Γωνίες και η μέτρησή τους: μοίρες και ακτίνια

Προσανατολισμένες γωνίες

Στη στοιχειώδη γεωμετρία, γωνία είναι το σχήμα που σχηματίζουν δύο ημιευθείες με κοινή αρχή, και το μέτρο της βρίσκεται μεταξύ $0^\circ$ και $180^\circ$. Για να μελετήσουμε τις στροφές, όπως τη στροφή ενός τροχού, των δεικτών ενός ρολογιού ή της Γης γύρω από τον άξονά της, αυτή η έννοια δεν αρκεί: ενδιαφέρει πόσο έχει γίνει η στροφή και με ποια φορά, και μια στροφή μπορεί να κάνει πολλούς γύρους. Γι’ αυτό η γωνία θεωρείται ως το αποτέλεσμα μιας στροφής.

Μια προσανατολισμένη γωνία καθορίζεται από μια ημιευθεία, που λέγεται αρχική πλευρά, η οποία στρέφεται γύρω από την αρχή της, που λέγεται κορυφή, μέχρι να πάρει μια τελική θέση, που λέγεται τελική πλευρά, μαζί με τη στροφή που έγινε. Η γωνία είναι θετική αν η στροφή γίνεται αντίθετα προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού (αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού), και αρνητική αν γίνεται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού (φορά των δεικτών του ρολογιού). Η μηδενική γωνία είναι εκείνη που δεν στρέφεται.

Το ίδιο ζεύγος πλευρών μπορεί να αντιστοιχεί σε πολλές προσανατολισμένες γωνίες: η τελική πλευρά παίρνει την ίδια θέση αν στραφεί κατά ένα τέταρτο της στροφής με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού, κατά τρία τέταρτα της στροφής με τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή κατά ένα τέταρτο της στροφής συν μία πλήρη στροφή. Αυτές οι γωνίες είναι διαφορετικές, επειδή περιγράφουν διαφορετικές στροφές, αν και καταλήγουν στην ίδια πλευρά· η τρίτη παράγραφος διευκρινίζει πώς συνδέονται.

Το εξηκονταδικό σύστημα

Το αρχαιότερο μέτρο των γωνιών διαιρεί την πλήρη στροφή σε $360$ ίσα τόξα και ονομάζει μοίρα τη γωνία που βαίνει σε καθένα από αυτά: μια γωνία μετρά $g$ μοίρες αν το τόξο της είναι $g$ φορές το τόξο μιας μοίρας, οπότε το μέτρο σε μοίρες είναι ανάλογο του μήκους του τόξου. Κάθε μοίρα διαιρείται σε $60$ πρώτα λεπτά, και κάθε πρώτο λεπτό σε $60$ δεύτερα λεπτά. Το σύστημα προέρχεται από τη βαβυλωνιακή αστρονομία, που μετρούσε με βάση το εξήντα, όπως εξηγείται στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα θεσιακά συστήματα αρίθμησης· ο αριθμός $360$ έχει το πλεονέκτημα ότι διαιρείται με τα $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$ και $12$, μεταξύ άλλων. Μια ορθή γωνία μετρά $90^\circ$, μια ευθεία γωνία μετρά $180^\circ$ και μια πλήρης στροφή $360^\circ$· μια αρνητική γωνία μετριέται με το πρόσημο μείον, οπότε ένα τέταρτο της στροφής με τη φορά των δεικτών του ρολογιού μετρά $-90^\circ$. Η γωνία των 40 μοιρών, 15 πρώτων λεπτών και 36 δεύτερων λεπτών, που γράφεται συντομευμένα με το σύμβολο της μοίρας μετά από κάθε αριθμό, έναν απόστροφο για τα πρώτα λεπτά και δύο για τα δεύτερα, μετρά σε μοίρες ό,τι δίνεται παρακάτω, δηλαδή 40,26 μοίρες:

Ο αριθμός $360$ είναι, ωστόσο, μια σύμβαση: τίποτα στη γεωμετρία του κύκλου δεν τον ξεχωρίζει από άλλον αριθμό. Οι τύποι του μήκους ενός τόξου και του εμβαδού ενός τομέα, και αργότερα εκείνοι των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, απλουστεύονται αν οι γωνίες μετρηθούν με έναν τρόπο που γεννιέται από τον ίδιο τον κύκλο.

Το ακτίνιο

Η ιδέα είναι να μετρηθεί μια γωνία με το μήκος του τόξου στο οποίο βαίνει σε έναν κύκλο ακτίνας $1$ με κέντρο την κορυφή της. Αυτό απαιτεί να ξέρουμε τι είναι το μήκος ενός τόξου, και εκεί εμφανίζεται μια δυσκολία: ένα τόξο δεν είναι ένωση ευθύγραμμων τμημάτων, και το μήκος του ορίζεται ως η τιμή που προσεγγίζουν τα μήκη των εγγεγραμμένων σε αυτό πολυγωνικών γραμμών όταν οι πλευρές τους γίνονται όλο και πιο μικρές, δηλαδή με ένα όριο. Η μελέτη του ανήκει στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός II, όπου υπολογίζονται μήκη καμπυλών και εμβαδά περιοχών που περικλείονται από καμπύλες. Εδώ δεχόμαστε τα γεγονότα που ακολουθούν.

Γεγονός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη (μήκη και εμβαδά στον κύκλο). Κάθε τόξο κύκλου έχει μήκος, και κάθε περιοχή που περικλείεται από ευθύγραμμα τμήματα και τόξα έχει εμβαδόν. Τα ίσα σχήματα έχουν το ίδιο μήκος ή το ίδιο εμβαδόν· αν ένα σχήμα αναλύεται σε δύο που δεν επικαλύπτονται, το μέτρο του είναι το άθροισμα των μέτρων των μερών του· και αν μια περιοχή περιέχει μια άλλη, το εμβαδόν της δεν είναι μικρότερο, και είναι μεγαλύτερο αν η διαφορά περιέχει κάποιον δίσκο. Επιπλέον, αν δύο κύκλοι έχουν ακτίνες $r$ και $R$, τα τόξα στα οποία βαίνει πάνω τους η ίδια επίκεντρη γωνία είναι ανάλογα των ακτίνων, και το εμβαδόν ενός δίσκου ακτίνας $r$ είναι $\pi r^2$.

Το γεγονός αυτό γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη, επειδή τα μήκη των τόξων και τα εμβαδά των καμπυλόγραμμων περιοχών ορίζονται με όρια και υπολογίζονται με το ολοκλήρωμα, στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός II. Το τελευταίο του μέρος προϋποθέτει γνωστό τον αριθμό $\pi$, που ορίζεται τώρα: ο αριθμός $\pi$ είναι το μισό του μήκους του μοναδιαίου κύκλου, δηλαδή του κύκλου ακτίνας $1$. Από την αναλογία των τόξων προς τις ακτίνες, εφαρμοσμένη στη γωνία μιας πλήρους στροφής, ο κύκλος ακτίνας $r$ έχει μήκος $2\pi r$, και ο λόγος του μήκους οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι πάντα $\pi$. Δεχόμαστε επίσης ότι ο $\pi$ είναι άρρητος και ότι η δεκαδική του παράσταση αρχίζει με 3,14159· ειδικότερα, $3 < \pi < 4$.

Για να μετρήσουμε τις γωνίες χρειάζεται, επιπλέον, να διατρέχουμε τον κύκλο κατά μήκος τόξου: να ξεκινάμε από ένα σημείο και να προχωρούμε πάνω του ένα δοσμένο μήκος, με τη μία ή με την άλλη φορά, και να ξέρουμε σε ποιο σημείο φτάνουμε. Όλα όσα λέει αυτή η ενότητα για τις γωνίες και για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις στηρίζονται σε αυτή τη διαδρομή, γι’ αυτό αξίζει να διατυπωθεί με ακρίβεια τι δεχόμαστε γι’ αυτήν. Διατυπώνεται στο καρτεσιανό επίπεδο, για τον μοναδιαίο κύκλο $x^2 + y^2 = 1$ και το σημείο του $A = (1, 0)$· επειδή τα μήκη δεν αλλάζουν όταν μετακινούνται τα σχήματα, ισχύει εξίσου για κάθε κύκλο ακτίνας $1$ και για κάθε σημείο εκκίνησης.

Αξίωμα (διαδρομή κατά μήκος τόξου). Για κάθε πραγματικό αριθμό $s$ υπάρχει ένα μοναδικό σημείο $P(s)$ του μοναδιαίου κύκλου στο οποίο φτάνουμε ξεκινώντας από το $A = (1, 0)$ και διανύοντας πάνω του μήκος $\abs{s}$, με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού αν $s > 0$ και με τη φορά των δεικτών του ρολογιού αν $s < 0$, κάνοντας όσους γύρους χρειάζεται· για $s = 0$ είναι $P(0) = A$. Η διαδρομή αυτή έχει τις τέσσερις ιδιότητες που ακολουθούν.

1. Διαδοχή: αν από το σημείο $P(s)$ διανυθεί μήκος $t \geq 0$ με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού, φτάνουμε στο $P(s + t)$· αν διανυθεί με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, φτάνουμε στο $P(s - t)$.
2. Περιοδικότητα: μια πλήρης στροφή, με οποιαδήποτε φορά, διανύει το μήκος $2\pi$ του κύκλου και επιστρέφει στο σημείο εκκίνησης· δηλαδή $P(s + 2\pi) = P(s)$ για κάθε πραγματικό αριθμό $s$.
3. Μισή στροφή: η διαδρομή με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού περνά πρώτα από το άνω ημικύκλιο, από δεξιά προς τα αριστερά. Συγκεκριμένα, $P(\pi) = (-1, 0)$, και αν $0 \leq s < t \leq \pi$, τα σημεία $P(s)$ και $P(t)$ έχουν μη αρνητική τεταγμένη και η τετμημένη του $P(s)$ είναι μεγαλύτερη από εκείνη του $P(t)$.
4. Κάλυψη: κάθε σημείο του μοναδιαίου κύκλου είναι το $P(s)$ για κάποιον πραγματικό αριθμό $s$.

Το αξίωμα γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη για τον ίδιο λόγο με το γεγονός που προηγήθηκε: το μήκος ενός τόξου ορίζεται με ένα όριο, και οι ιδιότητές του αποδεικνύονται στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός II· η κάλυψη, που βεβαιώνει ότι διατρέχοντας τον κύκλο δεν παραλείπεται κανένα σημείο, στηρίζεται επιπλέον στην ιδιότητα της ενδιάμεσης τιμής των συνεχών συναρτήσεων, που αποδεικνύεται στον κύκλο μαθημάτων Λογισμός I. Η ιδιότητα της μισής στροφής έχει μια απλή γεωμετρική ανάγνωση. Αν το $(x, y)$ βρίσκεται στον μοναδιαίο κύκλο, το τετράγωνο της απόστασής του από το σημείο $A$ είναι το εξής:

Συνεπώς, το να πούμε ότι η τετμημένη φθίνει γνησίως κατά μήκος του άνω ημικυκλίου ισοδυναμεί με το να πούμε ότι η χορδή που ενώνει το $A$ με το σημείο της διαδρομής αυξάνει γνησίως μαζί με το τόξο, ώσπου να γίνει διάμετρος στο τέλος της μισής στροφής. Όταν, στο μάθημα για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, το συνημίτονο του $s$ οριστεί ως η τετμημένη του $P(s)$, η ιδιότητα αυτή θα πει ότι το συνημίτονο είναι γνησίως φθίνον στο $\icc{0}{\pi}$: αυτή η μονοτονία δεν συνάγεται, αλλά είναι η ίδια η πρόταση της μισής στροφής διαβασμένη σε συντεταγμένες. Ωστόσο, από αυτό το αξίωμα, από τα γεγονότα για τα μήκη και τα εμβαδά και από το γεγονός για τις ανακλάσεις που δεχόμαστε αμέσως μετά συνάγονται όλα τα υπόλοιπα που χρησιμοποιούνται για τη διαδρομή: σε αυτό το μάθημα, η συμπεριφορά της δεύτερης μισής στροφής και ότι μια στροφή δεν περνά δύο φορές από το ίδιο σημείο· στο μάθημα για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, η μονοτονία του ημιτόνου και της εφαπτομένης.

Γεγονός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη (ανακλάσεις και στροφή κατά μισή στροφή). Μια ανάκλαση ως προς μια ευθεία διατηρεί τις αποστάσεις και, μαζί τους, τα μήκη των τόξων, αλλά αντιστρέφει τη φορά περιστροφής: μετασχηματίζει μια διαδρομή με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού πάνω σε κύκλο με κέντρο ένα σημείο αυτής της ευθείας σε διαδρομή με τη φορά των δεικτών του ρολογιού του ίδιου μήκους, και αντίστροφα. Η στροφή κατά μισή στροφή γύρω από ένα σημείο, που είναι η σύνθεση των ανακλάσεων ως προς δύο κάθετες ευθείες που περνούν από αυτό, διατηρεί τις αποστάσεις, τα μήκη και επίσης τη φορά περιστροφής.

Το γεγονός αυτό ανήκει στη στοιχειώδη γεωμετρία των κινήσεων του επιπέδου, που αυτός ο κύκλος μαθημάτων δεν αναπτύσσει. Σε συντεταγμένες, η ανάκλαση ως προς τον άξονα $x$ είναι ο μετασχηματισμός $(x, y) \mapsto (x, -y)$· απεικονίζει τον μοναδιαίο κύκλο στον εαυτό του, επειδή $x^2 + (-y)^2 = x^2 + y^2$, και αφήνει σταθερό το σημείο $A = (1, 0)$. Με αυτήν, η δεύτερη μισή στροφή της διαδρομής προκύπτει από την πρώτη.

Έστω μια προσανατολισμένη γωνία με κορυφή το κέντρο $O$ του μοναδιαίου κύκλου, και έστω $A$ το σημείο όπου η αρχική πλευρά τέμνει αυτόν τον κύκλο. Όταν η πλευρά στρέφεται, το σημείο $A$ διατρέχει ένα τόξο του κύκλου, όπως στο αξίωμα που διατυπώθηκε παραπάνω. Το μέτρο σε ακτίνια της γωνίας είναι το μήκος αυτού του τόξου, με θετικό πρόσημο αν η στροφή έχει αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού και αρνητικό αν έχει τη φορά των δεικτών του ρολογιού· αν η στροφή κάνει πολλούς γύρους, κάθε πλήρης στροφή προσθέτει το μήκος $2\pi$ του κύκλου.

Μια γωνία μετρημένη σε ακτίνια είναι ένας πραγματικός αριθμός χωρίς μονάδες: είναι ο λόγος ενός μήκους τόξου προς το μήκος της ακτίνας, που ισούται με $1$. Γι’ αυτό γράφουμε απλώς $\theta = 2$ για μια γωνία δύο ακτινίων· όταν θέλουμε να τονίσουμε τη μονάδα, γράφουμε 2 rad. Αντίθετα, το μέτρο σε μοίρες δηλώνεται πάντα με το σύμβολό του, όπως στο $30^\circ$. Αντίστροφα, κάθε πραγματικός αριθμός είναι το μέτρο κάποιας προσανατολισμένης γωνίας: από το αξίωμα της διαδρομής, για κάθε $\theta$ το σημείο $A$ μπορεί να διατρέξει τον κύκλο σε μήκος $\abs{\theta}$ με τη φορά που δείχνει το πρόσημο του $\theta$, κάνοντας όσες πλήρεις στροφές χρειάζεται, και η ημιευθεία που πηγαίνει από την κορυφή στο σημείο όπου φτάσαμε είναι η τελική πλευρά.

Η μετατροπή ανάμεσα σε μοίρες και ακτίνια

Επειδή η πλήρης στροφή μετρά $360^\circ$ και επίσης $2\pi$ ακτίνια, και επειδή τα δύο μέτρα είναι ανάλογα του μήκους του τόξου στο οποίο βαίνει η γωνία στον μοναδιαίο κύκλο (το μέτρο σε μοίρες από τον ορισμό της μοίρας, και το μέτρο σε ακτίνια επειδή είναι αυτό το μήκος), τα δύο μέτρα μιας γωνίας είναι ανάλογα.

Στην πράξη, για να περάσουμε από μοίρες σε ακτίνια πολλαπλασιάζουμε με $\frac{\pi}{180}$, και για να περάσουμε από ακτίνια σε μοίρες, με $\frac{180}{\pi}$. Έτσι, $225^\circ = \frac{5\pi}{4}$, $-60^\circ = -\frac{\pi}{3}$ και $\frac{7\pi}{6} = 210^\circ$· η γωνία των $2$ ακτινίων μετρά $\frac{360}{\pi}$ μοίρες, περίπου 114,6 μοίρες.

Μήκος τόξου και εμβαδόν τομέα

Σε κύκλο ακτίνας $r$, μια επίκεντρη γωνία $\theta$ βαίνει σε ένα τόξο, και οι δύο πλευρές της γωνίας, μαζί με αυτό το τόξο, περικλείουν έναν κυκλικό τομέα. Το μέτρο σε ακτίνια δίνει στους τύπους του μια ιδιαίτερα απλή μορφή.

Αν η γωνία μετριόταν σε μοίρες, οι τύποι θα περιείχαν τον συντελεστή μετατροπής: το τόξο θα ήταν $\frac{\pi r g}{180}$ και το εμβαδόν του τομέα $\frac{\pi r^2 g}{360}$. Η απλότητα του $s = r\theta$ είναι ο κύριος λόγος για να προτιμάται το ακτίνιο. Επιπλέον, ο τύπος δίνει το μέτρο μιας γωνίας σε οποιονδήποτε κύκλο, όχι μόνο στον μοναδιαίο: το $\theta = \frac{s}{r}$ είναι ο λόγος του τόξου προς την ακτίνα, και δεν εξαρτάται από την ακτίνα που επιλέγεται.

Η εγγεγραμμένη γωνία

Μια γωνία με κορυφή το κέντρο ενός κύκλου λέγεται επίκεντρη γωνία. Αν τα $A$, $B$ και $C$ είναι τρία διαφορετικά σημεία ενός κύκλου, η γωνία που σχηματίζουν στο $C$ οι χορδές $CA$ και $CB$ λέγεται εγγεγραμμένη γωνία, και λέμε ότι βαίνει στο τόξο με άκρα τα $A$ και $B$ που δεν περιέχει το $C$. Από το θεώρημα που προηγήθηκε, σε ένα τόξο μήκους $s$ κύκλου ακτίνας $r$ αντιστοιχεί η επίκεντρη γωνία των $\frac{s}{r}$ ακτινίων, ακόμη κι αν ο αριθμός αυτός υπερβαίνει τον $\pi$. Για να συγκρίνουμε την εγγεγραμμένη γωνία με την επίκεντρη δεχόμαστε τα γεγονότα της στοιχειώδους γεωμετρίας που ακολουθούν, τα οποία αυτός ο κύκλος μαθημάτων δεν αποδεικνύει επειδή δεν αναπτύσσει τη συνθετική γεωμετρία. Τα δύο πρώτα μετρούν τις γωνίες ενός τριγώνου· τα δύο τελευταία είναι γεγονότα θέσης, που λένε πώς μοιράζονται οι γωνίες και τα τόξα όταν μια ημιευθεία περνά από το εσωτερικό μιας γωνίας.

Γεγονός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη (γωνίες του τριγώνου και θέσεις στον κύκλο). Δεχόμαστε τους τέσσερις ισχυρισμούς που ακολουθούν, στους οποίους οι μη προσανατολισμένες γωνίες μετρώνται σε ακτίνια, μεταξύ $0$ και $\pi$.

1. Άθροισμα των γωνιών: οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα μια ευθεία γωνία, δηλαδή $\pi$ ακτίνια.
2. Ισοσκελές τρίγωνο: σε ένα τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές, οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από αυτές τις πλευρές είναι ίσες.
3. Άθροισμα εφεξής γωνιών: αν μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή μιας γωνίας περνά από το εσωτερικό της, τη χωρίζει σε δύο γωνίες των οποίων τα μέτρα έχουν άθροισμα το μέτρο της δοσμένης γωνίας.
4. Θέση του κέντρου: έστω $A$, $B$ και $C$ τρία διαφορετικά σημεία ενός κύκλου με κέντρο $O$, και έστω $D$ το άλλο άκρο της διαμέτρου που ξεκινά από το $C$. Αν το $O$ δεν βρίσκεται ούτε στη χορδή $CA$ ούτε στη $CB$, συμβαίνει ένα από τα δύο. Είτε το $O$ βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας που σχηματίζουν στο $C$ αυτές οι χορδές, και τότε η ημιευθεία που πηγαίνει από το $C$ στο $D$ περνά από αυτό το εσωτερικό και το $D$ βρίσκεται στο τόξο με άκρα τα $A$ και $B$ που δεν περιέχει το $C$. Είτε το $O$ βρίσκεται έξω από αυτή τη γωνία, και τότε ένα από τα σημεία $A$ και $B$, που μπορεί να ονομαστεί $A$, βρίσκεται στο τόξο με άκρα τα $D$ και $B$ που δεν περιέχει το $C$, και η ημιευθεία που πηγαίνει από το $C$ στο $A$ περνά από το εσωτερικό της γωνίας που σχηματίζουν στο $C$ οι χορδές $CD$ και $CB$.

Τα σημεία που δεν βρίσκονται στον κύκλο βλέπουν τη χορδή υπό άλλες γωνίες. Το αποτέλεσμα που ακολουθεί το δεχόμαστε επίσης από τη στοιχειώδη γεωμετρία: προκύπτει από το θεώρημα που προηγήθηκε και από την πρόταση 21 του βιβλίου I των «Στοιχείων» του Ευκλείδη, σύμφωνα με την οποία ένα σημείο εσωτερικό ενός τριγώνου βλέπει μία από τις πλευρές του υπό γωνία μεγαλύτερη από ό,τι η απέναντι κορυφή· η απόδειξή του όμως απαιτεί να ξέρουμε πού τέμνουν τον κύκλο τα ευθύγραμμα τμήματα που ξεκινούν από το σημείο, ένα ζήτημα θέσης που αυτός ο κύκλος μαθημάτων δεν αναπτύσσει. Θα χρησιμοποιηθεί στο τελευταίο λυμένο πρόβλημα του μαθήματος για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Γεγονός που δεχόμαστε χωρίς απόδειξη (γωνίες από εσωτερικά και εξωτερικά σημεία). Έστω $A$ και $B$ δύο σημεία ενός κύκλου, και $\gamma$ το κοινό μέτρο των εγγεγραμμένων γωνιών με άκρα $A$ και $B$ των οποίων η κορυφή βρίσκεται σε ένα από τα δύο τόξα που αυτά ορίζουν. Αν το $Q$ είναι ένα σημείο που δεν βρίσκεται στον κύκλο, στο ίδιο μέρος της ευθείας $AB$ με εκείνο το τόξο, η γωνία που σχηματίζουν στο $Q$ τα ευθύγραμμα τμήματα $QA$ και $QB$ είναι μικρότερη από $\gamma$ αν το $Q$ είναι εξωτερικό του κυκλικού δίσκου, και μεγαλύτερη από $\gamma$ αν είναι εσωτερικό.

Κανονική θέση και γωνίες με κοινή τελική πλευρά

Στο καρτεσιανό επίπεδο, που μελετήθηκε στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα, κάθε γωνία έχει μια προνομιακή θέση.

Μια προσανατολισμένη γωνία βρίσκεται σε κανονική θέση αν η κορυφή της είναι η αρχή των αξόνων και η αρχική της πλευρά είναι ο θετικός ημιάξονας $x$. Η τελική της πλευρά είναι τότε η ημιευθεία που ξεκινά από την αρχή των αξόνων και περνά από το σημείο $P(\theta)$ του αξιώματος της διαδρομής, δηλαδή το σημείο του μοναδιαίου κύκλου $x^2 + y^2 = 1$ στο οποίο φτάνουμε διανύοντας, από το $(1, 0)$, ένα τόξο μήκους $\abs{\theta}$ με τη φορά που δείχνει το πρόσημο του $\theta$. Δύο γωνίες είναι γωνίες με κοινή τελική πλευρά αν, σε κανονική θέση, έχουν την ίδια τελική πλευρά.

Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερα τεταρτημόρια, αριθμημένα με αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού ξεκινώντας από εκείνο που περιέχει τα σημεία με θετικές συντεταγμένες. Μια γωνία σε κανονική θέση βρίσκεται στο τεταρτημόριο που περιέχει την τελική της πλευρά· αν αυτή πέφτει πάνω σε άξονα, η γωνία λέγεται γωνία πολλαπλάσια της ορθής. Οι συντεταγμένες του σημείου $P(\theta)$ είναι το συνημίτονο και το ημίτονο του $\theta$, που θα μελετηθούν στο μάθημα που ακολουθεί, για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Μια πλήρης στροφή, με οποιαδήποτε φορά, επαναφέρει την πλευρά στη θέση της, λόγω της περιοδικότητας της διαδρομής: η γωνία $\theta + 2\pi$ έχει κοινή τελική πλευρά με την $\theta$, και το ίδιο ισχύει για τις $\theta - 2\pi$, $\theta + 4\pi$ και, γενικά, $\theta + 2k\pi$ με $k$ ακέραιο. Για να μάθουμε πού καταλήγει μια οποιαδήποτε γωνία αρκεί, λοιπόν, να αφαιρέσουμε τις πλήρεις στροφές, όπως αφαιρούνται τα πολλαπλάσια του διαιρέτη στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τη διαιρετότητα και τη διαίρεση με υπόλοιπο. Το θεώρημα που ακολουθεί είναι η πραγματική εκδοχή εκείνης της διαίρεσης: ο διαιρέτης είναι το $2\pi$, το πηλίκο είναι ο αριθμός των στροφών και το υπόλοιπο η γωνία που απομένει.

Ο αριθμός $\theta_0$ λέγεται αναγωγή της $\theta$ στον πρώτο κύκλο. Σε μοίρες, ο ίδιος συλλογισμός, με $360$ στη θέση του $2\pi$, ανάγει οποιαδήποτε γωνία σε μια γωνία μεταξύ $0^\circ$ και $360^\circ$, χωρίς την τελευταία: για παράδειγμα, $1000^\circ = 280^\circ + 2 \cdot 360^\circ$. Με την αναγωγή αναγνωρίζονται όλες οι γωνίες που καταλήγουν στην ίδια πλευρά· πριν από αυτό χρειάζεται να ξέρουμε ότι μια στροφή δεν περνά δύο φορές από το ίδιο σημείο, πράγμα που συνάγεται από το αξίωμα της διαδρομής.

Από αυτό προκύπτει ότι οι γωνίες με κοινή τελική πλευρά με την $\theta$ είναι ακριβώς εκείνες της μορφής $\theta + 2k\pi$, με $k$ ακέραιο, και ότι το τεταρτημόριο μιας γωνίας το καθορίζει η αναγωγή της: βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο αν $0 < \theta_0 < \frac{\pi}{2}$, στο δεύτερο αν $\frac{\pi}{2} < \theta_0 < \pi$, στο τρίτο αν $\pi < \theta_0 < \frac{3\pi}{2}$ και στο τέταρτο αν $\frac{3\pi}{2} < \theta_0 < 2\pi$· είναι γωνία πολλαπλάσια της ορθής αν η $\theta_0$ είναι $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$ ή $\frac{3\pi}{2}$. Έτσι, η $-\frac{23\pi}{6}$ βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, και η $1000^\circ$, της οποίας η αναγωγή είναι $280^\circ$, στο τέταρτο.

Τέλος, κάθε σημείο του μοναδιαίου κύκλου είναι το σημείο $P(\theta)$ κάποιας γωνίας: αυτή είναι η ιδιότητα της κάλυψης του αξιώματος της διαδρομής, που λέει ότι διατρέχοντας τον κύκλο από το $(1, 0)$ περνάμε από όλα τα σημεία του. Αν είναι έτσι, από την αναγωγή στον πρώτο κύκλο, την περιοδικότητα και το λήμμα των γωνιών με κοινή τελική πλευρά, κάθε σημείο του μοναδιαίου κύκλου είναι το $P(\theta)$ για μία μόνο $\theta$ στο $\ico{0}{2\pi}$, και οι γωνίες που του αντιστοιχούν είναι ακριβώς εκείνες που έχουν κοινή τελική πλευρά με αυτή τη $\theta$.

Γωνιακή ταχύτητα και γραμμική ταχύτητα

Όταν ένα σώμα στρέφεται γύρω από έναν άξονα, όλα τα σημεία του διαγράφουν τόξα κύκλων με κέντρο πάνω στον άξονα, και όλα στρέφονται κατά την ίδια γωνία στον ίδιο χρόνο. Αν σε χρόνο $t$ το σώμα στρέφεται, με σταθερό ρυθμό, κατά γωνία $\theta$, η γωνιακή του ταχύτητα είναι ο λόγος $\omega = \frac{\theta}{t}$, που μετριέται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο· εκφράζεται επίσης σε στροφές ανά λεπτό, και επειδή μια στροφή είναι $2\pi$ ακτίνια και ένα λεπτό $60$ δευτερόλεπτα, μία στροφή ανά λεπτό ισοδυναμεί με $\frac{\pi}{30}$ ακτίνια ανά δευτερόλεπτο.

Ένα σημείο που απέχει $r$ από τον άξονα διανύει, σε αυτόν τον χρόνο, τόξο μήκους $s = r\theta$, από το θεώρημα του μήκους τόξου. Η γραμμική του ταχύτητα, ο λόγος της απόστασης που διανύθηκε προς τον χρόνο, είναι συνεπώς το γινόμενο της ακτίνας επί τη γωνιακή ταχύτητα:

Από αυτό προκύπτει ότι, σε ένα σώμα που στρέφεται, η γωνιακή ταχύτητα είναι η ίδια για όλα τα σημεία, ενώ η γραμμική αυξάνει αναλογικά με την απόσταση από τον άξονα: το χείλος ενός δίσκου που γυρίζει κινείται πιο γρήγορα από τα σημεία κοντά στο κέντρο. Αυτή η σχέση, που ισχύει μόνο αν οι γωνίες μετρώνται σε ακτίνια, είναι το σημείο εκκίνησης της μελέτης της κυκλικής κίνησης στον κύκλο μαθημάτων Βασικές αρχές της μηχανικής. Δύο τροχοί που συνδέονται με ιμάντα ή με αλυσίδα που δεν γλιστρά, ή που εμπλέκονται μεταξύ τους, έχουν στο σημείο επαφής την ίδια γραμμική ταχύτητα· συνεπώς, $\omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$, και ο μικρότερος τροχός γυρίζει πιο γρήγορα, όπως θα φανεί στο λυμένο πρόβλημα 3.

Λυμένα προβλήματα

Τα προβλήματα μετρούν τη Γη από μια γωνία, υπολογίζουν το εμβαδόν ενός κυκλικού τμήματος, μεταδίδουν μια στροφή μέσω αλυσίδας, αναζητούν τον τομέα με το μεγαλύτερο εμβαδόν για δοσμένη περίμετρο και μετρούν τις συμπτώσεις των δεικτών ενός ρολογιού. Καθένα απαιτεί μια δική του ιδέα, που αξίζει να αναζητηθεί πριν διαβαστεί η λύση.

Ο Ερατοσθένης εξέφρασε την απόσταση σε στάδια, των οποίων η ακριβής τιμή συζητείται· με τον αριθμό που υιοθετήθηκε εδώ, ο μεσημβρινός έχει μήκος 40000 km, και όχι τυχαία: στα τέλη του 18ου αιώνα το μέτρο ορίστηκε ως το ένα δεκάκις εκατομμυριοστό του τεταρτημορίου του μεσημβρινού. Από την άλλη πλευρά, η Αλεξάνδρεια δεν βρίσκεται ακριβώς βόρεια της Συήνης, αλλά περίπου τρεις μοίρες δυτικότερα, οπότε το τόξο που τις ενώνει δεν είναι εντελώς τόξο μεσημβρινού.