Πρόγραμμα σπουδών της Άλγεβρας και γεωμετρίας II

Σκοπός και σε ποιους απευθύνεται

Ο κύκλος αυτός είναι το δεύτερο μισό μιας διαδρομής που αρχίζει με τον κύκλο Άλγεβρα και γεωμετρία I: αριθμοί, συναρτήσεις και γεωμετρία του επιπέδου. Ο πρώτος κύκλος μαθημάτων κατασκεύασε, ξεκινώντας από τα αξιώματα του Πεάνο, τα αριθμητικά συστήματα έως τους μιγαδικούς σε αλγεβρική μορφή, την άλγεβρα των πολυωνύμων, τις πραγματικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις, την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου με τα διανύσματα και τις κωνικές τομές της, και την εκθετική, τη λογαριθμική και τις υπερβολικές συναρτήσεις. Ο δεύτερος κύκλος μαθημάτων παίρνει αυτά τα αντικείμενα και τα οδηγεί σε τρία νέα πεδία: την τριγωνομετρία, που μετρά γωνίες και μετατρέπει τις στροφές σε λογισμό· τους μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή, όπου αυτός ο λογισμός γίνεται πολλαπλασιασμός· και τους πίνακες, που οργανώνουν τα γραμμικά συστήματα και τους μετασχηματισμούς και που, μαζί με τα διανύσματα, στηρίζουν την αναλυτική γεωμετρία του χώρου με την οποία κλείνει ο κύκλος.

Ο σκοπός του είναι ο ίδιος με εκείνον του πρώτου κύκλου μαθημάτων: όχι μόνο να διδάξει πώς γίνονται οι υπολογισμοί, αλλά να δείξει από πού προέρχεται κάθε υπολογισμός. Κάθε αποτέλεσμα που χρησιμοποιείται διατυπώνεται και αποδεικνύεται, ή δηλώνεται ρητά ότι γίνεται δεκτό όταν η απόδειξή του ανήκει σε άλλον κύκλο· έτσι συμβαίνει, για παράδειγμα, με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας ή με τις ιδιότητες του μήκους τόξου, που απαιτούν τον απειροστικό λογισμό.

Απευθύνεται σε όποιον έχει ολοκληρώσει τον πρώτο κύκλο μαθημάτων ή κατέχει με άλλον τρόπο τα περιεχόμενά του: σε μαθητές των τελευταίων τάξεων της σχολικής εκπαίδευσης που προετοιμάζουν την εισαγωγή τους στο πανεπιστήμιο, σε φοιτητές του πρώτου πανεπιστημιακού έτους στις θετικές επιστήμες, στη μηχανική, στα οικονομικά ή στην παιδαγωγική των μαθηματικών, και σε όποιον θέλει να ανασυνθέσει με αυστηρότητα ένα μαθηματικό οικοδόμημα που έμαθε ως σύνολο συνταγών. Αν αυτό ισχύει, ο κύκλος θεωρεί γνωστά την πληρότητα των πραγματικών αριθμών, τη μελέτη των συναρτήσεων με τις αντίστροφές τους και τους μετασχηματισμούς των γραφικών τους παραστάσεων, την ευθεία, τα διανύσματα και το εσωτερικό γινόμενο του επιπέδου, τις κωνικές τομές, την εκθετική συνάρτηση και τον λογάριθμο, και την αριθμητική των μιγαδικών σε αλγεβρική μορφή. Όποιος αμφιβάλλει για κάποιο από αυτά τα σημεία μπορεί να επιστρέψει στη σύνθεση της αντίστοιχης ενότητας του πρώτου κύκλου μαθημάτων και να λύσει τις προκλήσεις της πριν αρχίσει.

Ωστόσο, ο κύκλος κατέχει επίσης μια μεταβατική θέση. Είναι προαπαιτούμενος για τον κύκλο Λογισμός I: διαφορικός λογισμός, που παραγωγίζει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με αφετηρία την ανισότητα $\sin x < x < \tan x$, η οποία αποδεικνύεται στην ενότητα 1, και που ανοίγει με τη σειρά του τους κύκλους Βασικές αρχές της μηχανικής και Λογισμός II: ολοκληρωτικός λογισμός, όπου επανεμφανίζονται η κυκλική κίνηση, οι τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις και τα εμβαδά σε πολικές συντεταγμένες.

Γενικοί μαθησιακοί στόχοι

Οι στόχοι που ακολουθούν περιγράφουν τι πρέπει να μπορεί να κάνει ένας φοιτητής που ολοκληρώνει τον κύκλο. Ο καθένας διατυπώνεται ως παρατηρήσιμη επίδοση, ώστε να μπορεί να ελεγχθεί με μια συγκεκριμένη εργασία· κάθε μάθημα δηλώνει, με τη σειρά του, τους δικούς του στόχους, και το μάθημα ολοκλήρωσης δείχνει, μάθημα προς μάθημα, σε ποιον από αυτούς τους επτά αντιστοιχίστηκε το καθένα. Οι στόχοι αριθμούνται ώστε να μπορούν να αναφέρονται σε εκείνο το μάθημα.

1. Στόχος 1. Να αποδεικνύει προτάσεις της τριγωνομετρίας, της άλγεβρας των μιγαδικών και των πινάκων και της αναλυτικής γεωμετρίας με ρητό παραγωγικό συλλογισμό, χρησιμοποιώντας την ευθεία απόδειξη, την αντιθετοαντιστροφή, την απαγωγή σε άτοπο και την επαγωγή, και να διακρίνει σε κάθε απόδειξη όσα συνάγονται από όσα γίνονται δεκτά.
2. Στόχος 2. Να εφαρμόζει την τριγωνομετρία στη μέτρηση γωνιών και τριγώνων, να μελετά τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις αντίστροφές τους, να αποδεικνύει ταυτότητες, να επιλύει τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις δίνοντας τη γενική λύση τους και να περιγράφει καμπύλες σε πολικές συντεταγμένες.
3. Στόχος 3. Να μελετά τη γεωμετρία του επιπέδου με τα εργαλεία του κύκλου: να υπολογίζει γωνίες ευθειών, να απαλείφει με στροφή αξόνων τον μικτό όρο μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού και να ταξινομεί την κωνική τομή που αυτή ορίζει, και να εκφράζει στροφές, ομοιοθεσίες, ανακλάσεις και προβολές μέσω της τριγωνομετρίας, των μιγαδικών αριθμών και των πινάκων.
4. Στόχος 4. Να εκτελεί πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς σε πολική και εκθετική μορφή, να υπολογίζει τις δυνάμεις και τις ρίζες τους, να ερμηνεύει γεωμετρικά τις πράξεις τους και να επιλύει πολυωνυμικές εξισώσεις στο σώμα των μιγαδικών αριθμών.
5. Στόχος 5. Να επιλύει συστήματα γραμμικών εξισώσεων με πίνακες, μέσω της μεθόδου Γκάους-Ζορντάν, της βαθμίδας, των οριζουσών και του αντίστροφου πίνακα, και να αναγνωρίζει στα αριθμητικά συστήματα, στα πολυώνυμα, στους πίνακες και στα υπόλοιπα κατά μέτρο $n$ τις δομές της ομάδας, του δακτυλίου και του σώματος.
6. Στόχος 6. Να παριστάνει σημεία, διανύσματα, ευθείες και επίπεδα του χώρου με συντεταγμένες και εξισώσεις, να εκτελεί πράξεις με το εσωτερικό, το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο και να υπολογίζει με αυτά γωνίες, αποστάσεις, εμβαδά και όγκους, αποφασίζοντας τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων μέσω γραμμικών συστημάτων.
7. Στόχος 7. Να μοντελοποιεί μαθηματικά καταστάσεις της επιστήμης, της τεχνικής και της καθημερινής ζωής με τα εργαλεία του κύκλου, και να επικοινωνεί γραπτώς τις διατυπώσεις, τους υπολογισμούς και τις αποδείξεις με σωστό συμβολισμό, πλήρη επιχειρηματολογία και έλεγχο της αληθοφάνειας των αποτελεσμάτων.

Οι στόχοι 2 έως 6 αντιστοιχούν, κατά βάση, στα μεγάλα θέματα του κύκλου: ο 2 στις ενότητες 1 και 2, ο 4 στην ενότητα 3, ο 5 στην ενότητα 4 και ο 6 στην ενότητα 5, ενώ ο 3 συγκεντρώνει ένα νήμα που διατρέχει τις ενότητες 1 έως 4, τη γεωμετρία του επιπέδου ιδωμένη διαδοχικά με ημίτονα και συνημίτονα, με μιγαδικούς και με πίνακες. Ο πρώτος και ο έβδομος, αντίθετα, είναι εγκάρσιοι: δεν ανήκουν σε μία ενότητα, αλλά ασκούνται σε όλες. Από αυτό προκύπτει ότι η επίτευξή τους δεν μπορεί να αποδοθεί σε ένα ορισμένο μάθημα, και ότι αξίζει να καλλιεργούνται σε όλη τη διάρκεια του κύκλου. Ωστόσο, και οι δύο έχουν επίσης μαθήματα που τους υπηρετούν κατά κύριο λόγο: ο πρώτος, τις συνθέσεις, των οποίων το κεντρικό μέρος ανασυνθέτει την αποδεικτική αλυσίδα κάθε ενότητας· ο έβδομος, τα μαθήματα στα οποία η διατύπωση προβλημάτων είναι η ίδια η ύλη, εκείνο για τη γωνία δύο ευθειών και τις εφαρμογές της και εκείνο για τα γραμμικά συστήματα.

Περιεχόμενα

Ο κύκλος οργανώνεται σε επτά ενότητες. Η πρώτη και η τελευταία πλαισιώνουν τη διαδρομή· οι πέντε ενδιάμεσες αναπτύσσουν τα περιεχόμενα. Καθεμιά από αυτές ανοίγει με ένα εισαγωγικό μάθημα, που παρουσιάζει τα μαθήματά της, το ιστορικό υπόβαθρο των ιδεών της, το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκαν και τη σημασία τους, και κλείνει με ένα μάθημα σύνθεσης, που ανασυνθέτει την αποδεικτική αλυσίδα της ενότητας, τη συνδέει με τον υπόλοιπο κύκλο και με τον πρώτο κύκλο μαθημάτων και προτείνει δέκα προκλήσεις μεγαλύτερης δυσκολίας από τα προβλήματα των μαθημάτων.

Ενότητα 0. Παρουσίαση του μαθήματος

Αποτελείται από αυτό το μάθημα, που ορίζει τον σκοπό, τους γενικούς στόχους, τα περιεχόμενα, τον φόρτο εργασίας και τον σχεδιασμό του κύκλου.

Ενότητα 1. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις και πολικές συντεταγμένες

Σκοπός της είναι να ορίσει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις στον μοναδιαίο κύκλο, να μελετήσει τις γραφικές τους παραστάσεις και τις αντίστροφές τους, να επιλύσει τρίγωνα και να περιγράψει καμπύλες σε πολικές συντεταγμένες.

1. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις και πολικές συντεταγμένες: εισαγωγή.
2. Γωνίες και η μέτρησή τους: μοίρες και ακτίνια.
3. Τριγωνομετρικοί αριθμοί και ο μοναδιαίος κύκλος.
4. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι γραφικές τους παραστάσεις.
5. Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
6. Επίλυση τριγώνων: νόμος των ημιτόνων και νόμος των συνημιτόνων.
7. Πολικές συντεταγμένες και πολικές καμπύλες.
8. Τριγωνομετρία και πολικές συντεταγμένες: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 2. Αναλυτική τριγωνομετρία

Σκοπός της είναι να μετατρέψει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε αλγεβρικό λογισμό, με ταυτότητες, τύπους πρόσθεσης, εξισώσεις και ανισώσεις, και να τον εφαρμόσει στις γωνίες μεταξύ ευθειών και στις κωνικές τομές με πλάγιους άξονες.

1. Αναλυτική τριγωνομετρία: εισαγωγή.
2. Θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες.
3. Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.
4. Μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα και η αρμονική μορφή.
5. Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις.
6. Η γωνία δύο ευθειών και εφαρμογές της τριγωνομετρίας.
7. Στροφή αξόνων και η γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού.
8. Αναλυτική τριγωνομετρία: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 3. Μιγαδικοί αριθμοί σε πολική μορφή

Σκοπός της είναι να περιγράψει κάθε μιγαδικό με το μέτρο και το όρισμά του, ώστε το γινόμενο να διαβάζεται ως στροφή και ομοιοθεσία, οι δυνάμεις ως πολλαπλάσια μιας γωνίας και οι ρίζες ως κανονικά πολύγωνα, και να επιλύσει με αυτά τις πολυωνυμικές εξισώσεις. Επανέρχεται στους μιγαδικούς σε αλγεβρική μορφή που κατασκευάστηκαν στην ενότητα 2 του πρώτου κύκλου μαθημάτων.

1. Μιγαδικοί αριθμοί σε πολική μορφή: εισαγωγή.
2. Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών.
3. Ο τύπος του Ντε Μουάβρ και οι δυνάμεις μιγαδικών.
4. Νιοστές ρίζες μιγαδικού και ρίζες της μονάδας.
5. Η μιγαδική εκθετική συνάρτηση και ο τύπος του Όιλερ.
6. Γεωμετρία με μιγαδικούς αριθμούς.
7. Πολυωνυμικές εξισώσεις στους μιγαδικούς: Καρντάνο και Φεράρι.
8. Μιγαδικοί αριθμοί σε πολική μορφή: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 4. Πίνακες και αλγεβρικές δομές

Σκοπός της είναι να κάνει τον πίνακα των συντελεστών ενός γραμμικού συστήματος αντικείμενο με δικές του πράξεις, να επιλύσει με αυτόν τα συστήματα, να διαβάσει τους πίνακες ως μετασχηματισμούς και να συμπυκνώσει όσα είναι κοινά στους υπολογισμούς των δύο κύκλων στις έννοιες της ομάδας, του δακτυλίου και του σώματος.

1. Πίνακες και αλγεβρικές δομές: εισαγωγή.
2. Πίνακες και πράξεις με πίνακες.
3. Γραμμικά συστήματα και η μέθοδος Γκάους-Ζορντάν.
4. Ορίζουσες: ιδιότητες και κανόνας του Κράμερ.
5. Ο αντίστροφος πίνακας.
6. Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου.
7. Οι μιγαδικοί αριθμοί ως πίνακες.
8. Αλγεβρικές δομές: ομάδες, δακτύλιοι και σώματα.
9. Πίνακες και αλγεβρικές δομές: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 5. Αναλυτική γεωμετρία του χώρου

Σκοπός της είναι να επεκτείνει στον χώρο την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου που μελετήθηκε στην ενότητα 4 του πρώτου κύκλου μαθημάτων: να περιγράψει σημεία και διανύσματα με τρεις συντεταγμένες, με αφετηρία έναν ρητό κατάλογο γεγονότων της ευκλείδειας γεωμετρίας του χώρου που δεχόμαστε· να μετρήσει μήκη και γωνίες με το εσωτερικό γινόμενο, αποδεικνύοντας ότι η γωνία που ορίζεται έτσι είναι εκείνη της στοιχειώδους γεωμετρίας· να αντλήσει από την ορίζουσα τρίτης τάξης το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο, με την ερμηνεία τους ως εμβαδού, ως όγκου και ως κριτηρίου συνεπιπεδότητας· να γράψει ευθείες και επίπεδα με εξισώσεις και να αποφασίσει τις σχετικές τους θέσεις με τη βαθμίδα και το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους της ενότητας 4· και να υπολογίσει αποστάσεις, γωνίες, προβολές και την κοινή κάθετο δύο ασύμβατων ευθειών, με εφαρμογές στη μηχανική, στην κρυσταλλογραφία, στην αεροναυτιλία και στον δορυφορικό εντοπισμό θέσης. Η ενότητα μελετά τη σφαίρα, αλλά όχι τις άλλες δευτεροβάθμιες επιφάνειες (ελλειψοειδή, παραβολοειδή, υπερβολοειδή, κώνους και κυλίνδρους δευτέρου βαθμού), που δεν εξετάζονται σε αυτόν τον κύκλο· στη σημερινή οργάνωση του ιστότοπου, η μελέτη τους ανήκει στον Λογισμός III.

1. Αναλυτική γεωμετρία του χώρου: εισαγωγή.
2. Διανύσματα στον χώρο και εσωτερικό γινόμενο.
3. Εξωτερικό γινόμενο και μικτό γινόμενο.
4. Ευθείες και επίπεδα στον χώρο.
5. Αποστάσεις, γωνίες και όγκοι στον χώρο.
6. Αναλυτική γεωμετρία του χώρου: σύνθεση και προκλήσεις.

Ενότητα 6. Ολοκλήρωση του μαθήματος

Αποτελείται από το μάθημα Τελικός απολογισμός της Άλγεβρας και γεωμετρίας II, που υπενθυμίζει τους επτά γενικούς στόχους και δείχνει, σε ένα σχήμα, σε ποιον από αυτούς αντιστοιχίστηκε κάθε μάθημα του κύκλου και ποιους ειδικούς στόχους πέτυχε κάθε ενότητα, και συγκεντρώνει ανά στόχο την πρώτη προσπάθεια των τελικών αξιολογήσεων.

Φόρτος εργασίας και πιστωτικές μονάδες

Ο φόρτος ενός κύκλου δεν μετριέται με τις ώρες παράδοσης, που σε έναν ασύγχρονο κύκλο δεν υπάρχουν, αλλά με τη συνολική εργασία του φοιτητή: ανάγνωση, παρακολούθηση των αποδείξεων, επίλυση προβλημάτων και επανάληψη. Η εκτίμηση λογαριάζει τον χρόνο ανάγνωσης του κειμένου κάθε μαθήματος, είκοσι λεπτά ανά λυμένο πρόβλημα, τριάντα πέντε ανά προτεινόμενο πρόβλημα, σαράντα πέντε ανά πρόκληση και δώδεκα ανά αρχική ή τελική αξιολόγηση, και προσθέτει ένα περιθώριο ενός δεκάτου για την επανάληψη.

Αποτελέσματα

Τα μαθήματα των ενοτήτων 1 έως 5 περιέχουν συνολικά $145$ λυμένα προβλήματα, $145$ προτεινόμενα προβλήματα και $50$ προκλήσεις. Ο εκτιμώμενος φόρτος ανά ενότητα, στρογγυλεμένος στην ώρα, είναι ο εξής:

• Ενότητα 0, παρουσίαση του μαθήματος: $1$ ώρα.
• Ενότητα 1, τριγωνομετρικές συναρτήσεις και πολικές συντεταγμένες: $46$ ώρες.
• Ενότητα 2, αναλυτική τριγωνομετρία: $46$ ώρες.
• Ενότητα 3, μιγαδικοί αριθμοί σε πολική μορφή: $46$ ώρες.
• Ενότητα 4, πίνακες και αλγεβρικές δομές: $54$ ώρες.
• Ενότητα 5, αναλυτική γεωμετρία του χώρου: $36$ ώρες.
• Ενότητα 6, ολοκλήρωση του μαθήματος: λιγότερο από μία ώρα.

Η ενότητα 5 είναι η συντομότερη σε αριθμό μαθημάτων, αλλά τα τέσσερα μαθήματα περιεχομένου της είναι από τα εκτενέστερα του κύκλου. Το σύνολο είναι περίπου $230$ ώρες εργασίας του φοιτητή. Τον αριθμό αυτόν πρέπει να τον διαβάζει κανείς ως αυτό που είναι: μια εκτίμηση για έναν φοιτητή που μελετά όλες τις αποδείξεις και λύνει όλα τα προβλήματα και τις προκλήσεις. Όποιος κατέχει ήδη μέρος των περιεχομένων, ή περιορίζεται στα προτεινόμενα προβλήματα χωρίς να καταπιάνεται με τις προκλήσεις, θα χρειαστεί αρκετά λιγότερο· όποιος μελετά το θέμα για πρώτη φορά και χωρίς συνήθεια στις αποδείξεις μπορεί να χρειαστεί περισσότερο.

Ωστόσο, ο αριθμός των $230$ ωρών είναι ονομαστικός: είναι αυτός που καθορίζει τις πιστωτικές μονάδες του κύκλου, και προϋποθέτει ανάγνωση του κειμένου με σταθερό ρυθμό και τρία τέταρτα της ώρας ανά πρόκληση. Όσο δεν έχει μετρηθεί με πραγματικούς φοιτητές, αξίζει να συνοδεύεται από ένα ρεαλιστικό εύρος. Αν η ανάγνωση προχωρούσε με τον μισό από τον υποτιθέμενο ρυθμό, όπως συμβαίνει όταν κάθε απόδειξη ξαναγράφεται με χαρτί και μολύβι, και κάθε πρόκληση απαιτούσε εβδομήντα πέντε λεπτά αντί για σαράντα πέντε, η ίδια μέθοδος θα έδινε περίπου $298$ ώρες. Άρα ο αναμενόμενος φόρτος βρίσκεται μεταξύ περίπου $230$ και περίπου $300$ ωρών. Το ανώτερο άκρο είναι ένα συνετό φράγμα, όχι μέτρηση· το εύρος θα διορθωθεί όταν γίνει γνωστός ο χρόνος που αφιερώνουν όσοι μελετούν τον κύκλο, και ως τότε οι πιστωτικές μονάδες υπολογίζονται με τον ονομαστικό αριθμό.

Προτεινόμενος ρυθμός

Για να ονομάσουν τους ρυθμούς, αυτό το πρόγραμμα και εκείνο του πρώτου κύκλου μαθημάτων χρησιμοποιούν το ίδιο κριτήριο: η πλήρης φοίτηση είναι ένα ακαδημαϊκό έτος $60$ πιστωτικών μονάδων, περίπου $1650$ ώρες μοιρασμένες σε περίπου σαράντα εβδομάδες, δηλαδή περίπου $40$ ώρες την εβδομάδα, και η μερική φοίτηση είναι το μισό, περίπου $20$ ώρες την εβδομάδα. Από αυτό προκύπτει ένας προτεινόμενος ρυθμός ενός εξαμήνου δεκαέξι εβδομάδων, με περίπου $14$ ώρες μελέτης την εβδομάδα, λίγο περισσότερο από το ένα τρίτο της πλήρους φοίτησης και, συνεπώς, λιγότερο από τη μερική φοίτηση· με το ρεαλιστικό εύρος, από $14$ έως $19$ ώρες την εβδομάδα, πλησιάζει τη μερική φοίτηση χωρίς να τη φτάνει. Έτσι, ο πρώτος και ο δεύτερος κύκλος μαθημάτων καταλαμβάνουν δύο διαδοχικά εξάμηνα. Ένας πιο άνετος ρυθμός, περίπου $7$ ωρών την εβδομάδα, απλώνει τον κύκλο σε δύο εξάμηνα· ένας εντατικός, περίπου $29$ ωρών την εβδομάδα, λίγο λιγότερο από τα τρία τέταρτα της πλήρους φοίτησης, τον ολοκληρώνει σε οκτώ εβδομάδες, πράγμα που ισοδυναμεί με τον φόρτο ενός φοιτητή που δεν παρακολουθεί κανένα άλλο απαιτητικό μάθημα την ίδια περίοδο.

Πιστωτικές μονάδες

Οι πιστωτικές μονάδες αυτού του ιστότοπου μετρούν τον συνολικό φόρτο εργασίας που απαιτεί ένας κύκλος από όποιον τον μελετά (την ανάγνωση, τα προβλήματα, τις προκλήσεις και την επανάληψη), και όχι τις ώρες διδασκαλίας. Μία πιστωτική μονάδα αντιστοιχεί σε περίπου $27{,}5$ ώρες εργασίας, και ένα έτος πλήρους φοίτησης σε $60$ πιστωτικές μονάδες, δηλαδή σε περίπου $1650$ ώρες· είναι το ίδιο κριτήριο με το οποίο η παραπάνω παράγραφος ονομάζει τους ρυθμούς μελέτης.

Ωστόσο, αν διαιρέσουμε τις $230$ εκτιμώμενες ώρες με $27{,}5$, προκύπτει 8,4, που στρογγυλεύεται σε $8$. Αν δεχτούμε για την πιστωτική μονάδα ένα εύρος από $25$ έως $30$ ώρες εργασίας, ο αριθμός $C$ των πιστωτικών μονάδων του κύκλου φράσσεται μεταξύ 7,7 και 9,2:

Άρα ο κύκλος έχει $8$ πιστωτικές μονάδες, λίγο περισσότερο από το ένα όγδοο ενός έτους πλήρους φοίτησης. Όποιος επιθυμεί να μελετήσει μόνο ένα μέρος του κύκλου μπορεί να χρησιμοποιήσει τον κατάλογο των ωρών ανά ενότητα: οι ενότητες 0 έως 4, για παράδειγμα, αθροίζουν περίπου $193$ ώρες, δηλαδή περίπου $7$ πιστωτικές μονάδες.

Η χρησιμότητά τους είναι πρακτική: επιτρέπουν να συγκρίνει κανείς μεταξύ τους τον φόρτο των κύκλων του ιστότοπου και να αποφασίσει πόσους συμφέρει να μελετά ταυτόχρονα χωρίς να υπερβαίνει τον διαθέσιμο χρόνο. Με μερική φοίτηση επί ένα εξάμηνο δεκαέξι εβδομάδων, δηλαδή με περίπου $320$ ώρες, μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να αναλάβει κύκλους που αθροίζουν περίπου $12$ πιστωτικές μονάδες· με πλήρη φοίτηση στο ίδιο εξάμηνο, περίπου $23$.

Αυτές οι πιστωτικές μονάδες είναι ένα μέτρο του ίδιου του ιστότοπου για τον προγραμματισμό της μελέτης: δεν αντιστοιχούν σε κανένα επίσημο σύστημα πιστωτικών μονάδων ούτε συνεπάγονται ακαδημαϊκή αναγνώριση από κανένα ίδρυμα.

Σχεδιασμός του κύκλου

Μορφή

Ο κύκλος είναι ασύγχρονος, διαδικτυακός και με αυτόνομο ρυθμό: δεν έχει ημερομηνίες, ζωντανές συνεδρίες ούτε προθεσμίες, και κάθε φοιτητής προχωρά με την ταχύτητα που του επιτρέπουν η προετοιμασία και ο χρόνος του. Προσφέρεται στις δεκατέσσερις γλώσσες του ιστότοπου, με τα ίδια μαθηματικά σε όλες: οι τύποι και τα βήματα των αποδείξεων είναι ίδια σε κάθε έκδοση, και μεταφράζεται μόνο το κείμενο. Τα μαθήματα δηλώνουν ποια άλλα μαθήματα καλό είναι να έχουν μελετηθεί πριν, και εκείνα του πρώτου κύκλου μαθημάτων από τα οποία εξαρτώνται, ώστε η προτεινόμενη σειρά να είναι ρητή και να μπορεί να επαληθευτεί.

Η δομή ενός μαθήματος

Όλα τα θεματικά μαθήματα ακολουθούν την ίδια δομή. Αρχίζουν με μια περίληψη και με έναν κατάλογο δικών τους μαθησιακών στόχων, διατυπωμένων ως παρατηρήσιμες επιδόσεις. Ακολουθεί η θεωρία, με τους ορισμούς, τα θεωρήματα διατυπωμένα με ακρίβεια και τις αποδείξεις τους, καθώς και τα παραδείγματα. Οι αποδείξεις και τα παραδείγματα παρουσιάζονται ως αναπαραγωγοί βημάτων: κάθε βήμα γράφει μια γραμμή του συλλογισμού, φωτίζει τους όρους που συμμετέχουν και, όταν στηρίζεται σε προγενέστερο αποτέλεσμα, επιστρέφει σε αυτό και το φωτίζει όσο διαβάζεται, ώστε η μνήμη του συλλογισμού να μένει ορατή· πολλά συνοδεύονται από ένα σχήμα που αλλάζει σε κάθε βήμα. Το μάθημα κλείνει με πέντε λυμένα προβλήματα, με τη λύση τους βήμα προς βήμα, και πέντε προτεινόμενα προβλήματα, το καθένα με μια διπλωμένη υπόδειξη και, μετά, την τελική απάντηση, ώστε ο φοιτητής να ελέγχει το αποτέλεσμά του χωρίς να του αποκαλύπτεται ο δρόμος· τα προτεινόμενα προβλήματα απόδειξης προσθέτουν, διπλωμένη μετά την απάντηση, μια αναλυτική λύση, που αξίζει να ανοίγεται μόνο αφού έχει συνταχθεί η δική του.

Τα εισαγωγικά μαθήματα και τα μαθήματα σύνθεσης έχουν δική τους δομή. Η εισαγωγή παρουσιάζει την ενότητα, την ιστορία της, το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκε και τη σημασία της· η σύνθεση ανασυνθέτει σε ένα σχήμα την αποδεικτική αλυσίδα της ενότητας, με τα αποτελέσματα που επαναχρησιμοποιεί και τους κρίκους που αποδεικνύει, τη συνδέει με τις ενότητες που προηγούνται και με τον πρώτο κύκλο μαθημάτων, και προτείνει δέκα προκλήσεις, την καθεμιά με υπόδειξη, τελική απάντηση και μια διπλωμένη αναλυτική λύση, που συνδυάζουν διάφορα μαθήματα και απαιτούν περισσότερη επινοητικότητα από τα προτεινόμενα προβλήματα.

Ο αναγνώστης φωνής

Κάθε μάθημα μπορεί να ακουστεί φωναχτά με τον αναγνώστη του ιστότοπου, που χρησιμοποιεί τις φωνές της ίδιας της συσκευής: το κείμενο διαβάζεται όπως είναι γραμμένο και οι τύποι προφέρονται με λέξεις. Αυτό επιτρέπει να γίνεται επανάληψη ενός μαθήματος μακριά από την οθόνη, να παρακολουθείται μια απόδειξη ακούγοντάς την ενώ κανείς κοιτάζει τον αναπαραγωγό βημάτων, και να μελετά κανείς με προβλήματα όρασης.

Αξιολόγηση

Ο κύκλος δεν βαθμολογεί ούτε πιστοποιεί: η αξιολόγησή του στον ιστότοπο είναι διαμορφωτική. Τα προτεινόμενα προβλήματα επιτρέπουν να ελεγχθεί η επίτευξη των στόχων κάθε μαθήματος, και οι προκλήσεις, η επίτευξη των στόχων κάθε ενότητας. Καθεμιά από τις πέντε ενότητες έχει, επιπλέον, μια αρχική αξιολόγηση στην εισαγωγή της και μια τελική στη σύνθεσή της, πριν από τις προκλήσεις: σύντομες αυτοαξιολογήσεις, που διορθώνονται στον φυλλομετρητή χωρίς βαθμολογία· η αρχική έχει εννέα ή δέκα ερωτήσεις για την ενότητα, συν δύο έως έξι για όσα η ενότητα θεωρεί γνωστά από τις ενότητες που προηγούνται ή από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων, και η τελική, έντεκα ή δώδεκα· και οι δύο υποδεικνύουν ποιο μάθημα αξίζει να επαναληφθεί για κάθε λάθος και συγκρίνονται μεταξύ τους για να φανεί η πρόοδος. Ο τελικός απολογισμός συγκεντρώνει την πρώτη προσπάθεια κάθε τελικής αξιολόγησης σε ένα προφίλ ανά γενικό στόχο, που φυλάσσεται, όπως κι εκείνες, μόνο στον φυλλομετρητή του φοιτητή. Η επικύρωση των δεξιοτήτων, με αξία πιστοποίησης, θα γίνει αργότερα και εκτός αυτού του ιστότοπου, σε άλλη πλατφόρμα.

Για τους γενικούς στόχους προτείνονται, επιπλέον, τα ακόλουθα τεκμήρια επίτευξης, που κάθε φοιτητής μπορεί να παραγάγει μόνος του:

• Στόχος 1: να συντάξει, χωρίς να συμβουλευτεί το μάθημα, την απόδειξη ενός θεωρήματος του κύκλου, όπως ο νόμος των συνημιτόνων, ο τύπος του Ντε Μουάβρ ή η μοναδικότητα του αντίστροφου πίνακα.
• Στόχος 2: να αποδείξει μια μη τετριμμένη τριγωνομετρική ταυτότητα και να λύσει μια τριγωνομετρική εξίσωση δίνοντας τη γενική λύση της.
• Στόχος 3: να ταξινομήσει την κωνική τομή που ορίζει μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με μικτό όρο, στρέφοντας τους άξονες, και να εκφράσει μια στροφή του επιπέδου ως γινόμενο με έναν μιγαδικό και ως πίνακα.
• Στόχος 4: να υπολογίσει τις $n$-οστές ρίζες ενός μιγαδικού, να τις παραστήσει στο επίπεδο και να λύσει μια τριτοβάθμια εξίσωση με τον τύπο του Καρντάνο.
• Στόχος 5: να λύσει ένα γραμμικό σύστημα με παράμετρο, διερευνώντας τις περιπτώσεις μέσω της βαθμίδας, και να αποφασίσει αν μια δεδομένη δομή είναι ομάδα, δακτύλιος ή σώμα.
• Στόχος 6: να βρει τη σχετική θέση δύο ευθειών του χώρου και την απόστασή τους, καθώς και τον όγκο ενός τετραέδρου που δίνεται από τις κορυφές του.
• Στόχος 7: να γράψει την πλήρη λύση ενός προβλήματος μοντελοποίησης, με διατύπωση, ανάπτυξη, απάντηση και έλεγχο αληθοφάνειας, ώστε ένα άλλο πρόσωπο να μπορεί να την παρακολουθήσει χωρίς πρόσθετες εξηγήσεις.

Πώς να μελετήσετε αυτόν τον κύκλο

Ο κύκλος είναι σχεδιασμένος για να μελετάται με τη σειρά. Κάθε ενότητα προϋποθέτει όσες προηγούνται και τον πρώτο κύκλο μαθημάτων, και πολλές αποδείξεις επικαλούνται αποτελέσματα από προγενέστερα μαθήματα, του ενός ή του άλλου κύκλου· η παράλειψη ενός μαθήματος αναγκάζει, αργά ή γρήγορα, να επιστρέψει κανείς σε αυτό.

Κάθε ενότητα έχει δύο σημεία ελέγχου. Η αρχική αξιολόγηση, στην αρχή της εισαγωγής, είναι το σημείο εκκίνησης: αξίζει να απαντηθεί πριν από τη μελέτη της ενότητας, χωρίς να συμβουλευτεί κανείς τίποτα, και να σημειωθούν τα μαθήματα στα οποία παραπέμπουν τα λάθη, που είναι εκείνα που ζητούν περισσότερη προσοχή. Η τελική αξιολόγηση, στη σύνθεση και πριν από τις προκλήσεις, είναι η αντιπαραβολή: απαντάται στο τέλος των μαθημάτων, επίσης χωρίς βοήθημα, και συγκρίνεται με την αρχική για να φανεί τι άλλαξε και ποια μαθήματα αξίζει να επαναληφθούν. Και στις δύο μετρά η πρώτη προσπάθεια, που είναι αυτή που συγκρίνεται και αυτή που συγκεντρώνει το προφίλ του τελικού απολογισμού· οι μεταγενέστερες γίνονται αφού έχει ήδη φανεί η ανατροφοδότηση. Οι προκλήσεις συμπληρώνουν τον έλεγχο, επειδή απαιτούν να συνδυαστεί και να συνταχθεί ό,τι οι σύντομες ερωτήσεις μόνο αγγίζουν. Από αυτό προκύπτει ότι όποιος πιστεύει ότι κατέχει ήδη μια ενότητα δεν πρέπει να το αποφασίσει με βάση μία μόνο δοκιμασία: αν η τελική του αξιολόγηση είναι στέρεη και λύνει τις προκλήσεις της σύνθεσης, μπορεί να περάσει στην ενότητα που ακολουθεί· αν όχι, αξίζει να διατρέξει τα μαθήματα που υποδεικνύουν η μία και οι άλλες.

Σε κάθε μάθημα, αξίζει να διαβάζονται πρώτα η περίληψη και οι στόχοι, που λένε τι επιδιώκεται· να μελετάται έπειτα η θεωρία με χαρτί και μολύβι, προσπαθώντας να προβλέπεται κάθε βήμα των αποδείξεων πριν το γράψει ο αναπαραγωγός· να επιχειρούνται τα λυμένα προβλήματα πριν κοιτάξει κανείς τη λύση τους, και να λύνονται τα προτεινόμενα χωρίς βοήθεια, ανοίγοντας την υπόδειξη μόνο όταν η προσπάθεια έχει εξαντληθεί, και την απάντηση μόνο στο τέλος, για έλεγχο. Ένα πρόβλημα του οποίου η απάντηση κοιτάχτηκε πριν από την προσπάθεια δεν έχει λυθεί, αλλά διαβαστεί.

Οι προκλήσεις είναι δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, και είναι φυσικό ορισμένες να απαιτούν αρκετές προσπάθειες σε διαφορετικές ημέρες. Δεν αξίζει να σταματά κανείς επ’ αόριστον σε μία: το να τη σημειώσει, να συνεχίσει να προχωρά και να επιστρέψει σε αυτήν αργότερα είναι, συχνά, ο συντομότερος δρόμος. Ωστόσο, ο εκτιμώμενος φόρτος προϋποθέτει ότι όλες επιχειρούνται με σοβαρότητα, και σε αυτή την προσπάθεια κρίνεται μεγάλο μέρος όσων μπορεί να διδάξει ο κύκλος.

Τέλος, αξίζει να γράφει κανείς. Η σύνταξη μιας απόδειξης ή μιας πλήρους λύσης, με τις προκείμενες και τα συμπεράσματά της, είναι ο μόνος τρόπος για να ξέρει κανείς αν έχει καταλάβει, και είναι επίσης ο έβδομος από τους στόχους του κύκλου. Ένα τετράδιο μελέτης, στο οποίο ξαναγράφονται με δικά του λόγια οι ορισμοί και τα θεωρήματα κάθε ενότητας, είναι το καλύτερο υλικό επανάληψης που μπορεί να αφήσει ο κύκλος, και θα είναι ακόμη περισσότερο στον Λογισμό I, που θα επανέλθει σε σχεδόν όλα όσα αποδεικνύονται εδώ.