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Topos Uranos
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Numeri complessi in forma polare: introduzione

Riepilogo

Questa lezione apre l’unità dedicata ai numeri complessi in forma polare. Presenta le sue sei lezioni e il filo che le unisce: descrivere ogni numero complesso mediante la sua distanza dall’origine e la sua direzione trasforma il prodotto in una rotazione composta con una dilatazione, le potenze in multipli di un angolo e le radici in poligoni regolari. Ricostruisce il contesto storico di queste idee, dalla formula della cubica pubblicata da Cardano nel 1545 e dalle regole di calcolo di Bombelli fino alla rappresentazione geometrica di Wessel, Argand e Gauss e alla formula di Eulero; pone il duplice problema che diede loro origine, algebrico e geometrico, che l’esempio della media proporzionale tra 11 e −1-1 riassume, e indica dove si impiegano in seguito, in questo corso, in altri corsi del sito e nella scienza e nella tecnica.

Obiettivi di apprendimento

  1. Descrivere il contenuto di ciascuna lezione dell’unità e spiegare perché si susseguono in quest’ordine.
  2. Raccontare, con i suoi protagonisti e le loro date approssimative, il passaggio dei numeri complessi da artificio di calcolo a oggetto geometrico, da Cardano e Bombelli fino a Wessel, Argand, Gauss ed Eulero.
  3. Enunciare il problema algebrico e il problema geometrico che diedero origine alla forma polare, e interpretare come rotazioni il prodotto per ii e le medie proporzionali tra 11 e −1-1.
  4. Individuare le applicazioni della forma polare nell’unità che segue, in altri corsi del sito e nella fisica e nell’ingegneria.

Valutazione d’ingresso

Prima di percorrere l’unità conviene misurare il punto di partenza. Questa autovalutazione non dà voti: serve a sapere che cosa si padroneggia e dove soffermarsi. Le prime dieci domande toccano le sei lezioni di contenuto dell’unità: una la lezione sulla forma polare e un’altra quella sulla geometria con i numeri complessi; due ciascuna delle lezioni sulla formula di De Moivre, sulle radici e sulle equazioni polinomiali; e due quella sull’esponenziale complesso, la seconda delle quali è un problema di modellizzazione, che chiede di impostare con i fasori una situazione concreta. Le stesse abilità si misurano di nuovo alla fine, nella lezione di sintesi. Le ultime due verificano ciò che l’unità dà per noto del corso I e delle unità già svolte: la forma algebrica, il coniugato e il modulo, i valori notevoli e le formule di addizione e sottrazione.

Valutazione d’ingresso

Prima di iniziare l’unità, misura il tuo punto di partenza. È un’autovalutazione breve: non riceve voto e il risultato resta solo nel tuo browser.

  1. Domanda 1Qual è l’argomento principale di z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

  2. Domanda 2Calcolare (3+i)6\left( \sqrt{3} + i \right)^6.

  3. Domanda 3Qual è la linearizzazione di sin⁡2θcos⁡2θ\sin^2 \theta \cos^2 \theta?

  4. Domanda 4Quale di questi numeri è una radice quarta di −16-16?

  5. Domanda 5Quante sono le radici none primitive dell’unità?

  6. Domanda 6Quali sono i numeri complessi zz che soddisfano ez=−ee^z = -e?

  7. Domanda 7Due altoparlanti emettono lo stesso tono puro. Nel luogo in cui si trova chi ascolta, le variazioni di pressione che producono sono 3cos⁡(ωt)3 \cos(\omega t) e 8cos⁡(ωt+2π3)8 \cos\left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right), in millipascal. Qual è l’ampiezza della variazione di pressione totale, in millipascal?

  8. Domanda 8Qual è l’immagine del punto 3+i3 + i nella rotazione di un quarto di giro, in senso positivo, attorno al punto 1+i1 + i?

  9. Domanda 9Siano z1z_1, z2z_2 e z3z_3 le radici di z3−2z2+5z−1z^3 - 2z^2 + 5z - 1. Calcolare z12+z22+z32z_1^2 + z_2^2 + z_3^2.

  10. Domanda 10Come sono le radici dell’equazione t3−6t+2=0t^3 - 6t + 2 = 0?

  11. Domanda 11Dalle unità precedentiQual è l’inverso di 3−4i3 - 4i?

  12. Domanda 12Dalle unità precedentiQual è il valore esatto di sin⁡π12\sin \frac{\pi}{12}?