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Topos Uranos
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삼각함수와 극좌표: 도입

요약

이 수업은 대수학과 기하학 II 강좌와 그 첫 단원을 연다. 이 단원은 삼각함수와 극좌표를 다룬다. 입문 평가를 제시하여, 단원의 여섯 수업과 단원이 강좌 I에서 이미 안다고 전제하는 것에 대해 출발점을 잰다. 강좌 I이 확립해 둔 것을 정리하고, 단원의 여섯 수업을 공부하는 순서대로 소개한다. 그 범위는 각의 측정에서 극곡선과 초점이 극에 있는 이차곡선까지이며, 각 수업이 무엇을 증명하고 왜 중요한지 설명한다. 이어서 역사적 배경을 재구성한다. 도달할 수 없는 것을 재야 했고 호에 대한 현을 표로 만든 그리스 천문학, 인도의 천문학자들이 계산의 중심에 놓았고 아랍어와 라틴어 번역을 거쳐 사인이라는 이름을 얻은 두 배 호에 대한 현의 절반, 독립된 학문으로서의 삼각법과 18세기에 일어난 실변수 함수의 연구로의 변모가 그것이다. 삼각법을 낳은 문제, 곧 각으로부터 거리를 계산하는 문제를 사모스의 아리스타르코스의 삼각형으로 정식화하고, 끝으로 이 생각들이 강좌의 나머지 부분, 사이트의 다른 강좌, 과학과 기술의 어디에서 쓰이는지 짚는다.

학습 목표

  1. 단원의 내용을 기술하고, 그 각 수업을 각의 측정에서 극곡선으로 이어지는 흐름 속에 자리매김한다.
  2. 삼각법과 극좌표의 천문학적, 측지학적 기원을 설명하고, 현의 표에서 실변수 함수에 이르는 주요 시기를 알아본다.
  3. 호에 대한 현을 반 호의 사인으로 나타내고, 아리스타르코스의 문제를 하나의 각으로부터 거리의 비를 계산하는 문제로 세운다.
  4. 강좌, 다른 강좌, 과학과 기술에서 삼각함수와 극좌표가 쓰이는 곳을 찾아낸다.

입문 평가

단원을 공부하기 전에, 점수와는 상관없이, 출발점을 재어 보는 것이 좋다. 처음 열 문항은 단원의 여섯 내용 수업을 다룬다. 강좌의 나머지 부분이 가장 많이 기대는 수업인 역함수 수업과 삼각형의 풀이 수업에 각각 두 문항, 삼각함수와 그 그래프에 두 문항이며, 그중 한 문항은 스스로 식을 세워야 하는 맥락 속의 문제이다. 극좌표에 두 문항이며, 그중 한 문항은 이차곡선의 극방정식에 관한 것이다. 나머지 두 수업에는 각각 한 문항이다. 같은 기능은 마지막 종합 수업에서 다시 잰다. 마지막 여섯 문항은 강좌가 강좌 I에서 이미 안다고 전제하는 것을 확인한다. 실수의 완비성, 함수의 역함수, 원의 접선과 내적, 타원의 이심률, 쌍곡코사인을 통한 지수와 로그, 대수적 형태로 쓴 두 복소수의 몫이 그것이다. 그 가운데 어느 하나를 틀린 사람은 시작하기 전에 강좌 I의 어느 수업으로 돌아가야 할지 알게 되고, 처음 열 문항 가운데 어느 하나를 틀린 사람은 단원의 어느 수업에서 머물러야 할지 알게 된다.

입문 평가

단원을 시작하기 전에 출발점을 확인해 보세요. 짧은 자기 평가입니다. 점수가 매겨지지 않으며 결과는 브라우저에만 저장됩니다.

  1. 문제 1반지름이 99인 원에서 중심각 40∘40^\circ에 대한 호의 길이는 얼마인가?

  2. 문제 2sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5}이고 θ\theta가 제2사분면의 각일 때, tan⁡θ\tan \theta를 구하여라.

  3. 문제 3함수 f(x)=3sin⁡(4x−π)+1f(x) = 3 \sin(4x - \pi) + 1의 최소 주기는 얼마인가?

  4. 문제 4용수철에 매달린 추가 위아래로 진동한다. 바닥으로부터의 높이는 시간에 대한 사인곡선으로 2020센티미터와 6060센티미터 사이에서 변하고, 주기는 44초이며, 시각 t=1t = 1에 가장 높은 점에 이른다. 한 번 진동하는 동안 바닥에서 5050센티미터보다 높은 곳에 있는 시간은 몇 초인가?

  5. 문제 5arccos⁡(−32)\arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)의 값은 얼마인가?

  6. 문제 6arcsin⁡(sin⁡5π7)\arcsin\left( \sin \frac{5\pi}{7} \right)의 값은 얼마인가?

  7. 문제 7삼각형에서 b=5b = 5, c=8c = 8이고 그 끼인각이 A=60∘A = 60^\circ이다. 변 aa의 길이를 구하여라.

  8. 문제 8A=30∘A = 30^\circ, c=10c = 10, a=6a = 6인 삼각형은 몇 개 있는가?

  9. 문제 9r>0r > 0이고 θ\theta가 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}에 속한다고 할 때, 직교좌표가 (−1,3)\left( -1, \sqrt{3} \right)인 점의 극좌표는 무엇인가?

  10. 문제 10극방정식이 r=215+2cos⁡θr = \frac{21}{5 + 2 \cos \theta}인 곡선은 극에 초점 하나를 가진다. 이 곡선은 무엇인가?

  11. 문제 11이전 단원에서집합 A={1−1n:n∈N}A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}의 상한은 무엇인가?

  12. 문제 12이전 단원에서함수 f(x)=x2f(x) = x^2의 아래 제한 가운데 역함수를 가지는 것은 어느 것인가?

  13. 문제 13이전 단원에서원 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 위의 점 (3,4)(3, 4)에서의 접선의 방정식은 무엇인가?

  14. 문제 14이전 단원에서타원 x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1의 이심률은 얼마인가?

  15. 문제 15이전 단원에서t>0t > 0이고 cosh⁡t=54\cosh t = \frac{5}{4}일 때, tt의 값은 얼마인가?

  16. 문제 16이전 단원에서몫 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i}의 값은 얼마인가?

단원의 내용

이 단원으로 대수학과 기하학 II 강좌가 시작된다. 이 강좌는 대수학과 기하학 I 강좌를 마쳤음을 전제로 한다. 그 강좌에서 다섯 가지를 가져와, 여기서는 다시 증명하지 않고 사용한다. 첫째는 완비 순서체로서의 실수로, 아르키메데스 성질과 유리수의 조밀성을 함께 가진다. 이들 덕분에 모든 각을 첫 바퀴로 환원하고, 유리수에 대해 증명한 것을 모든 각으로 넓힐 수 있다. 둘째는 함수의 연구, 곧 정의역, 치역, 합성, 전단사 함수의 역함수, 그래프의 변환이며, 부호표와 다항식의 인수분해가 함께한다. 셋째는 평면 해석기하학, 곧 거리, 직교좌표 꼴과 매개변수 꼴의 직선, 내적을 갖춘 벡터, 원, 초점과 준선을 가진 이차곡선이다. 넷째는 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수이며, 그 쌍곡선의 매개변수 표시는 원의 매개변수 표시를 미리 보여 준다. 다섯째는 대수적 형태의 복소수로, 평면의 점으로 나타내며, 이 단원은 그것을 절댓값과 각으로 쓸 준비를 한다.

그러나 이 도구들 가운데 어느 것도 아주 오래된 물음에 답하지 못한다. 각이 주어졌을 때, 그 각을 포함하는 직각삼각형의 변들은 어떤 비를 이루는가? 이 단원은 이 물음에 답하며, 그 답에서 실변수의 여섯 함수, 그 역함수들, 모든 삼각형의 풀이, 평면의 점을 나타내는 두 번째 방법이 생겨난다. 수업들은 아래 순서로 이어진다.

  1. 각과 그 측정 수업은 회전을 그 방향과 함께 재며 한 바퀴를 넘을 수도 있는 유향각을 정의하고, 단원 전체가 기대는 호의 길이에 따른 이동의 공리를 진술하며, 이를 이용하여 라디안으로 나타낸 크기를 단위원의 호의 길이로 정의한다. 호와 부채꼴의 공식, 원주각의 정리, 모든 각의 첫 바퀴로의 환원을 증명하는데, 이 환원은 실수를 2π2\pi로 나누는 나머지 있는 나눗셈이다. 라디안은 이후의 모든 공식을 간단하게 만드는 측정 방식이라는 점에서 중요하다.
  2. 삼각비와 단위원 수업은 사인, 코사인, 탄젠트를 먼저 직각삼각형에서 정의하되 닮음으로 그것이 삼각형의 선택에 의존하지 않음을 증명하고, 이어서 모든 실수에 대해 단위원 위의 점의 좌표로 정의한다. 피타고라스 항등식, 특수각의 값, 대칭성을 증명한다. 이것은 단원의 결정적인 전환점으로, 기하학적인 비를 어떤 각에 대해서도 정의된 양으로 바꾼다.
  3. 삼각함수와 그 그래프 수업은 사인, 코사인, 탄젠트를 함수로서 연구하고, 그 최소 주기를 증명하며, 그래프를 그리고, 넓이를 비교하여 부등식 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x을 증명한다. 사인곡선으로 모든 주기 현상의 모형을 제공한다.
  4. 역삼각함수 수업은 이동의 공리로부터 코사인과 사인이 어떤 구간에서 순단조임을 이끌어 내고, 함수를 그 구간으로 제한하며, 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트를 정의하고, 한 바퀴 안에서 기본 삼각방정식을 푼다. 알려진 비에서 그 비를 낳는 각으로 가는 반대의 길을 가능하게 한다.
  5. 삼각형의 풀이 수업은 두 변과 그 끼인각으로 나타낸 넓이, 사인법칙, 코사인법칙, 헤론의 공식을 증명하고, 모호한 경우를 논의한다. 직각삼각형의 삼각법을 모든 삼각형으로 넓히고, 내적으로 두 벡터가 이루는 각을 잰다.
  6. 극좌표와 극곡선 수업은 각 점을 극까지의 거리와 하나의 각으로 나타내고, 직교좌표로의 변환 공식을 이끌어 내며, 카디오이드, 장미 곡선, 나선, 달팽이 곡선을 그리고, 초점이 극에 있는 이차곡선의 극방정식을 구한다. 복소수의 극형식과 궤도의 기술을 준비한다.

단원은 종합과 도전 과제 수업으로 끝난다. 이 수업은 증명한 것을 모으고, 마무리 평가로 이 수업의 입문 평가에 비해 이룬 것을 재며, 더 어려운 열 문제를 제시한다.

역사적 배경

삼각법은 대수학의 한 장이 아니라 천문학의 한 기술로 태어났다. 천체의 위치를 예측하고 갈 수 없는 거리를 재기 위해, 천문학자들은 관측되는 각에서 계산되는 길이로 넘어가야 했다. 그런데 자와 컴퍼스로 도형을 작도할 줄 알았던 그리스 기하학은, 임의의 각이 주어졌을 때 삼각형의 두 변의 비를 계산할 수단을 전혀 제공하지 못했다.

현의 표

그리스 천문학은 바빌로니아 천문학으로부터 원을 360360도로 나누는 방식과 육십진법 계산을 물려받았다. 기원전 3세기 무렵 사모스의 아리스타르코스는 기하학적 논증으로 태양과 달까지의 거리의 비를 추정했고, 에라토스테네스는 하나의 각으로부터 지구의 둘레를 쟀는데, 이는 각과 그 측정 수업에서 보게 된다. 기원전 2세기의 니케아의 히파르코스에게 최초의 현의 표가 돌려진다. 각 중심각에 대해, 반지름이 일정한 원에서 그 각에 대한 현의 길이를 주는 표이다. 전해지는 것은 클라우디오스 프톨레마이오스의 표로, 그는 기원후 2세기에 『알마게스트』에서 반지름이 6060인 원에서 반 도 간격의 호에 대한 현을 주었다. 알렉산드리아의 메넬라오스는 그보다 앞선 100년 무렵 계산을 천구 위에 그린 삼각형으로 넓혔다.

현과 사인은 같은 정보를 두 가지 방식으로 쓴 것이다. 아래 명제는 이를 정밀하게 하고, 현에서 사인으로 넘어간 것이 단순한 이름 바꾸기 이상이었던 까닭을 보여 준다. 사인은 두 배 호에 대한 현의 절반이며, 직각삼각형의 직각을 낀 변이다.

명제현과 사인

반지름이 11이고 중심이 OO인 원에서, C(θ)C(\theta)를 현의 길이라 하자. 이 현은 호의 양 끝 AA와 BB를 잇고, 그 호의 중심각은 θ\theta(단, 0<θ<π0 < \theta < \pi)이다. 그러면 C(θ)=2sin⁡θ2C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}이다.

증명

  1. C(θ)=d⁡(A,B),d⁡(O,A)=d⁡(O,B)=1C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1

    현은 각 θ\theta의 대변이며, 그 삼각형의 꼭짓점은 OO, AA, BB이고 나머지 두 변은 반지름이다.

  2. d⁡(A,M)=d⁡(M,B),∠AOM=∠MOB=θ2\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}

    삼각형은 이등변삼각형이다. OO에서 현에 내린 수선은 현을 그 중점 MM에서 자르고 중심각을 두 개의 같은 각으로 나눈다. 꼭짓점이 OO, MM, AA인 삼각형과 OO, MM, BB인 삼각형은 MM에서 직각이고, 원래 삼각형이 이등변이므로 AA와 BB에서의 각이 같으며, 변 OMOM을 공유하기 때문이다. 두 각에 의한 닮음 조건에 의해 두 삼각형은 닮음비 11로 닮았다.

  3. d⁡(M,B)=sin⁡θ2→C(θ)=2sin⁡θ2\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}

    꼭짓점이 OO, MM, BB인 직각삼각형에서 빗변의 길이는 11이고, 각 θ2\frac{\theta}{2}의 대변은 현의 절반이다. 사인의 정의에 의해 이 변은 sin⁡θ2\sin \frac{\theta}{2}이다.

  4. sin⁡α=12C(2α),60C(θ)=120sin⁡θ2\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}

    θ=2α\theta = 2\alpha로 놓고 거꾸로 읽으면, 이 등식은 각의 사인이 그 두 배 각에 대한 현의 절반임을 말한다. 프톨레마이오스의 반지름 6060인 원에서는 모든 길이에 6060을 곱한다.

반 호에서 사인으로

인도의 천문학자들은, 500년 무렵의 아리아바타처럼, 두 배 호에 대한 현의 절반을 직접 표로 만들고 그것을 jya라 불렀으며, 이로써 현 대신 직각삼각형의 직각을 낀 변을 계산의 중심에 놓았다. 이 말은 jiba로 아랍어에 들어갔는데, 모음을 적지 않는 표기에서 옷의 ‘주름’ 또는 ‘품’을 뜻하는 jaib와 혼동되었고, 12세기의 라틴어 번역자들은 그것을 sinus로 옮겼다. 오늘날의 이름은 여기서 왔다. 9세기에서 11세기에 걸친 이슬람 세계의 천문학자들은, 그 가운데 알바타니와 아불 와파가 있는데, 해시계 그림자의 연구에서 나온 탄젠트와 코탄젠트의 표를 더했다. 13세기에는 나시르 알딘 알투시가 삼각법을 천문학에서 독립한 학문으로 서술했다.

학문으로서의 삼각법

유럽에서는 레기오몬타누스가 1464년 무렵 모든 종류의 삼각형에 관한 논고를 썼고, 이 논고는 1533년에 인쇄되어 평면삼각형과 구면삼각형의 풀이를 모았다. trigonometria(‘삼각형의 측정’)라는 말은 1595년 바르톨로메우스 피티스쿠스의 저작의 제목에 나타난다. 코사인법칙에는 더 긴 역사가 있다. 유클리드는 『원론』 제2권에서 이미 예각삼각형과 둔각삼각형에 대해 피타고라스 정리를, 한 변과 그 위로의 다른 변의 정사영으로 만든 직사각형의 두 배를 써서 고쳐 놓았는데, 이는 오늘날 부호를 제외하면 2bccos⁡A2bc \cos A로 쓴다. 15세기에는 알카시가 이를 계산에 알맞은 꼴로 만들었다. 한편 헤론의 공식은 1세기 알렉산드리아의 헤론의 『측량술』에 실려 있다.

비에서 함수로

여러 세기 동안 각의 사인은, 표에 따라 예순이나 수백만으로 정한, 약속된 반지름을 가진 원에서의 길이였다. 17세기의 무한소 해석은 반지름을 11로 하고 각을 그 호의 길이로 재면 공식이 간단해진다는 것을 보였고, 레온하르트 오일러는 1748년의 Introductio in analysin infinitorum에서 사인과 코사인을 단위원 위에서 정의된 실변수 함수로 다루었다. 이것이 이 단원의 관점이다. 대응하는 측정 단위를 가리키는 라디안이라는 이름은 19세기 후반에 만들어졌다. 19세기 초에 조제프 푸리에는 1822년에 발표한 열의 해석적 이론에서 아주 일반적인 주기함수를 사인과 코사인의 합으로 쓸 수 있다고 주장했고, 삼각함수는 모든 주기 현상의 언어가 되었다.

극좌표

점을 중심까지의 거리와 각으로 나타낸다는 생각은 천문학만큼 오래되었고, 기원전 3세기에 아르키메데스는 자신의 나선을 바로 그렇게 정의했다. 한 점이 일정한 속력으로 중심에서 멀어지는 동안 그 점을 실은 반직선이 일정한 속력으로 회전하는 것이다. 그러나 좌표계로서 나타나는 것은 17세기이다. 보나벤투라 카발리에리와 그레구아르 드 생뱅상은 나선을 연구하는 데 이를 썼고, 아이작 뉴턴은 곡선을 기술하는 좌표계 가운데 하나로 이를 포함시켰으며, 야코프 베르누이는 그 세기 말의 연구에서 이를 사용했다. 오일러는 18세기에 이를 체계화했다. 그 사이에 요하네스 케플러는 1609년에 화성의 궤도가 태양을 한 초점으로 하는 타원이라는 것을 발표했는데, 이 단원을 마무리하는, 초점이 극에 있는 이차곡선의 극방정식은 이 법칙의 자연스러운 꼴이다.

그것들을 낳은 문제

이 모든 발전에 공통된 문제는 이렇게 말할 수 있다. 도형의 몇몇 각과 몇몇 길이를 알 때, 나머지를 계산하라. 그 가장 단순한 꼴은 직각삼각형이다. 닮음에 의해 두 변의 비는 예각 α\alpha에만 의존하므로 α\alpha의 함수이다. 그러나 이 함수는 대수적이지 않아서 α\alpha에서 덧셈, 곱셈, 거듭제곱근으로 얻어지지 않으며, 그래서 표로 만들어야 했다. 아래 예는 태양계를 재려는 알려진 최초의 시도로, 이 문제를 순수한 형태로 보여 준다.

예시아리스타르코스의 삼각형

달이 정확히 반달로 보일 때, 원판의 빛을 받은 절반은 옆에서 보이고, 태양, 달, 지구는 달에서 직각인 삼각형을 이룬다. 아리스타르코스는 지구에서 달의 방향과 태양의 방향 사이의 각 α\alpha를 재어 87∘87^\circ를 얻었다. TT, LL, SS를 각각 지구, 달, 태양이라 하자.

증명

  1. d⁡(T,S)2=d⁡(T,L)2+d⁡(L,S)2{\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2

    꼭짓점이 TT, LL, SS인 삼각형은 LL에서 직각이다. 지구에서 태양까지의 거리가 빗변이다.

  2. d⁡(T,S)d⁡(T,L)=1cos⁡α=sec⁡α\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}

    각 α\alpha의 이웃변은 달까지의 거리이다. 코사인의 정의에 의해, 태양까지의 거리와 달까지의 거리의 비는 α\alpha에만 의존한다.

  3. α=87∘→18<sec⁡87∘<20\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20

    코사인 표가 없었던 아리스타르코스는 기하학적 논증으로 이 비를 위아래에서 눌러, 태양이 달보다 1818배에서 2020배 멀리 있다고 결론지었다. 각 87∘87^\circ의 시컨트는 약 19.1로, 그가 정한 범위 안에 있다.

  4. α→90∘→sec⁡α→∞\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty

    방법은 옳았지만 자료는 옳지 않았다. 실제 각은 직각과 육분의 일 도도 차이 나지 않고, 실제 비는 약 390390이다. α\alpha가 직각에 가까워지면 태양은 달을 지나는 직선을 따라 한없이 멀어지고, 각의 아주 작은 오차가 거리의 엄청난 오차를 낳는다.

개기일식이 보여 주듯이 태양과 달의 겉보기 크기는 거의 같으므로, 아리스타르코스의 추론은 두 천체의 지름의 비도 주었고, 그와 함께 태양이 지구보다 훨씬 크다는 결론도 주었다. 이 예는 단원 전체를 싹으로 품고 있다. 각에 의존하는 변의 비, 그 의존 관계를 정확히 알아야 할 필요, 그리고 어떤 함수들이 각의 고립된 값 근처에서 한없이 커진다는 관찰이 그것인데, 이는 삼각함수와 그 그래프 수업에서 다루는 시컨트의 수직 점근선이다.

같은 문제는 두 가지 다른 꼴로도 나타나며, 거기서 단원의 나머지 수업들이 생겨난다. 첫째는 역의 꼴이다. 비를 알고 각을 구하는 것으로, 길의 기울기를 재고 그 경사각을 알고 싶을 때와 같다. 이에 답하려면 단사가 아닌 함수의 역을 취해야 하며, 이것이 역삼각함수의 일이다. 둘째는 회전하는 것을 기술하는 일이다. 태양 둘레를 도는 행성, 바퀴, 반복되는 파동이 그렇다. 이를 위해서는 점을 두 축까지의 거리가 아니라 중심까지의 거리와 방향으로 나타내고, 주기 운동을 반복되는 함수로 표현하는 것이 좋다. 이렇게 극좌표와 사인곡선이 태어난다.

의의

이 강좌의 나머지 부분에서, 기본 삼각항등식 수업에서 시작하는 2단원은 합의 사인과 코사인 공식을 증명하고, 삼각방정식을 일반적으로 풀며, 좌표축의 회전을 이용하여 두 변수의 이차방정식을 모두 분류한다. 극형식의 복소수를 다루는 3단원은, 복소수의 극형식 수업에서처럼 모든 복소수를 그 절댓값과 각으로 쓰고, 거듭제곱과 거듭제곱근을 절댓값의 곱셈과 각의 덧셈으로 환원한다. 4단원은 평면 변환으로서의 행렬 수업에서 성분이 사인과 코사인인 행렬로 평면의 회전을 나타낸다. 그리고 공간의 해석기하학을 다루는 5단원은 공간벡터와 내적 수업에서 공간의 두 벡터가 이루는 각을 그 코사인으로 재고, 이를 이용하여 직선과 평면 사이의 각을 계산한다.

사이트의 다른 강좌에서, 부등식 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x은 미적분학 I 강좌에서 사인의 도함수를 계산하는 출발점이 되며, 호의 길이, 극곡선으로 둘러싸인 넓이, 삼각치환은 미적분학 II 강좌에서 공부한다. 역학의 기초 강좌는 사인과 코사인으로 힘과 속도를 성분으로 분해하고, 각속도와 선속도의 관계로 원운동을 연구한다. C++ 프로그래밍 I 강좌에서는 언어의 수학 라이브러리가 사인, 코사인, 아크탄젠트 외에도 점의 편각을 −π-\pi와 π\pi 사이에서 돌려주는 두 인수 함수를 제공하는데, 이 함수에는 이 단원에서 증명하는 것과 같은 사분면에 따른 보정이 들어 있다.

수학 밖에서 삼각법은 삼각측량으로 땅을 재는 지형 측량, 항해술, 측지학의 도구이다. 극좌표는 레이더와, 거리와 방위로 물체의 위치를 정하는 시스템의 좌표이다. 사인곡선은 음향학, 교류 전기, 전기 통신, 신호와 영상 처리의 언어이며, 이들은 푸리에의 생각을 따라 모든 신호를 단순한 진동으로 분해한다.