Plan d’études d’Algèbre et géométrie II

Propos et public

Ce cours est la seconde moitié d’un parcours qui commence avec Algèbre et géométrie I : nombres, fonctions et géométrie plane. Le cours I a construit, à partir des axiomes de Peano, les ensembles de nombres jusqu’aux complexes sous forme algébrique, l’algèbre des polynômes, les fonctions réelles et leurs courbes, la géométrie analytique du plan avec ses vecteurs et ses coniques, et les fonctions exponentielle, logarithme et hyperboliques. Le cours II reprend ces objets et les porte vers trois territoires nouveaux : la trigonométrie, qui mesure les angles et fait des rotations un calcul ; les nombres complexes sous forme polaire, où ce calcul devient multiplication ; et les matrices, qui ordonnent les systèmes linéaires et les transformations, et qui, avec les vecteurs, soutiennent la géométrie analytique de l’espace par laquelle le cours se termine.

Son propos est le même que celui du cours I : non seulement apprendre à calculer, mais montrer d’où provient chaque calcul. Chaque résultat employé est énoncé et démontré, ou déclaré expressément admis lorsque sa démonstration relève d’un autre cours ; c’est le cas, par exemple, du théorème fondamental de l’algèbre ou des propriétés de la longueur d’un arc, qui exigent l’analyse.

Il s’adresse à qui a achevé le cours I, ou en maîtrise les contenus par une autre voie : élèves des dernières années de l’enseignement secondaire qui préparent leur entrée à l’université, étudiants de première année universitaire en sciences, en ingénierie, en économie ou en formation des professeurs de mathématiques, et quiconque veut reconstruire avec rigueur des mathématiques apprises comme un ensemble de recettes. S’il en est ainsi, le cours suppose connus la complétude des nombres réels, l’étude des fonctions avec leurs réciproques et les transformations de leurs courbes, la droite, les vecteurs et le produit scalaire du plan, les coniques, l’exponentielle et le logarithme, et l’arithmétique des complexes sous forme algébrique. Qui doute de l’un de ces points peut revenir à la synthèse de l’unité correspondante du cours I et en résoudre les défis avant de commencer.

Or, le cours occupe aussi une place de passage. Il est le prérequis de Analyse I : calcul différentiel, qui dérive les fonctions trigonométriques à partir de l’inégalité $\sin x < x < \tan x$ démontrée dans l’unité 1 et qui ouvre, à son tour, Fondements de la mécanique et Analyse II : calcul intégral, où reparaissent le mouvement circulaire, les changements de variable trigonométriques et les aires en coordonnées polaires.

Objectifs d’apprentissage globaux

Les objectifs ci-dessous décrivent ce qu’un étudiant qui achève le cours doit être capable de faire. Chacun est formulé comme une performance observable, de sorte qu’on puisse le vérifier par une tâche concrète ; chaque leçon déclare, à son tour, ses propres objectifs, et la leçon de clôture montre, leçon par leçon, auquel de ces sept chacune a été rattachée. Les objectifs sont numérotés pour pouvoir y être cités.

1. Objectif 1. Démontrer des énoncés de trigonométrie, d’algèbre des complexes et des matrices, et de géométrie analytique par un raisonnement déductif explicite, en employant la démonstration directe, la contraposition, le raisonnement par l’absurde et la récurrence, et distinguer dans chaque démonstration ce qui est déduit de ce qui est admis.
2. Objectif 2. Appliquer la trigonométrie à la mesure des angles et des triangles, étudier les fonctions trigonométriques et leurs réciproques, démontrer des identités, résoudre des équations et des inéquations trigonométriques en donnant leur solution générale et décrire des courbes en coordonnées polaires.
3. Objectif 3. Étudier la géométrie du plan avec les outils du cours : calculer des angles de droites, éliminer par une rotation des axes le terme rectangle d’une équation du second degré et classer la conique qu’elle définit, et exprimer des rotations, des homothéties, des symétries et des projections au moyen de la trigonométrie, des nombres complexes et des matrices.
4. Objectif 4. Opérer sur des nombres complexes sous forme polaire et exponentielle, calculer leurs puissances et leurs racines, interpréter géométriquement leurs opérations et résoudre des équations polynomiales dans le corps des complexes.
5. Objectif 5. Résoudre des systèmes d’équations linéaires avec des matrices, par la méthode de Gauss-Jordan, le rang, les déterminants et la matrice inverse, et reconnaître dans les ensembles de nombres, les polynômes, les matrices et les restes modulo $n$ les structures de groupe, d’anneau et de corps.
6. Objectif 6. Représenter des points, des vecteurs, des droites et des plans de l’espace par des coordonnées et des équations, manier les produits scalaire, vectoriel et mixte, et calculer avec eux des angles, des distances, des aires et des volumes, en décidant des positions relatives de droites et de plans au moyen de systèmes linéaires.
7. Objectif 7. Modéliser mathématiquement des situations de la science, de la technique et de la vie quotidienne avec les outils du cours, et communiquer par écrit les mises en équation, les calculs et les démonstrations avec une notation correcte, une argumentation complète et un contrôle de la vraisemblance des résultats.

Les objectifs 2 à 6 correspondent, pour l’essentiel, aux grands thèmes du cours : le 2 aux unités 1 et 2, le 4 à l’unité 3, le 5 à l’unité 4 et le 6 à l’unité 5, tandis que le 3 recueille un fil qui traverse les unités 1 à 4, la géométrie du plan vue successivement avec les sinus et les cosinus, avec les complexes et avec les matrices. Le premier et le septième, en revanche, sont transversaux : ils n’appartiennent pas à une unité, mais s’exercent dans toutes. Il s’ensuit que leur réussite ne peut être attribuée à une leçon déterminée, et qu’il convient de les cultiver tout au long du cours. Or, tous deux ont aussi des leçons qui les servent de manière principale : le premier, les synthèses, dont la partie centrale reconstruit la chaîne déductive de chaque unité ; le septième, les leçons où la mise en équation de problèmes est la matière même, celle de l’angle de deux droites et de ses applications et celle des systèmes linéaires.

Contenus

Le cours s’organise en sept unités. La première et la dernière encadrent le parcours ; les cinq intermédiaires développent les contenus. Chacune de celles-ci s’ouvre par une leçon d’introduction, qui présente ses leçons, le contexte historique de ses idées, le problème à leur origine et leur importance, et se clôt par une leçon de synthèse, qui reconstruit la chaîne déductive de l’unité, la relie au reste du cours et au cours I, et propose dix défis d’une difficulté supérieure à celle des problèmes des leçons.

Unité 0. Présentation du cours

Elle se compose de cette leçon, qui fixe le propos, les objectifs globaux, les contenus, la charge de travail et la conception du cours.

Unité 1. Fonctions trigonométriques et coordonnées polaires

Son objectif est de définir les fonctions trigonométriques sur le cercle trigonométrique, d’étudier leurs courbes et leurs réciproques, de résoudre des triangles et de décrire des courbes en coordonnées polaires.

1. Fonctions trigonométriques, coordonnées polaires : introduction.
2. Les angles et leur mesure : degrés et radians.
3. Rapports trigonométriques et cercle trigonométrique.
4. Les fonctions trigonométriques et leurs courbes.
5. Les fonctions trigonométriques réciproques.
6. Résolution des triangles : lois des sinus et des cosinus.
7. Coordonnées polaires et courbes polaires.
8. Trigonométrie et coordonnées polaires : synthèse et défis.

Unité 2. Trigonométrie analytique

Son objectif est de faire des fonctions trigonométriques un calcul algébrique, avec des identités, des formules d’addition, des équations et des inéquations, et de l’appliquer aux angles de droites et aux coniques d’axes obliques.

1. Trigonométrie analytique : introduction.
2. Identités trigonométriques fondamentales.
3. Formules d’addition, angle double et angle moitié.
4. Transformation de sommes en produits et forme harmonique.
5. Équations et inéquations trigonométriques.
6. L’angle de deux droites et applications de la trigonométrie.
7. Rotation des axes et équation générale du second degré.
8. Trigonométrie analytique : synthèse et défis.

Unité 3. Nombres complexes sous forme polaire

Son objectif est de décrire chaque complexe par son module et son argument, de sorte que le produit se lise comme une rotation accompagnée d’une homothétie, les puissances comme des multiples d’un angle et les racines comme des polygones réguliers, et de résoudre ainsi les équations polynomiales. Elle reprend les complexes sous forme algébrique construits dans l’unité 2 du cours I.

1. Nombres complexes sous forme polaire : introduction.
2. La forme polaire des nombres complexes.
3. La formule de Moivre et les puissances des complexes.
4. Racines n-ièmes d’un complexe et racines de l’unité.
5. L’exponentielle complexe et la formule d’Euler.
6. Géométrie et nombres complexes.
7. Équations polynomiales complexes : formules de Cardan et Ferrari.
8. Nombres complexes sous forme polaire : synthèse et défis.

Unité 4. Matrices et structures algébriques

Son objectif est de faire du tableau des coefficients d’un système linéaire un objet doté d’opérations propres, de résoudre avec lui les systèmes, de lire les matrices comme des transformations et de condenser ce qui est commun aux calculs des deux cours dans les notions de groupe, d’anneau et de corps.

1. Matrices et structures algébriques : introduction.
2. Matrices et opérations sur les matrices.
3. Systèmes linéaires et méthode de Gauss-Jordan.
4. Déterminants : propriétés et règle de Cramer.
5. La matrice inverse.
6. Les matrices comme transformations du plan.
7. Les nombres complexes comme matrices.
8. Structures algébriques : groupes, anneaux et corps.
9. Matrices et structures algébriques : synthèse et défis.

Unité 5. Géométrie analytique de l’espace

Son objectif est d’étendre à l’espace la géométrie analytique du plan étudiée dans l’unité 4 du cours I : décrire des points et des vecteurs par trois coordonnées, à partir d’une liste explicite de faits admis de la géométrie euclidienne de l’espace ; mesurer des longueurs et des angles avec le produit scalaire, en démontrant que l’angle ainsi défini est celui de la géométrie élémentaire ; tirer du déterminant d’ordre trois le produit vectoriel et le produit mixte, avec leur lecture comme aire, comme volume et comme critère de coplanarité ; écrire des droites et des plans par des équations et décider de leurs positions relatives avec le rang et le théorème de Rouché-Fontené (appelé théorème de Rouché-Frobenius dans le monde hispanophone) de l’unité 4 ; et calculer des distances, des angles, des projections et la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires, avec des applications à la mécanique, à la cristallographie, à la navigation aérienne et au positionnement par satellites. L’unité étudie la sphère, mais non les autres quadriques (ellipsoïdes, paraboloïdes, hyperboloïdes, cônes et cylindres du second degré), qui ne sont pas traitées dans ce cours ; dans l’organisation actuelle du site, leur étude relève de Analyse III.

1. Géométrie analytique de l’espace : introduction.
2. Vecteurs de l’espace et produit scalaire.
3. Produit vectoriel et produit mixte.
4. Droites et plans de l’espace.
5. Distances, angles et volumes dans l’espace.
6. Géométrie analytique de l’espace : synthèse et défis.

Unité 6. Clôture du cours

Elle se compose de la leçon Bilan final d’Algèbre et géométrie II, qui rappelle les sept objectifs globaux et montre, sur une figure, à quel objectif chaque leçon du cours a été rattachée et quels objectifs spécifiques chaque unité a atteints, et qui réunit par objectif la première tentative des évaluations de sortie.

Charge de travail et crédits

La charge de travail d’un cours ne se mesure pas aux heures d’exposé, qui n’existent pas dans un cours asynchrone, mais au travail total de l’étudiant : lire, suivre les démonstrations, résoudre des problèmes et réviser. L’estimation compte le temps de lecture du texte de chaque leçon, vingt minutes par problème résolu, trente-cinq par problème proposé, quarante-cinq par défi et douze par évaluation d’entrée ou de sortie, et ajoute une marge d’un dixième pour la révision.

Résultats

Les leçons des unités 1 à 5 contiennent au total $145$ problèmes résolus, $145$ problèmes proposés et $50$ défis. La charge de travail estimée par unité, arrondie à l’heure, se répartit ainsi :

• Unité 0, présentation du cours : $1$ heure.
• Unité 1, fonctions trigonométriques et coordonnées polaires : $46$ heures.
• Unité 2, trigonométrie analytique : $46$ heures.
• Unité 3, nombres complexes sous forme polaire : $46$ heures.
• Unité 4, matrices et structures algébriques : $54$ heures.
• Unité 5, géométrie analytique de l’espace : $36$ heures.
• Unité 6, clôture du cours : moins d’une heure.

L’unité 5 est la plus brève en nombre de leçons, mais ses quatre leçons de contenu comptent parmi les plus longues du cours. Le total est d’environ $230$ heures de travail de l’étudiant. Il convient de lire ce chiffre pour ce qu’il est : une estimation pour un étudiant qui étudie toutes les démonstrations et résout tous les problèmes et tous les défis. Qui maîtrise déjà une partie des contenus, ou se limite aux problèmes proposés sans aborder les défis, y passera bien moins de temps ; qui étudie le sujet pour la première fois et sans l’habitude de démontrer peut avoir besoin de davantage.

Or, le chiffre de $230$ heures est nominal : c’est celui qui fixe les crédits du cours, et il suppose une lecture du texte à rythme constant et trois quarts d’heure par défi. Tant qu’il n’est pas mesuré avec de vrais étudiants, il convient de l’accompagner d’une fourchette réaliste. Si la lecture avançait à la moitié du rythme supposé, comme c’est le cas lorsque chaque démonstration est réécrite avec un crayon et du papier, et si chaque défi exigeait soixante-quinze minutes au lieu de quarante-cinq, la même méthode donnerait environ $298$ heures. Par conséquent, la charge de travail à prévoir se situe entre environ $230$ et environ $300$ heures. La borne supérieure est une estimation prudente, non une mesure ; la fourchette sera corrigée lorsqu’on connaîtra le temps qu’y consacrent ceux qui étudient le cours, et jusque-là les crédits se calculent avec le chiffre nominal.

Rythme suggéré

Pour nommer les rythmes, ce plan et celui du cours I suivent le même critère : le temps plein est celui d’une année universitaire de $60$ crédits, environ $1650$ heures réparties sur une quarantaine de semaines, soit environ $40$ heures par semaine, et le mi-temps en est la moitié, environ $20$ heures par semaine. Il s’ensuit un rythme recommandé d’un semestre de seize semaines, avec environ $14$ heures d’étude par semaine, un peu plus du tiers d’un temps plein et, par conséquent, moins qu’un mi-temps ; avec la fourchette réaliste, de $14$ à $19$ heures par semaine, il s’approche du mi-temps sans l’atteindre. Ainsi, les cours I et II occupent deux semestres consécutifs. Un rythme plus souple, d’environ $7$ heures par semaine, étale le cours sur deux semestres ; un rythme intensif, d’environ $29$ heures par semaine, un peu moins des trois quarts d’un temps plein, l’achève en huit semaines, ce qui équivaut à la charge d’un étudiant qui ne suit aucune autre matière exigeante pendant la même période.

Crédits

Les crédits de ce site mesurent la charge de travail totale qu’un cours exige de qui l’étudie (la lecture, les problèmes, les défis et la révision), et non les heures de cours. Un crédit équivaut à environ $27{,}5$ heures de travail, et une année à temps plein, à $60$ crédits, c’est-à-dire à environ $1650$ heures ; c’est le même critère que celui qui, plus haut, sert à nommer les rythmes d’étude.

Or, en divisant les $230$ heures estimées par $27{,}5$, on obtient 8,4, qui s’arrondit à $8$. Si l’on admet pour le crédit une fourchette de $25$ à $30$ heures de travail, le nombre $C$ de crédits du cours est compris entre 7,7 et 9,2 :

Par conséquent, le cours compte $8$ crédits, un peu plus du huitième d’une année à temps plein. Qui souhaite n’étudier qu’une portion du cours peut se servir de la liste des heures par unité : les unités 0 à 4, par exemple, totalisent environ $193$ heures, soit environ $7$ crédits.

Leur utilité est pratique : ils permettent de comparer entre eux la charge de travail des cours du site et de décider combien il convient d’en étudier à la fois sans dépasser le temps disponible. Qui dispose, par exemple, d’un mi-temps pendant un semestre de seize semaines, c’est-à-dire d’environ $320$ heures, peut aborder des cours totalisant environ $12$ crédits ; à temps plein pendant le même semestre, environ $23$.

Ces crédits sont une mesure propre au site pour planifier l’étude : ils ne correspondent à aucun système officiel de crédits et n’impliquent la reconnaissance académique d’aucun établissement.

Conception du cours

Modalité

Le cours est asynchrone, en ligne et à rythme libre : il n’a ni dates, ni séances en direct, ni échéances, et chaque étudiant avance à la vitesse que lui permettent sa préparation et son temps. Il est proposé dans les quatorze langues du site, avec les mêmes mathématiques dans toutes : les formules et les étapes des démonstrations sont identiques dans chaque version, et seul le texte est traduit. Les leçons déclarent quelles autres leçons il convient d’avoir étudiées auparavant, y compris celles du cours I dont elles dépendent, de sorte que l’ordre recommandé est explicite et peut être vérifié.

La structure d’une leçon

Toutes les leçons thématiques suivent la même structure. Elles commencent par un résumé et par une liste d’objectifs d’apprentissage propres, formulés comme des performances observables. Viennent ensuite la théorie, avec les définitions, les théorèmes énoncés avec précision et leurs démonstrations, et les exemples. Les démonstrations et les exemples se présentent comme des lecteurs pas à pas : chaque étape écrit une ligne du raisonnement, éclaire les termes qui interviennent et, lorsqu’elle s’appuie sur un résultat antérieur, y revient et l’éclaire pendant la lecture, de sorte que la mémoire du raisonnement reste sous les yeux ; beaucoup s’accompagnent d’une figure qui change à chaque étape. La leçon se clôt par cinq problèmes résolus, avec leur solution pas à pas, et cinq problèmes proposés, chacun avec une indication repliée puis la réponse finale, pour que l’étudiant vérifie son résultat sans que le chemin lui soit révélé ; les problèmes proposés de démonstration ajoutent, repliée après la réponse, une solution détaillée, qu’il convient de n’ouvrir qu’après avoir rédigé la sienne.

Les leçons d’introduction et de synthèse ont une structure propre. L’introduction présente l’unité, son histoire, le problème à son origine et son importance ; la synthèse reconstruit sur une figure la chaîne déductive de l’unité, avec les résultats qu’elle réutilise et les maillons qu’elle démontre, la relie aux unités antérieures et au cours I, et propose dix défis, chacun avec une indication, une réponse finale et une solution détaillée repliée, qui combinent plusieurs leçons et exigent plus d’invention que les problèmes proposés.

Le lecteur vocal

Chaque leçon peut être écoutée à voix haute avec le lecteur du site, qui utilise les voix de l’appareil lui-même : le texte est lu tel qu’il est écrit et les formules sont prononcées en mots. Cela permet de réviser une leçon loin de l’écran, de suivre une démonstration en l’écoutant tout en regardant le lecteur pas à pas, et d’étudier avec une déficience visuelle.

Évaluation

Le cours ne note ni ne certifie : son évaluation sur le site est formative. Les problèmes proposés permettent de vérifier la réussite des objectifs de chaque leçon, et les défis, celle des objectifs de chaque unité. Chacune des cinq unités comporte en outre une évaluation d’entrée dans son introduction et une évaluation de sortie dans sa synthèse, avant les défis : des auto-évaluations brèves, corrigées dans le navigateur sans notation ; celle d’entrée compte neuf ou dix questions sur l’unité, plus deux à six questions sur ce que l’unité tient pour connu des unités antérieures ou du cours I, et celle de sortie, onze ou douze ; toutes deux indiquent quelle leçon réviser après chaque erreur et se comparent entre elles pour montrer la progression. Le bilan final réunit la première tentative de chaque évaluation de sortie dans un profil par objectif global, conservé, comme elles, dans le seul navigateur de l’étudiant. La validation des compétences, avec valeur de certification, se fera plus tard et hors de ce site, sur une autre plateforme.

Pour les objectifs globaux, on suggère en outre les preuves de réussite ci-dessous, que chaque étudiant peut produire par lui-même :

• Objectif 1 : rédiger, sans consulter la leçon, la démonstration d’un théorème du cours, comme la loi des cosinus, la formule de Moivre ou l’unicité de la matrice inverse.
• Objectif 2 : démontrer une identité trigonométrique non triviale et résoudre une équation trigonométrique en donnant sa solution générale.
• Objectif 3 : classer la conique que définit une équation du second degré avec terme rectangle, en tournant les axes, et exprimer une rotation du plan comme produit par un complexe et comme matrice.
• Objectif 4 : calculer les racines $n$-ièmes d’un complexe, les représenter dans le plan et résoudre une équation du troisième degré avec la formule de Cardan.
• Objectif 5 : résoudre un système linéaire à paramètre, en discutant les cas selon le rang, et décider si une structure donnée est un groupe, un anneau ou un corps.
• Objectif 6 : trouver la position relative de deux droites de l’espace et la distance entre elles, ainsi que le volume d’un tétraèdre donné par ses sommets.
• Objectif 7 : rédiger la solution complète d’un problème de modélisation, avec mise en équation, développement, réponse et contrôle de vraisemblance, de sorte qu’une autre personne puisse la suivre sans explications supplémentaires.

Comment étudier ce cours

Le cours est conçu pour être étudié dans l’ordre. Chaque unité suppose les unités antérieures et le cours I, et beaucoup de démonstrations citent des résultats de leçons antérieures, de l’un ou de l’autre cours ; sauter une leçon oblige, tôt ou tard, à y revenir.

Chaque unité comporte deux points de contrôle. L’évaluation d’entrée, au début de l’introduction, est le point de départ : il convient d’y répondre avant d’étudier l’unité, sans rien consulter, et de noter les leçons auxquelles renvoient les erreurs, qui sont celles qui demandent le plus de soin. L’évaluation de sortie, dans la synthèse et avant les défis, est le point de comparaison : on y répond après avoir terminé les leçons, également sans consulter, et on la compare avec celle d’entrée pour voir ce qui a changé et quelles leçons il convient de réviser. Dans les deux, c’est la première tentative qui compte, celle que l’on compare et celle que réunit le profil du bilan final ; les tentatives ultérieures se font après avoir vu les retours. Les défis complètent la vérification, car ils exigent de combiner et de rédiger ce que les questions brèves ne font qu’effleurer. Il s’ensuit que qui croit maîtriser déjà une unité ne doit pas en décider sur une seule épreuve : si son évaluation de sortie est solide et s’il résout les défis de la synthèse, il peut passer à l’unité d’après ; sinon, il convient de parcourir les leçons que l’une et les autres signalent.

Dans chaque leçon, il convient de lire d’abord le résumé et les objectifs, qui disent ce que l’on cherche ; d’étudier ensuite la théorie avec un crayon et du papier, en essayant d’anticiper chaque étape des démonstrations avant que le lecteur ne l’écrive ; de tenter les problèmes résolus avant de regarder leur solution, et de résoudre les problèmes proposés sans aide, en n’ouvrant l’indication que lorsque la tentative est épuisée, et la réponse seulement à la fin, pour vérifier. Un problème dont on a consulté la réponse avant de le tenter n’a pas été résolu, mais lu.

Les défis sont plus difficiles que les problèmes des leçons, et il est normal que certains demandent plusieurs tentatives sur des jours différents. Il ne convient pas de s’arrêter indéfiniment sur l’un d’eux : le noter, continuer d’avancer et y revenir plus tard est souvent le chemin le plus court. Or, la charge de travail estimée suppose que tous sont tentés sérieusement, et c’est dans cet effort que se joue une bonne part de ce que le cours peut enseigner.

Enfin, il convient d’écrire. Rédiger une démonstration ou une solution complète, avec ses prémisses et ses conclusions, est la seule manière de savoir si l’on a compris, et c’est aussi le septième des objectifs du cours. Un cahier d’étude, dans lequel on réécrit avec ses propres mots les définitions et les théorèmes de chaque unité, est le meilleur matériau de révision que le cours puisse laisser, et il le sera plus encore en Analyse I, qui reviendra sur presque tout ce qui est démontré ici.