Trigonometrische Funktionen und Polarkoordinaten: Einführung

Eingangstest

Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu messen, ohne jede Benotung. Die ersten zehn Fragen betreffen die sechs inhaltlichen Lektionen der Einheit: zwei die Arkusfunktionen und zwei die Dreiecksberechnung, die Lektionen, auf die sich der Rest des Kurses am meisten stützt; zwei die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen, darunter ein Problem in einem Sachzusammenhang, das aufgestellt werden muss; zwei die Polarkoordinaten, darunter eine zur Polargleichung der Kegelschnitte; und je eine die beiden übrigen Lektionen. Dieselben Fertigkeiten werden am Ende in der Lektion zur Synthese erneut gemessen. Die letzten sechs prüfen, was der Kurs aus Kurs I als bekannt voraussetzt: die Vollständigkeit der reellen Zahlen, die Umkehrfunktion einer Funktion, die Tangente an einen Kreis und das Skalarprodukt, die Exzentrizität einer Ellipse, die Exponentialfunktion und den Logarithmus mittels des Kosinus hyperbolicus sowie den Quotienten zweier komplexer Zahlen in algebraischer Form. Wer eine von ihnen falsch beantwortet, weiß, welche Lektion von Kurs I es sich lohnt, vor dem Beginn zu wiederholen, und wer eine der ersten zehn falsch beantwortet, bei welcher Lektion der Einheit zu verweilen ist.

Die Inhalte der Einheit

Mit dieser Einheit beginnt der Kurs Algebra und Geometrie II, der den Kurs Algebra und Geometrie I als abgeschlossen voraussetzt. Aus ihm übernimmt er fünf Dinge, die hier verwendet werden, ohne sie erneut zu beweisen. Das erste sind die reellen Zahlen als vollständiger angeordneter Körper, mit der archimedischen Eigenschaft und der Dichtheit der rationalen Zahlen, die es erlauben werden, jeden Winkel auf die erste Umdrehung zu reduzieren und das, was für die rationalen Winkel bewiesen wird, auf alle Winkel zu übertragen. Das zweite ist das Studium der Funktionen: Definitionsmenge, Wertemenge, Verkettung, Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion und Graphentransformationen, mit den Vorzeichentabellen und der Faktorisierung von Polynomen. Das dritte ist die analytische Geometrie der Ebene: der Abstand, die Gerade in Koordinaten- und Parameterform, die Vektoren mit dem Skalarprodukt, der Kreis und die Kegelschnitte mit ihrem Brennpunkt und ihrer Leitlinie. Das vierte sind die Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen, deren Parametrisierung der Hyperbel die des Kreises vorwegnimmt. Das fünfte sind die komplexen Zahlen in algebraischer Form, dargestellt als Punkte der Ebene, die diese Einheit darauf vorbereitet, mit einem Betrag und einem Winkel geschrieben zu werden.

Keines dieser Werkzeuge beantwortet jedoch eine sehr alte Frage: In welchem Quotienten stehen, bei gegebenem Winkel, die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, das ihn enthält, zueinander? Diese Einheit beantwortet sie, und aus der Antwort gehen sechs Funktionen einer reellen Variablen hervor, ihre Umkehrfunktionen, die Berechnung aller Dreiecke und eine zweite Art, die Punkte der Ebene zu benennen. Die Lektionen folgen in dieser Ordnung aufeinander.

1. Winkel und ihre Messung definiert die orientierten Winkel, die Drehungen samt ihrem Drehsinn messen und über eine volle Umdrehung hinausgehen können, formuliert das Axiom des Durchlaufens des Kreises nach Bogenlänge, auf dem die ganze Einheit beruht, und definiert damit das Bogenmaß als Länge des Bogens auf dem Einheitskreis; sie beweist die Formeln für den Bogen und den Sektor, den Umfangswinkelsatz und die Reduktion jedes Winkels auf die erste Umdrehung, die die Division mit Rest der reellen Zahlen durch $2\pi$ ist. Sie ist wichtig, weil das Bogenmaß dasjenige Maß ist, das alle späteren Formeln einfach macht.
2. Die trigonometrischen Verhältnisse und der Einheitskreis definiert den Sinus, den Kosinus und den Tangens zuerst im rechtwinkligen Dreieck, wobei sie über die Ähnlichkeit beweist, dass sie nicht vom Dreieck abhängen, und danach für jede reelle Zahl, als Koordinaten eines Punktes des Einheitskreises; sie beweist den trigonometrischen Pythagoras, die besonderen Werte und die Symmetrien. Hier liegt die entscheidende Wendung der Einheit: Ein geometrisches Verhältnis wird zu einer für jeden Winkel definierten Größe.
3. Die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen untersucht den Sinus, den Kosinus und den Tangens als Funktionen, beweist ihre kleinsten Perioden, konstruiert ihre Graphen und beweist durch einen Vergleich von Flächen die Ungleichung $\sin x < x < \tan x$. Mit den Sinuskurven liefert sie das Modell aller periodischen Vorgänge.
4. Die Arkusfunktionen leitet aus dem Axiom des Durchlaufens her, dass der Kosinus und der Sinus auf gewissen Intervallen streng monoton sind, schränkt die Funktionen auf sie ein, definiert den Arkussinus, den Arkuskosinus und den Arkustangens und löst die elementaren Gleichungen in einer Umdrehung. Sie erlaubt es, den Weg in umgekehrter Richtung zu gehen: von einem bekannten Verhältnis zu dem Winkel, der es hervorbringt.
5. Die Dreiecksberechnung beweist den Flächeninhalt in Abhängigkeit von zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, den Sinussatz, den Kosinussatz und die heronsche Formel und erörtert den mehrdeutigen Fall. Sie überträgt die Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks auf alle Dreiecke und misst mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren.
6. Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten benennt jeden Punkt durch seinen Abstand vom Pol und durch einen Winkel, leitet die Umrechnungsformeln in kartesische Koordinaten her, zeichnet Kardioiden, Rosenkurven, Spiralen und pascalsche Schnecken und gewinnt die Polargleichung der Kegelschnitte mit einem Brennpunkt im Pol. Sie bereitet die Polarform der komplexen Zahlen und die Beschreibung der Umlaufbahnen vor.

Die Einheit schließt mit der Lektion zu Synthese und Herausforderungen, die das Bewiesene zusammenführt, mit einem Abschlusstest das Erreichte im Vergleich zum Eingangstest dieser Lektion misst und zehn schwierigere Probleme stellt.

Historischer Hintergrund

Die Trigonometrie entstand nicht als ein Kapitel der Algebra, sondern als eine Technik der Astronomie. Um die Stellung der Gestirne vorherzusagen und Entfernungen zu messen, die sich nicht abschreiten lassen, mussten die Astronomen von Winkeln, die man beobachtet, zu Längen übergehen, die man berechnet; und die griechische Geometrie, die Figuren mit Zirkel und Lineal zu konstruieren wusste, bot keinerlei Mittel, zu einem beliebigen Winkel das Verhältnis zweier Seiten eines Dreiecks zu berechnen.

Die Sehnentafel

Die griechische Astronomie übernahm von der babylonischen die Einteilung des Kreises in $360$ Grad und das Rechnen zur Basis sechzig. Um das 3. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung schätzte Aristarchos von Samos mit geometrischen Argumenten das Verhältnis der Entfernungen von Sonne und Mond ab, und Eratosthenes maß den Umfang der Erde aus einem Winkel, wie in der Lektion über Winkel und ihre Messung zu sehen sein wird. Hipparchos von Nicäa wird im 2. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung die erste Sehnentafel zugeschrieben: zu jedem Mittelpunktswinkel die Länge der Sehne, die er in einem Kreis mit festem Radius abschneidet. Die erhaltene Tafel ist die des Claudius Ptolemäus, der im Almagest, im 2. Jahrhundert unserer Zeitrechnung, die Sehnen der Bögen im Abstand von je einem halben Grad in einem Kreis mit dem Radius $60$ angab. Menelaos von Alexandria hatte um das Jahr 100 die Rechnung auf die Dreiecke übertragen, die auf der Himmelskugel gezeichnet sind.

Sehne und Sinus sind dieselbe Information, auf zwei Arten geschrieben. Die nachstehende Proposition macht dies genau und zeigt, warum der Übergang von der einen zum anderen mehr war als ein Namenswechsel: Der Sinus ist die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens, und er ist eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks.

Vom halben Bogen zum Sinus

Die Astronomen Indiens, wie Aryabhata um das Jahr 500, tabellierten unmittelbar die Hälfte der Sehne des doppelten Bogens, die sie jya nannten, und stellten damit statt einer Sehne eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks in den Mittelpunkt der Rechnung. Das Wort gelangte ins Arabische als jiba, das in der Schrift ohne Vokale mit jaib verwechselt wurde, „Falte“ oder „Bausch“ eines Gewandes, und die lateinischen Übersetzer des 12. Jahrhunderts gaben es mit sinus wieder, woher der heutige Name stammt. Die Astronomen der islamischen Welt, zwischen dem 9. und dem 11. Jahrhundert, darunter al-Battani und Abu al-Wafa, fügten die Tafeln des Tangens und des Kotangens hinzu, die aus der Untersuchung der Schatten von Sonnenuhren stammten; im 13. Jahrhundert stellte Nasir al-Din al-Tusi die Trigonometrie als eine von der Astronomie unabhängige Disziplin dar.

Die Trigonometrie als Disziplin

In Europa verfasste Regiomontanus um 1464 eine Abhandlung über die Dreiecke jeder Art, gedruckt 1533, die die Berechnung ebener und sphärischer Dreiecke vereinte; das Wort Trigonometrie, „Messung der Dreiecke“, erscheint im Titel eines Werkes von Bartholomäus Pitiscus aus dem Jahr 1595. Der Kosinussatz hat eine längere Geschichte: Euklid hatte im Buch II der Elemente den Satz des Pythagoras für spitzwinklige und stumpfwinklige Dreiecke bereits durch das Doppelte eines Rechtecks korrigiert, das aus einer Seite und der Projektion der anderen auf sie gebildet wird und das man heute bis auf das Vorzeichen als $2bc \cos A$ schreibt, und im 15. Jahrhundert gab al-Kashi ihm eine für die Rechnung geeignete Form. Die heronsche Formel wiederum findet sich in der Metrika des Heron von Alexandria, im 1. Jahrhundert.

Von den Verhältnissen zu den Funktionen

Jahrhundertelang war der Sinus eines Winkels eine Länge in einem Kreis mit vereinbartem Radius, sechzig oder mehrere Millionen, je nach Tafel. Die Infinitesimalrechnung des 17. Jahrhunderts zeigte, dass sich die Formeln vereinfachen, wenn der Radius $1$ ist und die Winkel durch die Länge ihres Bogens gemessen werden, und Leonhard Euler behandelte in seiner Introductio in analysin infinitorum von 1748 den Sinus und den Kosinus als Funktionen einer reellen Variablen, definiert auf dem Einheitskreis, was der Standpunkt dieser Einheit ist; der Name Radiant für die entsprechende Maßeinheit wurde in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts geprägt. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts vertrat Joseph Fourier in seiner 1822 veröffentlichten analytischen Theorie der Wärme die These, dass sich eine sehr allgemeine periodische Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen schreiben lässt, und die trigonometrischen Funktionen wurden zur Sprache aller periodischen Vorgänge.

Die Polarkoordinaten

Die Idee, einen Punkt durch seinen Abstand von einem Zentrum und durch einen Winkel zu beschreiben, ist so alt wie die Astronomie, und Archimedes definierte im 3. Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung seine Spirale genau so: ein Punkt, der sich mit konstanter Geschwindigkeit von einem Zentrum entfernt, während sich der Strahl, der ihn trägt, mit konstanter Geschwindigkeit dreht. Als Koordinatensystem erscheinen sie jedoch erst im 17. Jahrhundert: Bonaventura Cavalieri und Grégoire de Saint-Vincent benutzten sie zur Untersuchung von Spiralen, Isaac Newton zählte sie zu den Systemen, mit denen er Kurven beschrieb, und Jakob Bernoulli verwendete sie in seinen Arbeiten vom Ende jenes Jahrhunderts; Euler systematisierte sie im 18. Jahrhundert. Inzwischen hatte Johannes Kepler 1609 veröffentlicht, dass die Bahn des Mars eine Ellipse ist, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht, und die Polargleichung der Kegelschnitte mit einem Brennpunkt im Pol, die diese Einheit abschließt, ist die natürliche Form dieses Gesetzes.

Das Problem, aus dem sie entstanden

Das allen diesen Entwicklungen gemeinsame Problem lässt sich so formulieren: Sind einige Winkel und einige Längen einer Figur bekannt, so sind die übrigen zu berechnen. Seine einfachste Form ist das rechtwinklige Dreieck. Wegen der Ähnlichkeit hängt der Quotient zweier Seiten nur vom spitzen Winkel $\alpha$ ab und ist daher eine Funktion von $\alpha$; aber diese Funktion ist nicht algebraisch, sie entsteht nicht aus $\alpha$ durch Summen, Produkte oder Wurzeln, und deshalb musste man sie in Tafeln erfassen. Das nachstehende Beispiel, der erste bekannte Versuch, das Sonnensystem zu vermessen, zeigt das Problem in reiner Form.

Da Sonne und Mond fast dieselbe scheinbare Größe haben, wie die totalen Sonnenfinsternisse zeigen, lieferte die Überlegung des Aristarchos auch das Verhältnis ihrer Durchmesser und damit den Schluss, dass die Sonne viel größer ist als die Erde. Das Beispiel enthält im Keim die ganze Einheit: ein Verhältnis zwischen Seiten, das von einem Winkel abhängt, die Notwendigkeit, diese Abhängigkeit genau zu kennen, und die Beobachtung, dass gewisse Funktionen in der Nähe einzelner Werte des Winkels unbeschränkt wachsen, was die senkrechte Asymptote des Sekans ist, die in der Lektion über die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen untersucht wird.

Dasselbe Problem stellt sich auf zwei andere Arten, aus denen die übrigen Lektionen der Einheit hervorgehen. Die erste ist umgekehrt: Man kennt das Verhältnis und sucht den Winkel, wie wenn man die Steigung eines Weges misst und seinen Neigungswinkel wissen will; um sie zu beantworten, muss man Funktionen umkehren, die nicht injektiv sind, und das ist die Aufgabe der Arkusfunktionen. Die zweite besteht darin, das zu beschreiben, was sich dreht: einen Planeten um die Sonne, ein Rad, eine Welle, die sich wiederholt. Dafür ist es zweckmäßig, die Punkte durch ihren Abstand von einem Zentrum und ihre Richtung zu benennen statt durch ihre Abstände von zwei Achsen, und die periodische Bewegung durch Funktionen auszudrücken, die sich wiederholen; so entstehen die Polarkoordinaten und die Sinuskurven.

Bedeutung

Im restlichen Verlauf dieses Kurses beweist die Einheit 2, die mit der Lektion über die grundlegenden trigonometrischen Identitäten beginnt, die Formeln für den Sinus und den Kosinus einer Summe, löst die trigonometrischen Gleichungen allgemein und klassifiziert mithilfe der Achsendrehung alle Gleichungen zweiten Grades in zwei Variablen. Die Einheit 3, die den komplexen Zahlen in Polarform gewidmet ist, schreibt jede komplexe Zahl mit ihrem Betrag und ihrem Winkel, wie in der Lektion über die Polarform der komplexen Zahlen, und reduziert die Potenzen und die Wurzeln auf das Multiplizieren der Beträge und das Addieren der Winkel; die Einheit 4 stellt die Drehungen der Ebene durch Matrizen dar, deren Einträge Sinus- und Kosinuswerte sind, in der Lektion über Matrizen als Abbildungen der Ebene; und die Einheit 5 über die analytische Geometrie des Raumes misst den Winkel zwischen zwei Vektoren des Raumes durch seinen Kosinus, in der Lektion über Vektoren im Raum und das Skalarprodukt, und verwendet ihn zur Berechnung von Winkeln zwischen Geraden und Ebenen.

In anderen Kursen der Website ist die Ungleichung $\sin x < x < \tan x$ der Ausgangspunkt für die Berechnung der Ableitung des Sinus im Kurs Analysis I, und die Bogenlängen, die von Polarkurven begrenzten Flächen und die trigonometrischen Substitutionen werden im Kurs Analysis II untersucht. Der Kurs Grundlagen der Mechanik zerlegt Kräfte und Geschwindigkeiten mithilfe von Sinus und Kosinus in Komponenten und untersucht die Kreisbewegung mit der Beziehung zwischen Winkel- und Bahngeschwindigkeit. Im Kurs Programmieren in C++ I bieten die mathematischen Bibliotheken der Sprache neben dem Sinus, dem Kosinus und dem Arkustangens eine Funktion mit zwei Argumenten an, die den Polarwinkel eines Punktes zwischen $-\pi$ und $\pi$ liefert, mit derselben Korrektur je nach Quadrant, die in dieser Einheit bewiesen wird.

Außerhalb der Mathematik ist die Trigonometrie das Werkzeug der Vermessung, der Navigation und der Geodäsie, die das Gelände durch Triangulation vermessen; die Polarkoordinaten sind die der Radaranlagen und der Systeme, die ein Objekt durch seine Entfernung und seine Peilung orten; und die Sinuskurven sind die Sprache der Akustik, des Wechselstroms, der Telekommunikation und der Signal- und Bildverarbeitung, die jedes Signal nach der Idee von Fourier in einfache Schwingungen zerlegen.