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LatineResumo
Esta aula abre a unidade dedicada aos números complexos na forma polar. Apresenta suas seis aulas e o fio que as une: descrever cada complexo por sua distância à origem e por sua direção converte o produto em uma rotação composta com uma dilatação, as potências em múltiplos de um ângulo e as raízes em polígonos regulares. Reconstrói o contexto histórico destas ideias, desde a fórmula da cúbica publicada por Cardano em 1545 e as regras de cálculo de Bombelli até a representação geométrica de Wessel, Argand e Gauss e a fórmula de Euler; formula o duplo problema que lhes deu origem, algébrico e geométrico, que o exemplo da média proporcional entre e resume, e indica onde são empregadas depois, neste curso, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.
Objetivos de aprendizagem
- Descrever o conteúdo de cada aula da unidade e explicar por que elas se sucedem nessa ordem.
- Relatar, com seus protagonistas e suas datas aproximadas, a passagem dos números complexos de artifício de cálculo a objeto geométrico, desde Cardano e Bombelli até Wessel, Argand, Gauss e Euler.
- Enunciar o problema algébrico e o problema geométrico que deram origem à forma polar, e interpretar como rotações o produto por e as médias proporcionais entre e .
- Identificar as aplicações da forma polar na próxima unidade, em outros cursos do site e na física e na engenharia.
Avaliação de entrada
Antes de percorrer a unidade convém medir o ponto de partida. Esta autoavaliação não dá nota: serve para saber o que se domina e onde se deter. As dez primeiras perguntas tocam as seis aulas de conteúdo da unidade: uma a aula sobre a forma polar e outra a da geometria com complexos; duas cada uma das aulas sobre a fórmula de De Moivre, sobre as raízes e sobre as equações polinomiais; e duas a da exponencial complexa, a segunda delas um problema de modelagem, que pede para equacionar com fasores uma situação em contexto. As mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese. As duas últimas verificam o que a unidade supõe conhecido do curso I e das unidades precedentes: a forma algébrica, o conjugado e o módulo, os valores notáveis e as fórmulas de adição e subtração.
Antes de começar a unidade, meça seu ponto de partida. É uma autoavaliação breve: não recebe nota e seu resultado fica guardado apenas no seu navegador.
Pergunta 1Qual é o argumento principal de ?
É o arco-tangente do quociente sem correção: o arco-tangente só enxerga o primeiro e o quarto quadrantes, e é o argumento do ponto oposto, .É um argumento de , mas não o principal, porque não está em ; o principal se obtém subtraindo-lhe uma volta.É o argumento de , do quarto quadrante: levou-se em conta o sinal da parte imaginária, mas não o da parte real.O ponto está no terceiro quadrante. O arco-tangente de é , e como a parte real e a imaginária são negativas, a fórmula subtrai : , que está em .Revisar: A forma polar dos números complexos
Pergunta 2Calcular .
Resposta correta:
O número tem módulo e argumento . Pela fórmula de De Moivre, a sexta potência tem módulo e argumento : é . Quem obtém esqueceu que o argumento corresponde ao semieixo real negativo.Pergunta 3Qual é a linearização de ?
Multiplicou-se por em vez de por : o de também se eleva ao quadrado. Com daria , e o produto vale .Reduziu-se com a fórmula do cosseno; a do seno leva sinal de menos, . Com daria , e o produto vale .Reduziu-se a potência sem duplicar o ângulo: o quadrado de se lineariza com o cosseno de , não de .Com , o produto é ; daí, , e ao elevar ao quadrado e reduzir a potência resulta . Com , ambos os membros valem .Pergunta 4Qual destes números é uma raiz quarta de ?
Tem o módulo correto, mas seu argumento é a metade de , não um quarto dele: , não .É a regra dos sinais das raízes reais de índice ímpar, que não se aplica aqui: um real elevado a uma potência par não é negativo, e .O argumento está bem dividido, mas o módulo também foi dividido por , quando se devia extrair sua raiz quarta: a quarta potência deste número é .O número tem módulo e argumento ; suas raízes quartas têm módulo e argumentos . Com resulta .Pergunta 5Quantas raízes nonas primitivas da unidade existem?
Resposta correta:
A raiz , com , é primitiva se e somente se ; os naturais até primos com são , , , , e . Quem obtém tratou como se fosse primo; as raízes e são raízes cúbicas da unidade, e suas potências só visitam três raízes.Pergunta 6Quais são os complexos que satisfazem ?
É uma solução de , não de . O sinal de menos exige que o argumento de seja , a menos de voltas, e a periodicidade dá infinitas soluções.São as soluções de : falta o argumento do número .Positiva é a exponencial real; a complexa assume todos os valores não nulos, porque a parte imaginária do expoente fixa uma direção qualquer.O número tem módulo e argumento . Se , o módulo de é e é um argumento dele: dá , e difere de por um múltiplo inteiro de .Pergunta 7Dois alto-falantes emitem o mesmo tom puro. No lugar onde está quem escuta, as variações de pressão que produzem são e , em milipascals. Qual é a amplitude da variação de pressão total, em milipascals?
Resposta correta:
Cada oscilação é a parte real de seu fasor multiplicado por , e a soma de duas oscilações da mesma frequência tem por fasor a soma dos fasores: , cujo módulo é . Quem obtém somou as amplitudes, como se os máximos coincidissem; quem obtém as subtraiu, como se as oscilações estivessem em oposição de fase; e quem obtém tratou os fasores como perpendiculares.Pergunta 8Qual é a imagem do ponto pela rotação de um quarto de volta, no sentido positivo, em torno do ponto ?
É , a rotação em torno da origem. Para girar em torno de outro centro é preciso subtraí-lo antes de multiplicar por e somá-lo depois.É a rotação no sentido negativo, o horário, que multiplica por : o sentido positivo corresponde a multiplicar por .Somou-se ao ponto em vez de ao centro: a imagem é o centro mais o vetor girado.A rotação de centro e ângulo é . Aqui , sua rotação é , e a imagem é .Revisar: Geometria com números complexos
Pergunta 9Sejam , e as raízes de . Calcular .
Resposta correta:
Pelas relações de Girard (de Viète), e , e a soma dos quadrados é . Que seja negativa indica que nem todas as raízes são reais. Quem obtém confundiu a soma dos quadrados com o quadrado da soma, e quem obtém somou em vez de subtraí-lo.Revisar: Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari
Pergunta 10Como são as raízes da equação ?
Corresponde a . Calculou-se mal o sinal: com , o termo é negativo, e resulta positivo.Exige , isto é, , o que aqui não ocorre.Uma cúbica com coeficientes reais tem sempre uma raiz real, porque suas raízes não reais formam pares conjugados e são três no total.O discriminante é , positivo; é o caso irredutível, em que a fórmula de Cardano passa por raízes cúbicas de números não reais embora as três raízes sejam reais.Revisar: Equações polinomiais complexas: fórmulas de Cardano e Ferrari
Pergunta 11De unidades anterioresQual é o inverso de ?
Dividiu-se pelo módulo e não por seu quadrado: o produto vale , não .Inverteram-se a parte real e a imaginária separadamente; o inverso de uma soma não é a soma dos inversos.O conjugado de é : conjugar muda o sinal da parte imaginária, e só o dela.O inverso de é ; aqui e . Verifica-se: .Pergunta 12De unidades anterioresQual é o valor exato de ?
É o cosseno de : no seno da diferença os dois produtos se subtraem.É : o seno da diferença não é a diferença dos senos.É o seno de , o dobro do ângulo pedido; o seno não é proporcional ao ângulo.Como , pela fórmula do seno da diferença e os valores notáveis, .Revisar: Fórmulas de adição e subtração, ângulo duplo e ângulo metade
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