Studienplan des Kurses Algebra und Geometrie II

Zweck und Zielgruppe

Dieser Kurs ist die zweite Hälfte eines Weges, der mit Algebra und Geometrie I: Zahlen, Funktionen und ebene Geometrie beginnt. Kurs I hat, ausgehend von den Peano-Axiomen, die Zahlbereiche bis zu den komplexen Zahlen in algebraischer Form konstruiert, die Algebra der Polynome, die reellen Funktionen und ihre Graphen, die analytische Geometrie der Ebene mit ihren Vektoren und ihren Kegelschnitten sowie die Exponential-, Logarithmus- und Hyperbelfunktionen. Kurs II nimmt diese Gegenstände auf und führt sie in drei neue Gebiete: die Trigonometrie, die Winkel misst und Drehungen in eine Rechnung verwandelt; die komplexen Zahlen in Polarform, in der diese Rechnung zur Multiplikation wird; und die Matrizen, die die linearen Gleichungssysteme und die Abbildungen ordnen und die zusammen mit den Vektoren die analytische Geometrie des Raumes tragen, mit der der Kurs endet.

Sein Zweck ist derselbe wie der von Kurs I: nicht nur das Rechnen zu lehren, sondern zu zeigen, woher jede Rechnung stammt. Jedes verwendete Ergebnis wird formuliert und bewiesen oder ausdrücklich als angenommen erklärt, wenn sein Beweis in einen anderen Kurs gehört; so verhält es sich zum Beispiel mit dem Fundamentalsatz der Algebra oder mit den Eigenschaften der Bogenlänge, die die Analysis erfordern.

Er richtet sich an alle, die Kurs I abgeschlossen haben oder seine Inhalte auf anderem Weg beherrschen: Schülerinnen und Schüler der letzten Schuljahre, die sich auf den Eintritt in die Hochschule vorbereiten, Studierende im ersten Studienjahr der Naturwissenschaften, der Ingenieurwissenschaften, der Wirtschaftswissenschaften oder des Lehramts Mathematik und alle, die eine Mathematik, die sie als Sammlung von Rezepten gelernt haben, mit Strenge neu aufbauen wollen. Ist dem so, dann setzt der Kurs als bekannt voraus: die Vollständigkeit der reellen Zahlen, die Untersuchung von Funktionen mit ihren Umkehrfunktionen und den Transformationen ihrer Graphen, die Gerade, die Vektoren und das Skalarprodukt der Ebene, die Kegelschnitte, die Exponentialfunktion und den Logarithmus sowie die Arithmetik der komplexen Zahlen in algebraischer Form. Wer bei einem dieser Punkte unsicher ist, kann die Synthese der entsprechenden Einheit von Kurs I erneut aufschlagen und vor Beginn des Kurses ihre Herausforderungen lösen.

Nun nimmt der Kurs auch einen Platz des Übergangs ein. Er ist die Vorbedingung für Analysis I: Differentialrechnung, die die trigonometrischen Funktionen ausgehend von der Ungleichung $\sin x < x < \tan x$ ableitet, die in der Einheit 1 bewiesen wird, und die ihrerseits Grundlagen der Mechanik und Analysis II: Integralrechnung eröffnet, wo die Kreisbewegung, die trigonometrischen Substitutionen und die Flächeninhalte in Polarkoordinaten wiederkehren.

Übergeordnete Lernziele

Die folgenden Lernziele beschreiben, was Studierende, die den Kurs abschließen, können sollen. Jedes ist als beobachtbare Leistung formuliert, sodass es sich mit einer konkreten Aufgabe überprüfen lässt; jede Lektion nennt ihrerseits eigene Lernziele, und die Abschlusslektion zeigt, Lektion für Lektion, welchem dieser sieben jede zugeordnet wurde. Die Lernziele sind nummeriert, damit man sie dort zitieren kann.

1. Lernziel 1. Aussagen der Trigonometrie, der Algebra der komplexen Zahlen und der Matrizen sowie der analytischen Geometrie durch explizites deduktives Schließen beweisen, mit dem direkten Beweis, der Kontraposition, dem Widerspruchsbeweis und der Induktion, und in jedem Beweis das Hergeleitete vom Angenommenen unterscheiden.
2. Lernziel 2. Die Trigonometrie auf die Messung von Winkeln und Dreiecken anwenden, die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen untersuchen, Identitäten beweisen, trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen mit Angabe ihrer allgemeinen Lösung lösen und Kurven in Polarkoordinaten beschreiben.
3. Lernziel 3. Die Geometrie der Ebene mit den Werkzeugen des Kurses untersuchen: Schnittwinkel von Geraden berechnen, durch eine Achsendrehung den gemischten Term einer Gleichung zweiten Grades beseitigen und den Kegelschnitt klassifizieren, den sie definiert, und Drehungen, zentrische Streckungen, Spiegelungen und Projektionen mit Hilfe der Trigonometrie, der komplexen Zahlen und der Matrizen ausdrücken.
4. Lernziel 4. Mit komplexen Zahlen in Polar- und Exponentialform rechnen, ihre Potenzen und ihre Wurzeln berechnen, ihre Operationen geometrisch deuten und Polynomgleichungen im Körper der komplexen Zahlen lösen.
5. Lernziel 5. Lineare Gleichungssysteme mit Matrizen lösen, mit dem Gauß-Jordan-Verfahren, dem Rang, den Determinanten und der inversen Matrix, und in den Zahlbereichen, den Polynomen, den Matrizen und den Resten modulo $n$ die Strukturen Gruppe, Ring und Körper erkennen.
6. Lernziel 6. Punkte, Vektoren, Geraden und Ebenen des Raumes durch Koordinaten und Gleichungen darstellen, mit dem Skalarprodukt, dem Vektorprodukt und dem Spatprodukt umgehen und mit ihnen Winkel, Abstände, Flächeninhalte und Volumina berechnen, wobei die gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen mit Hilfe linearer Gleichungssysteme entschieden wird.
7. Lernziel 7. Situationen aus Wissenschaft, Technik und Alltag mit den Werkzeugen des Kurses mathematisch modellieren und Ansätze, Rechnungen und Beweise schriftlich darlegen, mit korrekter Notation, vollständiger Argumentation und einer Kontrolle der Plausibilität der Ergebnisse.

Die Lernziele 2 bis 6 entsprechen im Wesentlichen den großen Themen des Kurses: das 2. den Einheiten 1 und 2, das 4. der Einheit 3, das 5. der Einheit 4 und das 6. der Einheit 5, während das 3. einen Faden aufnimmt, der die Einheiten 1 bis 4 durchzieht, die Geometrie der Ebene, nacheinander mit Sinus und Kosinus, mit komplexen Zahlen und mit Matrizen betrachtet. Das erste und das siebte dagegen sind übergreifend: Sie gehören zu keiner einzelnen Einheit, sondern werden in allen geübt. Daraus folgt, dass ihr Erreichen keiner bestimmten Lektion zugeschrieben werden kann und dass man sie über den ganzen Kurs hinweg pflegen sollte. Nun haben beide auch Lektionen, die ihnen in erster Linie dienen: das erste die Synthesen, deren Kernstück die deduktive Kette jeder Einheit rekonstruiert; das siebte die Lektionen, in denen das Aufstellen von Ansätzen selbst der Gegenstand ist, die über den Schnittwinkel von Geraden und seine Anwendungen und die über lineare Gleichungssysteme.

Inhalte

Der Kurs ist in sieben Einheiten aufgeteilt. Die erste und die letzte rahmen den Weg ein; die fünf mittleren entwickeln die Inhalte. Jede von diesen beginnt mit einer Einführungslektion, die ihre Lektionen, den historischen Hintergrund ihrer Ideen, das Problem, aus dem sie entstanden, und ihre Bedeutung vorstellt, und endet mit einer Synthese-Lektion, die die deduktive Kette der Einheit rekonstruiert, sie mit dem Rest des Kurses und mit Kurs I verbindet und zehn Herausforderungen stellt, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen.

Einheit 0. Vorstellung des Kurses

Sie besteht aus dieser Lektion, die den Zweck, die übergeordneten Lernziele, die Inhalte, den Aufwand und die Gestaltung des Kurses festlegt.

Einheit 1. Trigonometrische Funktionen und Polarkoordinaten

Ihr Ziel ist es, die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis zu definieren, ihre Graphen und ihre Umkehrfunktionen zu untersuchen, Dreiecke zu berechnen und Kurven in Polarkoordinaten zu beschreiben.

1. Trigonometrische Funktionen und Polarkoordinaten: Einführung.
2. Winkel und ihre Messung: Gradmaß und Bogenmaß.
3. Trigonometrische Verhältnisse und der Einheitskreis.
4. Die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen.
5. Die Arkusfunktionen.
6. Dreiecksberechnung: Sinussatz und Kosinussatz.
7. Polarkoordinaten und Kurven in Polarkoordinaten.
8. Trigonometrie, Polarkoordinaten: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 2. Analytische Trigonometrie

Ihr Ziel ist es, die trigonometrischen Funktionen in eine algebraische Rechnung zu verwandeln, mit Identitäten, Additionstheoremen, Gleichungen und Ungleichungen, und sie auf die Schnittwinkel von Geraden und auf Kegelschnitte mit schiefen Achsen anzuwenden.

1. Analytische Trigonometrie: Einführung.
2. Grundlegende trigonometrische Identitäten.
3. Additionstheoreme, Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln.
4. Umformung von Summen in Produkte und die harmonische Form.
5. Trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen.
6. Schnittwinkel zweier Geraden und Anwendungen der Trigonometrie.
7. Achsendrehung und die allgemeine Gleichung zweiten Grades.
8. Analytische Trigonometrie: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 3. Komplexe Zahlen in Polarform

Ihr Ziel ist es, jede komplexe Zahl durch ihren Betrag und ihr Argument zu beschreiben, sodass sich das Produkt als Drehung mit Streckung liest, die Potenzen als Vielfache eines Winkels und die Wurzeln als regelmäßige Vielecke, und damit die Polynomgleichungen zu lösen. Sie greift die komplexen Zahlen in algebraischer Form auf, die in der Einheit 2 von Kurs I konstruiert wurden.

1. Komplexe Zahlen in Polarform: Einführung.
2. Die Polarform der komplexen Zahlen.
3. Die Formel von de Moivre und Potenzen komplexer Zahlen.
4. n-te Wurzeln einer komplexen Zahl und Einheitswurzeln.
5. Die komplexe Exponentialfunktion und die eulersche Formel.
6. Geometrie mit komplexen Zahlen.
7. Komplexe Polynomgleichungen: die Formeln von Cardano und Ferrari.
8. Komplexe Zahlen in Polarform: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 4. Matrizen und algebraische Strukturen

Ihr Ziel ist es, die Koeffiziententabelle eines linearen Gleichungssystems zu einem Gegenstand mit eigenen Operationen zu machen, mit ihr die Systeme zu lösen, die Matrizen als Abbildungen zu lesen und das, was den Rechnungen der beiden Kurse gemeinsam ist, in den Begriffen Gruppe, Ring und Körper zu verdichten.

1. Matrizen und algebraische Strukturen: Einführung.
2. Matrizen und Matrizenoperationen.
3. Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Jordan-Verfahren.
4. Determinanten: Eigenschaften und cramersche Regel.
5. Die inverse Matrix.
6. Matrizen als Abbildungen der Ebene.
7. Komplexe Zahlen als Matrizen.
8. Algebraische Strukturen: Gruppen, Ringe und Körper.
9. Matrizen und algebraische Strukturen: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 5. Analytische Geometrie des Raumes

Ihr Ziel ist es, die in der Einheit 4 von Kurs I untersuchte analytische Geometrie der Ebene auf den Raum auszudehnen: Punkte und Vektoren mit drei Koordinaten beschreiben, ausgehend von einer ausdrücklichen Liste vorausgesetzter Tatsachen der euklidischen Geometrie des Raumes; Längen und Winkel mit dem Skalarprodukt messen und beweisen, dass der so definierte Winkel der der elementaren Geometrie ist; aus der Determinante dritter Ordnung das Vektorprodukt und das Spatprodukt gewinnen, mit ihrer Deutung als Flächeninhalt, als Volumen und als Kriterium der Komplanarität; Geraden und Ebenen durch Gleichungen beschreiben und ihre gegenseitige Lage mit dem Rang und dem Satz von Kronecker-Capelli (im spanischsprachigen Raum Satz von Rouché-Frobenius genannt) aus der Einheit 4 entscheiden; und Abstände, Winkel, Projektionen und das gemeinsame Lot zweier windschiefer Geraden berechnen, mit Anwendungen in der Mechanik, der Kristallographie, der Flugnavigation und der Satellitenortung. Die Einheit untersucht die Kugel, nicht aber die übrigen Quadriken (Ellipsoide, Paraboloide, Hyperboloide, Kegel und Zylinder zweiten Grades), die in diesem Kurs nicht behandelt werden; im gegenwärtigen Aufbau der Website gehört ihr Studium zu Analysis III.

1. Analytische Geometrie des Raumes: Einführung.
2. Vektoren im Raum und Skalarprodukt.
3. Vektorprodukt und Spatprodukt.
4. Geraden und Ebenen im Raum.
5. Abstände, Winkel und Volumina im Raum.
6. Analytische Geometrie des Raumes: Synthese und Herausforderungen.

Einheit 6. Abschluss des Kurses

Sie besteht aus der Lektion Abschlussbilanz des Kurses Algebra und Geometrie II, die an die sieben übergeordneten Lernziele erinnert und in einer Abbildung zeigt, welchem von ihnen jede Lektion des Kurses zugeordnet wurde und welche Einzelziele jede Einheit erreicht hat, und die nach Lernzielen den ersten Versuch der Abschlusstests zusammenführt.

Aufwand und Leistungspunkte

Der Aufwand eines Kurses bemisst sich nicht nach den Vortragsstunden, die es in einem asynchronen Kurs nicht gibt, sondern nach der gesamten Arbeit der Studierenden: lesen, den Beweisen folgen, Aufgaben lösen und wiederholen. Die Schätzung zählt die Lesezeit des Textes jeder Lektion, zwanzig Minuten pro gelöste Aufgabe, fünfunddreißig pro Übungsaufgabe, fünfundvierzig pro Herausforderung und zwölf pro Eingangs- oder Abschlusstest, und schlägt ein Zehntel für die Wiederholung auf.

Ergebnisse

Die Lektionen der Einheiten 1 bis 5 enthalten insgesamt $145$ gelöste Aufgaben, $145$ Übungsaufgaben und $50$ Herausforderungen. Der geschätzte Aufwand pro Einheit, auf volle Stunden gerundet, verteilt sich so:

• Einheit 0, Vorstellung des Kurses: $1$ Stunde.
• Einheit 1, trigonometrische Funktionen und Polarkoordinaten: $46$ Stunden.
• Einheit 2, analytische Trigonometrie: $46$ Stunden.
• Einheit 3, komplexe Zahlen in Polarform: $46$ Stunden.
• Einheit 4, Matrizen und algebraische Strukturen: $54$ Stunden.
• Einheit 5, analytische Geometrie des Raumes: $36$ Stunden.
• Einheit 6, Abschluss des Kurses: weniger als eine Stunde.

Die Einheit 5 ist nach der Zahl der Lektionen die kürzeste, aber ihre vier inhaltlichen Lektionen gehören zu den umfangreichsten des Kurses. Insgesamt sind es etwa $230$ Stunden Arbeit der Studierenden. Diese Zahl sollte man als das lesen, was sie ist: eine Schätzung für Studierende, die alle Beweise studieren und alle Aufgaben und Herausforderungen lösen. Wer einen Teil der Inhalte schon beherrscht oder sich auf die Übungsaufgaben beschränkt, ohne die Herausforderungen anzugehen, wird deutlich weniger brauchen; wer das Thema zum ersten Mal und ohne Übung im Beweisen studiert, kann mehr brauchen.

Nun ist die Zahl von $230$ Stunden nominell: Sie legt die Leistungspunkte des Kurses fest und setzt ein Lesen des Textes in gleichbleibendem Tempo und eine Dreiviertelstunde pro Herausforderung voraus. Solange sie nicht an realen Studierenden gemessen ist, sollte man sie durch eine realistische Spanne ergänzen. Ginge das Lesen im halben angenommenen Tempo voran, wie es geschieht, wenn man jeden Beweis mit Papier und Bleistift neu schreibt, und verlangte jede Herausforderung fünfundsiebzig statt fünfundvierzig Minuten, so ergäbe dieselbe Methode etwa $298$ Stunden. Daher liegt der zu erwartende Aufwand zwischen etwa $230$ und etwa $300$ Stunden. Die obere Grenze ist eine vorsichtige Schranke, keine Messung; die Spanne wird korrigiert, sobald man die Zeit kennt, die die Studierenden des Kurses tatsächlich aufwenden, und bis dahin werden die Leistungspunkte mit der nominellen Zahl berechnet.

Empfohlenes Tempo

Um die Lerntempi zu benennen, folgen dieser Plan und der des Kurses I demselben Kriterium: Vollzeit entspricht einem Studienjahr von $60$ Leistungspunkten, etwa $1650$ Stunden, verteilt auf rund vierzig Wochen, also etwa $40$ Wochenstunden, und ein Teilzeitstudium der Hälfte davon, etwa $20$ Wochenstunden. Daraus folgt ein empfohlenes Tempo von einem Semester zu sechzehn Wochen mit etwa $14$ Wochenstunden Lernzeit, etwas mehr als einem Drittel der Vollzeit und daher weniger als ein Teilzeitstudium; mit der realistischen Spanne, $14$ bis $19$ Wochenstunden, nähert es sich einem Teilzeitstudium, ohne es zu erreichen. So belegen die Kurse I und II zwei aufeinanderfolgende Semester. Ein großzügigeres Tempo von etwa $7$ Wochenstunden verteilt den Kurs auf zwei Semester; ein intensives von etwa $29$ Wochenstunden, etwas weniger als drei Viertel der Vollzeit, schließt ihn in acht Wochen ab, was dem Aufwand von Studierenden entspricht, die im selben Zeitraum kein anderes anspruchsvolles Fach belegen.

Leistungspunkte

Die Leistungspunkte dieser Website messen den gesamten Aufwand, den ein Kurs von denen verlangt, die ihn studieren (das Lesen, die Aufgaben, die Herausforderungen und die Wiederholung), und nicht die Unterrichtsstunden. Ein Leistungspunkt entspricht etwa $27{,}5$ Arbeitsstunden und ein Jahr in Vollzeit $60$ Leistungspunkten, also etwa $1650$ Stunden; das ist dasselbe Kriterium, nach dem oben die Lerntempi benannt werden.

Nun ergibt sich, wenn man die geschätzten $230$ Stunden durch $27{,}5$ teilt, der Wert 8,4, der auf $8$ gerundet wird. Lässt man für den Leistungspunkt eine Spanne von $25$ bis $30$ Arbeitsstunden zu, so ist die Zahl $C$ der Leistungspunkte des Kurses zwischen 7,7 und 9,2 eingegrenzt:

Daher hat der Kurs $8$ Leistungspunkte, etwas mehr als ein Achtel eines Jahres in Vollzeit. Wer nur einen Teil des Kurses studieren möchte, kann die Liste der Stunden pro Einheit verwenden: Die Einheiten 0 bis 4 etwa summieren sich auf rund $193$ Stunden, also auf etwa $7$ Leistungspunkte.

Ihr Nutzen ist praktischer Art: Sie erlauben es, den Aufwand der Kurse der Website miteinander zu vergleichen und zu entscheiden, wie viele man gleichzeitig studieren sollte, ohne die verfügbare Zeit zu überschreiten. Wer zum Beispiel während eines Semesters zu sechzehn Wochen in Teilzeit studieren kann, also über etwa $320$ Stunden verfügt, kann Kurse angehen, die zusammen etwa $12$ Leistungspunkte umfassen; in Vollzeit im selben Semester etwa $23$.

Diese Leistungspunkte sind ein eigenes Maß der Website zur Planung des Studiums: Sie entsprechen keinem offiziellen Leistungspunktesystem und bedeuten keine akademische Anerkennung durch irgendeine Einrichtung.

Gestaltung des Kurses

Studienform

Der Kurs ist asynchron, online und im eigenen Tempo: Er hat keine Termine, keine Live-Sitzungen und keine Fristen, und alle Studierenden kommen so schnell voran, wie ihre Vorbereitung und ihre Zeit es erlauben. Er wird in den vierzehn Sprachen der Website angeboten, mit derselben Mathematik in allen: Die Formeln und die Schritte der Beweise sind in jeder Fassung identisch, und nur der Text wird übersetzt. Die Lektionen geben an, welche anderen Lektionen man vorher studiert haben sollte, auch die Lektionen von Kurs I, von denen sie abhängen, sodass die empfohlene Reihenfolge explizit ist und sich überprüfen lässt.

Der Aufbau einer Lektion

Alle thematischen Lektionen folgen demselben Aufbau. Sie beginnen mit einer Zusammenfassung und einer Liste eigener Lernziele, formuliert als beobachtbare Leistungen. Es folgen die Theorie, mit den Definitionen, den präzise formulierten Sätzen und ihren Beweisen, und die Beispiele. Die Beweise und die Beispiele werden als Schritt-für-Schritt-Abspieler dargeboten: Jeder Schritt schreibt eine Zeile der Argumentation, hebt die beteiligten Terme hervor und, wenn er sich auf ein früheres Ergebnis stützt, holt er es wieder hervor und hebt es beim Lesen hervor, sodass das Gedächtnis der Argumentation sichtbar bleibt; viele werden von einer Abbildung begleitet, die sich mit jedem Schritt ändert. Den Abschluss der Lektion bilden fünf gelöste Aufgaben mit ihrer Schritt-für-Schritt-Lösung und fünf Übungsaufgaben, jede mit einem eingeklappten Hinweis und danach dem Endergebnis, damit die Studierenden ihr Ergebnis prüfen können, ohne dass ihnen der Weg verraten wird; die Beweisaufgaben fügen, eingeklappt nach dem Ergebnis, eine ausführliche Lösung hinzu, die man erst öffnen sollte, nachdem man die eigene niedergeschrieben hat.

Die Einführungs- und die Synthese-Lektionen haben einen eigenen Aufbau. Die Einführung stellt die Einheit, ihre Geschichte, das Problem, aus dem sie entstand, und ihre Bedeutung vor; die Synthese rekonstruiert in einer Abbildung die deduktive Kette der Einheit, mit den Ergebnissen, die sie wiederverwendet, und den Gliedern, die sie beweist, verbindet sie mit den früheren Einheiten und mit Kurs I und stellt zehn Herausforderungen, jede mit Hinweis, Endergebnis und einer eingeklappten ausführlichen Lösung, die mehrere Lektionen verbinden und mehr Erfindungsgabe verlangen als die Übungsaufgaben.

Die Vorlesefunktion

Jede Lektion kann man sich mit der Vorlesefunktion der Website laut vorlesen lassen, die die Stimmen des eigenen Geräts verwendet: Der Text wird so gelesen, wie er geschrieben ist, und die Formeln werden in Worten ausgesprochen. Das erlaubt, eine Lektion fern vom Bildschirm zu wiederholen, einem Beweis zuzuhören, während man den Schritt-für-Schritt-Abspieler betrachtet, und mit Sehbeeinträchtigungen zu lernen.

Bewertung

Der Kurs vergibt keine Noten und zertifiziert nicht: Seine Bewertung auf der Website ist formativ. Die Übungsaufgaben erlauben zu prüfen, ob die Lernziele jeder Lektion erreicht sind, und die Herausforderungen, ob die Lernziele jeder Einheit erreicht sind. Jede der fünf Einheiten hat außerdem einen Eingangstest in ihrer Einführung und einen Abschlusstest in ihrer Synthese, vor den Herausforderungen: kurze Selbsteinschätzungen, die im Browser ohne Benotung korrigiert werden; der Eingangstest hat neun oder zehn Fragen zur Einheit und dazu zwei bis sechs über das, was die Einheit aus den früheren oder aus Kurs I als bekannt voraussetzt, der Abschlusstest elf oder zwölf; beide geben bei jedem Fehler an, welche Lektion zu wiederholen ist, und werden miteinander verglichen, um den Lernzuwachs zu zeigen. Die Abschlussbilanz führt den ersten Versuch jedes Abschlusstests in einem Profil nach übergeordneten Lernzielen zusammen, das, wie die Tests selbst, nur im Browser der Studierenden gespeichert wird. Die Validierung der Fähigkeiten, mit dem Wert einer Zertifizierung, erfolgt später und außerhalb dieser Website, auf einer anderen Plattform.

Für die übergeordneten Lernziele werden außerdem die folgenden Nachweise des Erreichens vorgeschlagen, die alle Studierenden selbst erbringen können:

• Lernziel 1: ohne die Lektion zu Rate zu ziehen, den Beweis eines Satzes des Kurses niederschreiben, etwa des Kosinussatzes, der Formel von de Moivre oder der Eindeutigkeit der inversen Matrix.
• Lernziel 2: eine nicht triviale trigonometrische Identität beweisen und eine trigonometrische Gleichung mit Angabe ihrer allgemeinen Lösung lösen.
• Lernziel 3: den Kegelschnitt, den eine Gleichung zweiten Grades mit gemischtem Term definiert, durch Drehung der Achsen klassifizieren und eine Drehung der Ebene als Produkt mit einer komplexen Zahl und als Matrix ausdrücken.
• Lernziel 4: die $n$-ten Wurzeln einer komplexen Zahl berechnen, sie in der Ebene darstellen und eine kubische Gleichung mit der Formel von Cardano lösen.
• Lernziel 5: ein lineares Gleichungssystem mit Parameter lösen, mit einer Fallunterscheidung nach dem Rang, und entscheiden, ob eine gegebene Struktur eine Gruppe, ein Ring oder ein Körper ist.
• Lernziel 6: die gegenseitige Lage zweier Geraden des Raumes und ihren Abstand bestimmen sowie das Volumen eines durch seine Ecken gegebenen Tetraeders.
• Lernziel 7: die vollständige Lösung einer Modellierungsaufgabe niederschreiben, mit Ansatz, Durchführung, Antwort und Plausibilitätskontrolle, sodass eine andere Person ihr ohne zusätzliche Erklärungen folgen kann.

Wie man diesen Kurs studiert

Der Kurs ist dafür gedacht, der Reihe nach studiert zu werden. Jede Einheit setzt die früheren und Kurs I voraus, und viele Beweise zitieren Ergebnisse aus vorangehenden Lektionen des einen oder des anderen Kurses; wer eine Lektion überspringt, muss sie früher oder später nachholen.

Jede Einheit hat zwei Kontrollpunkte. Der Eingangstest zu Beginn der Einführung ist der Ausgangspunkt: Man sollte ihn beantworten, bevor man die Einheit studiert, ohne etwas nachzuschlagen, und die Lektionen notieren, auf die die Fehler verweisen, denn sie verlangen die meiste Sorgfalt. Der Abschlusstest in der Synthese und vor den Herausforderungen ist der Vergleich: Man beantwortet ihn nach Abschluss der Lektionen, ebenfalls ohne nachzuschlagen, und vergleicht ihn mit dem Eingangstest, um zu sehen, was sich geändert hat und welche Lektionen man wiederholen sollte. Bei beiden zählt der erste Versuch, der verglichen wird und den das Profil der Abschlussbilanz zusammenführt; die späteren Versuche geschehen schon mit der gesehenen Rückmeldung. Die Herausforderungen vervollständigen die Prüfung, weil sie verlangen, zu verbinden und auszuformulieren, was die kurzen Fragen nur berühren. Daraus folgt, dass, wer glaubt, eine Einheit schon zu beherrschen, das nicht nach einem einzigen Test entscheiden sollte: Ist der eigene Abschlusstest solide und gelingen die Herausforderungen der Synthese, kann man zur nächsten Einheit übergehen; andernfalls sollte man die Lektionen durchgehen, auf die der eine und die anderen verweisen.

In jeder Lektion sollte man zuerst die Zusammenfassung und die Lernziele lesen, die sagen, worum es geht; dann die Theorie mit Papier und Bleistift studieren und dabei versuchen, jeden Schritt der Beweise vorwegzunehmen, bevor der Abspieler ihn schreibt; die gelösten Aufgaben versuchen, bevor man ihre Lösung ansieht, und die Übungsaufgaben ohne Hilfe lösen, den Hinweis erst öffnen, wenn der eigene Versuch erschöpft ist, und das Ergebnis erst am Ende, zur Kontrolle. Eine Aufgabe, deren Ergebnis man nachgeschlagen hat, bevor man sie versucht hat, ist nicht gelöst, sondern gelesen worden.

Die Herausforderungen sind schwieriger als die Aufgaben der Lektionen, und es ist normal, dass manche mehrere Versuche an verschiedenen Tagen erfordern. Man sollte nicht endlos bei einer verweilen: sie notieren, vorankommen und sie später wieder aufnehmen ist oft der kürzeste Weg. Nun setzt der geschätzte Aufwand voraus, dass man alle ernsthaft versucht, und in dieser Anstrengung entscheidet sich ein guter Teil dessen, was der Kurs lehren kann.

Schließlich sollte man schreiben. Einen Beweis oder eine vollständige Lösung mit ihren Prämissen und ihren Schlussfolgerungen auszuformulieren ist die einzige Art zu wissen, ob man verstanden hat, und es ist auch das siebte der Lernziele des Kurses. Ein Studienheft, in dem man die Definitionen und Sätze jeder Einheit mit eigenen Worten neu schreibt, ist das beste Wiederholungsmaterial, das der Kurs hinterlassen kann, und es wird das noch mehr in Analysis I sein, die fast alles wieder aufgreifen wird, was hier bewiesen wird.