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LatineZusammenfassung
Diese Lektion eröffnet die Einheit über die komplexen Zahlen in Polarform. Sie stellt ihre sechs Lektionen und den Faden vor, der sie verbindet: Beschreibt man jede komplexe Zahl durch ihren Abstand vom Ursprung und durch ihre Richtung, so wird das Produkt zu einer Drehung verknüpft mit einer Streckung, die Potenzen werden zu Vielfachen eines Winkels und die Wurzeln zu regelmäßigen Vielecken. Sie rekonstruiert den historischen Hintergrund dieser Ideen, von der Formel für die kubische Gleichung, die Cardano 1545 veröffentlichte, und den Rechenregeln Bombellis bis zur geometrischen Darstellung von Wessel, Argand und Gauß und zur eulerschen Formel; sie stellt das doppelte Problem, aus dem sie entstanden, das algebraische und das geometrische, das das Beispiel der mittleren Proportionale zwischen und zusammenfasst, und zeigt, wo sie später verwendet werden: in diesem Kurs, in anderen Kursen der Website und in Wissenschaft und Technik.
Lernziele
- Den Inhalt jeder Lektion der Einheit beschreiben und erklären, warum sie in dieser Reihenfolge aufeinander folgen.
- Mit seinen Protagonisten und ihren ungefähren Daten den Übergang der komplexen Zahlen vom Rechenkunstgriff zum geometrischen Objekt schildern, von Cardano und Bombelli bis zu Wessel, Argand, Gauß und Euler.
- Das algebraische und das geometrische Problem formulieren, aus denen die Polarform entstand, und das Produkt mit sowie die mittleren Proportionalen zwischen und als Drehungen deuten.
- Die Anwendungen der Polarform in der nächsten Einheit, in anderen Kursen der Website und in Physik und Ingenieurwesen erkennen.
Eingangstest
Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu messen. Diese Selbstüberprüfung wird nicht benotet: Sie dient dazu, zu erkennen, was man beherrscht und wo man verweilen sollte. Die ersten zehn Fragen betreffen die sechs inhaltlichen Lektionen der Einheit: eine die Lektion über die Polarform und eine andere die über Geometrie mit komplexen Zahlen; je zwei die Lektionen über die Formel von de Moivre, über die Wurzeln und über die Polynomgleichungen; und zwei die über die komplexe Exponentialfunktion, von denen die zweite ein Modellierungsproblem ist, das verlangt, eine Situation aus einem Sachzusammenhang mit Zeigern aufzustellen. Dieselben Fertigkeiten werden am Ende in der Lektion zur Synthese erneut gemessen. Die letzten zwei prüfen, was die Einheit aus Kurs I und aus den vorangehenden Einheiten als bekannt voraussetzt: die algebraische Form, die Konjugierte und den Betrag, die besonderen Werte und die Additionstheoreme.
Miss vor Beginn der Einheit deinen Ausgangspunkt. Es ist eine kurze Selbsteinschätzung: Sie wird nicht benotet, und das Ergebnis wird nur in deinem Browser gespeichert.
Frage 1Was ist das Hauptargument von ?
Das ist der Arkustangens des Quotienten ohne Korrektur: Der Arkustangens sieht nur den ersten und den vierten Quadranten, und ist das Argument des entgegengesetzten Punktes .Das ist ein Argument von , aber nicht das Hauptargument, weil es nicht in liegt; das Hauptargument erhält man, indem man eine volle Drehung abzieht.Das ist das Argument von im vierten Quadranten: Das Vorzeichen des Imaginärteils wurde berücksichtigt, das des Realteils aber nicht.Der Punkt liegt im dritten Quadranten. Der Arkustangens von ist , und da Realteil und Imaginärteil negativ sind, zieht die Formel ab: , und dieser Wert liegt in .Wiederholen: Die Polarform der komplexen Zahlen
Frage 2Man berechne .
Richtige Antwort:
Die Zahl hat den Betrag und das Argument . Nach der Formel von de Moivre hat die sechste Potenz den Betrag und das Argument : Sie ist gleich . Wer erhält, hat vergessen, dass das Argument der negativen reellen Halbachse entspricht.Wiederholen: Die Formel von de Moivre und Potenzen komplexer Zahlen
Frage 3Wie lautet die Linearisierung von ?
Es wurde mit statt mit multipliziert: Auch der Faktor aus wird quadriert. Für ergäbe sich , das Produkt hat aber den Wert .Die Potenz wurde mit der Formel für den Kosinus reduziert; die für den Sinus hat ein Minuszeichen, . Für ergäbe sich , das Produkt hat aber den Wert .Die Potenz wurde reduziert, ohne den Winkel zu verdoppeln: Das Quadrat von wird mit dem Kosinus von linearisiert, nicht mit dem von .Mit ist das Produkt gleich ; daraus folgt , und durch Quadrieren und Reduzieren der Potenz ergibt sich . Für haben beide Seiten den Wert .Wiederholen: Die Formel von de Moivre und Potenzen komplexer Zahlen
Frage 4Welche dieser Zahlen ist eine vierte Wurzel von ?
Sie hat den richtigen Betrag, aber ihr Argument ist die Hälfte von , nicht ein Viertel davon: , nicht .Das ist die Vorzeichenregel für reelle Wurzeln mit ungeradem Wurzelexponenten, die hier nicht gilt: Eine reelle Zahl, in eine gerade Potenz erhoben, ist nicht negativ, und .Das Argument ist richtig dividiert, aber auch der Betrag wurde durch dividiert, obwohl seine vierte Wurzel zu ziehen war: Die vierte Potenz dieser Zahl ist .Die Zahl hat den Betrag und das Argument ; ihre vierten Wurzeln haben den Betrag und die Argumente . Mit ergibt sich .Wiederholen: n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln
Frage 5Wie viele primitive neunte Einheitswurzeln gibt es?
Richtige Antwort:
Die Wurzel mit ist genau dann primitiv, wenn gilt; die natürlichen Zahlen bis , die zu teilerfremd sind, sind , , , , und . Wer erhält, hat behandelt, als wäre sie eine Primzahl; die Wurzeln und sind dritte Einheitswurzeln, und ihre Potenzen besuchen nur drei Wurzeln.Wiederholen: n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln
Frage 6Welche komplexen Zahlen erfüllen ?
Das ist eine Lösung von , nicht von . Das Minuszeichen verlangt, dass das Argument von gleich ist, bis auf volle Drehungen, und die Periodizität liefert unendlich viele Lösungen.Das sind die Lösungen von : Es fehlt das Argument der Zahl .Das gilt für die reelle Exponentialfunktion; die komplexe nimmt alle von null verschiedenen Werte an, weil der Imaginärteil des Exponenten eine beliebige Richtung festlegt.Die Zahl hat den Betrag und das Argument . Ist , so ist der Betrag von gleich , und ist ein Argument davon: liefert , und unterscheidet sich von um ein ganzzahliges Vielfaches von .Wiederholen: Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel
Frage 7Zwei Lautsprecher senden denselben reinen Ton aus. An dem Ort, an dem sich die zuhörende Person befindet, erzeugen sie die Druckschwankungen und , in Millipascal. Welche Amplitude hat die gesamte Druckschwankung, in Millipascal?
Richtige Antwort:
Jede Schwingung ist der Realteil ihres Zeigers, multipliziert mit , und die Summe zweier Schwingungen gleicher Frequenz hat als Zeiger die Summe der Zeiger: , mit dem Betrag . Wer erhält, hat die Amplituden addiert, als ob die Maxima zusammenfielen; wer erhält, hat sie subtrahiert, als ob die Schwingungen gegenphasig wären; und wer erhält, hat die Zeiger als zueinander senkrecht behandelt.Wiederholen: Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel
Frage 8Was ist das Bild des Punktes bei der Vierteldrehung im positiven Drehsinn um den Punkt ?
Das ist , die Drehung um den Ursprung. Um ein anderes Zentrum zu drehen, muss man es vor der Multiplikation mit abziehen und danach wieder addieren.Das ist die Drehung im negativen Drehsinn, im Uhrzeigersinn, die mit multipliziert: Der positive Drehsinn entspricht der Multiplikation mit .Hier wurde zum Punkt statt zum Zentrum addiert: Das Bild ist das Zentrum plus der gedrehte Vektor.Die Drehung um mit dem Winkel ist . Hier ist , ihre Drehung ergibt , und das Bild ist .Wiederholen: Geometrie mit komplexen Zahlen
Frage 9Es seien , und die Nullstellen von . Man berechne .
Richtige Antwort:
Nach den vietaschen Formeln gilt und , und die Summe der Quadrate ist . Dass sie negativ ist, zeigt, dass nicht alle Nullstellen reell sind. Wer erhält, hat die Summe der Quadrate mit dem Quadrat der Summe verwechselt, und wer erhält, hat addiert, statt es abzuziehen.Wiederholen: Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari
Frage 10Wie sehen die Lösungen der Gleichung aus?
Das entspricht . Das Vorzeichen wurde falsch berechnet: Mit ist der Term negativ, und ergibt sich positiv.Das verlangt , das heißt , was hier nicht zutrifft.Eine kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat stets eine reelle Lösung, weil ihre nicht reellen Lösungen konjugierte Paare bilden und es insgesamt drei sind.Die Diskriminante ist , also positiv; das ist der Casus irreducibilis, in dem die Formel von Cardano über Kubikwurzeln nicht reeller Zahlen führt, obwohl alle drei Lösungen reell sind.Wiederholen: Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari
Frage 11Aus früheren EinheitenWas ist das Inverse von ?
Es wurde durch den Betrag und nicht durch sein Quadrat dividiert: Das Produkt hat den Wert , nicht .Realteil und Imaginärteil wurden einzeln invertiert; das Inverse einer Summe ist nicht die Summe der Inversen.Die Konjugierte von ist : Konjugieren ändert das Vorzeichen des Imaginärteils, und nur dieses.Das Inverse von ist ; hier ist und . Probe: .Wiederholen: Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen
Frage 12Aus früheren EinheitenWas ist der exakte Wert von ?
Das ist der Kosinus von : Beim Sinus einer Differenz werden die beiden Produkte subtrahiert.Das ist : Der Sinus einer Differenz ist nicht die Differenz der Sinuswerte.Das ist der Sinus von , dem Doppelten des gesuchten Winkels; der Sinus ist nicht proportional zum Winkel.Da gilt, ergibt sich nach der Formel für den Sinus einer Differenz und den besonderen Werten .Wiederholen: Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln
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