Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Μιγαδικοί αριθμοί σε πολική μορφή: εισαγωγή

Περίληψη

Το μάθημα αυτό ανοίγει την ενότητα που είναι αφιερωμένη στους μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή. Παρουσιάζει τα έξι μαθήματά της και το νήμα που τα ενώνει: η περιγραφή κάθε μιγαδικού με την απόστασή του από την αρχή των αξόνων και με τη διεύθυνσή του μετατρέπει το γινόμενο σε στροφή συντεθειμένη με διαστολή, τις δυνάμεις σε πολλαπλάσια μιας γωνίας και τις ρίζες σε κανονικά πολύγωνα. Ανασυνθέτει το ιστορικό υπόβαθρο αυτών των ιδεών, από τον τύπο της τριτοβάθμιας εξίσωσης που δημοσίευσε ο Καρντάνο το 1545 και τους κανόνες λογισμού του Μπομπέλι έως τη γεωμετρική παράσταση των Βέσελ, Αργκάν και Γκάους και τον τύπο του Όιλερ· θέτει το διπλό πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκαν, αλγεβρικό και γεωμετρικό, που το συνοψίζει το παράδειγμα του μέσου αναλόγου μεταξύ του 11 και του −1-1, και δείχνει πού χρησιμοποιούνται στη συνέχεια, σε αυτόν τον κύκλο μαθημάτων, σε άλλους κύκλους μαθημάτων του ιστοτόπου και στην επιστήμη και την τεχνική.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να περιγράφει το περιεχόμενο κάθε μαθήματος της ενότητας και να εξηγεί γιατί διαδέχονται το ένα το άλλο με αυτή τη σειρά.
  2. Να αφηγείται, με τους πρωταγωνιστές και τις κατά προσέγγιση χρονολογίες τους, τη μετάβαση των μιγαδικών αριθμών από τέχνασμα υπολογισμού σε γεωμετρικό αντικείμενο, από τον Καρντάνο και τον Μπομπέλι έως τον Βέσελ, τον Αργκάν, τον Γκάους και τον Όιλερ.
  3. Να διατυπώνει το αλγεβρικό και το γεωμετρικό πρόβλημα από τα οποία γεννήθηκε η πολική μορφή, και να ερμηνεύει ως στροφές τον πολλαπλασιασμό με το ii και τους μέσους αναλόγους μεταξύ του 11 και του −1-1.
  4. Να αναγνωρίζει τις εφαρμογές της πολικής μορφής στην ενότητα που ακολουθεί, σε άλλους κύκλους μαθημάτων του ιστοτόπου και στη φυσική και τη μηχανική.

Αρχική αξιολόγηση

Πριν διατρέξουμε την ενότητα, αξίζει να μετρήσουμε το σημείο εκκίνησης. Αυτός ο αυτοέλεγχος δεν βαθμολογείται: χρησιμεύει για να ξέρουμε τι κατέχουμε και πού να σταθούμε. Οι δέκα πρώτες ερωτήσεις αφορούν τα έξι μαθήματα περιεχομένου της ενότητας: μία το μάθημα για την πολική μορφή και μία εκείνο για τη γεωμετρία με μιγαδικούς· από δύο καθένα από τα μαθήματα για τον τύπο του Ντε Μουάβρ, για τις ρίζες και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις· και δύο εκείνο για τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση, από τις οποίες η δεύτερη είναι ένα πρόβλημα μοντελοποίησης που ζητά να διατυπωθεί με φάσορες μια κατάσταση σε πλαίσιο. Οι ίδιες δεξιότητες μετρώνται ξανά στο τέλος, στο μάθημα της σύνθεσης. Οι δύο τελευταίες ελέγχουν όσα η ενότητα θεωρεί γνωστά από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων και από τις ενότητες που προηγήθηκαν: την αλγεβρική μορφή, τον συζυγή και το μέτρο, τις χαρακτηριστικές τιμές και τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς.

Αρχική αξιολόγηση

Πριν ξεκινήσεις την ενότητα, μέτρησε το σημείο εκκίνησής σου. Είναι μια σύντομη αυτοαξιολόγηση: δεν βαθμολογείται και το αποτέλεσμα αποθηκεύεται μόνο στον περιηγητή σου.

  1. Ερώτηση 1Ποιο είναι το πρωτεύον όρισμα του z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3};

  2. Ερώτηση 2Να υπολογιστεί το (3+i)6\left( \sqrt{3} + i \right)^6.

  3. Ερώτηση 3Ποια είναι η γραμμικοποίηση του sin⁡2θcos⁡2θ\sin^2 \theta \cos^2 \theta;

  4. Ερώτηση 4Ποιος από αυτούς τους αριθμούς είναι τέταρτη ρίζα του −16-16;

  5. Ερώτηση 5Πόσες πρωταρχικές ένατες ρίζες της μονάδας υπάρχουν;

  6. Ερώτηση 6Ποιοι είναι οι μιγαδικοί zz που ικανοποιούν την ez=−ee^z = -e;

  7. Ερώτηση 7Δύο μεγάφωνα εκπέμπουν τον ίδιο καθαρό τόνο. Στη θέση όπου βρίσκεται όποιος ακούει, οι μεταβολές πίεσης που προκαλούν είναι 3cos⁡(ωt)3 \cos(\omega t) και 8cos⁡(ωt+2π3)8 \cos\left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right), σε μιλιπασκάλ. Ποιο είναι το πλάτος της συνολικής μεταβολής πίεσης, σε μιλιπασκάλ;

  8. Ερώτηση 8Ποια είναι η εικόνα του σημείου 3+i3 + i μέσω της στροφής κατά ένα τέταρτο του κύκλου, με θετική φορά, γύρω από το σημείο 1+i1 + i;

  9. Ερώτηση 9Έστω z1z_1, z2z_2 και z3z_3 οι ρίζες του z3−2z2+5z−1z^3 - 2z^2 + 5z - 1. Να υπολογιστεί το z12+z22+z32z_1^2 + z_2^2 + z_3^2.

  10. Ερώτηση 10Τι ρίζες έχει η εξίσωση t3−6t+2=0t^3 - 6t + 2 = 0;

  11. Ερώτηση 11Από προηγούμενες ενότητεςΠοιος είναι ο αντίστροφος του 3−4i3 - 4i;

  12. Ερώτηση 12Από προηγούμενες ενότητεςΠοια είναι η ακριβής τιμή του sin⁡π12\sin \frac{\pi}{12};