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Topos Uranos
Français

Nombres complexes sous forme polaire : introduction

Résumé

Cette leçon ouvre l’unité consacrée aux nombres complexes sous forme polaire. Elle présente ses six leçons et le fil qui les unit : décrire chaque complexe par sa distance à l’origine et par sa direction change le produit en une rotation composée avec une homothétie, les puissances en multiples d’un angle et les racines en polygones réguliers. Elle reconstitue le contexte historique de ces idées, depuis la formule de la cubique publiée par Cardano en 1545 et les règles de calcul de Bombelli jusqu’à la représentation géométrique de Wessel, d’Argand et de Gauss et à la formule d’Euler ; elle pose le double problème à leur origine, algébrique et géométrique, que résume l’exemple de la moyenne proportionnelle entre 11 et −1-1, et signale où on les emploie ensuite, dans ce cours, dans d’autres cours du site et dans la science et la technique.

Objectifs d’apprentissage

  1. Décrire le contenu de chaque leçon de l’unité et expliquer pourquoi elles se succèdent dans cet ordre.
  2. Retracer, avec ses protagonistes et leurs dates approximatives, le passage des nombres complexes d’artifice de calcul à objet géométrique, de Cardano et Bombelli jusqu’à Wessel, Argand, Gauss et Euler.
  3. Énoncer le problème algébrique et le problème géométrique à l’origine de la forme polaire, et interpréter comme des rotations le produit par ii et les moyennes proportionnelles entre 11 et −1-1.
  4. Identifier les applications de la forme polaire dans l’unité qui suit, dans d’autres cours du site et en physique et en ingénierie.

Évaluation d’entrée

Avant de parcourir l’unité, il convient de mesurer le point de départ. Cette autoévaluation ne note pas : elle sert à savoir ce que l’on maîtrise et où s’attarder. Les dix premières questions touchent les six leçons de contenu de l’unité : une la leçon sur la forme polaire et une autre celle sur la géométrie et les nombres complexes ; deux chacune des leçons sur la formule de Moivre, sur les racines et sur les équations polynomiales ; et deux celle sur l’exponentielle complexe, la seconde étant un problème de modélisation, qui demande de mettre en équation une situation concrète au moyen de vecteurs de Fresnel. Les mêmes compétences sont mesurées de nouveau à la fin, dans la leçon de synthèse. Les deux dernières vérifient ce que l’unité tient pour acquis du cours I et des unités qui précèdent : la forme algébrique, le conjugué et le module, les valeurs remarquables et les formules d’addition.

Évaluation d’entrée

Avant de commencer l’unité, mesurez votre point de départ. C’est une autoévaluation brève : elle n’est pas notée et son résultat n’est conservé que dans votre navigateur.

  1. Question 1Quel est l’argument principal de z=−1−i3z = -1 - i\sqrt{3} ?

  2. Question 2Calculer (3+i)6\left( \sqrt{3} + i \right)^6.

  3. Question 3Quelle est la linéarisation de sin⁡2θcos⁡2θ\sin^2 \theta \cos^2 \theta ?

  4. Question 4Lequel de ces nombres est une racine quatrième de −16-16 ?

  5. Question 5Combien y a-t-il de racines neuvièmes primitives de l’unité ?

  6. Question 6Quels sont les complexes zz qui vérifient ez=−ee^z = -e ?

  7. Question 7Deux haut-parleurs émettent le même son pur. À l’endroit où se trouve la personne qui écoute, les variations de pression qu’ils produisent sont 3cos⁡(ωt)3 \cos(\omega t) et 8cos⁡(ωt+2π3)8 \cos\left( \omega t + \frac{2\pi}{3} \right), en millipascals. Quelle est l’amplitude de la variation de pression totale, en millipascals ?

  8. Question 8Quelle est l’image du point 3+i3 + i par la rotation d’un quart de tour, dans le sens positif, autour du point 1+i1 + i ?

  9. Question 9Soient z1z_1, z2z_2 et z3z_3 les racines de z3−2z2+5z−1z^3 - 2z^2 + 5z - 1. Calculer z12+z22+z32z_1^2 + z_2^2 + z_3^2.

  10. Question 10Comment sont les racines de l’équation t3−6t+2=0t^3 - 6t + 2 = 0 ?

  11. Question 11Des unités précédentesQuel est l’inverse de 3−4i3 - 4i ?

  12. Question 12Des unités précédentesQuelle est la valeur exacte de sin⁡π12\sin \frac{\pi}{12} ?