Fonctions trigonométriques, coordonnées polaires : introduction

Résumé

Cette leçon ouvre le cours d’Algèbre et géométrie II et sa première unité, consacrée aux fonctions trigonométriques et aux coordonnées polaires. Elle propose une évaluation d’entrée, qui mesure le point de départ dans les six leçons de l’unité et dans ce que celle-ci tient pour acquis du cours I. Elle rassemble ce que le cours I laisse établi et présente les six leçons de l’unité dans l’ordre où on les étudie, depuis la mesure des angles jusqu’aux courbes polaires et aux coniques dont un foyer est au pôle, et explique ce que chacune démontre et pourquoi elle importe. Elle reconstruit ensuite le contexte historique : l’astronomie grecque, qui avait besoin de mesurer l’inaccessible et dressa la table des cordes des arcs ; la moitié de la corde de l’arc double, que les astronomes de l’Inde placèrent au centre du calcul et qui, à travers les traductions arabes et latines, reçut le nom de sinus ; la trigonométrie comme discipline indépendante, et sa transformation, au XVIIIe siècle, en étude de fonctions d’une variable réelle. Elle formule le problème qui lui a donné naissance, celui de calculer des distances à partir d’angles, avec le triangle d’Aristarque de Samos, et se termine en indiquant où ces idées servent dans la suite du cours, dans d’autres cours du site et dans la science et la technique.

Objectifs d’apprentissage

Décrire le contenu de l’unité, en situant chacune de ses leçons dans une suite qui va de la mesure des angles aux courbes polaires.
Expliquer l’origine astronomique et géodésique de la trigonométrie et des coordonnées polaires, et en reconnaître les grands jalons, depuis la table des cordes jusqu’aux fonctions d’une variable réelle.
Exprimer la corde d’un arc au moyen du sinus de l’arc moitié, et poser le problème d’Aristarque comme le calcul d’un quotient de distances à partir d’un angle.
Identifier les endroits du cours, d’autres cours et de la science et de la technique où l’on emploie les fonctions trigonométriques et les coordonnées polaires.

Évaluation d’entrée

Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ, sans aucune notation. Les dix premières questions portent sur les six leçons de contenu de l’unité : deux pour les fonctions réciproques et deux pour la résolution des triangles, qui sont les leçons sur lesquelles le reste du cours s’appuie le plus ; deux pour les fonctions trigonométriques et leurs courbes, dont un problème en contexte qu’il faut mettre en équation ; deux pour les coordonnées polaires, dont une sur l’équation polaire des coniques ; et une pour chacune des deux autres leçons. Les mêmes savoir-faire sont mesurés de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse. Les six dernières vérifient ce que le cours suppose acquis du cours I : la complétude des nombres réels, la réciproque d’une fonction, la tangente à un cercle et le produit scalaire, l’excentricité d’une ellipse, l’exponentielle et le logarithme à travers le cosinus hyperbolique, et le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique. Qui se trompe à l’une d’elles saura à quelle leçon du cours I il convient de revenir avant de commencer, et qui se trompe à l’une des dix premières, sur quelle leçon de l’unité s’arrêter.

Les contenus de l’unité

Avec cette unité commence le cours d’Algèbre et géométrie II, qui suppose achevé le cours Algèbre et géométrie I. Il en reprend cinq choses qu’on emploie ici sans les démontrer de nouveau. La première, ce sont les nombres réels comme corps ordonné complet, avec la propriété d’Archimède et la densité des rationnels, qui permettront de ramener tout angle au premier tour et d’étendre à tous les angles ce qu’on démontre pour les rationnels. La deuxième est l’étude des fonctions : ensemble de définition, ensemble image, composition, réciproque d’une fonction bijective et transformations de courbes, avec les tableaux de signes et la factorisation des polynômes. La troisième est la géométrie analytique du plan : la distance, la droite sous forme cartésienne et paramétrique, les vecteurs avec le produit scalaire, le cercle et les coniques avec leur foyer et leur directrice. La quatrième, ce sont les fonctions exponentielle, logarithme et hyperboliques, dont le paramétrage de l’hyperbole annonce celui du cercle. La cinquième, ce sont les nombres complexes sous forme algébrique, représentés comme des points du plan, que cette unité prépare à s’écrire avec un module et un angle.

Or aucun de ces outils ne répond à une question très ancienne : un angle étant donné, quel quotient les côtés d’un triangle rectangle qui le contient gardent-ils entre eux ? Cette unité y répond, et de la réponse naissent six fonctions d’une variable réelle, leurs réciproques, la résolution de tous les triangles et une seconde manière de nommer les points du plan. Les leçons se succèdent dans cet ordre.

Les angles et leur mesure définit les angles orientés, qui mesurent des rotations avec leur sens et peuvent dépasser le tour, énonce l’axiome du parcours du cercle par longueur d’arc, sur lequel repose toute l’unité, et définit grâce à lui la mesure en radians comme longueur de l’arc du cercle trigonométrique ; elle démontre les formules de l’arc et du secteur, le théorème de l’angle inscrit et la réduction de tout angle au premier tour, qui est la division avec reste des nombres réels par $2\pi$ . Elle importe parce que le radian est la mesure qui rend simples toutes les formules ultérieures.
Les rapports trigonométriques et le cercle trigonométrique définit le sinus, le cosinus et la tangente d’abord dans le triangle rectangle, en démontrant par similitude qu’ils ne dépendent pas du triangle, puis pour tout nombre réel, comme coordonnées d’un point du cercle trigonométrique ; elle démontre l’identité pythagoricienne, les valeurs remarquables et les symétries. C’est le moment décisif de l’unité : elle fait d’un rapport géométrique une quantité définie pour n’importe quel angle.
Les fonctions trigonométriques et leurs courbes étudie le sinus, le cosinus et la tangente comme fonctions, démontre leurs plus petites périodes, construit leurs courbes et démontre, en comparant des aires, l’inégalité $\sin x < x < \tan x$ . Avec les sinusoïdes, elle fournit le modèle de tous les phénomènes périodiques.
Les fonctions trigonométriques réciproques déduit de l’axiome du parcours que le cosinus et le sinus sont strictement monotones sur certains intervalles, y restreint les fonctions, définit l’arc sinus, l’arc cosinus et l’arc tangente, et résout les équations élémentaires sur un tour. Elle permet de parcourir le chemin en sens contraire : d’un rapport connu à l’angle qui le produit.
La résolution des triangles démontre l’aire en fonction de deux côtés et de l’angle compris, la loi des sinus, la loi des cosinus et la formule de Héron, et discute le cas ambigu. Elle étend la trigonométrie du triangle rectangle à tous les triangles et mesure, avec le produit scalaire, l’angle de deux vecteurs.
Les coordonnées polaires et les courbes polaires nomme chaque point par sa distance au pôle et par un angle, déduit les formules de passage aux coordonnées cartésiennes, trace des cardioïdes, des rosaces, des spirales et des limaçons, et obtient l’équation polaire des coniques dont un foyer est au pôle. Elle prépare la forme polaire des nombres complexes et la description des orbites.

L’unité se termine par la leçon de synthèse et défis, qui réunit ce qui a été démontré, mesure par une évaluation de sortie l’acquis par rapport à l’évaluation d’entrée de cette leçon et propose dix problèmes plus difficiles.

Contexte historique

La trigonométrie n’est pas née comme un chapitre de l’algèbre, mais comme une technique de l’astronomie. Pour prédire la position des astres et mesurer des distances qu’on ne peut pas parcourir, les astronomes avaient besoin de passer des angles, qu’on observe, aux longueurs, qu’on calcule ; et la géométrie grecque, qui savait construire des figures à la règle et au compas, n’offrait aucun moyen de calculer, un angle quelconque étant donné, le rapport entre deux côtés d’un triangle.

La table des cordes

L’astronomie grecque hérita de l’astronomie babylonienne la division du cercle en $360$ degrés et le calcul en base soixante. Vers le IIIe siècle avant notre ère, Aristarque de Samos estima par des arguments géométriques le rapport entre les distances du Soleil et de la Lune, et Ératosthène mesura la circonférence de la Terre à partir d’un angle, comme on le verra dans la leçon sur les angles et leur mesure. On attribue à Hipparque de Nicée, au IIe siècle avant notre ère, la première table des cordes : pour chaque angle au centre, la longueur de la corde qu’il sous-tend dans un cercle de rayon fixe. La table qui nous est parvenue est celle de Claude Ptolémée, qui, dans l’Almageste, au IIe siècle de notre ère, donna les cordes des arcs de demi-degré en demi-degré dans un cercle de rayon $60$ . Ménélas d’Alexandrie, vers l’an 100, avait étendu le calcul aux triangles tracés sur la sphère céleste.

La corde et le sinus sont la même information écrite de deux manières. La proposition ci-dessous le précise, et montre pourquoi le passage de l’une à l’autre fut plus qu’un changement de nom : le sinus est la moitié de la corde de l’arc double, et c’est un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle.

PropositionLa corde et le sinus

Dans le cercle de rayon $1$ et de centre $O$ , soit $C(\theta)$ la longueur de la corde qui joint les extrémités $A$ et $B$ d’un arc d’angle au centre $\theta$ , avec $0 < \theta < \pi$ . Alors $C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ .

Démonstration

$C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1$
La corde est le côté opposé à l’angle $\theta$ dans le triangle de sommets $O$ , $A$ et $B$ , dont les deux autres côtés sont des rayons.
$\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}$
Le triangle est isocèle ; la perpendiculaire menée de $O$ à la corde la coupe en son milieu $M$ et partage l’angle au centre en deux angles égaux, car les triangles de sommets $O$ , $M$ , $A$ et $O$ , $M$ , $B$ sont rectangles en $M$ , ont des angles égaux en $A$ et en $B$ , le triangle étant isocèle, et ont en commun le côté $OM$ : par le cas de similitude des deux angles, ils sont semblables de rapport $1$ .
$\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}$
Dans le triangle rectangle de sommets $O$ , $M$ et $B$ , l’hypoténuse mesure $1$ et le côté opposé à l’angle $\frac{\theta}{2}$ est la moitié de la corde ; par la définition du sinus, ce côté est $\sin \frac{\theta}{2}$ .
$\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}$
Lue à rebours, avec $\theta = 2\alpha$ , l’égalité dit que le sinus d’un angle est la moitié de la corde de l’angle double ; dans le cercle de rayon $60$ de Ptolémée, toutes les longueurs sont multipliées par $60$ .

Du demi-arc au sinus

Les astronomes de l’Inde, comme Aryabhata vers l’an 500, dressèrent directement la table de la moitié de la corde de l’arc double, qu’ils appelèrent jya, et placèrent ainsi au centre du calcul un côté de l’angle droit d’un triangle rectangle au lieu d’une corde. Le mot passa en arabe sous la forme jiba, qui, dans l’écriture sans voyelles, fut confondu avec jaib, « pli » ou « sein » d’un vêtement, et les traducteurs latins du XIIe siècle le rendirent par sinus, d’où vient le nom actuel. Les astronomes du monde islamique, entre le IXe et le XIe siècle, parmi lesquels al-Battani et Abu al-Wafa, ajoutèrent les tables de la tangente et de la cotangente, qui provenaient de l’étude des ombres des cadrans solaires ; au XIIIe siècle, Nasir al-Din al-Tusi exposa la trigonométrie comme une discipline indépendante de l’astronomie.

La trigonométrie comme discipline

En Europe, Regiomontanus rédigea vers 1464 un traité sur les triangles de toute espèce, imprimé en 1533, qui réunissait la résolution des triangles plans et sphériques ; le mot trigonométrie, « mesure des triangles », apparaît dans le titre d’un ouvrage de Bartholomaeus Pitiscus de 1595. La loi des cosinus a une histoire plus longue : Euclide, au livre II des Éléments, avait déjà corrigé le théorème de Pythagore pour les triangles acutangles et obtusangles au moyen du double d’un rectangle, formé par un côté et la projection de l’autre sur lui, qui s’écrit aujourd’hui $2bc \cos A$ au signe près, et au XVe siècle al-Kashi lui donna une forme propre au calcul. La formule de Héron, quant à elle, figure dans la Métrique de Héron d’Alexandrie, au Ier siècle.

Des rapports aux fonctions

Pendant des siècles, le sinus d’un angle fut une longueur dans un cercle de rayon conventionnel, soixante ou plusieurs millions, selon la table. Le calcul infinitésimal du XVIIe siècle montra que les formules se simplifient si le rayon vaut $1$ et si les angles se mesurent par la longueur de leur arc, et Leonhard Euler, dans son Introductio in analysin infinitorum de 1748, traita le sinus et le cosinus comme des fonctions d’une variable réelle, définies sur le cercle trigonométrique, ce qui est le point de vue de cette unité ; le nom de radian pour l’unité de mesure correspondante fut forgé dans la seconde moitié du XIXe siècle. Au début du XIXe siècle, Joseph Fourier soutint, dans sa théorie analytique de la chaleur publiée en 1822, qu’une fonction périodique très générale peut s’écrire comme une somme de sinus et de cosinus, et les fonctions trigonométriques devinrent le langage de tous les phénomènes périodiques.

Les coordonnées polaires

L’idée de décrire un point par sa distance à un centre et par un angle est aussi ancienne que l’astronomie, et Archimède, au IIIe siècle avant notre ère, définit sa spirale précisément ainsi : un point qui s’éloigne d’un centre à vitesse constante pendant que la demi-droite qui le porte tourne à vitesse constante. Comme système de coordonnées, cependant, elles apparaissent au XVIIe siècle : Bonaventura Cavalieri et Grégoire de Saint-Vincent les utilisèrent pour étudier des spirales, Isaac Newton les compta parmi les systèmes avec lesquels il décrivait des courbes, et Jacques Bernoulli les employa dans ses travaux de la fin de ce siècle ; Euler les systématisa au XVIIIe siècle. Entre-temps, Johannes Kepler avait publié en 1609 que l’orbite de Mars est une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers, et l’équation polaire des coniques dont un foyer est au pôle, qui clôt cette unité, est la forme naturelle de cette loi.

Le problème à leur origine

Le problème commun à tous ces développements peut s’énoncer ainsi : connaissant certains angles et certaines longueurs d’une figure, calculer les autres. Sa forme la plus simple est le triangle rectangle. Par similitude, le quotient de deux côtés ne dépend que de l’angle aigu $\alpha$ , et c’est donc une fonction de $\alpha$ ; mais cette fonction n’est pas algébrique, elle ne s’obtient pas à partir de $\alpha$ par des sommes, des produits ni des racines, et c’est pourquoi il fallut la mettre en tables. L’exemple ci-dessous, la première tentative connue de mesurer le système solaire, montre le problème à l’état pur.

ExempleLe triangle d’Aristarque

Quand la Lune est vue exactement en quartier, la moitié éclairée de son disque est vue de profil, et le Soleil, la Lune et la Terre forment un triangle rectangle en la Lune. Aristarque mesura, depuis la Terre, l’angle $\alpha$ entre les directions de la Lune et du Soleil, et obtint $87^\circ$ . Soient $T$ , $L$ et $S$ la Terre, la Lune et le Soleil.

Démonstration

${\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2$
Le triangle de sommets $T$ , $L$ et $S$ est rectangle en $L$ : la distance de la Terre au Soleil est l’hypoténuse.
$\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}$
Le côté adjacent à l’angle $\alpha$ est la distance à la Lune ; par la définition du cosinus, le quotient de la distance au Soleil par la distance à la Lune ne dépend que de $\alpha$ .
$\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20$
Sans tables de cosinus, Aristarque encadra le quotient par des arguments géométriques et conclut que le Soleil est entre $18$ et $20$ fois plus loin que la Lune. La sécante de $87^\circ$ vaut environ 19,1, entre ses bornes.
$\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty$
La méthode était correcte, mais la donnée ne l’était pas : l’angle véritable diffère de l’angle droit de moins d’un sixième de degré, et le quotient véritable avoisine $390$ . Quand $\alpha$ s’approche d’un angle droit, le Soleil s’éloigne sans limite le long de la droite qui passe par la Lune, et une erreur minime sur l’angle produit une erreur énorme sur la distance.

Comme le Soleil et la Lune ont presque la même taille apparente, ainsi que le montrent les éclipses totales de Soleil, le raisonnement d’Aristarque donnait aussi le rapport entre leurs diamètres, et avec lui la conclusion que le Soleil est beaucoup plus grand que la Terre. L’exemple contient en germe toute l’unité : un rapport entre côtés qui dépend d’un angle, la nécessité de connaître cette dépendance avec précision, et l’observation que certaines fonctions croissent sans borne près de valeurs isolées de l’angle, ce qui est l’asymptote verticale de la sécante étudiée dans la leçon sur les fonctions trigonométriques et leurs courbes.

Le même problème se présente de deux autres manières, qui donnent naissance aux autres leçons de l’unité. La première est réciproque : on connaît le rapport et l’on cherche l’angle, comme lorsqu’on mesure la pente d’un chemin et qu’on veut connaître son inclinaison ; y répondre exige de prendre la réciproque de fonctions qui ne sont pas injectives, et telle est la tâche des fonctions trigonométriques réciproques. La seconde est celle de décrire ce qui tourne : une planète autour du Soleil, une roue, une onde qui se répète. Pour cela, il convient de nommer les points par leur distance à un centre et leur direction, et non par leurs distances à deux axes, et d’exprimer le mouvement périodique par des fonctions qui se répètent ; ainsi naissent les coordonnées polaires et les sinusoïdes.

Importance

Dans la suite de ce cours, l’unité 2, qui commence par la leçon sur les identités trigonométriques fondamentales, démontre les formules du sinus et du cosinus d’une somme, résout en général les équations trigonométriques et, au moyen de la rotation des axes, classe toutes les équations du second degré à deux variables. L’unité 3, consacrée aux nombres complexes sous forme polaire, écrit chaque nombre complexe avec son module et son angle, comme dans la leçon sur la forme polaire des nombres complexes, et ramène les puissances et les racines à multiplier des modules et à additionner des angles ; l’unité 4 représente les rotations du plan par des matrices dont les coefficients sont des sinus et des cosinus, dans la leçon sur les matrices comme transformations du plan ; et l’unité 5, sur la géométrie analytique de l’espace, mesure l’angle de deux vecteurs de l’espace par son cosinus, dans la leçon sur les vecteurs de l’espace et le produit scalaire, et l’emploie pour calculer des angles entre droites et plans.

Dans d’autres cours du site, l’inégalité $\sin x < x < \tan x$ est le point de départ du calcul de la dérivée du sinus dans le cours d’Analyse I, et les longueurs d’arcs, les aires limitées par des courbes polaires et les changements de variable trigonométriques sont étudiés dans le cours d’Analyse II. Le cours de Fondements de la mécanique décompose les forces et les vitesses en composantes au moyen du sinus et du cosinus, et étudie le mouvement circulaire avec la relation entre la vitesse angulaire et la vitesse linéaire. Dans le cours de Programmation en C++ I, les bibliothèques mathématiques du langage offrent, outre le sinus, le cosinus et l’arc tangente, une fonction de deux arguments qui renvoie l’angle polaire d’un point entre $-\pi$ et $\pi$ , avec la même correction selon le quadrant que celle qui est démontrée dans cette unité.

Hors des mathématiques, la trigonométrie est l’outil de la topographie, de la navigation et de la géodésie, qui mesurent le terrain par triangulation ; les coordonnées polaires sont celles des radars et des systèmes qui localisent un objet par sa distance et son cap ; et les sinusoïdes sont le langage de l’acoustique, du courant alternatif, des télécommunications et du traitement du signal et de l’image, qui décomposent tout signal en oscillations simples selon l’idée de Fourier.

Fonctions trigonométriques, coordonnées polaires : introduction

Résumé

Objectifs d’apprentissage

Évaluation d’entrée

Les contenus de l’unité

Contexte historique

La table des cordes

Du demi-arc au sinus

La trigonométrie comme discipline

Des rapports aux fonctions

Les coordonnées polaires

Le problème à leur origine

Importance

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