Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις και πολικές συντεταγμένες: εισαγωγή

Περίληψη

Το μάθημα αυτό ανοίγει τον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία II και την πρώτη του ενότητα, αφιερωμένη στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και στις πολικές συντεταγμένες. Προτείνει μια αρχική αξιολόγηση, που μετρά το σημείο εκκίνησης στα έξι μαθήματα της ενότητας και σε όσα αυτή θεωρεί γνωστά από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων. Συγκεντρώνει όσα αφήνει θεμελιωμένα ο πρώτος κύκλος μαθημάτων και παρουσιάζει τα έξι μαθήματα της ενότητας με τη σειρά με την οποία μελετώνται, από τη μέτρηση των γωνιών ως τις πολικές καμπύλες και τις κωνικές με εστία στον πόλο, και εξηγεί τι αποδεικνύει το καθένα και γιατί έχει σημασία. Ανασυνθέτει έπειτα το ιστορικό υπόβαθρο: την ελληνική αστρονομία, που χρειαζόταν να μετρήσει το απρόσιτο και κατέγραψε σε πίνακες τις χορδές των τόξων· το μισό της χορδής του διπλάσιου τόξου, που οι αστρονόμοι της Ινδίας έθεσαν στο κέντρο του υπολογισμού και που, μέσα από τις αραβικές και τις λατινικές μεταφράσεις, πήρε το όνομα ημίτονο· την τριγωνομετρία ως αυτοτελή επιστήμη, και τον μετασχηματισμό της, τον 18ο αιώνα, σε μελέτη συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής. Διατυπώνει το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκε, τον υπολογισμό αποστάσεων από γωνίες, με το τρίγωνο του Αρίσταρχου του Σάμιου, και κλείνει δείχνοντας πού χρησιμοποιούνται αυτές οι ιδέες στο υπόλοιπο του κύκλου μαθημάτων, σε άλλους κύκλους μαθημάτων του ιστοτόπου και στην επιστήμη και την τεχνική.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να περιγραφεί το περιεχόμενο της ενότητας, με την τοποθέτηση καθενός από τα μαθήματά της σε μια αλληλουχία που πηγαίνει από τη μέτρηση των γωνιών ως τις πολικές καμπύλες.
  2. Να εξηγηθεί η αστρονομική και γεωδαιτική προέλευση της τριγωνομετρίας και των πολικών συντεταγμένων, και να αναγνωριστούν τα κύρια στάδιά τους, από τον πίνακα χορδών ως τις συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής.
  3. Να εκφραστεί η χορδή ενός τόξου μέσω του ημιτόνου του μισού τόξου, και να διατυπωθεί το πρόβλημα του Αρίσταρχου ως υπολογισμός ενός πηλίκου αποστάσεων από μια γωνία.
  4. Να εντοπιστούν τα σημεία του κύκλου μαθημάτων, άλλων κύκλων μαθημάτων και της επιστήμης και της τεχνικής όπου χρησιμοποιούνται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι πολικές συντεταγμένες.

Αρχική αξιολόγηση

Πριν διατρέξουμε την ενότητα, αξίζει να μετρήσουμε το σημείο εκκίνησης, χωρίς καμία βαθμολόγηση. Οι δέκα πρώτες ερωτήσεις αφορούν τα έξι μαθήματα περιεχομένου της ενότητας: δύο για τις αντίστροφες συναρτήσεις και δύο για την επίλυση τριγώνων, που είναι τα μαθήματα στα οποία στηρίζεται περισσότερο το υπόλοιπο του κύκλου μαθημάτων· δύο για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις, η μία από τις οποίες είναι πρόβλημα σε πλαίσιο που πρέπει να διατυπωθεί· δύο για τις πολικές συντεταγμένες, η μία από τις οποίες αφορά την πολική εξίσωση των κωνικών· και μία για καθένα από τα άλλα δύο μαθήματα. Οι ίδιες δεξιότητες μετρώνται ξανά στο τέλος, στο μάθημα της σύνθεσης. Οι έξι τελευταίες ελέγχουν όσα ο κύκλος μαθημάτων θεωρεί γνωστά από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων: την πληρότητα των πραγματικών αριθμών, την αντίστροφη μιας συνάρτησης, την εφαπτομένη ευθεία ενός κύκλου και το εσωτερικό γινόμενο, την εκκεντρότητα μιας έλλειψης, την εκθετική συνάρτηση και τον λογάριθμο μέσω του υπερβολικού συνημιτόνου, και το πηλίκο δύο μιγαδικών αριθμών σε αλγεβρική μορφή. Όποιος αποτύχει σε κάποια από αυτές θα ξέρει σε ποιο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων αξίζει να επιστρέψει πριν αρχίσει, και όποιος αποτύχει σε κάποια από τις δέκα πρώτες, σε ποιο μάθημα της ενότητας να σταθεί.

Αρχική αξιολόγηση

Πριν ξεκινήσεις την ενότητα, μέτρησε το σημείο εκκίνησής σου. Είναι μια σύντομη αυτοαξιολόγηση: δεν βαθμολογείται και το αποτέλεσμα αποθηκεύεται μόνο στον περιηγητή σου.

  1. Ερώτηση 1Σε κύκλο ακτίνας 99, πόσο μετρά το τόξο στο οποίο βαίνει μια επίκεντρη γωνία 40∘40^\circ;

  2. Ερώτηση 2Αν sin⁡θ=35\sin \theta = \frac{3}{5} και η θ\theta βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, να υπολογιστεί η tan⁡θ\tan \theta.

  3. Ερώτηση 3Ποια είναι η ελάχιστη περίοδος της συνάρτησης f(x)=3sin⁡(4x−π)+1f(x) = 3 \sin(4x - \pi) + 1;

  4. Ερώτηση 4Μια μάζα κρεμασμένη από ελατήριο ταλαντώνεται κατακόρυφα. Το ύψος της από το έδαφος μεταβάλλεται ως ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου, μεταξύ 2020 και 6060 εκατοστών, με περίοδο 44 δευτερολέπτων, και φτάνει στο ψηλότερο σημείο τη χρονική στιγμή t=1t = 1. Πόσα δευτερόλεπτα κάθε ταλάντωσης περνά σε ύψος μεγαλύτερο από 5050 εκατοστά από το έδαφος;

  5. Ερώτηση 5Πόσο είναι το arccos⁡(−32)\arccos\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right);

  6. Ερώτηση 6Πόσο είναι το arcsin⁡(sin⁡5π7)\arcsin\left( \sin \frac{5\pi}{7} \right);

  7. Ερώτηση 7Σε ένα τρίγωνο, b=5b = 5, c=8c = 8 και η περιεχόμενη γωνία είναι A=60∘A = 60^\circ. Να υπολογιστεί η πλευρά aa.

  8. Ερώτηση 8Πόσα τρίγωνα υπάρχουν με A=30∘A = 30^\circ, c=10c = 10 και a=6a = 6;

  9. Ερώτηση 9Ποιες είναι οι πολικές συντεταγμένες, με r>0r > 0 και θ\theta στο (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, του σημείου με καρτεσιανές συντεταγμένες (−1,3)\left( -1, \sqrt{3} \right);

  10. Ερώτηση 10Η καμπύλη με πολική εξίσωση r=215+2cos⁡θr = \frac{21}{5 + 2 \cos \theta} έχει μια εστία στον πόλο. Ποια καμπύλη είναι;

  11. Ερώτηση 11Από προηγούμενες ενότητεςΠοιο είναι το supremum του συνόλου A={1−1n:n∈N}A = \left\{ 1 - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\};

  12. Ερώτηση 12Από προηγούμενες ενότητεςΠοιος από αυτούς τους περιορισμούς της συνάρτησης f(x)=x2f(x) = x^2 έχει αντίστροφη συνάρτηση;

  13. Ερώτηση 13Από προηγούμενες ενότητεςΠοια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας του κύκλου x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 στο σημείο του (3,4)(3, 4);

  14. Ερώτηση 14Από προηγούμενες ενότητεςΠοια είναι η εκκεντρότητα της έλλειψης x225+y29=1\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1;

  15. Ερώτηση 15Από προηγούμενες ενότητεςΑν t>0t > 0 και cosh⁡t=54\cosh t = \frac{5}{4}, πόσο είναι το tt;

  16. Ερώτηση 16Από προηγούμενες ενότητεςΠόσο είναι το πηλίκο 5+5i1+2i\frac{5 + 5i}{1 + 2i};

Τα περιεχόμενα της ενότητας

Με αυτή την ενότητα αρχίζει ο κύκλος μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία II, που προϋποθέτει ολοκληρωμένο τον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I. Από αυτόν φέρνει πέντε πράγματα που χρησιμοποιούνται εδώ χωρίς να αποδειχθούν ξανά. Το πρώτο είναι οι πραγματικοί αριθμοί ως πλήρες διατεταγμένο σώμα, με την αρχιμήδεια ιδιότητα και την πυκνότητα των ρητών, που θα επιτρέψουν να αναχθεί κάθε γωνία στον πρώτο κύκλο και να επεκταθεί σε όλες τις γωνίες ό,τι αποδεικνύεται για τις ρητές. Το δεύτερο είναι η μελέτη των συναρτήσεων: πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, σύνθεση, αντίστροφη μιας αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης και μετασχηματισμοί γραφικών παραστάσεων, με τους πίνακες προσήμων και την παραγοντοποίηση πολυωνύμων. Το τρίτο είναι η αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου: η απόσταση, η ευθεία σε καρτεσιανή και παραμετρική μορφή, τα διανύσματα με το εσωτερικό γινόμενο, ο κύκλος και οι κωνικές με την εστία και τη διευθετούσα τους. Το τέταρτο είναι η εκθετική, η λογαριθμική και οι υπερβολικές συναρτήσεις, των οποίων η παραμέτρηση της υπερβολής προαναγγέλλει εκείνη του κύκλου. Το πέμπτο είναι οι μιγαδικοί αριθμοί σε αλγεβρική μορφή, παριστάμενοι ως σημεία του επιπέδου, τους οποίους αυτή η ενότητα προετοιμάζει ώστε να γράφονται με ένα μέτρο και μια γωνία.

Ωστόσο, κανένα από αυτά τα εργαλεία δεν απαντά σε ένα πολύ παλιό ερώτημα: δεδομένης μιας γωνίας, ποιο πηλίκο έχουν μεταξύ τους οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου που την περιέχει; Αυτή η ενότητα απαντά σε αυτό, και από την απάντηση γεννιούνται έξι συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής, οι αντίστροφές τους, η επίλυση όλων των τριγώνων και ένας δεύτερος τρόπος να ονομάζουμε τα σημεία του επιπέδου. Τα μαθήματα έρχονται με την εξής σειρά.

  1. Το μάθημα Γωνίες και η μέτρησή τους ορίζει τις προσανατολισμένες γωνίες, που μετρούν στροφές μαζί με τη φορά τους και μπορούν να υπερβαίνουν την πλήρη στροφή, διατυπώνει το αξίωμα της διαδρομής κατά μήκος τόξου, στο οποίο στηρίζεται όλη η ενότητα, και ορίζει με αυτό το μέτρο σε ακτίνια ως μήκος του τόξου του μοναδιαίου κύκλου· αποδεικνύει τους τύπους του τόξου και του τομέα, το θεώρημα της εγγεγραμμένης γωνίας και την αναγωγή κάθε γωνίας στον πρώτο κύκλο, που είναι η διαίρεση με υπόλοιπο των πραγματικών αριθμών διά 2π2\pi. Έχει σημασία επειδή το ακτίνιο είναι το μέτρο που κάνει απλούς όλους τους μεταγενέστερους τύπους.
  2. Το μάθημα Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος ορίζει το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη πρώτα στο ορθογώνιο τρίγωνο, με απόδειξη μέσω ομοιότητας ότι δεν εξαρτώνται από το τρίγωνο, και έπειτα για κάθε πραγματικό αριθμό, ως συντεταγμένες ενός σημείου του μοναδιαίου κύκλου· αποδεικνύει τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, τις χαρακτηριστικές τιμές και τις συμμετρίες. Είναι η αποφασιστική καμπή της ενότητας: μετατρέπει έναν γεωμετρικό λόγο σε ποσότητα ορισμένη για κάθε γωνία.
  3. Το μάθημα Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις μελετά το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη ως συναρτήσεις, αποδεικνύει τις ελάχιστες περιόδους τους, κατασκευάζει τις γραφικές τους παραστάσεις και αποδεικνύει, με σύγκριση εμβαδών, την ανισότητα sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x. Με τις ημιτονοειδείς καμπύλες παρέχει το πρότυπο όλων των περιοδικών φαινομένων.
  4. Το μάθημα Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνάγει από το αξίωμα της διαδρομής ότι το συνημίτονο και το ημίτονο είναι γνησίως μονότονα σε ορισμένα διαστήματα, περιορίζει σε αυτά τις συναρτήσεις, ορίζει το τοξημίτονο, το τοξοσυνημίτονο και την τοξεφαπτομένη, και λύνει τις στοιχειώδεις εξισώσεις σε μία πλήρη στροφή. Επιτρέπει να διανυθεί ο αντίστροφος δρόμος: από έναν γνωστό λόγο στη γωνία που τον παράγει.
  5. Το μάθημα Επίλυση τριγώνων αποδεικνύει το εμβαδόν συναρτήσει δύο πλευρών και της περιεχόμενης γωνίας, τον νόμο των ημιτόνων, τον νόμο των συνημιτόνων και τον τύπο του Ήρωνα, και εξετάζει την αμφίσημη περίπτωση. Επεκτείνει την τριγωνομετρία του ορθογωνίου τριγώνου σε όλα τα τρίγωνα και μετρά, με το εσωτερικό γινόμενο, τη γωνία δύο διανυσμάτων.
  6. Το μάθημα Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες ονομάζει κάθε σημείο με την απόστασή του από τον πόλο και με μια γωνία, συνάγει τους τύπους μετατροπής σε καρτεσιανές συντεταγμένες, σχεδιάζει καρδιοειδείς, καμπύλες ρόδου, σπείρες και κοχλίες, και βρίσκει την πολική εξίσωση των κωνικών με εστία στον πόλο. Προετοιμάζει την πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών και την περιγραφή των τροχιών.

Η ενότητα κλείνει με το μάθημα σύνθεση και προκλήσεις, που συγκεντρώνει όσα αποδείχθηκαν, μετρά με μια τελική αξιολόγηση όσα επιτεύχθηκαν σε σχέση με την αρχική αξιολόγηση αυτού του μαθήματος και προτείνει δέκα προβλήματα μεγαλύτερης δυσκολίας.

Το ιστορικό υπόβαθρο

Η τριγωνομετρία δεν γεννήθηκε ως κεφάλαιο της άλγεβρας, αλλά ως τεχνική της αστρονομίας. Για να προβλέψουν τη θέση των άστρων και να μετρήσουν αποστάσεις που δεν μπορούν να διανυθούν, οι αστρονόμοι χρειάζονταν να περάσουν από τις γωνίες, που παρατηρούνται, στα μήκη, που υπολογίζονται· και η ελληνική γεωμετρία, που ήξερε να κατασκευάζει σχήματα με κανόνα και διαβήτη, δεν πρόσφερε κανένα μέσο για να υπολογιστεί, δεδομένης μιας τυχούσας γωνίας, ο λόγος δύο πλευρών ενός τριγώνου.

Ο πίνακας χορδών

Η ελληνική αστρονομία κληρονόμησε από τη βαβυλωνιακή τη διαίρεση του κύκλου σε 360360 μοίρες και τον υπολογισμό στο εξηκονταδικό σύστημα. Γύρω στον 3ο αιώνα πριν από την εποχή μας, ο Αρίσταρχος ο Σάμιος εκτίμησε με γεωμετρικά επιχειρήματα τον λόγο των αποστάσεων του Ήλιου και της Σελήνης, και ο Ερατοσθένης μέτρησε την περιφέρεια της Γης από μια γωνία, όπως θα φανεί στο μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους. Στον Ίππαρχο τον Νικαέα, τον 2ο αιώνα πριν από την εποχή μας, αποδίδεται ο πρώτος πίνακας χορδών: για κάθε επίκεντρη γωνία, το μήκος της χορδής στην οποία αντιστοιχεί σε κύκλο σταθερής ακτίνας. Ο πίνακας που σώζεται είναι του Κλαύδιου Πτολεμαίου, ο οποίος στην «Αλμαγέστη», τον 2ο αιώνα της εποχής μας, έδωσε τις χορδές των τόξων ανά μισή μοίρα σε κύκλο ακτίνας 6060. Ο Μενέλαος ο Αλεξανδρεύς, γύρω στο έτος 100, είχε επεκτείνει τον υπολογισμό στα τρίγωνα που χαράσσονται πάνω στην ουράνια σφαίρα.

Η χορδή και το ημίτονο είναι η ίδια πληροφορία γραμμένη με δύο τρόπους. Η πρόταση που ακολουθεί το διατυπώνει με ακρίβεια, και δείχνει γιατί η μετάβαση από τη μία στο άλλο ήταν κάτι περισσότερο από αλλαγή ονόματος: το ημίτονο είναι το μισό της χορδής του διπλάσιου τόξου, και είναι κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου.

ΠρότασηΗ χορδή και το ημίτονο

Στον κύκλο ακτίνας 11 και κέντρου OO, έστω C(θ)C(\theta) το μήκος της χορδής που ενώνει τα άκρα AA και BB ενός τόξου με επίκεντρη γωνία θ\theta, με 0<θ<π0 < \theta < \pi. Τότε C(θ)=2sin⁡θ2C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}.

Απόδειξη

  1. C(θ)=d⁡(A,B),d⁡(O,A)=d⁡(O,B)=1C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1

    Η χορδή είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία θ\theta στο τρίγωνο με κορυφές OO, AA και BB, του οποίου οι άλλες δύο πλευρές είναι ακτίνες.

  2. d⁡(A,M)=d⁡(M,B),∠AOM=∠MOB=θ2\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}

    Το τρίγωνο είναι ισοσκελές· η κάθετος που φέρεται από το OO προς τη χορδή την τέμνει στο μέσο της MM και χωρίζει την επίκεντρη γωνία σε δύο ίσες γωνίες, επειδή τα τρίγωνα με κορυφές OO, MM, AA και OO, MM, BB είναι ορθογώνια στο MM, έχουν ίσες τις γωνίες στο AA και στο BB, επειδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, και έχουν κοινή την πλευρά OMOM: από το κριτήριο ομοιότητας των δύο γωνιών είναι όμοια με λόγο 11.

  3. d⁡(M,B)=sin⁡θ2→C(θ)=2sin⁡θ2\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}

    Στο ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφές OO, MM και BB, η υποτείνουσα έχει μήκος 11 και η κάθετη πλευρά απέναντι από τη γωνία θ2\frac{\theta}{2} είναι το μισό της χορδής· από τον ορισμό του ημιτόνου, αυτή η κάθετη πλευρά είναι sin⁡θ2\sin \frac{\theta}{2}.

  4. sin⁡α=12C(2α),60C(θ)=120sin⁡θ2\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}

    Διαβασμένη αντίστροφα, με θ=2α\theta = 2\alpha, η ισότητα λέει ότι το ημίτονο μιας γωνίας είναι το μισό της χορδής της διπλάσιας γωνίας· στον κύκλο ακτίνας 6060 του Πτολεμαίου όλα τα μήκη πολλαπλασιάζονται με 6060.

Από το μισό τόξο στο ημίτονο

Οι αστρονόμοι της Ινδίας, όπως ο Αριαμπάτα γύρω στο έτος 500, κατέγραψαν απευθείας σε πίνακες το μισό της χορδής του διπλάσιου τόξου, που το ονόμασαν jya, και έτσι έθεσαν στο κέντρο του υπολογισμού μια κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου αντί για μια χορδή. Η λέξη πέρασε στα αραβικά ως jiba, που στη γραφή χωρίς φωνήεντα συγχύστηκε με το jaib, «πτυχή» ή «κόλπος» ενός ενδύματος, και οι Λατίνοι μεταφραστές του 12ου αιώνα την απέδωσαν ως sinus, από όπου προέρχεται το σημερινό όνομα. Οι αστρονόμοι του ισλαμικού κόσμου, μεταξύ του 9ου και του 11ου αιώνα, ανάμεσά τους ο αλ-Μπαττάνι και ο Αμπού αλ-Ουάφα, πρόσθεσαν τους πίνακες της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, που προέρχονταν από τη μελέτη των σκιών των ηλιακών ρολογιών· τον 13ο αιώνα, ο Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τούσι παρουσίασε την τριγωνομετρία ως επιστήμη ανεξάρτητη από την αστρονομία.

Η τριγωνομετρία ως επιστήμη

Στην Ευρώπη, ο Ρεγκιομοντάνους συνέταξε γύρω στο 1464 μια πραγματεία για τα τρίγωνα κάθε είδους, τυπωμένη το 1533, που συγκέντρωνε την επίλυση επίπεδων και σφαιρικών τριγώνων· η λέξη τριγωνομετρία, «μέτρηση των τριγώνων», εμφανίζεται στον τίτλο ενός έργου του Βαρθολομαίου Πιτίσκους του 1595. Ο νόμος των συνημιτόνων έχει μακρύτερη ιστορία: ο Ευκλείδης, στο βιβλίο II των «Στοιχείων», είχε ήδη διορθώσει το πυθαγόρειο θεώρημα για τα οξυγώνια και τα αμβλυγώνια τρίγωνα μέσω του διπλάσιου ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, σχηματισμένου από μια πλευρά και την προβολή της άλλης πάνω της, που σήμερα γράφεται 2bccos⁡A2bc \cos A με εξαίρεση το πρόσημο, και τον 15ο αιώνα ο αλ-Κάσι του έδωσε μορφή κατάλληλη για υπολογισμούς. Ο τύπος του Ήρωνα, από την πλευρά του, βρίσκεται στα «Μετρικά» του Ήρωνα του Αλεξανδρέως, τον 1ο αιώνα.

Από τους λόγους στις συναρτήσεις

Επί αιώνες, το ημίτονο μιας γωνίας ήταν ένα μήκος σε κύκλο συμβατικής ακτίνας, εξήντα ή αρκετών εκατομμυρίων, ανάλογα με τον πίνακα. Ο απειροστικός λογισμός του 17ου αιώνα έδειξε ότι οι τύποι απλοποιούνται αν η ακτίνα είναι 11 και οι γωνίες μετρώνται με το μήκος του τόξου τους, και ο Λέοναρντ Όιλερ, στο Introductio in analysin infinitorum του 1748, αντιμετώπισε το ημίτονο και το συνημίτονο ως συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένες στον μοναδιαίο κύκλο, που είναι η οπτική αυτής της ενότητας· το όνομα ακτίνιο για την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης καθιερώθηκε στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Στις αρχές του 19ου αιώνα, ο Ζοζέφ Φουριέ υποστήριξε, στην αναλυτική θεωρία της θερμότητας που δημοσίευσε το 1822, ότι μια πολύ γενική περιοδική συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων, και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έγιναν η γλώσσα όλων των περιοδικών φαινομένων.

Οι πολικές συντεταγμένες

Η ιδέα να περιγράφεται ένα σημείο με την απόστασή του από ένα κέντρο και με μια γωνία είναι τόσο παλιά όσο η αστρονομία, και ο Αρχιμήδης, τον 3ο αιώνα πριν από την εποχή μας, όρισε τη σπείρα του ακριβώς έτσι: ένα σημείο που απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα από ένα κέντρο ενώ η ημιευθεία που το φέρει στρέφεται με σταθερή ταχύτητα. Ως σύστημα συντεταγμένων, ωστόσο, εμφανίζεται τον 17ο αιώνα: ο Μποναβεντούρα Καβαλιέρι και ο Γκρεγκουάρ ντε Σεν-Βενσάν τις χρησιμοποίησαν για να μελετήσουν σπείρες, ο Ισαάκ Νεύτων τις συμπεριέλαβε στα συστήματα με τα οποία περιέγραφε καμπύλες, και ο Γιάκομπ Μπερνούλι τις χρησιμοποίησε στις εργασίες του στα τέλη εκείνου του αιώνα· ο Όιλερ τις συστηματοποίησε τον 18ο αιώνα. Στο μεταξύ, ο Γιοχάνες Κέπλερ είχε δημοσιεύσει το 1609 ότι η τροχιά του Άρη είναι έλλειψη με τον Ήλιο σε μία από τις εστίες της, και η πολική εξίσωση των κωνικών με εστία στον πόλο, που κλείνει αυτή την ενότητα, είναι η φυσική μορφή αυτού του νόμου.

Το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκαν

Το πρόβλημα που είναι κοινό σε όλες αυτές τις εξελίξεις μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: δεδομένων ορισμένων γωνιών και ορισμένων μηκών ενός σχήματος, να υπολογιστούν τα υπόλοιπα. Η απλούστερη μορφή του είναι το ορθογώνιο τρίγωνο. Λόγω ομοιότητας, ο λόγος δύο πλευρών εξαρτάται μόνο από την οξεία γωνία α\alpha, και είναι συνεπώς συνάρτηση της α\alpha· αλλά αυτή η συνάρτηση δεν είναι αλγεβρική, δεν προκύπτει από την α\alpha με αθροίσματα, γινόμενα ή ρίζες, και γι' αυτό χρειάστηκε να καταγραφεί σε πίνακες. Το παράδειγμα που ακολουθεί, η πρώτη γνωστή απόπειρα μέτρησης του ηλιακού συστήματος, δείχνει το πρόβλημα στην καθαρή του μορφή.

ΠαράδειγμαΤο τρίγωνο του Αρίσταρχου

Όταν η Σελήνη φαίνεται ακριβώς σε φάση τετάρτου, το φωτισμένο μισό του δίσκου της φαίνεται από το πλάι, και ο Ήλιος, η Σελήνη και η Γη σχηματίζουν τρίγωνο ορθογώνιο στη Σελήνη. Ο Αρίσταρχος μέτρησε, από τη Γη, τη γωνία α\alpha ανάμεσα στις διευθύνσεις της Σελήνης και του Ήλιου, και βρήκε 87∘87^\circ. Έστω TT, LL και SS η Γη, η Σελήνη και ο Ήλιος.

Απόδειξη

  1. d⁡(T,S)2=d⁡(T,L)2+d⁡(L,S)2{\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2

    Το τρίγωνο με κορυφές TT, LL και SS είναι ορθογώνιο στο LL: η απόσταση της Γης από τον Ήλιο είναι η υποτείνουσα.

  2. d⁡(T,S)d⁡(T,L)=1cos⁡α=sec⁡α\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}

    Η κάθετη πλευρά που πρόσκειται στη γωνία α\alpha είναι η απόσταση από τη Σελήνη· από τον ορισμό του συνημιτόνου, ο λόγος της απόστασης από τον Ήλιο προς την απόσταση από τη Σελήνη εξαρτάται μόνο από την α\alpha.

  3. α=87∘→18<sec⁡87∘<20\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20

    Χωρίς πίνακες συνημιτόνων, ο Αρίσταρχος περιόρισε τον λόγο ανάμεσα σε όρια με γεωμετρικά επιχειρήματα και κατέληξε ότι ο Ήλιος βρίσκεται από 1818 ως 2020 φορές μακρύτερα από τη Σελήνη. Η τέμνουσα της γωνίας 87∘87^\circ ισούται περίπου με 19,1, μέσα στα όριά του.

  4. α→90∘→sec⁡α→∞\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty

    Η μέθοδος ήταν σωστή, αλλά το δεδομένο όχι: η πραγματική γωνία διαφέρει από την ορθή λιγότερο από το ένα έκτο της μοίρας, και ο πραγματικός λόγος είναι γύρω στο 390390. Όταν η α\alpha πλησιάζει την ορθή, ο Ήλιος απομακρύνεται απεριόριστα κατά μήκος της ευθείας που διέρχεται από τη Σελήνη, και ένα ελάχιστο σφάλμα στη γωνία προκαλεί τεράστιο σφάλμα στην απόσταση.

Επειδή ο Ήλιος και η Σελήνη έχουν σχεδόν το ίδιο φαινόμενο μέγεθος, όπως δείχνουν οι ολικές εκλείψεις Ηλίου, ο συλλογισμός του Αρίσταρχου έδινε επίσης τον λόγο των διαμέτρων τους, και μαζί του το συμπέρασμα ότι ο Ήλιος είναι πολύ μεγαλύτερος από τη Γη. Το παράδειγμα περιέχει σε σπέρμα όλη την ενότητα: έναν λόγο πλευρών που εξαρτάται από μια γωνία, την ανάγκη να γνωρίζουμε αυτή την εξάρτηση με ακρίβεια, και την παρατήρηση ότι ορισμένες συναρτήσεις αυξάνονται χωρίς φράγμα κοντά σε μεμονωμένες τιμές της γωνίας, που είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της τέμνουσας που μελετάται στο μάθημα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις.

Το ίδιο πρόβλημα εμφανίζεται με δύο ακόμη τρόπους, από τους οποίους προέρχονται τα υπόλοιπα μαθήματα της ενότητας. Ο πρώτος είναι αντίστροφος: είναι γνωστός ο λόγος και ζητείται η γωνία, όπως όταν μετράμε την κλίση ενός δρόμου και θέλουμε να μάθουμε τη γωνία κλίσης του· η απάντηση απαιτεί να αντιστραφούν συναρτήσεις που δεν είναι ένα προς ένα, και αυτό είναι το έργο των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Ο δεύτερος είναι η περιγραφή όσων περιστρέφονται: ένας πλανήτης γύρω από τον Ήλιο, ένας τροχός, ένα κύμα που επαναλαμβάνεται. Γι' αυτό αξίζει να ονομάζουμε τα σημεία με την απόστασή τους από ένα κέντρο και τη διεύθυνσή τους, και όχι με τις αποστάσεις τους από δύο άξονες, και να εκφράζουμε την περιοδική κίνηση με συναρτήσεις που επαναλαμβάνονται· έτσι γεννιούνται οι πολικές συντεταγμένες και οι ημιτονοειδείς καμπύλες.

Σημασία

Στο υπόλοιπο αυτού του κύκλου μαθημάτων, η ενότητα 2, που αρχίζει με το μάθημα Θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες, αποδεικνύει τους τύπους του ημιτόνου και του συνημιτόνου αθροίσματος, λύνει γενικά τις τριγωνομετρικές εξισώσεις και, μέσω της στροφής των αξόνων, ταξινομεί όλες τις εξισώσεις δευτέρου βαθμού με δύο μεταβλητές. Η ενότητα 3, αφιερωμένη στους μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή, γράφει κάθε μιγαδικό αριθμό με το μέτρο και τη γωνία του, όπως στο μάθημα για την πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών, και ανάγει τις δυνάμεις και τις ρίζες στον πολλαπλασιασμό μέτρων και την πρόσθεση γωνιών· η ενότητα 4 παριστάνει τις στροφές του επιπέδου με πίνακες των οποίων τα στοιχεία είναι ημίτονα και συνημίτονα, στο μάθημα Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου· και η ενότητα 5, για την αναλυτική γεωμετρία του χώρου, μετρά τη γωνία δύο διανυσμάτων του χώρου μέσω του συνημιτόνου της, στο μάθημα Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο, και τη χρησιμοποιεί για να υπολογίσει γωνίες ανάμεσα σε ευθείες και επίπεδα.

Σε άλλους κύκλους μαθημάτων του ιστοτόπου, η ανισότητα sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x είναι το σημείο εκκίνησης για τον υπολογισμό της παραγώγου του ημιτόνου στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός I, και τα μήκη τόξων, τα εμβαδά που περικλείονται από πολικές καμπύλες και οι τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις μελετώνται στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός II. Ο κύκλος μαθημάτων Βασικές αρχές της μηχανικής αναλύει δυνάμεις και ταχύτητες σε συνιστώσες μέσω του ημιτόνου και του συνημιτόνου, και μελετά την κυκλική κίνηση με τη σχέση μεταξύ γωνιακής και γραμμικής ταχύτητας. Στον κύκλο μαθημάτων Προγραμματισμός σε C++ I, οι μαθηματικές βιβλιοθήκες της γλώσσας προσφέρουν, εκτός από το ημίτονο, το συνημίτονο και την τοξεφαπτομένη, μια συνάρτηση δύο ορισμάτων που επιστρέφει την πολική γωνία ενός σημείου μεταξύ −π-\pi και π\pi, με την ίδια διόρθωση ανάλογα με το τεταρτημόριο που αποδεικνύεται σε αυτή την ενότητα.

Έξω από τα μαθηματικά, η τριγωνομετρία είναι το εργαλείο της τοπογραφίας, της ναυσιπλοΐας και της γεωδαισίας, που μετρούν το έδαφος με τριγωνισμό· οι πολικές συντεταγμένες είναι εκείνες των ραντάρ και των συστημάτων που εντοπίζουν ένα αντικείμενο από την απόστασή του και την κατεύθυνσή του· και οι ημιτονοειδείς καμπύλες είναι η γλώσσα της ακουστικής, του εναλλασσόμενου ρεύματος, των τηλεπικοινωνιών και της επεξεργασίας σημάτων και εικόνων, που αναλύουν κάθε σήμα σε απλές ταλαντώσεις σύμφωνα με την ιδέα του Φουριέ.