Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Тригонометрические функции и полярные координаты: введение

Краткое содержание

Этот урок открывает курс «Алгебра и геометрия II» и его первый раздел, посвящённый тригонометрическим функциям и полярным координатам. Он предлагает входную проверку, которая измеряет исходную точку по шести урокам раздела и по тому, что раздел считает известным из курса I. Он подытоживает то, что курс I оставляет установленным, представляет шесть уроков раздела в том порядке, в котором они изучаются, от измерения углов до кривых в полярных координатах и конических сечений с фокусом в полюсе, и объясняет, что доказывает каждый из них и почему это важно. Затем он восстанавливает историческую предысторию: греческую астрономию, которой нужно было измерять недоступное и которая свела в таблицы хорды дуг; половину хорды двойной дуги, которую астрономы Индии поставили в центр вычислений и которая через арабские и латинские переводы получила название синуса; тригонометрию как самостоятельную дисциплину и её превращение в XVIII веке в изучение функций действительной переменной. Он формулирует задачу, из которой родилась тригонометрия, задачу вычисления расстояний по углам, на примере треугольника Аристарха Самосского, и в заключение указывает, где эти идеи используются в оставшихся разделах курса, в других курсах сайта, в науке и технике.

Цели обучения

  1. Описывать содержание раздела, помещая каждый из его уроков в последовательность, ведущую от измерения углов к кривым в полярных координатах.
  2. Объяснять астрономическое и геодезическое происхождение тригонометрии и полярных координат и распознавать основные этапы их развития, от таблицы хорд до функций действительной переменной.
  3. Выражать хорду дуги через синус половины дуги и ставить задачу Аристарха как вычисление отношения расстояний по углу.
  4. Указывать места курса, других курсов, науки и техники, где применяются тригонометрические функции и полярные координаты.

Входная проверка

Прежде чем проходить раздел, полезно измерить исходную точку, без какой бы то ни было оценки. Первые десять вопросов касаются шести содержательных уроков раздела: два на обратные функции и два на решение треугольников, то есть на уроки, на которых больше всего строится остальной курс; два на тригонометрические функции и их графики, один из которых является задачей с практическим содержанием, которую нужно сначала сформулировать математически; два на полярные координаты, один из которых посвящён полярному уравнению конических сечений; и по одному на каждый из двух других уроков. Те же навыки снова измеряются в конце, в итоговом уроке. Шесть последних вопросов выясняют, владеет ли учащийся тем, что курс считает известным из курса I: полнотой действительных чисел, обратной функцией, касательной к окружности и скалярным произведением, эксцентриситетом эллипса, показательной функцией и логарифмом через гиперболический косинус и частным двух комплексных чисел в алгебраической форме. Тот, кто ошибётся в каком-либо из них, узнает, к какому уроку курса I стоит вернуться перед началом, а тот, кто ошибётся в каком-либо из первых десяти, на каком уроке раздела задержаться.

Входная проверка

Перед началом раздела оцени свою отправную точку. Это короткая самопроверка: она не оценивается, а результат хранится только в твоём браузере.

  1. Вопрос 1В окружности радиуса 99 какова длина дуги, соответствующей центральному углу 40∘40^\circ?

  2. Вопрос 2Пусть sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} и угол θ\theta лежит во второй четверти. Найти tan⁡θ\tan \theta.

  3. Вопрос 3Каков наименьший период функции f(x)=3sin⁡(4x−π)+1f(x) = 3 \sin(4x - \pi) + 1?

  4. Вопрос 4Груз, подвешенный на пружине, колеблется по вертикали. Его высота над полом меняется со временем по синусоиде, от 2020 до 6060 сантиметров, с периодом 44 секунды, и наивысшей точки он достигает в момент t=1t = 1. Сколько секунд каждого колебания он находится выше 5050 сантиметров от пола?

  5. Вопрос 5Чему равен arccos⁡(−32)\arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)?

  6. Вопрос 6Чему равен arcsin⁡(sin⁡5π7)\arcsin\left( \sin \frac{5\pi}{7} \right)?

  7. Вопрос 7В треугольнике b=5b = 5, c=8c = 8, а угол между этими сторонами равен A=60∘A = 60^\circ. Найти сторону aa.

  8. Вопрос 8Сколько существует треугольников с A=30∘A = 30^\circ, c=10c = 10 и a=6a = 6?

  9. Вопрос 9Каковы полярные координаты, с r>0r > 0 и θ\theta из (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, точки с декартовыми координатами (−1,3)\left( -1, \sqrt{3} \right)?

  10. Вопрос 10Кривая с полярным уравнением r=215+2cos⁡θr = \frac{21}{5 + 2 \cos \theta} имеет фокус в полюсе. Что это за кривая?

  11. Вопрос 11Из предыдущих разделовКакова точная верхняя грань множества A={1−1n:n∈N}A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}?

  12. Вопрос 12Из предыдущих разделовКакое из этих сужений функции f(x)=x2f(x) = x^2 имеет обратную функцию?

  13. Вопрос 13Из предыдущих разделовКаково уравнение касательной к окружности x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 в её точке (3,4)(3, 4)?

  14. Вопрос 14Из предыдущих разделовКаков эксцентриситет эллипса x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1?

  15. Вопрос 15Из предыдущих разделовЕсли t>0t > 0 и cosh⁡t=54\cosh t = \frac{5}{4}, чему равно tt?

  16. Вопрос 16Из предыдущих разделовЧему равно частное 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i}?

Содержание раздела

С этого раздела начинается курс «Алгебра и геометрия II», который предполагает пройденным курс «Алгебра и геометрия I». Из него он берёт пять вещей, которые здесь используются без повторного доказательства. Первое: действительные числа как полное упорядоченное поле, со свойством Архимеда и плотностью рациональных чисел, которые позволят приводить всякий угол к первому обороту и распространять на все углы то, что доказано для рациональных. Второе: изучение функций (область определения, множество значений, композиция, обратная к биективной функции и преобразования графиков) вместе с таблицами знаков и разложением многочленов на множители. Третье: аналитическая геометрия на плоскости, то есть расстояние, прямая в декартовой и параметрической форме, векторы со скалярным произведением, окружность и конические сечения с их фокусом и директрисой. Четвёртое: показательная, логарифмическая и гиперболические функции, чья параметризация гиперболы предвосхищает параметризацию окружности. Пятое: комплексные числа в алгебраической форме, изображаемые точками плоскости, которые этот раздел подготавливает к записи через модуль и угол.

Однако ни один из этих инструментов не отвечает на очень древний вопрос: каково при данном угле отношение сторон прямоугольного треугольника, содержащего этот угол? Этот раздел отвечает на него, и из ответа рождаются шесть функций действительной переменной, обратные к ним функции, решение всех треугольников и второй способ задавать точки плоскости. Уроки идут в таком порядке.

  1. Урок Углы и их измерение определяет ориентированные углы, которые измеряют повороты вместе с их направлением и могут превышать полный оборот, формулирует аксиому обхода по длине дуги, на которой держится весь раздел, и определяет с её помощью радианную меру как длину дуги единичной окружности; доказывает формулы дуги и сектора, теорему о вписанном угле и приведение всякого угла к первому обороту, то есть деление с остатком действительных чисел на 2π2\pi. Он важен потому, что радиан есть та мера, которая делает простыми все формулы, появляющиеся потом.
  2. Урок Тригонометрические отношения и единичная окружность определяет синус, косинус и тангенс сначала в прямоугольном треугольнике, доказывая с помощью подобия, что они не зависят от треугольника, а затем для всякого действительного числа, как координаты точки единичной окружности; доказывает основное тригонометрическое тождество, табличные значения и симметрии. Это решающий поворот раздела: он превращает геометрическое отношение в величину, определённую для любого угла.
  3. Урок Тригонометрические функции и их графики изучает синус, косинус и тангенс как функции, доказывает их наименьшие периоды, строит их графики и доказывает, сравнивая площади, неравенство sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x. С помощью синусоид он даёт модель всех периодических явлений.
  4. Урок Обратные тригонометрические функции выводит из аксиомы обхода, что косинус и синус строго монотонны на некоторых промежутках, сужает на них функции, определяет арксинус, арккосинус и арктангенс и решает простейшие уравнения в пределах одного оборота. Он позволяет пройти обратный путь: от известного отношения к углу, который его даёт.
  5. Урок Решение треугольников доказывает формулу площади через две стороны и угол между ними, теорему синусов, теорему косинусов и формулу Герона и разбирает неоднозначный случай. Он распространяет тригонометрию прямоугольного треугольника на все треугольники и измеряет с помощью скалярного произведения угол между двумя векторами.
  6. Урок Полярные координаты и кривые в полярных координатах задаёт каждую точку её расстоянием до полюса и углом, выводит формулы перехода к декартовым координатам, строит кардиоиды, розы, спирали и улитки и получает полярное уравнение конических сечений с фокусом в полюсе. Он готовит тригонометрическую форму комплексных чисел и описание орбит.

Раздел завершается уроком итоги и задачи, который собирает доказанное, измеряет итоговой проверкой достигнутое по сравнению с входной проверкой этого урока и предлагает десять задач повышенной трудности.

Историческая предыстория

Тригонометрия родилась не как глава алгебры, а как приём астрономии. Чтобы предсказывать положение светил и измерять расстояния, которые нельзя пройти, астрономам нужно было переходить от углов, которые наблюдаются, к длинам, которые вычисляются; а греческая геометрия, умевшая строить фигуры циркулем и линейкой, не давала никакого средства, чтобы вычислить по произвольному углу отношение двух сторон треугольника.

Таблица хорд

Греческая астрономия унаследовала от вавилонской деление окружности на 360360 градусов и счёт в шестидесятеричной системе. Около III века до нашей эры Аристарх Самосский оценил геометрическими рассуждениями отношение расстояний до Солнца и до Луны, а Эратосфен измерил окружность Земли по углу, как будет показано в уроке об углах и их измерении. Гиппарху Никейскому, во II веке до нашей эры, приписывается первая таблица хорд: для каждого центрального угла длина хорды, которую он стягивает в окружности фиксированного радиуса. Сохранилась таблица Клавдия Птолемея, который в «Альмагесте», во II веке нашей эры, дал хорды дуг через каждые полградуса в окружности радиуса 6060. Менелай Александрийский ещё около 100 года распространил вычисление на треугольники, начерченные на небесной сфере.

Хорда и синус представляют одну и ту же информацию, записанную двумя способами. Приведённое ниже предложение уточняет это и показывает, почему переход от хорды к синусу был чем-то большим, чем смена названия: синус есть половина хорды двойной дуги, и он является катетом прямоугольного треугольника.

УтверждениеХорда и синус

В окружности радиуса 11 с центром OO пусть C(θ)C(\theta) есть длина хорды, соединяющей концы AA и BB дуги с центральным углом θ\theta, где 0<θ<π0 < \theta < \pi. Тогда C(θ)=2sin⁡θ2C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}.

Доказательство

  1. C(θ)=d⁡(A,B),d⁡(O,A)=d⁡(O,B)=1C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1

    Хорда есть сторона, противолежащая углу θ\theta в треугольнике с вершинами OO, AA и BB, две другие стороны которого являются радиусами.

  2. d⁡(A,M)=d⁡(M,B),∠AOM=∠MOB=θ2\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}

    Треугольник равнобедренный; перпендикуляр, опущенный из OO на хорду, пересекает её в середине MM и делит центральный угол на два равных угла, потому что треугольники с вершинами OO, MM, AA и OO, MM, BB прямоугольные с прямым углом при MM, имеют равные углы при AA и при BB, поскольку треугольник равнобедренный, и имеют общую сторону OMOM: по признаку подобия по двум углам они подобны с коэффициентом 11.

  3. d⁡(M,B)=sin⁡θ2→C(θ)=2sin⁡θ2\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}

    В прямоугольном треугольнике с вершинами OO, MM и BB гипотенуза равна 11, а катет, противолежащий углу θ2\frac{\theta}{2}, есть половина хорды; по определению синуса этот катет равен sin⁡θ2\sin \frac{\theta}{2}.

  4. sin⁡α=12C(2α),60C(θ)=120sin⁡θ2\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}

    Прочитанное в обратную сторону, при θ=2α\theta = 2\alpha, равенство говорит, что синус угла есть половина хорды двойного угла; в окружности радиуса 6060 у Птолемея все длины умножаются на 6060.

От половины дуги к синусу

Астрономы Индии, такие как Ариабхата около 500 года, сводили в таблицы непосредственно половину хорды двойной дуги, которую они называли jya, и тем самым поставили в центр вычислений катет прямоугольного треугольника вместо хорды. Слово перешло в арабский язык как jiba, что в письме без гласных смешалось с jaib, «складка» или «пазуха» одежды, а латинские переводчики XII века передали его как sinus, откуда и происходит нынешнее название. Астрономы исламского мира с IX по XI век, в том числе аль-Баттани и Абу-ль-Вафа, добавили таблицы тангенса и котангенса, возникшие из изучения теней солнечных часов; в XIII веке Насир ад-Дин ат-Туси изложил тригонометрию как дисциплину, независимую от астрономии.

Тригонометрия как дисциплина

В Европе Региомонтан около 1464 года написал трактат о треугольниках всех видов, напечатанный в 1533 году, который объединял решение плоских и сферических треугольников; слово тригонометрия, «измерение треугольников», появляется в заглавии сочинения Варфоломея Питиска 1595 года. У теоремы косинусов история длиннее: Евклид во II книге «Начал» уже исправил теорему Пифагора для остроугольных и тупоугольных треугольников с помощью удвоенного прямоугольника, образованного стороной и проекцией другой стороны на неё, что сегодня записывается как 2bccos⁡A2bc \cos A с точностью до знака, а в XV веке аль-Каши придал ей форму, пригодную для вычислений. Формула Герона, в свою очередь, содержится в «Метрике» Герона Александрийского, в I веке.

От отношений к функциям

На протяжении веков синус угла был длиной в окружности условного радиуса, в шестьдесят или в несколько миллионов единиц, в зависимости от таблицы. Исчисление бесконечно малых XVII века показало, что формулы упрощаются, если радиус равен 11, а углы измеряются длиной их дуги, и Леонард Эйлер в Introductio in analysin infinitorum 1748 года рассматривал синус и косинус как функции действительной переменной, определённые на единичной окружности, что и есть точка зрения этого раздела; название радиан для соответствующей единицы измерения возникло во второй половине XIX века. В начале XIX века Жозеф Фурье утверждал в своей аналитической теории тепла, опубликованной в 1822 году, что весьма общую периодическую функцию можно записать в виде суммы синусов и косинусов, и тригонометрические функции стали языком всех периодических явлений.

Полярные координаты

Мысль описывать точку её расстоянием до центра и углом так же стара, как астрономия, и Архимед в III веке до нашей эры определил свою спираль именно так: точка удаляется с постоянной скоростью от центра, в то время как луч, несущий её, вращается с постоянной скоростью. Как система координат полярные координаты, однако, появляются в XVII веке: Бонавентура Кавальери и Грегуар де Сен-Венсан использовали их для изучения спиралей, Исаак Ньютон включил их в число систем, которыми описывал кривые, а Якоб Бернулли применял их в своих работах конца того же века; Эйлер систематизировал их в XVIII веке. Тем временем Иоганн Кеплер опубликовал в 1609 году, что орбита Марса есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце, и полярное уравнение конических сечений с фокусом в полюсе, которым завершается этот раздел, есть естественная форма этого закона.

Задача, из которой они родились

Общую для всех этих достижений задачу можно сформулировать так: по некоторым известным углам и длинам фигуры вычислить остальные. Её простейший вид даёт прямоугольный треугольник. В силу подобия отношение двух сторон зависит только от острого угла α\alpha и поэтому является функцией от α\alpha; но эта функция не алгебраическая, она не получается из α\alpha сложениями, умножениями и извлечением корней, и потому её пришлось сводить в таблицы. Приведённый ниже пример, первая известная попытка измерить Солнечную систему, показывает задачу в чистом виде.

ПримерТреугольник Аристарха

Когда Луна видна точно в фазе четверти, освещённая половина её диска видна сбоку, и Солнце, Луна и Земля образуют треугольник с прямым углом при Луне. Аристарх измерил с Земли угол α\alpha между направлениями на Луну и на Солнце и получил 87∘87^\circ. Пусть TT, LL и SS обозначают Землю, Луну и Солнце.

Доказательство

  1. d⁡(T,S)2=d⁡(T,L)2+d⁡(L,S)2{\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2

    Треугольник с вершинами TT, LL и SS прямоугольный с прямым углом при LL: расстояние от Земли до Солнца есть гипотенуза.

  2. d⁡(T,S)d⁡(T,L)=1cos⁡α=sec⁡α\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}

    Катет, прилежащий к углу α\alpha, есть расстояние до Луны; по определению косинуса отношение расстояния до Солнца к расстоянию до Луны зависит только от α\alpha.

  3. α=87∘→18<sec⁡87∘<20\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20

    Не имея таблиц косинусов, Аристарх оценил отношение с обеих сторон геометрическими рассуждениями и заключил, что Солнце находится в пределах от 1818 до 2020 раз дальше Луны. Секанс угла 87∘87^\circ приблизительно равен 19,1, что лежит в его границах.

  4. α→90∘→sec⁡α→∞\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty

    Метод был верен, но данное было неверным: истинный угол отличается от прямого меньше чем на шестую долю градуса, а истинное отношение близко к 390390. Когда α\alpha приближается к прямому углу, Солнце неограниченно удаляется вдоль прямой, проходящей через Луну, и ничтожная ошибка в угле даёт огромную ошибку в расстоянии.

Поскольку Солнце и Луна имеют почти одинаковый видимый размер, как показывают полные солнечные затмения, рассуждение Аристарха давало также отношение их диаметров, а вместе с ним вывод, что Солнце гораздо больше Земли. Пример содержит в зародыше весь раздел: отношение сторон, зависящее от угла, необходимость точно знать эту зависимость и наблюдение, что некоторые функции неограниченно растут вблизи отдельных значений угла; это вертикальная асимптота секанса, изучаемая в уроке о тригонометрических функциях и их графиках.

Та же задача встаёт ещё двумя способами, которые дают начало остальным урокам раздела. Первый способ обратный: известно отношение и ищется угол, как когда измеряют уклон дороги и хотят узнать угол её наклона; ответ требует обращать функции, которые не являются инъективными, и в этом состоит задача обратных тригонометрических функций. Второй состоит в описании того, что вращается: планеты вокруг Солнца, колеса, повторяющейся волны. Для этого удобно задавать точки расстоянием до центра и направлением, а не расстояниями до двух осей, и выражать периодическое движение функциями, которые повторяются; так рождаются полярные координаты и синусоиды.

Значение

В оставшихся разделах этого курса раздел 2, который начинается уроком Основные тригонометрические тождества, доказывает формулы синуса и косинуса суммы, решает тригонометрические уравнения в общем виде и с помощью поворота осей классифицирует все уравнения второй степени с двумя переменными. Раздел 3, посвящённый комплексным числам в тригонометрической форме, записывает каждое комплексное число через его модуль и угол, как в уроке о тригонометрической форме комплексного числа, и сводит возведение в степень и извлечение корней к умножению модулей и сложению углов; раздел 4 представляет повороты плоскости матрицами, элементы которых суть синусы и косинусы, в уроке Матрицы как преобразования плоскости; а раздел 5, посвящённый аналитической геометрии в пространстве, измеряет угол между двумя векторами пространства через его косинус в уроке Векторы в пространстве и скалярное произведение и применяет его для вычисления углов между прямыми и плоскостями.

В других курсах сайта неравенство sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x служит отправной точкой для вычисления производной синуса в курсе «Математический анализ I», а длины дуг, площади, ограниченные кривыми в полярных координатах, и тригонометрические подстановки изучаются в курсе «Математический анализ II». Курс «Основы механики» раскладывает силы и скорости на составляющие с помощью синуса и косинуса и изучает движение по окружности через связь между угловой и линейной скоростью. В курсе «Программирование на C++ I» математические библиотеки языка предлагают, помимо синуса, косинуса и арктангенса, функцию двух аргументов, которая возвращает полярный угол точки в пределах от −π-\pi до π\pi, с той же поправкой в зависимости от четверти, которая доказывается в этом разделе.

Вне математики тригонометрия является инструментом топографии, навигации и геодезии, которые измеряют местность методом триангуляции; полярные координаты используются в радарах и в системах, определяющих положение объекта по расстоянию и пеленгу; а синусоиды являются языком акустики, переменного тока, телекоммуникаций и обработки сигналов и изображений, которые раскладывают всякий сигнал на простые колебания, следуя идее Фурье.