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Topos Uranos
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Coordenadas polares y curvas polares

Resumen

Esta clase presenta un segundo modo de nombrar los puntos del plano: por su distancia a un punto fijo, el polo, y por el ángulo que forman con una semirrecta fija, el eje polar. Adopta el convenio que admite radios negativos, describe todas las representaciones de un mismo punto, deduce las fórmulas de paso entre coordenadas polares y cartesianas, con la corrección del arcotangente según el cuadrante, y obtiene la distancia entre dos puntos mediante el teorema del coseno. Estudia después las ecuaciones polares de rectas y circunferencias, los criterios de simetría y el trazado por tablas de valores de la cardioide, las rosas, la espiral de Arquímedes y el caracol, y termina con la ecuación polar de las cónicas que tienen un foco en el polo, de la que se leen su tipo, sus vértices y su lado recto.

Objetivos de aprendizaje

  1. Representar puntos en coordenadas polares, reconocer todas las representaciones de un mismo punto y pasar de las coordenadas polares a las cartesianas y recíprocamente.
  2. Calcular distancias en coordenadas polares y traducir ecuaciones de rectas y circunferencias de un sistema al otro, sin perder ni añadir el polo.
  3. Aplicar los criterios de simetría y las tablas de valores al trazado de curvas polares: cardioides, rosas, espirales y caracoles.
  4. Deducir la ecuación polar de las cónicas con un foco en el polo y leer en ella su excentricidad, sus vértices y su lado recto.

Las coordenadas polares

Las coordenadas cartesianas, estudiadas en la clase del curso I sobre la ecuación de la recta y los sistemas cartesianos, nombran un punto por sus distancias con signo a dos rectas perpendiculares. Ahora bien, muchas curvas se describen con más naturalidad por la distancia a un punto fijo y por la dirección en que se las ve desde él: una circunferencia alrededor de su centro, una espiral que se abre a ritmo constante o la órbita de un planeta alrededor del Sol. Para ellas conviene un sistema de coordenadas polares, formado por un punto fijo OO, el polo, y una semirrecta fija que parte de él, el eje polar. Para que los dos sistemas convivan, el polo se coloca en el origen y el eje polar sobre el semieje positivo de las abscisas.

Sean rr y θ\theta dos números reales. El punto de coordenadas polares (r,θ)(r, \theta) es el punto del plano de coordenadas cartesianas

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θx = r \cos \theta, \qquad y = r \sin \theta

Si r>0r > 0, es el punto que está a distancia rr del polo sobre el lado terminal del ángulo θ\theta en posición normal, estudiado en la clase sobre los ángulos y su medida: es el punto (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta, \sin \theta) de la circunferencia unitaria, definido en la clase sobre las razones trigonométricas, con sus coordenadas multiplicadas por rr. El número rr se llama radio y el ángulo θ\theta, medido en radianes, ángulo polar.

La definición admite también r=0r = 0 y r<0r < 0, y en esto consiste el convenio de esta clase. Con r=0r = 0 se obtiene el polo, cualquiera que sea θ\theta. Con r<0r < 0 se obtiene el punto situado a distancia −r-r del polo en la dirección opuesta a la de θ\theta: por las simetrías cos⁡(θ+π)=−cos⁡θ\cos(\theta + \pi) = -\cos \theta y sin⁡(θ+π)=−sin⁡θ\sin(\theta + \pi) = -\sin \theta de la clase sobre las razones trigonométricas, los pares (−r,θ)(-r, \theta) y (r,θ+π)(r, \theta + \pi) dan el mismo punto.

(−rcos⁡θ,−rsin⁡θ)=(rcos⁡(θ+π),rsin⁡(θ+π))\left( -r \cos \theta, -r \sin \theta \right) = \left( r \cos(\theta + \pi), r \sin(\theta + \pi) \right)

Muchos textos exigen r≥0r \geq 0; admitir radios negativos tiene dos ventajas que esta clase aprovechará: la recta que pasa por el polo con dirección α\alpha se describe entera con la ecuación θ=α\theta = \alpha, y curvas como las rosas se recorren de manera continua. El precio es que un mismo punto admite más representaciones. De ello se sigue una regla que conviene fijar desde ahora: un punto pertenece a la curva de una ecuación polar si alguna de sus representaciones cumple la ecuación, aunque otras no la cumplan.

LemaLas representaciones de un punto

Sea (r1,θ1)(r_1, \theta_1) una representación de un punto PP distinto del polo. El par (r2,θ2)(r_2, \theta_2) representa también a PP si y solo si r2=r1r_2 = r_1 y θ2=θ1+2kπ\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi para algún entero kk, o bien r2=−r1r_2 = -r_1 y θ2=θ1+(2k+1)π\theta_2 = \theta_1 + (2k + 1)\pi para algún entero kk. El polo es el punto representado por los pares (0,θ)(0, \theta), con θ\theta cualquiera.

Se usan la identidad pitagórica y la caracterización de los ángulos coterminales de la clase sobre los ángulos y su medida: dos ángulos dan el mismo punto de la circunferencia unitaria exactamente cuando difieren en un múltiplo entero de 2π2\pi.

Demostración

  1. x2+y2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2→r2=r1∨r2=−r1x^2 + y^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2} \rightarrow \dato{rr}{r_2 = r_1 \vee r_2 = -r_1}

    La distancia de un punto al polo no depende de la representación elegida: por la identidad pitagórica, x2+y2x^2 + y^2 vale r2r^2. Por tanto, dos representaciones de un mismo punto tienen r22=r12r_2^2 = r_1^2, y el polo es el único punto con r=0r = 0.

  2. cos⁡θ2=cos⁡θ1∧sin⁡θ2=sin⁡θ1↔θ2=θ1+2kπ\resaltar{\cos \theta_2 = \cos \theta_1 \wedge \sin \theta_2 = \sin \theta_1} \leftrightarrow \dato{co}{\theta_2 = \theta_1 + 2k\pi}

    Si r2=r1≠0r_2 = r_1 \neq 0, dividimos las coordenadas de ambos puntos entre r1r_1: los puntos (cos⁡θ1,sin⁡θ1)(\cos \theta_1, \sin \theta_1) y (cos⁡θ2,sin⁡θ2)(\cos \theta_2, \sin \theta_2) de la circunferencia unitaria coinciden, y eso ocurre exactamente cuando los ángulos son coterminales.

  3. θ2+π=θ1+2kπ↔θ2=θ1+(2k−1)π\resaltar{\theta_2 + \pi} = \theta_1 + 2k\pi \leftrightarrow \resaltar{\theta_2 = \theta_1 + (2k - 1)\pi}

    Si r2=−r1r_2 = -r_1, el par (−r1,θ2)(-r_1, \theta_2) da el mismo punto que (r1,θ2+π)(r_1, \theta_2 + \pi), y por el paso anterior θ2+π\theta_2 + \pi es coterminal con θ1\theta_1. Como 2k−12k - 1 recorre todos los impares cuando kk recorre los enteros, es lo que afirma el lema.

Así, el punto de coordenadas polares (2,π3)\left( 2, \frac{\pi}{3} \right) admite también las representaciones (2,7π3)\left( 2, \frac{7\pi}{3} \right) y (2,−5π3)\left( 2, -\frac{5\pi}{3} \right), que dan una vuelta más o una vuelta menos, y (−2,4π3)\left( -2, \frac{4\pi}{3} \right) o (−2,−2π3)\left( -2, -\frac{2\pi}{3} \right), que miran en la dirección opuesta y retroceden.

De las coordenadas cartesianas a las polares

Las fórmulas x=rcos⁡θx = r \cos \theta e y=rsin⁡θy = r \sin \theta dan el paso de las coordenadas polares a las cartesianas. El paso inverso exige elegir una representación entre todas las posibles; la que se toma de ordinario es la que tiene r>0r > 0 y θ\theta en el intervalo (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}. Para hallar el ángulo se usa la función arcotangente de la clase sobre las funciones trigonométricas inversas, que toma valores en (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} y, por tanto, solo ve los ángulos de los cuadrantes primero y cuarto: en los otros dos hay que corregirla sumando o restando π\pi.

TeoremaDe las coordenadas cartesianas a las polares

Todo punto (x,y)(x, y) distinto del polo tiene una única representación polar (r,θ)(r, \theta) con r>0r > 0 y θ∈(−π,π]\theta \in \ioc{-\pi}{\pi}. Su radio es r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}, y su ángulo polar viene dado por los cinco casos de la fórmula siguiente.

θ={arctan⁡yxx>0arctan⁡yx+πx<0∧y≥0arctan⁡yx−πx<0∧y<0π2x=0∧y>0−π2x=0∧y<0\theta = \begin{cases} \arctan \frac{y}{x} & x > 0 \\ \arctan \frac{y}{x} + \pi & x < 0 \wedge y \geq 0 \\ \arctan \frac{y}{x} - \pi & x < 0 \wedge y < 0 \\ \frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & x = 0 \wedge y < 0 \end{cases}

La idea es reducir el problema a la circunferencia unitaria, donde la pendiente de la recta que pasa por el polo determina dos puntos opuestos, y el signo de la abscisa decide entre ellos.

Demostración

  1. r=x2+y2,(cos⁡θ,sin⁡θ)=(xr,yr)r = \sqrt{x^2 + y^2}, \qquad \dato{q}{(\cos \theta, \sin \theta) = \left( \frac{x}{r}, \frac{y}{r} \right)}

    Por el lema anterior, r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, y con r>0r > 0 el radio es la raíz cuadrada. Dividiendo entre rr, el ángulo buscado es el de un punto QQ de la circunferencia unitaria, que existe por la propiedad de recubrimiento del axioma del recorrido, admitido en la clase sobre los ángulos y su medida, y que en (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} es único, porque dos ángulos de ese intervalo, que tiene longitud 2π2\pi, no pueden ser coterminales.

  2. x=0→Q=(0,1)∨Q=(0,−1)x = 0 \rightarrow Q = \resaltar{(0, 1)} \vee Q = \resaltar{(0, -1)}

    Si x=0x = 0, el punto QQ es (0,1)(0, 1) o (0,−1)(0, -1) según el signo de yy, y por los valores notables del seno y del coseno el ángulo es π2\frac{\pi}{2} o −π2-\frac{\pi}{2}.

  3. tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=yx,α=arctan⁡yx\tan \theta = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \resaltar{\frac{y}{x}}, \qquad \dato{al}{\alpha = \arctan \frac{y}{x}}

    Si x≠0x \neq 0, la tangente de θ\theta es la pendiente m=yxm = \frac{y}{x} de la recta que une el polo con el punto. El ángulo α=arctan⁡m\alpha = \arctan m tiene esa tangente y está en (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, donde el coseno es positivo.

  4. u2+(mu)2=1↔u=11+m2∨u=−11+m2u^2 + \resaltar{(mu)^2} = 1 \leftrightarrow \resaltar{u = \frac{1}{\sqrt{1 + m^2}} \vee u = -\frac{1}{\sqrt{1 + m^2}}}

    En la circunferencia unitaria hay exactamente dos puntos con pendiente mm desde el polo: si (u,v)(u, v) es uno de ellos, v=muv = mu y u2+v2=1u^2 + v^2 = 1. Son opuestos, de modo que uno tiene abscisa positiva y el otro negativa; por la simetría del ángulo α+π\alpha + \pi, son los puntos de los ángulos α\alpha y α+π\alpha + \pi.

  5. x<0∧y<0→θ=α+π−2π=α−π∈(−π,−π2)x < 0 \wedge y < 0 \rightarrow \theta = \resaltar{\alpha + \pi - 2\pi} = \resaltar{\alpha - \pi} \in \ioo{-\pi}{-\frac{\pi}{2}}

    Si x>0x > 0, el punto QQ tiene abscisa positiva y θ=α\theta = \alpha. Si x<0x < 0, es el punto de α+π\alpha + \pi. Cuando además y≥0y \geq 0, la pendiente es negativa o nula, α∈(−π2,0]\alpha \in \ioc{-\frac{\pi}{2}}{0} y α+π\alpha + \pi ya está en (π2,π]\ioc{\frac{\pi}{2}}{\pi}; cuando y<0y < 0, la pendiente es positiva y hay que restar una vuelta, α+π−2π=α−π\alpha + \pi - 2\pi = \alpha - \pi.

Por ejemplo, el punto (−1,1)(-1, 1) está en el segundo cuadrante: su radio es 2\sqrt{2}, y como arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, su ángulo polar es −π4+π=3π4-\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}. La calculadora que da el arcotangente de yx\frac{y}{x} sin atender a los signos de xx y de yy por separado devolvería −π4-\frac{\pi}{4}, que es el ángulo del punto opuesto (1,−1)(1, -1).