要約 この課は、極形式の複素数にあてられた単元を開く。単元の六つの課と、それらを結ぶ糸を示す。各複素数を原点からの距離と方向によって記述すると、積は回転と拡大の合成に、累乗は一つの角の倍数に、累乗根は正多角形に変わる。これらの考えの歴史的背景を、1545 年にカルダノが公表した 3 次方程式の公式とボンベリの計算規則から、ヴェッセル、アルガン、ガウスによる幾何学的表示とオイラーの公式までたどり直す。また、それらを生んだ二重の問題、すなわち代数的な問題と幾何学的な問題を提示する。1 1 1 − 1 -1 − 1
学習目標 単元の各課の内容を述べ、それらがなぜその順序で続くのかを説明すること。 主な人物とおおよその年代を挙げて、カルダノとボンベリからヴェッセル、アルガン、ガウス、オイラーまで、複素数が計算上の工夫から幾何学的対象へと移り変わった過程を語ること。 極形式を生んだ代数的な問題と幾何学的な問題を述べ、i i i 1 1 1 − 1 -1 − 1 極形式の応用を、これに続く単元、サイトのほかのコース、物理学と工学のなかに見いだすこと。 導入テスト 単元を学ぶ前に、出発点を測っておくのがよい。この自己診断は成績をつけるものではなく、何を身につけているか、どこで立ち止まるべきかを知るためのものである。最初の十問は単元の六つの内容の課を扱う。極形式の課と複素数による幾何の課に一問ずつ、ド・モアブルの公式の課、累乗根の課、多項式方程式の課にそれぞれ二問、複素指数関数の課に二問を当て、その二問目は、フェーザを用いて具体的な状況を式に表すことを求めるモデル化の問題である。同じ技能は最後に、まとめの課で再び測られる。最後の二問は、単元がコース I とそれまでの単元から既知とするもの、すなわち代数形式、共役と絶対値、主な角の値、加法定理を確かめる。
単元を始める前に、自分の出発点を測りましょう。短い自己評価です。採点はされず、結果はあなたのブラウザーにだけ保存されます。
問 1 z = − 1 − i 3 z = -1 - i\sqrt{3} z = − 1 − i 3
π 3 \frac{\pi}{3} 3 π 補正していない商の逆正接である。逆正接は第一象限と第四象限の角しか与えず、
π 3 \frac{\pi}{3} 3 π は反対側の点
1 + i 3 1 + i\sqrt{3} 1 + i 3 の偏角である。
点
( − 1 , − 3 ) \left( -1, -\sqrt{3} \right) ( − 1 , − 3 ) は第三象限にある。
− 3 − 1 = 3 \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3} − 1 − 3 = 3 の逆正接は
π 3 \frac{\pi}{3} 3 π であり、実部と虚部がともに負であるから、公式は
π \pi π を引く。
π 3 − π = − 2 π 3 \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} 3 π − π = − 3 2 π であり、これは
( − π , π ] \ioc{-\pi}{\pi} ( − π , π ] に含まれる。
復習： 複素数の極形式
問 2 ( 3 + i ) 6 \left( \sqrt{3} + i \right)^6 ( 3 + i ) 6
正しい答え： − 64 -64 − 64
数
3 + i \sqrt{3} + i 3 + i は絶対値が
2 2 2 、偏角が
π 6 \frac{\pi}{6} 6 π である。ド・モアブルの公式により、六乗は絶対値が
2 6 = 64 2^6 = 64 2 6 = 64 、偏角が
6 ⋅ π 6 = π 6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi 6 ⋅ 6 π = π であり、
64 ( cos π + i sin π ) = − 64 64\left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = -64 64 ( cos π + i sin π ) = − 64 となる。
64 64 64 を得た人は、偏角
π \pi π が実軸の負の部分に対応することを忘れている。
復習： ド・モアブルの公式と複素数の累乗
問 3 sin 2 θ cos 2 θ \sin^2 \theta \cos^2 \theta sin 2 θ cos 2 θ
1 − cos 4 θ 4 \frac{1 - \cos 4\theta}{4} 4 1 − c o s 4 θ 1 2 \frac{1}{2} 2 1 を掛けているが、
1 4 \frac{1}{4} 4 1 を掛けるべきであった。
1 2 \frac{1}{2} 2 1 （
sin θ cos θ = sin 2 θ 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin 2\theta}{2} sin θ cos θ = 2 s i n 2 θ の中の）も平方される。
θ = π 4 \theta = \frac{\pi}{4} θ = 4 π のときは
1 2 \frac{1}{2} 2 1 となるが、積の値は
1 4 \frac{1}{4} 4 1 である。
1 + cos 4 θ 8 \frac{1 + \cos 4\theta}{8} 8 1 + c o s 4 θ sin 2 2 θ \sin^2 2\theta sin 2 2 θ を余弦の公式で次数下げしている。正弦の公式には負の符号がつき、
sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} sin 2 x = 2 1 − c o s 2 x である。
θ = 0 \theta = 0 θ = 0 のときは
1 4 \frac{1}{4} 4 1 となるが、積の値は
0 0 0 である。
1 − cos 2 θ 8 \frac{1 - \cos 2\theta}{8} 8 1 − c o s 2 θ 角を倍にしないで次数を下げている。
sin 2 θ \sin 2\theta sin 2 θ の平方は
4 θ 4\theta 4 θ の余弦で線形化され、
2 θ 2\theta 2 θ の余弦ではない。
z = cos θ + i sin θ z = \cos \theta + i \sin \theta z = cos θ + i sin θ とおくと、積
2 cos θ ⋅ 2 i sin θ 2\cos \theta \cdot 2i \sin \theta 2 cos θ ⋅ 2 i sin θ は
( z + z − 1 ) ( z − z − 1 ) = z 2 − z − 2 = 2 i sin 2 θ \left( z + z^{-1} \right)\left( z - z^{-1} \right) = z^2 - z^{-2} = 2i \sin 2\theta ( z + z − 1 ) ( z − z − 1 ) = z 2 − z − 2 = 2 i sin 2 θ である。これから
sin θ cos θ = sin 2 θ 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin 2\theta}{2} sin θ cos θ = 2 s i n 2 θ であり、平方して次数を下げると
1 4 ⋅ 1 − cos 4 θ 2 \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4\theta}{2} 4 1 ⋅ 2 1 − c o s 4 θ となる。
θ = π 4 \theta = \frac{\pi}{4} θ = 4 π のとき、両辺はともに
1 4 \frac{1}{4} 4 1 に等しい。
復習： ド・モアブルの公式と複素数の累乗
問 4 次の数のうち、− 16 -16 − 16
2 i 2i 2 i 絶対値は正しいが、その偏角
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π は
π \pi π の半分であって、四分の一ではない。
( 2 i ) 4 = 16 (2i)^4 = 16 ( 2 i ) 4 = 16 であり、
− 16 -16 − 16 ではない。
4 ( cos π 4 + i sin π 4 ) 4\left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) 4 ( cos 4 π + i sin 4 π ) 偏角は正しく割られているが、絶対値まで
4 4 4 で割られている。絶対値は四乗根をとるべきであった。この数の四乗は
− 256 -256 − 256 である。
数
− 16 -16 − 16 は絶対値が
16 16 16 、偏角が
π \pi π である。その四乗根は絶対値が
16 4 = 2 \sqrt[4]{16} = 2 4 16 = 2 、偏角が
π + 2 k π 4 \frac{\pi + 2k\pi}{4} 4 π + 2 k π である。
k = 0 k = 0 k = 0 のとき
2 ( cos π 4 + i sin π 4 ) = 2 + i 2 2\left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} + i\sqrt{2} 2 ( cos 4 π + i sin 4 π ) = 2 + i 2 となる。
復習： 複素数の n 乗根と 1 の累乗根
問 5 1 の原始九乗根はいくつあるか。
正しい答え： 6 6 6
根
ω k \omega_k ω k （ただし
1 ≤ k ≤ 9 1 \leq k \leq 9 1 ≤ k ≤ 9 ）が原始的であるのは
gcd ( k , 9 ) = 1 \operatorname{gcd}(k, 9) = 1 gcd ( k , 9 ) = 1 のとき、かつそのときに限る。
9 9 9 以下の自然数で
9 9 9 と互いに素なものは
1 1 1 、
2 2 2 、
4 4 4 、
5 5 5 、
7 7 7 、
8 8 8 である。
8 8 8 を得た人は
9 9 9 を素数であるかのように扱っている。根
ω 3 \omega_3 ω 3 と
ω 6 \omega_6 ω 6 は 1 の立方根であり、その累乗は三つの根しかめぐらない。
復習： 複素数の n 乗根と 1 の累乗根
問 6 複素数 z z z e z = − e e^z = -e e z = − e
z = 1 z = 1 z = 1 これは
e z = e e^z = e e z = e の解であって、
e z = − e e^z = -e e z = − e の解ではない。負の符号は、
e z e^z e z の偏角が、回転の整数倍の違いを除いて
π \pi π であることを要求し、周期性から無限に多くの解が得られる。
z = 1 + 2 k π i z = 1 + 2k\pi i z = 1 + 2 k π i k k k e z = e e^z = e e z = e の解である。偏角
π \pi π （数
− e -e − e の）が欠けている。
数
− e -e − e は絶対値が
e e e 、偏角が
π \pi π である。
z = a + b i z = a + bi z = a + bi とすると、
e z e^z e z の絶対値は
e a e^a e a であり、
b b b はその偏角の一つである。
e a = e e^a = e e a = e から
a = 1 a = 1 a = 1 が得られ、
b b b と
π \pi π の差は
2 π 2\pi 2 π の整数倍である。
復習： 複素指数関数とオイラーの公式
問 7 二つのスピーカーが同じ純音を出している。聞いている人のいる場所で、それらが生み出す圧力の変動は 3 cos ( ω t ) 3 \cos(\omega t) 3 cos ( ω t ) 8 cos ( ω t + 2 π 3 ) 8 \cos\left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right) 8 cos ( ω t + 3 2 π )
正しい答え： 7 7 7
各振動は、そのフェーザに
e i ω t e^{i\omega t} e iω t を掛けたものの実部であり、同じ振動数の二つの振動の和は、フェーザの和をフェーザとしてもつ。
3 + 8 e i 2 π 3 = 3 − 4 + 4 3 i = − 1 + 4 3 i 3 + 8 e^{i\frac{2\pi}{3}} = 3 - 4 + 4\sqrt{3}\, i = -1 + 4\sqrt{3}\, i 3 + 8 e i 3 2 π = 3 − 4 + 4 3 i = − 1 + 4 3 i であり、その絶対値は
1 + 48 = 7 \sqrt{1 + 48} = 7 1 + 48 = 7 である。
11 11 11 を得た人は、最大値が一致するかのように振幅を加えている。
5 5 5 を得た人は、振動が逆位相であるかのように振幅を引いている。
73 \sqrt{73} 73 を得た人は、フェーザを垂直であるかのように扱っている。
復習： 複素指数関数とオイラーの公式
問 8 点 3 + i 3 + i 3 + i 1 + i 1 + i 1 + i
1 − i 1 - i 1 − i 負の向き、すなわち時計回りの回転であり、
− i -i − i を掛けることにあたる。正の向きは
i i i を掛けることに対応する。
中心
c c c 、角
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π の回転は
R ( z ) = c + i ( z − c ) R(z) = c + i(z - c) R ( z ) = c + i ( z − c ) である。ここで
z − c = 2 z - c = 2 z − c = 2 であり、その回転は
2 i 2i 2 i 、像は
1 + i + 2 i = 1 + 3 i 1 + i + 2i = 1 + 3i 1 + i + 2 i = 1 + 3 i である。
復習： 複素数による幾何
問 9 z 1 z_1 z 1 z 2 z_2 z 2 z 3 z_3 z 3 z 3 − 2 z 2 + 5 z − 1 z^3 - 2z^2 + 5z - 1 z 3 − 2 z 2 + 5 z − 1 z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 z 1 2 + z 2 2 + z 3 2
正しい答え： − 6 -6 − 6
解と係数の関係により
σ 1 = 2 \sigma_1 = 2 σ 1 = 2 、
σ 2 = 5 \sigma_2 = 5 σ 2 = 5 であり、平方の和は
σ 1 2 − 2 σ 2 = 4 − 10 = − 6 \sigma_1^2 - 2\sigma_2 = 4 - 10 = -6 σ 1 2 − 2 σ 2 = 4 − 10 = − 6 である。負であることは、すべての根が実数ではないことを示す。
4 4 4 を得た人は平方の和と和の平方を混同しており、
14 14 14 を得た人は
2 σ 2 2\sigma_2 2 σ 2 を引くかわりに加えている。
復習： 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式
問 10 方程式 t 3 − 6 t + 2 = 0 t^3 - 6t + 2 = 0 t 3 − 6 t + 2 = 0
判別式は
Δ = − ( 4 ( − 6 ) 3 + 27 ⋅ 2 2 ) = 864 − 108 = 756 \Delta = -\left( 4(-6)^3 + 27 \cdot 2^2 \right) = 864 - 108 = 756 Δ = − ( 4 ( − 6 ) 3 + 27 ⋅ 2 2 ) = 864 − 108 = 756 で正である。これは還元不能の場合であり、三つの根がすべて実数であるにもかかわらず、カルダノの公式は実数でない数の立方根を経由する。
復習： 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式
問 11 前の単元から 3 − 4 i 3 - 4i 3 − 4 i
3 + 4 i 5 \frac{3 + 4i}{5} 5 3 + 4 i 絶対値の平方ではなく絶対値で割っている。積
( 3 − 4 i ) ⋅ 3 + 4 i 5 (3 - 4i) \cdot \frac{3 + 4i}{5} ( 3 − 4 i ) ⋅ 5 3 + 4 i は
5 5 5 であり、
1 1 1 ではない。
z ≠ 0 z \neq 0 z = 0 の逆数は
z ‾ ∣ z ∣ 2 \frac{\conj{z}}{\abs{z}^2} ∣ z ∣ 2 z である。ここで
z ‾ = 3 + 4 i \conj{z} = 3 + 4i z = 3 + 4 i 、
∣ z ∣ 2 = 9 + 16 = 25 \abs{z}^2 = 9 + 16 = 25 ∣ z ∣ 2 = 9 + 16 = 25 である。確かめると
( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) = 25 (3 - 4i)(3 + 4i) = 25 ( 3 − 4 i ) ( 3 + 4 i ) = 25 となる。
復習： 複素数：演算と方程式
問 12 前の単元から sin π 12 \sin \frac{\pi}{12} sin 12 π
π 12 = π 3 − π 4 \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} 12 π = 3 π − 4 π であるから、差の正弦の公式と主な角の値により
sin π 12 = 3 2 ⋅ 2 2 − 1 2 ⋅ 2 2 = 6 − 2 4 \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} sin 12 π = 2 3 ⋅ 2 2 − 2 1 ⋅ 2 2 = 4 6 − 2 である。
復習： 加法定理と二倍角・半角の公式
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