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Topos Uranos
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三角函数与极坐标：导言

摘要

本课开启代数与几何 II 课程及其第一单元，该单元专门讨论三角函数与极坐标。本课提供一次入门测评，测量学习者在本单元六节课上以及在本单元默认已从课程 I 掌握的内容上的起点。本课汇总课程 I 已经确立的内容，按学习顺序介绍本单元的六节课，从角的度量到极坐标曲线以及焦点在极点的圆锥曲线，并说明每节课证明了什么、为什么重要。接着本课重构历史背景：希腊天文学需要测量无法到达之处，于是把弧所对的弦制成了表；印度天文学家把二倍弧所对弦的一半置于计算的中心，它经由阿拉伯文和拉丁文的翻译得到了“正弦”之名；三角学成为独立的学科，并在 18 世纪转变为对实变量函数的研究。本课借萨摩斯的阿里斯塔克斯的三角形，表述催生这一学科的问题，即由角计算距离的问题，最后指出这些思想在本课程其余部分、本站其他课程以及科学与技术中的用处。

学习目标

  1. 描述本单元的内容，把它的每一节课放进一条从角的度量通向极坐标曲线的脉络之中。
  2. 说明三角学和极坐标在天文学和大地测量学中的起源，并认识它们的主要发展时期，从弦表直到实变量函数。
  3. 用半弧的正弦表示一条弧所对的弦，并把阿里斯塔克斯的问题表述为由一个角计算两个距离之比的问题。
  4. 指出本课程、其他课程以及科学与技术中使用三角函数和极坐标的地方。

入门测评

在学习本单元之前，先测一测自己的起点是有益的，这里不计任何分数。前十道题涉及本单元的六节内容课：反三角函数两道，解三角形两道，这两节课是本课程其余部分最为倚重的；三角函数及其图像两道，其中一道是需要自己建立数学表述的情境问题；极坐标两道，其中一道关于圆锥曲线的极坐标方程；其余两节课各一道。同样的技能会在最后的总结课中再次测量。最后六道题检查本课程默认已从课程 I 掌握的内容：实数的完备性，函数的反函数，圆的切线与数量积，椭圆的离心率，通过双曲余弦考查的指数与对数，以及代数形式下两个复数的商。答错其中某一道的人，就会知道开始之前应当回到课程 I 的哪一节课；答错前十道中某一道的人，就会知道应当在本单元的哪一节课多停留。

入门测评

开始本单元之前，先测一测你的起点。这是一次简短的自我测评：不计分，结果只保存在你的浏览器中。

  1. 第 1 题在半径为 99 的圆中，圆心角 40∘40^\circ 所对的弧长是多少？

  2. 第 2 题若 sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5}，且 θ\theta 是第二象限角，求 tan⁡θ\tan \theta。

  3. 第 3 题函数 f(x)=3sin⁡(4x−π)+1f(x) = 3 \sin(4x - \pi) + 1 的最小正周期是多少？

  4. 第 4 题挂在弹簧上的一个重物沿竖直方向振动。它离地面的高度随时间按正弦型曲线变化，在 2020 到 6060 厘米之间，周期为 44 秒，并在时刻 t=1t = 1 到达最高点。每次振动中，它有多少秒处在离地面高于 5050 厘米的位置？

  5. 第 5 题arccos⁡(−32)\arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) 的值是多少？

  6. 第 6 题arcsin⁡(sin⁡5π7)\arcsin\left( \sin \frac{5\pi}{7} \right) 的值是多少？

  7. 第 7 题在一个三角形中，b=5b = 5，c=8c = 8，且两边的夹角为 A=60∘A = 60^\circ。求边 aa。

  8. 第 8 题满足 A=30∘A = 30^\circ、c=10c = 10 和 a=6a = 6 的三角形有几个？

  9. 第 9 题在 r>0r > 0 且 θ\theta 属于 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} 的条件下，笛卡儿坐标为 (−1,3)\left( -1, \sqrt{3} \right) 的点的极坐标是什么？

  10. 第 10 题极坐标方程为 r=215+2cos⁡θr = \frac{21}{5 + 2 \cos \theta} 的曲线有一个焦点在极点。它是什么曲线？

  11. 第 11 题来自前面的单元集合 A={1−1n:n∈N}A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\} 的上确界是什么？

  12. 第 12 题来自前面的单元函数 f(x)=x2f(x) = x^2 的下列限制中，哪一个有反函数？

  13. 第 13 题来自前面的单元圆 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 在其上的点 (3,4)(3, 4) 处的切线方程是什么？

  14. 第 14 题来自前面的单元椭圆 x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 的离心率是多少？

  15. 第 15 题来自前面的单元若 t>0t > 0 且 cosh⁡t=54\cosh t = \frac{5}{4}，tt 等于多少？

  16. 第 16 题来自前面的单元商 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i} 等于多少？

本单元的内容

代数与几何 II 课程从本单元开始，它以学完课程 代数与几何 I 为前提。本课程从中带来五样东西，在这里直接使用，不再重新证明。第一是作为完备有序域的实数，连同阿基米德性质和有理数的稠密性，它们使我们能够把任何角化到第一周，并把对有理数所证的结论推广到所有的角。第二是对函数的研究：定义域、值域、复合、双射函数的反函数和图像的变换，以及符号表和多项式的因式分解。第三是平面解析几何：距离、直线的笛卡儿形式与参数形式、带有数量积的向量、圆以及带有焦点和准线的圆锥曲线。第四是指数函数、对数函数和双曲函数，其中双曲线的参数化预示了圆的参数化。第五是代数形式的复数，它们表示为平面上的点，本单元让它们准备好用一个模和一个角来书写。

然而，这些工具都回答不了一个非常古老的问题：给定一个角，含有这个角的直角三角形的各边之比是多少？本单元回答这个问题，由这个回答产生了六个实变量函数、它们的反函数、一切三角形的求解，以及命名平面上的点的第二种方式。各课依次如下。

  1. 角及其度量一课定义有向角，它们连同方向一起度量旋转，并且可以超过一周；陈述整个单元所依托的按弧长行进的公理，并用它把弧度定义为单位圆的弧长；证明弧长公式和扇形公式、圆周角定理以及把任何角化到第一周，这就是实数除以 2π2\pi 的带余除法。它之所以重要，是因为弧度这种度量使后面所有的公式都变得简单。
  2. 三角比与单位圆一课先在直角三角形中定义正弦、余弦和正切，用相似证明它们与三角形的选取无关，然后对每个实数定义它们，作为单位圆上的一个点的坐标；证明平方关系、特殊角的值和对称性。这是本单元的关键转折：它把一个几何比值变成对任何角都有定义的量。
  3. 三角函数及其图像一课把正弦、余弦和正切作为函数来研究，证明它们的最小正周期，作出它们的图像，并通过比较面积证明不等式 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x。借助正弦型曲线，它为一切周期现象提供了模型。
  4. 反三角函数一课由行进公理推出余弦和正弦在某些区间上严格单调，把函数限制在这些区间上，定义反正弦、反余弦和反正切，并在一周内解最简三角方程。它让人能走相反的路：从已知的比值回到产生这个比值的角。
  5. 解三角形一课证明用两边及其夹角表示的面积公式、正弦定理、余弦定理和海伦公式，并讨论歧义情形。它把直角三角形的三角学推广到一切三角形，并用数量积度量两向量的夹角。
  6. 极坐标与极坐标曲线一课用一点到极点的距离和一个角来命名该点，推导到笛卡儿坐标的互化公式，描绘心形线、玫瑰线、螺线和蜗线，并求出焦点在极点的圆锥曲线的极坐标方程。它为复数的极坐标形式和轨道的描述作准备。

本单元以总结与挑战一课结束，这一课汇总已证明的内容，用一次结业测评衡量相对于本课入门测评所取得的进展，并提出十道难度更高的题目。

历史背景

三角学并不是作为代数的一章诞生的，而是作为天文学的一种技术诞生的。为了预测天体的位置并测量无法走过的距离，天文学家需要从可以观测的角过渡到需要计算的长度；而希腊几何学虽然会用直尺和圆规作图，却没有提供任何办法，能在给定任意一个角时算出三角形两边之比。

弦表

希腊天文学从巴比伦天文学那里继承了把圆周分为 360360 度的做法和六十进制的计算。约公元前 3 世纪，萨摩斯的阿里斯塔克斯用几何论证估计了太阳与月球距离之比，埃拉托斯特尼则由一个角测出了地球的周长，这将在关于角及其度量的课中看到。尼西亚的喜帕恰斯在公元前 2 世纪被认为编出了第一张弦表：对每个圆心角，给出它在固定半径的圆中所对的弦长。流传下来的是克劳狄乌斯·托勒密的弦表，他在公元 2 世纪的《天文学大成》中，给出了半径为 6060 的圆中每隔半度的弧所对的弦。亚历山大的梅涅劳斯约在公元 100 年已把这种计算推广到画在天球上的三角形。

弦与正弦是用两种方式写出的同一信息。下面的命题把这一点说得更精确，并表明从弦过渡到正弦为什么不只是换了个名称：正弦是二倍弧所对弦的一半，而且是一个直角三角形的直角边。

命题弦与正弦

在半径为 11、圆心为 OO 的圆中，设 C(θ)C(\theta) 为弦长，这条弦连接一条弧的两端 AA 和 BB，该弧的圆心角为 θ\theta，其中 0<θ<π0 < \theta < \pi。那么 C(θ)=2sin⁡θ2C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}。

证明

  1. C(θ)=d⁡(A,B),d⁡(O,A)=d⁡(O,B)=1C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1

    弦是角 θ\theta 的对边，所在三角形的顶点为 OO、AA 和 BB，其另外两边都是半径。

  2. d⁡(A,M)=d⁡(M,B),∠AOM=∠MOB=θ2\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}

    三角形是等腰的；从 OO 向弦作的垂线交弦于其中点 MM，并把圆心角分成两个相等的角，因为顶点为 OO、MM、AA 和 OO、MM、BB 的两个三角形在 MM 处是直角，在 AA 和 BB 处的角相等（因为原三角形是等腰的），并且有公共边 OMOM：由两角相似判定，它们相似，相似比为 11。

  3. d⁡(M,B)=sin⁡θ2→C(θ)=2sin⁡θ2\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}

    在顶点为 OO、MM 和 BB 的直角三角形中，斜边长为 11，角 θ2\frac{\theta}{2} 的对边是弦的一半；由正弦的定义，这条直角边就是 sin⁡θ2\sin \frac{\theta}{2}。

  4. sin⁡α=12C(2α),60C(θ)=120sin⁡θ2\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}

    把这个等式倒过来读，并令 θ=2α\theta = 2\alpha，它说的是：一个角的正弦是二倍角所对弦的一半；在托勒密的半径为 6060 的圆中，所有长度都乘以 6060。

从半弧到正弦

印度天文学家，如约公元 500 年的阿耶波多，直接把二倍弧所对弦的一半制成表，称之为 jya，从而把直角三角形的一条直角边而不是一条弦置于计算的中心。这个词以 jiba 的形式进入阿拉伯文，在不写元音的书写中与 jaib（衣服的“褶”或“怀”）相混，12 世纪的拉丁译者把它译作 sinus，今天的名称即由此而来。9 世纪至 11 世纪间伊斯兰世界的天文学家，其中有巴塔尼和阿布·瓦法，增添了正切表和余切表，它们源于对日晷影子的研究；13 世纪，纳西尔丁·图西把三角学阐述为独立于天文学的学科。

作为学科的三角学

在欧洲，雷格蒙塔努斯约于 1464 年写成一部论各类三角形的著作，1533 年付印，书中汇集了平面三角形和球面三角形的解法；trigonometria（“三角形的测量”）一词出现在巴托洛梅乌斯·皮蒂斯库斯 1595 年一部著作的书名中。余弦定理的历史更长：欧几里得在《几何原本》第二卷中，已借助一个矩形的两倍（这个矩形由一边和另一边在它上面的投影构成）修正了锐角三角形和钝角三角形的毕达哥拉斯定理，这个量今天写作 2bccos⁡A2bc \cos A（不计符号），15 世纪卡西又赋予它适于计算的形式。海伦公式则见于亚历山大的希罗于公元 1 世纪所著的《测量术》。

从比到函数

几个世纪里，一个角的正弦是在约定半径的圆中的一个长度，半径按所用的表取六十或几百万。17 世纪的微积分表明，如果半径为 11，并用弧长度量角，公式就会简化；莱昂哈德·欧拉在 1748 年的 Introductio in analysin infinitorum 中，把正弦和余弦看作定义在单位圆上的实变量函数，这正是本单元的观点；对应的度量单位的名称 弧度 在 19 世纪后半叶才出现。19 世纪初，约瑟夫·傅里叶在 1822 年发表的热的解析理论中主张，一个非常一般的周期函数可以写成正弦与余弦之和，三角函数于是成为一切周期现象的语言。

极坐标

用到中心的距离和一个角来描述一个点，这个想法和天文学一样古老；公元前 3 世纪，阿基米德正是这样定义他的螺线的：一个点以恒定速度离开中心，同时带着它的射线以恒定速度旋转。然而，作为坐标系，它出现于 17 世纪：博纳文图拉·卡瓦列里和格雷瓜尔·德·圣文森特用它研究螺线，艾萨克·牛顿把它列入他用来描述曲线的坐标系之中，雅各布·伯努利在那个世纪末的著作中使用了它；欧拉在 18 世纪把它系统化。在此期间，约翰内斯·开普勒于 1609 年发表了火星的轨道是一个椭圆、太阳位于它的一个焦点上的结论，而作为本单元结尾的焦点在极点的圆锥曲线的极坐标方程，正是这一定律的自然形式。

催生它们的问题

所有这些发展所共有的问题可以这样表述：已知一个图形的某些角和某些长度，求其余的。它最简单的形式是直角三角形。由相似，两边之比只依赖于锐角 α\alpha，因此是 α\alpha 的函数；但这个函数不是代数函数，不能由 α\alpha 经过加法、乘法和开方得到，所以必须把它制成表。下面的例子是已知最早测量太阳系的尝试，它以最纯粹的形态展示了这个问题。

例题阿里斯塔克斯的三角形

当月球恰好呈上弦或下弦时，其圆盘被照亮的一半从侧面看去，太阳、月球和地球构成一个在月球处为直角的三角形。阿里斯塔克斯从地球上测量了月球方向与太阳方向之间的角 α\alpha，得到 87∘87^\circ。设 TT、LL 和 SS 分别为地球、月球和太阳。

证明

  1. d⁡(T,S)2=d⁡(T,L)2+d⁡(L,S)2{\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2

    顶点为 TT、LL 和 SS 的三角形在 LL 处为直角：地球到太阳的距离是斜边。

  2. d⁡(T,S)d⁡(T,L)=1cos⁡α=sec⁡α\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}

    角 α\alpha 的邻边是到月球的距离；由余弦的定义，到太阳的距离与到月球的距离之比只依赖于 α\alpha。

  3. α=87∘→18<sec⁡87∘<20\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20

    没有余弦表，阿里斯塔克斯用几何论证给这个比值定出上下界，得出结论：太阳比月球远 1818 到 2020 倍。87∘87^\circ 的正割约为 19.1，在他的界限之内。

  4. α→90∘→sec⁡α→∞\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty

    方法是对的，但数据不对：真实的角与直角相差不到一度的六分之一，真实的比值约为 390390。当 α\alpha 趋近直角时，太阳沿着过月球的直线无限远离，角的一个极小误差就会造成距离的巨大误差。

由于太阳和月球的视大小几乎相同（日全食显示了这一点），阿里斯塔克斯的推理还给出了二者直径之比，并由此得出太阳比地球大得多的结论。这个例子萌芽般地包含了整个单元：依赖于一个角的边之比，精确了解这种依赖关系的必要，以及某些函数在角的个别值附近无界增长这一观察，这就是在关于三角函数及其图像的课中研究的正割的垂直渐近线。

同一个问题还以另外两种方式出现，由此产生了本单元其余的课。第一种是反向的：已知比值求角，例如测出一条道路的坡度而想知道它的倾斜角；回答它需要对非单射的函数求逆，这正是反三角函数的任务。第二种是描述旋转的事物：绕太阳运行的行星、车轮、反复出现的波。为此，宜用点到中心的距离和方向来命名点，而不是用点到两条轴的距离，并用重复的函数来表示周期运动；极坐标和正弦型曲线就是这样诞生的。

意义

在本课程的其余部分，从关于基本三角恒等式的课开始的第 2 单元证明和角的正弦公式与余弦公式，一般地求解三角方程，并借助坐标轴的旋转对一切二元二次方程进行分类。第 3 单元专门讨论极坐标形式的复数，它用模和角来书写每个复数，如关于复数的极坐标形式的课所示，并把乘方和开方归结为模相乘、角相加；第 4 单元用元素为正弦和余弦的矩阵表示平面的旋转，见关于作为平面变换的矩阵的课；第 5 单元讨论空间解析几何，它通过余弦来度量空间中两个向量的夹角，见关于空间向量与数量积的课，并用它计算直线与平面之间的角。

在本站的其他课程中，不等式 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x 是微积分 I课程中计算正弦导数的出发点，弧长、由极坐标曲线围成的面积以及三角代换在微积分 II课程中研究。力学基础课程借助正弦和余弦把力和速度分解为分量，并通过角速度与线速度的关系研究圆周运动。在C++ 程序设计 I课程中，该语言的数学库除了正弦、余弦和反正切之外，还提供一个双参数函数，它返回一个点的极角，取值在 −π-\pi 与 π\pi 之间，并带有本单元所证明的同样的按象限修正。

在数学之外，三角学是地形测量、航海和大地测量学的工具，它们用三角测量法测量地面；极坐标是雷达以及按距离和方位确定物体位置的系统所用的坐标；正弦型曲线则是声学、交流电、电信以及信号与图像处理的语言，这些领域遵循傅里叶的思想，把一切信号分解为简单振动。