ significa que $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3}$, la medida en radianes de un ángulo de $120^\circ$. Con esta convención, todo lo que sigue vale igualmente en radianes, sustituyendo $180^\circ$ por $\pi$. Se admite, como en la clase sobre los ángulos y su medida, un hecho de la geometría elemental que este curso no demuestra porque no desarrolla la geometría sintética: los tres ángulos de un triángulo suman dos rectos.

De ello se sigue que cada ángulo de un triángulo está estrictamente entre $0^\circ$ y $180^\circ$, y que a lo sumo uno de ellos es recto u obtuso. De las clases anteriores de esta unidad se emplean, además, los hechos siguientes:

• El punto que está a distancia $r$ del origen, sobre la semirrecta que forma el ángulo $\theta$ con el semieje positivo de abscisas, tiene las coordenadas $\left( r \cos \theta, r \sin \theta \right)$: es el punto de la circunferencia unitaria correspondiente a $\theta$, multiplicado por $r$.
• La identidad pitagórica, $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, y las simetrías del ángulo suplementario, $\sin \left( 180^\circ - \theta \right) = \sin \theta$ y $\cos \left( 180^\circ - \theta \right) = -\cos \theta$.
• Si $0^\circ < \theta < 180^\circ$, el seno de $\theta$ es positivo; el coseno es positivo si $\theta$ es agudo, nulo si es recto y negativo si es obtuso.
• El coseno es estrictamente decreciente entre $0^\circ$ y $180^\circ$ y toma en ese intervalo cada valor entre $-1$ y $1$ exactamente una vez; por eso, según la clase sobre las funciones trigonométricas inversas, un ángulo de un triángulo queda determinado por su coseno, $\theta = \arccos x$.

El seno, en cambio, no determina un ángulo de un triángulo: los ángulos $\theta$ y $180^\circ - \theta$ tienen el mismo seno, y la función arcoseno devuelve solo el agudo. Esta asimetría entre el seno y el coseno explicará, en la penúltima sección, por qué ciertos datos admiten dos triángulos distintos.