Winkel und ihre Messung: Gradmaß und Bogenmaß

Orientierte Winkel

In der elementaren Geometrie ist ein Winkel die Figur aus zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt, und sein Maß liegt zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$. Um Drehungen zu untersuchen, etwa die eines Rades, die der Zeiger einer Uhr oder die der Erde um ihre Achse, genügt dieser Begriff nicht: Es kommt darauf an, wie weit und in welchem Drehsinn gedreht wurde, und eine Drehung kann mehrere Umdrehungen umfassen. Deshalb betrachtet man den Winkel als das Ergebnis einer Drehung.

Ein orientierter Winkel ist bestimmt durch eine Halbgerade, den Anfangsschenkel, die sich um ihren Anfangspunkt, den Scheitel, dreht, bis sie eine Endlage einnimmt, den Endschenkel, zusammen mit der ausgeführten Drehung. Der Winkel ist positiv, wenn die Drehung entgegen der Bewegung der Uhrzeiger erfolgt (gegen den Uhrzeigersinn), und negativ, wenn sie in der Bewegungsrichtung der Uhrzeiger erfolgt (im Uhrzeigersinn). Der Nullwinkel ist derjenige, bei dem sich nichts dreht.

Ein und dasselbe Schenkelpaar kann zu vielen orientierten Winkeln gehören: Der Endschenkel nimmt dieselbe Lage ein, wenn man um eine Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn dreht, um drei Vierteldrehungen im Uhrzeigersinn oder um eine Vierteldrehung und dazu eine volle Drehung. Diese Winkel sind verschieden, weil sie verschiedene Drehungen beschreiben, auch wenn sie auf demselben Schenkel enden; der dritte Teil der Lektion klärt, wie sie zusammenhängen.

Das Sexagesimalsystem

Das älteste Winkelmaß teilt die volle Drehung in $360$ gleiche Bögen und nennt Grad den Winkel, der jeden von ihnen überspannt: Ein Winkel misst $g$ Grad, wenn sein Bogen das $g$-Fache des Bogens von einem Grad ist, sodass das Gradmaß proportional zur Länge des Bogens ist. Jedes Grad wird in $60$ Minuten geteilt und jede Minute in $60$ Sekunden. Das System stammt aus der babylonischen Astronomie, die zur Basis sechzig zählte, wie in der Lektion von Kurs I über Stellenwertsysteme erklärt wird; die Zahl $360$ hat den Vorzug, unter anderem durch $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$ und $12$ teilbar zu sein. Ein rechter Winkel misst $90^\circ$, ein gestreckter Winkel misst $180^\circ$ und eine volle Drehung $360^\circ$; ein negativer Winkel wird mit dem Minuszeichen gemessen, sodass eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn $-90^\circ$ misst. Der Winkel von 40 Grad, 15 Minuten und 36 Sekunden, den man abkürzt, indem man hinter jede Zahl das Gradzeichen, einen Strich für die Minuten und zwei für die Sekunden schreibt, misst in Grad Folgendes, also 40,26 Grad:

Die Zahl $360$ ist jedoch eine Konvention: Nichts in der Geometrie des Kreises zeichnet sie vor einer anderen Zahl aus. Die Formeln für die Länge eines Bogens und den Flächeninhalt eines Sektors und später die der trigonometrischen Funktionen werden einfacher, wenn man die Winkel auf eine Weise misst, die aus dem Kreis selbst hervorgeht.

Der Radiant

Die Idee ist, einen Winkel durch die Länge des Bogens zu messen, den er auf einem Kreis mit Radius $1$ um seinen Scheitel überspannt. Das setzt voraus, dass man weiß, was die Länge eines Bogens ist, und hier zeigt sich eine Schwierigkeit: Ein Bogen ist keine Vereinigung von Strecken, und seine Länge wird definiert als der Wert, dem sich die Längen der einbeschriebenen Streckenzüge nähern, wenn ihre Seiten immer kürzer werden, also mithilfe eines Grenzwerts. Ihre Untersuchung gehört in den Kurs Analysis II, wo Längen von Kurven und Flächeninhalte von krummlinig begrenzten Gebieten berechnet werden. Hier werden die folgenden Tatsachen vorausgesetzt.

Vorausgesetzte Tatsache (Längen und Flächeninhalte am Kreis). Jeder Kreisbogen hat eine Länge, und jedes von Strecken und Bögen begrenzte Gebiet hat einen Flächeninhalt. Kongruente Figuren haben dieselbe Länge beziehungsweise denselben Flächeninhalt; zerfällt eine Figur in zwei, die sich nicht überlappen, so ist ihr Maß die Summe der Maße der Stücke; und enthält ein Gebiet ein anderes, so ist sein Flächeninhalt nicht kleiner, und er ist größer, wenn die Differenz eine Kreisscheibe enthält. Haben ferner zwei Kreise die Radien $r$ und $R$, so sind die Bögen, die ein und derselbe Mittelpunktswinkel auf ihnen überspannt, proportional zu den Radien, und der Flächeninhalt einer Kreisscheibe mit Radius $r$ ist $\pi r^2$.

Diese Tatsache wird ohne Beweis vorausgesetzt, weil die Längen von Bögen und die Flächeninhalte krummlinig begrenzter Gebiete mithilfe von Grenzwerten definiert und mit dem Integral berechnet werden, im Kurs Analysis II. Ihr letzter Teil setzt die Zahl $\pi$ als bekannt voraus, die jetzt definiert wird: Die Zahl $\pi$ ist die Hälfte des Umfangs des Einheitskreises, das heißt des Kreises mit Radius $1$. Wegen der Proportionalität der Bögen zu den Radien, angewandt auf den Winkel einer vollen Drehung, hat der Kreis mit Radius $r$ den Umfang $2\pi r$, und der Quotient aus dem Umfang eines beliebigen Kreises und seinem Durchmesser ist stets $\pi$. Ebenso wird vorausgesetzt, dass $\pi$ irrational ist und dass seine Dezimaldarstellung mit 3,14159 beginnt; insbesondere gilt $3 < \pi < 4$.

Um Winkel zu messen, muss man außerdem den Kreis nach Bogenlänge durchlaufen: von einem Punkt ausgehen, auf dem Kreis eine gegebene Länge in der einen oder der anderen Richtung zurücklegen und wissen, zu welchem Punkt man gelangt. Alles, was diese Einheit über Winkel und trigonometrische Funktionen sagt, beruht auf diesem Durchlaufen, sodass es sich lohnt, genau zu formulieren, was darüber vorausgesetzt wird. Es wird in der kartesischen Ebene formuliert, für den Einheitskreis $x^2 + y^2 = 1$ und seinen Punkt $A = (1, 0)$; da sich Längen beim Bewegen von Figuren nicht ändern, gilt es ebenso für jeden Kreis mit Radius $1$ und jeden Ausgangspunkt.

Axiom (Durchlaufen nach Bogenlänge). Zu jeder reellen Zahl $s$ gibt es genau einen Punkt $P(s)$ des Einheitskreises, zu dem man gelangt, wenn man von $A = (1, 0)$ ausgeht und auf dem Kreis eine Länge $\abs{s}$ zurücklegt, gegen den Uhrzeigersinn, falls $s > 0$, und im Uhrzeigersinn, falls $s < 0$, mit so vielen Umdrehungen wie nötig; für $s = 0$ ist $P(0) = A$. Dieses Durchlaufen hat die vier folgenden Eigenschaften.

1. Aneinanderfügen: Durchläuft man vom Punkt $P(s)$ aus eine Länge $t \geq 0$ gegen den Uhrzeigersinn, so gelangt man zu $P(s + t)$; durchläuft man sie im Uhrzeigersinn, so gelangt man zu $P(s - t)$.
2. Periodizität: Eine volle Drehung in beliebigem Drehsinn durchläuft die Länge $2\pi$ des Kreises und endet wieder im Ausgangspunkt; das heißt, $P(s + 2\pi) = P(s)$ für jede reelle Zahl $s$.
3. Halbe Drehung: Das Durchlaufen gegen den Uhrzeigersinn geht zuerst über den oberen Halbkreis, von rechts nach links. Genauer: $P(\pi) = (-1, 0)$, und ist $0 \leq s < t \leq \pi$, so haben die Punkte $P(s)$ und $P(t)$ eine nichtnegative Ordinate, und die Abszisse von $P(s)$ ist größer als die von $P(t)$.
4. Überdeckung: Jeder Punkt des Einheitskreises ist $P(s)$ für eine reelle Zahl $s$.

Das Axiom wird aus demselben Grund ohne Beweis vorausgesetzt wie die Tatsache davor: Die Länge eines Bogens wird mithilfe eines Grenzwerts definiert, und ihre Eigenschaften werden im Kurs Analysis II bewiesen; die Überdeckung, die besagt, dass beim Durchlaufen des Kreises kein Punkt übersprungen wird, beruht außerdem auf der Zwischenwerteigenschaft stetiger Funktionen, die im Kurs Analysis I bewiesen wird. Die Eigenschaft der halben Drehung hat eine einfache geometrische Deutung. Liegt $(x, y)$ auf dem Einheitskreis, so ist das Quadrat seines Abstands vom Punkt $A$ das Folgende:

Daher ist die Aussage, dass die Abszisse längs des oberen Halbkreises streng monoton fällt, gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Sehne, die $A$ mit dem erreichten Punkt verbindet, mit dem Bogen streng monoton wächst, bis sie nach einer halben Drehung zu einem Durchmesser wird. Wenn in der Lektion über die trigonometrischen Verhältnisse der Kosinus von $s$ als die Abszisse von $P(s)$ definiert wird, besagt diese Eigenschaft, dass der Kosinus auf $\icc{0}{\pi}$ streng monoton fallend ist: Diese Monotonie wird nicht hergeleitet, sondern ist die Klausel der halben Drehung selbst, in Koordinaten gelesen. Aus diesem Axiom, aus den Tatsachen über Längen und Flächeninhalte und aus der unten vorausgesetzten Tatsache über die Spiegelungen folgt nun alles Übrige, was vom Durchlaufen benutzt wird: in dieser Lektion das Verhalten der zweiten halben Drehung und dass eine Umdrehung nicht zweimal durch denselben Punkt geht; in der Lektion über die Arkusfunktionen die Monotonie des Sinus und des Tangens.

Vorausgesetzte Tatsache (Spiegelungen und Halbdrehung). Eine Spiegelung an einer Geraden erhält die Abstände und mit ihnen die Längen der Bögen, kehrt aber den Drehsinn um: Sie führt ein Durchlaufen gegen den Uhrzeigersinn eines Kreises, dessen Mittelpunkt auf dieser Geraden liegt, in ein Durchlaufen im Uhrzeigersinn derselben Länge über, und umgekehrt. Die Halbdrehung um einen Punkt, die die Verkettung der Spiegelungen an zwei zueinander senkrechten Geraden durch ihn ist, erhält die Abstände, die Längen und auch den Drehsinn.

Diese Tatsache gehört zur elementaren Geometrie der Bewegungen der Ebene, die dieser Kurs nicht entwickelt. In Koordinaten ist die Spiegelung an der $x$-Achse die Abbildung $(x, y) \mapsto (x, -y)$; sie bildet den Einheitskreis auf sich ab, denn $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$, und lässt den Punkt $A = (1, 0)$ fest. Mit ihr erhält man die zweite halbe Drehung des Durchlaufens aus der ersten.

Gegeben sei ein orientierter Winkel mit Scheitel im Mittelpunkt $O$ des Einheitskreises, und $A$ sei der Punkt, in dem der Anfangsschenkel diesen Kreis schneidet. Dreht sich der Schenkel, so durchläuft der Punkt $A$ einen Bogen des Kreises, wie im Axiom oben. Das Bogenmaß des Winkels ist die Länge dieses Bogens, mit positivem Vorzeichen, wenn die Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, und mit negativem, wenn sie im Uhrzeigersinn erfolgt; umfasst die Drehung mehrere Umdrehungen, so trägt jede volle Drehung die Länge $2\pi$ des Kreises bei.

Ein im Bogenmaß gemessener Winkel ist eine dimensionslose reelle Zahl: der Quotient aus einer Bogenlänge und der Länge des Radius, die $1$ beträgt. Deshalb schreibt man für einen Winkel von zwei Radiant einfach $\theta = 2$; will man die Maßeinheit betonen, schreibt man 2 rad. Das Gradmaß dagegen wird stets mit seinem Zeichen angegeben, wie in $30^\circ$. Umgekehrt ist jede reelle Zahl das Maß eines orientierten Winkels: Nach dem Axiom des Durchlaufens kann für jedes $\theta$ der Punkt $A$ den Kreis über eine Länge $\abs{\theta}$ in der Richtung durchlaufen, die das Vorzeichen von $\theta$ angibt, mit so vielen vollen Umdrehungen wie nötig, und die Halbgerade vom Scheitel zum erreichten Punkt ist der Endschenkel.

Die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß

Da die volle Drehung $360^\circ$ und zugleich $2\pi$ Radiant misst und da beide Maße proportional zur Länge des Bogens sind, den der Winkel auf dem Einheitskreis überspannt (das Gradmaß nach der Definition des Grades, das Bogenmaß, weil es diese Länge ist), sind die beiden Maße eines Winkels proportional.

In der Praxis multipliziert man, um vom Gradmaß zum Bogenmaß überzugehen, mit $\frac{\pi}{180}$, und um vom Bogenmaß zum Gradmaß überzugehen, mit $\frac{180}{\pi}$. So ist $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ und $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$; der Winkel von $2$ Radiant misst $\frac{360}{\pi}$ Grad, ungefähr 114,6 Grad.

Bogenlänge und Flächeninhalt eines Sektors

In einem Kreis mit Radius $r$ überspannt ein Mittelpunktswinkel $\theta$ einen Bogen, und die beiden Schenkel des Winkels begrenzen zusammen mit diesem Bogen einen Kreissektor. Das Bogenmaß verleiht ihren Formeln eine besonders einfache Gestalt.

Würde der Winkel in Grad gemessen, so enthielten die Formeln den Umrechnungsfaktor: Der Bogen wäre $\frac{\pi r g}{180}$ und der Flächeninhalt des Sektors $\frac{\pi r^2 g}{360}$. Die Einfachheit von $s = r\theta$ ist der Hauptgrund, den Radiant vorzuziehen. Außerdem liefert die Formel das Maß eines Winkels in jedem Kreis, nicht nur im Einheitskreis: $\theta = \frac{s}{r}$ ist der Quotient aus Bogen und Radius und hängt nicht vom gewählten Radius ab.

Der Umfangswinkel

Ein Winkel mit dem Scheitel im Mittelpunkt eines Kreises heißt Mittelpunktswinkel. Sind $A$, $B$ und $C$ drei verschiedene Punkte eines Kreises, so heißt der Winkel, der in $C$ von den Sehnen $CA$ und $CB$ gebildet wird, Umfangswinkel, und man sagt, er überspannt den Bogen mit den Endpunkten $A$ und $B$, der $C$ nicht enthält. Nach dem obigen Satz gehört zu einem Bogen der Länge $s$ eines Kreises mit Radius $r$ der Mittelpunktswinkel von $\frac{s}{r}$ Radiant, auch wenn diese Zahl $\pi$ übersteigt. Um den Umfangswinkel mit dem Mittelpunktswinkel zu vergleichen, setzt man die folgenden Tatsachen der elementaren Geometrie voraus, die dieser Kurs nicht beweist, weil er die synthetische Geometrie nicht entwickelt. Die ersten beiden messen die Winkel eines Dreiecks; die letzten beiden sind Lagetatsachen, die sagen, wie sich Winkel und Bögen aufteilen, wenn eine Halbgerade durch das Innere eines Winkels verläuft.

Vorausgesetzte Tatsache (Winkel im Dreieck und Lagen am Kreis). Vorausgesetzt werden die vier folgenden Aussagen, in denen nicht orientierte Winkel im Bogenmaß gemessen werden, zwischen $0$ und $\pi$.

1. Winkelsumme: Die drei Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, das heißt $\pi$ Radiant.
2. Gleichschenkliges Dreieck: In einem Dreieck mit zwei gleich langen Seiten sind die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich.
3. Summe benachbarter Winkel: Verläuft eine Halbgerade, die vom Scheitel eines Winkels ausgeht, durch sein Inneres, so teilt sie ihn in zwei Winkel, deren Maße zusammen das des gegebenen Winkels ergeben.
4. Lage des Mittelpunkts: Seien $A$, $B$ und $C$ drei verschiedene Punkte eines Kreises mit Mittelpunkt $O$, und sei $D$ der andere Endpunkt des Durchmessers, der von $C$ ausgeht. Liegt $O$ weder auf der Sehne $CA$ noch auf der Sehne $CB$, so tritt einer von zwei Fällen ein. Entweder liegt $O$ im Innern des Winkels, der in $C$ von diesen Sehnen gebildet wird; dann verläuft die Halbgerade von $C$ nach $D$ durch dieses Innere, und $D$ liegt auf dem Bogen mit den Endpunkten $A$ und $B$, der $C$ nicht enthält. Oder $O$ liegt außerhalb dieses Winkels; dann liegt einer der Punkte $A$ und $B$, den man $A$ nennen kann, auf dem Bogen mit den Endpunkten $D$ und $B$, der $C$ nicht enthält, und die Halbgerade von $C$ nach $A$ verläuft durch das Innere des Winkels, der in $C$ von den Sehnen $CD$ und $CB$ gebildet wird.

Punkte, die nicht auf dem Kreis liegen, sehen die Sehne unter anderen Winkeln. Das folgende Ergebnis wird ebenfalls aus der elementaren Geometrie vorausgesetzt: Es folgt aus dem obigen Satz und aus Proposition 21 des Buches I der Elemente Euklids, nach der ein Punkt im Innern eines Dreiecks eine seiner Seiten unter einem größeren Winkel sieht als die gegenüberliegende Ecke; sein Beweis verlangt aber zu wissen, wo die vom Punkt ausgehenden Strecken den Kreis schneiden, eine Lagefrage, die dieser Kurs nicht entwickelt. Es wird in der letzten gelösten Aufgabe der Lektion über die Arkusfunktionen benutzt.

Vorausgesetzte Tatsache (Winkel von inneren und äußeren Punkten aus). Seien $A$ und $B$ zwei Punkte eines Kreises und $\gamma$ das gemeinsame Maß der Umfangswinkel mit den Endpunkten $A$ und $B$, deren Scheitel auf einem der beiden Bögen liegt, die diese Punkte bestimmen. Ist $Q$ ein Punkt, der nicht auf dem Kreis liegt, und zwar auf derselben Seite der Geraden $AB$ wie dieser Bogen, so ist der Winkel, den in $Q$ die Strecken $QA$ und $QB$ bilden, kleiner als $\gamma$, wenn $Q$ außerhalb der Kreisscheibe liegt, und größer als $\gamma$, wenn er innerhalb liegt.

Standardlage und Winkel mit gleichem Endschenkel

In der kartesischen Ebene, die in der Lektion von Kurs I über die Geradengleichung und kartesische Koordinatensysteme untersucht wurde, hat jeder Winkel eine ausgezeichnete Lage.

Ein orientierter Winkel ist in Standardlage, wenn sein Scheitel der Ursprung und sein Anfangsschenkel die positive $x$-Halbachse ist. Sein Endschenkel ist dann die Halbgerade, die vom Ursprung ausgeht und durch den Punkt $P(\theta)$ des Axioms des Durchlaufens geht, das heißt durch den Punkt des Einheitskreises $x^2 + y^2 = 1$, zu dem man gelangt, wenn man von $(1, 0)$ aus einen Bogen der Länge $\abs{\theta}$ in der Richtung durchläuft, die das Vorzeichen von $\theta$ angibt. Zwei Winkel heißen Winkel mit gleichem Endschenkel, wenn sie in Standardlage denselben Endschenkel haben.

Die Achsen teilen die Ebene in vier Quadranten, die gegen den Uhrzeigersinn nummeriert werden, beginnend mit dem, der die Punkte mit positiven Koordinaten enthält. Ein Winkel in Standardlage liegt in dem Quadranten, der seinen Endschenkel enthält; fällt dieser auf eine Achse, so heißt der Winkel Achsenwinkel. Die Koordinaten des Punktes $P(\theta)$ sind der Kosinus und der Sinus von $\theta$, die in der nächsten Lektion untersucht werden, der über die trigonometrischen Verhältnisse.

Eine volle Drehung in beliebigem Drehsinn stellt den Schenkel wegen der Periodizität des Durchlaufens wieder in seine Lage: Der Winkel $\theta + 2\pi$ hat denselben Endschenkel wie $\theta$, und ebenso $\theta - 2\pi$, $\theta + 4\pi$ und allgemein $\theta + 2k\pi$ mit ganzzahligem $k$. Um zu wissen, wo ein beliebiger Winkel endet, genügt es also, die vollen Umdrehungen abzuziehen, so wie man in der Lektion von Kurs I über die Teilbarkeit und die Division mit Rest die Vielfachen des Teilers abzieht. Der folgende Satz ist die reelle Fassung jener Division: Der Teiler ist $2\pi$, der Quotient ist die Zahl der Umdrehungen und der Rest der verbleibende Winkel.

Die Zahl $\theta_0$ heißt die Reduktion von $\theta$ auf die erste Umdrehung. Im Gradmaß reduziert dieselbe Überlegung, mit $360$ statt $2\pi$, jeden Winkel auf einen zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$, wobei Letzteres ausgeschlossen ist: zum Beispiel $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$. Mit der Reduktion erkennt man alle Winkel, die auf demselben Schenkel enden; vorher muss man wissen, dass eine Umdrehung nicht zweimal durch denselben Punkt geht, was aus dem Axiom des Durchlaufens folgt.

Daraus folgt, dass die Winkel mit demselben Endschenkel wie $\theta$ genau die der Form $\theta + 2k\pi$ mit ganzzahligem $k$ sind und dass der Quadrant eines Winkels durch seine Reduktion entschieden wird: Er liegt im ersten Quadranten, wenn $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$, im zweiten, wenn $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$, im dritten, wenn $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$, und im vierten, wenn $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$; er ist ein Achsenwinkel, wenn $\theta_0$ gleich $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ oder $\frac{3\pi}{2}$ ist. So liegt $-\frac{23\pi}{6}$ im ersten Quadranten und $1000^\circ$, dessen Reduktion $280^\circ$ ist, im vierten.

Schließlich ist jeder Punkt des Einheitskreises der Punkt $P(\theta)$ eines Winkels: Das ist die Eigenschaft der Überdeckung im Axiom des Durchlaufens, die besagt, dass man beim Durchlaufen des Kreises von $(1, 0)$ aus durch alle seine Punkte kommt. Ist dem so, dann ist nach der Reduktion auf die erste Umdrehung, der Periodizität und dem Lemma über Winkel mit gleichem Endschenkel jeder Punkt des Einheitskreises $P(\theta)$ für genau ein $\theta$ in $\ico{0}{2\pi}$, und die zu ihm gehörenden Winkel sind genau die mit demselben Endschenkel wie dieses $\theta$.

Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit

Dreht sich ein Körper um eine Achse, so beschreiben alle seine Punkte Kreisbögen um die Achse, und alle drehen sich in derselben Zeit um denselben Winkel. Dreht sich der Körper in einer Zeit $t$ mit konstanter Rate um einen Winkel $\theta$, so ist seine Winkelgeschwindigkeit der Quotient $\omega = \frac{\theta}{t}$, der in Radiant pro Sekunde gemessen wird; sie wird auch in Umdrehungen pro Minute angegeben, und da eine Umdrehung $2\pi$ Radiant und eine Minute $60$ Sekunden sind, entspricht eine Umdrehung pro Minute $\frac{\pi}{30}$ Radiant pro Sekunde.

Ein Punkt im Abstand $r$ von der Achse durchläuft in dieser Zeit nach dem Satz über die Bogenlänge einen Bogen der Länge $s = r\theta$. Seine Bahngeschwindigkeit, der Quotient aus zurückgelegtem Weg und Zeit, ist daher das Produkt aus dem Radius und der Winkelgeschwindigkeit:

Daraus folgt, dass in einem sich drehenden Körper die Winkelgeschwindigkeit für alle Punkte dieselbe ist, während die Bahngeschwindigkeit proportional zum Abstand von der Achse wächst: Der Rand einer sich drehenden Scheibe bewegt sich schneller als die Punkte nahe der Mitte. Diese Beziehung, die nur gilt, wenn die Winkel im Bogenmaß gemessen werden, ist der Ausgangspunkt für die Untersuchung der Kreisbewegung im Kurs Grundlagen der Mechanik. Zwei Räder, die durch einen Riemen oder eine Kette ohne Schlupf verbunden sind oder die ineinandergreifen, haben im Berührpunkt dieselbe Bahngeschwindigkeit; folglich gilt $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, und das kleinere Rad dreht sich schneller, wie sich in der gelösten Aufgabe 3 zeigen wird.

Gelöste Aufgaben

Die Aufgaben vermessen die Erde mithilfe eines Winkels, berechnen den Flächeninhalt eines Kreissegments, übertragen eine Drehung über eine Kette, suchen den Sektor mit dem größten Flächeninhalt bei gegebenem Umfang und zählen, wie oft sich die Zeiger einer Uhr überdecken. Jede verlangt eine eigene Idee, nach der man suchen sollte, bevor man die Lösung liest.

Eratosthenes gab die Entfernung in Stadien an, deren genauer Wert umstritten ist; mit der hier angenommenen Zahl misst der Meridian 40000 km, und das ist kein Zufall: Ende des 18. Jahrhunderts wurde das Meter als der zehnmillionste Teil des Meridianquadranten definiert. Andererseits liegt Alexandria nicht genau nördlich von Syene, sondern liegt etwa drei Grad westlich davon, sodass der Bogen zwischen ihnen nicht ganz ein Meridianbogen ist.