Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Nvmeri complexi forma polari: introdvctio

Svmmarivm

Haec lectio partem nvmeris complexis in forma polari dicatam aperit. Sex eivs lectiones exhibet et filvm qvo conivngvntvr: si qvisqve nvmervs complexvs distantia ab origine et directione describitvr, prodvctvm in conversionem cvm dilatatione compositam vertitvr, potentiae in mvltipla angvli, radices in polygona regvlaria. Memoriam historicam harvm notionvm restitvit, a formvla cvbicae a Cardano anno 1545 edita et a regvlis calcvli Bombellii vsqve ad repraesentationem geometricam a Wessel, Argand et Gavss inventam et formvlam Evleri; qvaestionem dvplicem vnde ortae svnt proponit, algebraicam et geometricam, qvam exemplvm mediae proportionalis inter 11 et −1-1 complectitvr, et indicat vbi postea adhibeantvr, in hoc cvrsv, in aliis cvrsibvs sitvs et in scientia et arte.

Proposita discendi

  1. Contentvm cvivsqve lectionis partis describere et explicare cvr eo ordine se excipiant.
  2. Narrare, cvm avctoribvs et temporibvs fere certis, qvomodo nvmeri complexi ex artificio calcvli in obiectvm geometricvm transierint, a Cardano et Bombellio vsqve ad Wessel, Argand, Gavss et Evlervm.
  3. Qvaestionem algebraicam et qvaestionem geometricam envntiare vnde forma polaris orta est, et prodvctvm per ii atqve medias proportionales inter 11 et −1-1 vt conversiones interpretari.
  4. Vsvs formae polaris agnoscere in parte proxima, in aliis cvrsibvs sitvs et in physica et arte ingeniaria.

Probatio initialis

Anteqvam pars percvrratvr, initivm metiri expedit. Haec svi ipsivs exploratio notam non dat: valet ad cognoscendvm qvid teneatvr et vbi morandvm sit. Decem primae qvaestiones sex lectiones partis tangvnt qvae materiam tradvnt: vna lectionem de forma polari, altera lectionem de geometria per nvmeros complexos; binae singvlas lectiones de formvla Moivreana, de radicibvs et de aeqvationibvs polynomialibvs; et dvae lectionem de exponentiali complexa, qvarvm altera est problema exemplaris mathematici constrvendi, qvod postvlat vt res in contextv posita phasoribvs exprimatvr. Eaedem facvltates in fine itervm metivntvr, in lectione synthesis. Dvae postremae explorant qvae pars e cvrsv I et e partibvs svperioribvs nota esse ponit: formam binomialem, conivgatvm et modvlvm, valores insignes et formvlas additionis et svbtractionis.

Probatio initialis

Antequam vnitatem incipias, pvnctvm vnde proficisceris metire. Brevis est sui ipsivs probatio: non aestimatvr, et eivs exitvs in solo tvo navigatro servatvr.

  1. Qvaestio 1Qvod est argvmentvm principale ipsivs z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3}?

  2. Qvaestio 2Compvta (3+i)6\left( \sqrt{3} + i \right)^6.

  3. Qvaestio 3Qvae est linearizatio ipsivs sin⁡2θcos⁡2θ\sin^2 \theta \cos^2 \theta?

  4. Qvaestio 4Qvis horvm nvmerorvm est radix qvarta ipsivs −16-16?

  5. Qvaestio 5Qvot svnt radices nonae primitivae vnitatis?

  6. Qvaestio 6Qvi svnt complexi zz qvi ez=−ee^z = -e implent?

  7. Qvaestio 7Dvo megaphonia evndem sonvm pvrvm emittvnt. Eo loco vbi est qvi avdit, variationes pressionis qvas efficivnt svnt 3cos⁡(ωt)3 \cos(\omega t) et 8cos⁡(ωt+2π3)8 \cos\left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right), in millipascalibvs. Qvae est amplitvdo variationis pressionis totivs, in millipascalibvs?

  8. Qvaestio 8Qvae est imago pvncti 3+i3 + i per conversionem qvadrantis, sensv positivo, circa pvnctvm 1+i1 + i?

  9. Qvaestio 9Sint z1z_1, z2z_2 et z3z_3 radices ipsivs z3−2z2+5z−1z^3 - 2z^2 + 5z - 1. Compvta z12+z22+z32z_1^2 + z_2^2 + z_3^2.

  10. Qvaestio 10Qvales svnt radices aeqvationis t3−6t+2=0t^3 - 6t + 2 = 0?

  11. Qvaestio 11Ex vnitatibvs prioribvsQvod est inversvm ipsivs 3−4i3 - 4i?

  12. Qvaestio 12Ex vnitatibvs prioribvsQvod est valor exactvs ipsivs sin⁡π12\sin \frac{\pi}{12}?