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Números complejos en forma polar: introducción

Resumen

Esta clase abre la unidad dedicada a los números complejos en forma polar. Presenta sus seis clases y el hilo que las une: describir cada complejo por su distancia al origen y por su dirección convierte el producto en un giro compuesto con una dilatación, las potencias en múltiplos de un ángulo y las raíces en polígonos regulares. Reconstruye el trasfondo histórico de estas ideas, desde la fórmula de la cúbica publicada por Cardano en 1545 y las reglas de cálculo de Bombelli hasta la representación geométrica de Wessel, Argand y Gauss y la fórmula de Euler; plantea el doble problema que les dio origen, algebraico y geométrico, que el ejemplo de la media proporcional entre 11 y −1-1 resume, y señala dónde se emplean después, en este curso, en otros cursos del sitio y en la ciencia y la técnica.

Objetivos de aprendizaje

  1. Describir el contenido de cada clase de la unidad y explicar por qué se suceden en ese orden.
  2. Relatar, con sus protagonistas y sus fechas aproximadas, el paso de los números complejos de artificio de cálculo a objeto geométrico, desde Cardano y Bombelli hasta Wessel, Argand, Gauss y Euler.
  3. Enunciar el problema algebraico y el problema geométrico que dieron origen a la forma polar, e interpretar como giros el producto por ii y las medias proporcionales entre 11 y −1-1.
  4. Identificar las aplicaciones de la forma polar en la unidad siguiente, en otros cursos del sitio y en la física y la ingeniería.

Evaluación de entrada

Antes de recorrer la unidad conviene medir el punto de partida. Esta autoevaluación no califica: sirve para saber qué se domina y dónde detenerse. Las diez primeras preguntas tocan las seis clases de contenido de la unidad: una la clase sobre la forma polar y otra la de la geometría con complejos; dos cada una de las clases sobre la fórmula de De Moivre, sobre las raíces y sobre las ecuaciones polinómicas; y dos la de la exponencial compleja, la segunda de ellas un problema de modelación que pide plantear con fasores una situación en contexto. Las mismas destrezas se vuelven a medir al final, en la clase de síntesis. Las dos últimas comprueban lo que la unidad da por sabido del curso I y de las unidades anteriores: la forma binómica, el conjugado y el módulo, los valores notables y las fórmulas de suma y diferencia.

Evaluación de entrada

Antes de comenzar la unidad, mide tu punto de partida. Es una autoevaluación breve: no se califica y su resultado se guarda solo en tu navegador.

  1. Pregunta 1¿Cuál es el argumento principal de z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

  2. Pregunta 2Calcular (3+i)6\left( \sqrt{3} + i \right)^6.

  3. Pregunta 3¿Cuál es la linealización de sin⁡2θcos⁡2θ\sin^2 \theta \cos^2 \theta?

  4. Pregunta 4¿Cuál de estos números es una raíz cuarta de −16-16?

  5. Pregunta 5¿Cuántas raíces novenas primitivas de la unidad hay?

  6. Pregunta 6¿Cuáles son los complejos zz que cumplen ez=−ee^z = -e?

  7. Pregunta 7Dos altavoces emiten el mismo tono puro. En el lugar donde está quien escucha, las variaciones de presión que producen son 3cos⁡(ωt)3 \cos(\omega t) y 8cos⁡(ωt+2π3)8 \cos\left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right), en milipascales. ¿Cuál es la amplitud de la variación de presión total, en milipascales?

  8. Pregunta 8¿Cuál es la imagen del punto 3+i3 + i por el giro de un cuarto de vuelta, en sentido positivo, alrededor del punto 1+i1 + i?

  9. Pregunta 9Sean z1z_1, z2z_2 y z3z_3 las raíces de z3−2z2+5z−1z^3 - 2z^2 + 5z - 1. Calcular z12+z22+z32z_1^2 + z_2^2 + z_3^2.

  10. Pregunta 10¿Cómo son las raíces de la ecuación t3−6t+2=0t^3 - 6t + 2 = 0?

  11. Pregunta 11De unidades anteriores¿Cuál es el inverso de 3−4i3 - 4i?

  12. Pregunta 12De unidades anteriores¿Cuál es el valor exacto de sin⁡π12\sin \frac{\pi}{12}?